DISTRIBUCIÒN BINOMIAL AUTOR: Ms. Lic. LUIS J. CASTILLO VÀSQUEZ

DISTRIBUCIÒN BINOMIAL
AUTOR: Ms. Lic. LUIS J. CASTILLO VÀSQUEZ
LUIS J. CASTILLO VÀSQUEZ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LA DISTRIBUCIÒN BINOMIAL
B (n, p)
¿QUE ES DISTRIBUCION BINOMINAL?
Una distribución de probabilidad ampliamente utilizada de una variable
aleatoria discreta es la distribución binomial. Esta describe varios procesos de
interés para los administradores.
Describe datos discretos, resultantes de un experimento denominado proceso
de Bernoulli en honor del matemático suizo Jacob Bernoulli, quien vivió en el
siglo XVII.
En un lenguaje más formal, el símbolo “p” representa la probabilidad de un
éxito y el símbolo “q”= ( 1- p ) representa la probabilidad de un fracaso. Para
representar cierto número de éxitos, utilizaremos el símbolo k y para simbolizar
el número total de ensayos emplearemos el símbolo n.
Entonces tenemos que :
p:
q:
k:
n:
Probabilidad de éxito.
Probabilidad de fracaso.
Número de éxitos deseados.
Número de ensayos efectuados.
Existe una fórmula binomial:
Probabilidad de r éxitos en n ensayos es :
Recordemos que el símbolo factorial ! significa por ejemplo que es:
3! = 3*2*1 = 6
Los matemáticos definen 0! = 1.
Imaginemos una escuela primaria donde los alumnos llegan tarde a menudo.
Cinco alumnos están en el jardín de niños. La directora lleva tiempo estudiando
el problema, habiendo llegado a la conclusión de que hay una probabilidad de
0.4 de que un alumno llegue tarde y de que los alumnos lleguen
independientemente uno de otro ¿Cómo trazamos una distribución binomial de
probabilidad que ilustre las probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 estudiantes
lleguen tarde simultáneamente? Para hacerlo necesitaremos utilizar la fórmula
binomial donde :
Distribución Binomial
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-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------p= 0.4, q= 0.6, n= 5
Realicemos el cálculo de cada valor de k en :
Para k= 0 obtenemos que :
P(X=0) = 5!/ 0!(5-0)! (0.4 )0 (0.6)5 = 0.07776
Para k= 1 obtenemos que :
P(X=1) = 5!/ 1!(5-1)! (0.4 )1 (0.6)4 = 0.2592
Para k=2 obtenemos que:
P(X=2) = 5!/ 2!(5-2)! (0.4 )2 (0.6)3= 0.3456
Para k= 3 obtenemos que :
P(X=3) = 5!/ 3!(5-3)! (0.4 )3 (0.6)2 = 0.2304
Para k= 4 obtenemos que :
P(X=4) = 5!/ 4!(5-4)! (0.4 )4 (0.6)1 = 0.0768
Para k= 5 obtenemos que :
P(X=5) = 5!/ 5!(5-5)! (0.4 )5 (0.6)0 = 0.01024
Representando estos resultados en una gráfica:
Distribución Binomial
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Medidas de tendencia central y de dispersión para la distribución
binomial.
La distribución binomial tiene un valor esperado o media ( µ ) y una
desviación estándar ( σ ) y deberemos ser capaces de calcular esas dos
medidas estadísticas.
Podemos representar la media de una distribución binomial de la
siguiente forma:
µ=np
donde :
n= número de ensayos.
p= probabilidad de éxitos.
Y la desviación de la siguiente forma:
σ=
1. FUNCIONES DE PROBABILIDAD:
Llamamos función de probabilidad f(x) a la aplicación de Ω (Espacio
Muestral) en el intervalo [0,1] que verifica:
f(A) = P(A)
Básicamente se trata de estudiar la probabilidad como una función
utilizando para su estudio todas las propiedades de las funciones.
2. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL:
Llamamos experiencia aleatoria dicotómica a aquella que sólo puede
tener dos posibles resultados A y A'. Usualmente A recibe el nombre de
éxito, además representaremos como p = P(A) y q = 1-p=P(A').
A la función de probabilidad de una variable aleatoria X resultado de
contar el número de éxitos al repetir n veces una experiencia aleatoria
dicotómica con probabilidad de éxito p la llamamos distribución binomial
y la representamos por
B (n, p)
Para esta distribución se verifica que, la variable X puede tomar los
valores:
0, 1, 2, ... , n
y que la variable toma cada uno de estos valores con probabilidad:
Distribución Binomial
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-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(deberás repasar las propiedades de los números combinatorios antes
de continuar).
Ejercicio 1:
En la escena siguiente modifica los valores de n y de p para ver cómo se
modifican las probabilidades de los distintos posibles valores de p
(si se te superponen los decimales ve modificando el parámetro hasta
que los veas con claridad)
Ejercicio 2:
Lanzamos 5 veces una moneda no trucada, ¿Cuál es la probabilidad de
que obtengamos exactamente 2 caras?
(X = nº de caras en 5 lanzamientos. B (5, 0,5))
Comprueba el resultado obtenido con tu calculadora en la escena
anterior haciendo n = 5 y p = 0,5 para el valor de r =2.
Ejercicio 3:
En un juego de azar la probabilidad de ganar una mano es 0,8. Calcula
la probabilidad de que un jugador que juega 10 manos las gane todas y
la probabilidad de que gane al menos 8.
Utiliza la escena de la actividad 1 para comprobar los resultados
3. PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL:
Esperanza:
µ=n • p
Desviación típica:
σ=
AJUSTE DE UNA SERIE DE DATOS A UNA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL:
Disponemos de una serie de k datos que toman los valores 0, 1, ... ,n.
Para saber si estos datos siguen pueden aproximarse por una
distribución binomial:
1.) Calculamos la media de los k datos y la igualamos a la Esperanza
teórica de la Binomial (n • p). Despejamos de aquí el valor de p.
2.) Calculamos los valores teóricos de p (X = r), multiplicándolos por k
para obtener los valores teóricos de cada posible valor de la variable
aleatoria en series de k datos.
3.) Si la diferencia es "suficientemente pequeña" aceptamos como
buena la aproximación Binomial, si no, la rechazamos.
(nota: la fundamentación estadística que nos permitiría decidir de
manera objetiva si la diferencia entre los datos teóricos y los reales es
Distribución Binomial
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LUIS J. CASTILLO VÀSQUEZ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------"suficientemente pequeña" escapa de los objetivos de esta unidad
didáctica, con lo cual la decisión se deberá tomar de manera subjetiva).
Ejercicio 1
Lanzamos 5 chinchetas y observamos el número de ellas que caen con
la punta hacia arriba.
Al repetir la experiencia 350 veces obtenemos:
nº de puntas hacia arriba
nº de veces en los 350 lanzamientos
0
60
1
133
2
101
3
45
4
10
5
1
¿Ajustan los resultados a una distribución Binomial? ¿Cuál sería el valor
de p en caso afirmativo?
Comprueba el resultado obtenido con lápiz y papel con la siguiente
escena. Cambia el valor de p y observa cómo varían los valores
teóricos, intenta conseguir el ajuste óptimo y compruébalo con los
resultados obtenidos aplicando el procedimiento descrito en este
apartado.
Ejercicio 2
Comprueba ahora si ajusta a una distribución binomial el número de
CD's defectuosos encontrados en cajas de 3 unidades al abrir 100 de
dichas cajas:
nº de CD's defectuosos
0
1
2
3
nº de veces
65
25
10
0
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:




En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el
suceso A (éxito) y su contrario`A (fracaso).
El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos anteriormente.
La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no
varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la
representamos por q .
El experimento consta de un número n de pruebas.
Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo
de la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos
obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria
binomial.
Distribución Binomial
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LUIS J. CASTILLO VÀSQUEZ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los
valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como
hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k)
fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n
sobre k).
La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los
parámetros de dicha distribución.
Función de Probabilidad de la v.a. Binomial
Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada
función de la distribución de Bernoulli (para n=1). Verificándose: 0  p  1
Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han
construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo.
Ver Tabla de la Función de Probabilidad de la Binomial
Parámetros de la Distribución Binomial
Función de Distribución de la v.a. Binomial
siendo k el mayor número entero menor o igual a xi.
Distribución Binomial
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-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la
probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.
El cálculo de las F(x) = P(X ≤ x) puede resultar laborioso, por ello se han
construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo.
Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución
binomial.
Distribución Binomial
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LUIS J. CASTILLO VÀSQUEZ
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Ejercicios de Distribución Binomial
1) Se lanza un par de dados cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que
la suma sea 9.
Para la distribución binomial: n=4
La probabilidad que aparezca 9, los sucesos son:
(4,5),(5,4),(3,6),(6,3)
p=4/36
q=32/36
P(x)=4C2(1/9)2(8/9)2=0,0585
2) Una máquina produce cierto tipo de piezas, de las cuales un promedio de
5% son defectuosas En una muestra aleatoria de cinco piezas. ¿Cuál es
probabilidad de obtener:
a. Exactamente una pieza defectuosa?
b. Por lo menos una pieza defectuosa?.
SOLUCIÓN:
Para la distribución binomial: n=5
p=0,05
a. P(x=1)=5C1(0,05)1(0,95)4=0,2036
b. P(x1)=1-P(x=0)=1-0,774=0,2262
3) En una población de drosophila, el 20% tienen mutación de las alas. Si
se escogen 6 moscas aleatoriamente de la población
a. ¿Cuál es la probabilidad de que dos tienen mutación?
b. Al menos uno tiene mutación?
c. ¿Qué menos de 5 tienen mutación?
d. ¿Cuál es el numero esperado de moscas con mutación?
SOLUCIÓN:
Para la distribución binomial: n=6
a. P(x=2)=6C2(0,2)4(0,8)2=0,393
Distribución Binomial
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p=0,2
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-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b. P(x1)=1-P(x=0)=1-0,262=0,738
c. P(x5)=P(x4)=1- P(x5)=1-0,002=0,998
c. E(x)=np=6(0,2)=1,2
4) Un tratamiento para cierta enfermedad produce una cura en 75% de los
casos. Se seleccionan 6 pacientes aleatoriamente ¿Cuál es la
probabilidad de que:
e. Todos están curados?
f. Ninguno está curado?
g. cuatro están curados?
h. Al menos cuatro están curados?
SOLUCIÓN:
Para la distribución binomial: n=6
p=0,75
a. P(x=6)=6C6(0,75)6(0,25)0=0,178
b. P(x=0)=6C0(0,75)0(0,25)6=0,0002
c. P(x=4)=6C4(0,75)4(0,25)2=0,2966
c. P(x4)=0,962
5) Sea x una variable aleatoria con distribución binomial, cuya media es 12
y varianza 4,8. Calcular:
a) Px>5]
b) P[5<x<10]
c) P[x10]
SOLUCIÓN:
Para E(x)=np
E (x )
=
np
Var(x)=npq

Var ( x )
npq
Luego
npq=4,8 
np
npq
=
12
si dividimos ambas expresiones:

q=
4 ,8
2 3
n     =4,8
5 5
Para la distribución binomial: p=0,6
a) P(x>5)=P(x6)=0,998
Distribución Binomial
- 10 -
2
5
n=20
n=20

p=
3
5
LUIS J. CASTILLO VÀSQUEZ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) P(5<x<10)=1-P(x10)-P(x5)=1-0,245-0,629=0,126
c) P(x10)=1-P(x10)=0,245
6) El 90 % de los tubos de ensayo soportan temperatura mayor que 80°C,
suponga que 10 de estos tubos se someten a una prueba a temperaturas
mayor de 80°C. Determine la probabilidad que 3 de estos queden
Inutilizables.
SOLUCIÓN:
Para la distribución binomial: n=10
p=0,1 (éxito: se inutilizan)
P(x=3)=10C3(0,1)3(0,9)7=0,0574
7) La probabilidad de fallar durante el vuelo para cada uno de los seis
motores de un avión es 0,0005. Suponiendo que los seis motores trabajan
independientes, determine la probabilidad que en un vuelo determinado:
i. No ocurra ninguna falla de motor.
ii. No ocurra mas de una falla.
iii. Ocurre exactamente dos fallas.
SOLUCIÓN:
Para la distribución binomial: n=6
p=0,9995
a. P(x=0)=6C0(0,9995)6(0,0005)0=0,997
b. P(x1)=P(x=0)+P(x=1)=0,997+0,0029=0,9999
c. P(x=2)=6C2(0,9995)4(0,00005)2=0,0037
8) Suponga que los motores de un avión de cierta marca, que operan
independientemente, tienen una probabilidad de falle de 0,1. Suponga que
un avión efectúa un vuelo exitoso si al menos la mitad de sus motores
operan normalmente, determine cuál avión, uno con cuatro y otro con seis
motores, tiene mayor probabilidad de efectuar un vuelo exitoso.
SOLUCIÓN:
Distribución Binomial
- 11 -
LUIS J. CASTILLO VÀSQUEZ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a. Para el primer caso, la distribución binomial: n=4
p=0,9
Puede volar con solo 2 motores:
P(x2)=0,0063
b. Para el segundo caso, la distribución binomial: n=6
p=0,9
Puede volar con solo 3 motores:
P(x3)=0,0083
El avión de 6 motores tiene mayor probabilidad de tener un vuelo
exitoso.
9) Cierto tubo de televisión tiene una probabilidad de 0,3 de funcionar más de
400 horas. Se prueban 15 tubos.
a. Hallar la probabilidad que exactamente 0, 4 o 9 de ellos funcionen más
de 400 horas.
b. ¿Cuántos tubos espera encontrar que funcionen por lo menos 400
horas?.
c. ¿Cuál es el número de tubos más probable que funcionan por lo menos
400 horas?.
SOLUCIÓN:
p=0,3 n=15 (Aproximación binomial)
a) P(x=0)=0,005
P(x=4)=0,219
P(x=9)=0,012
b) =np=0,3(15)=4,5
Se espera 5 tubos que funcionen por lo menos 400 horas.
b) =np=0,3(15)=4,5
Se espera 4 tubos que funcionen por lo menos 400 horas.
10) La probabilidad de hacer una venta de cierto vendedor es un intento es ½.
¿Cuál es la probabilidad de obtener:
a) Exactamente dos ventas en tres intentos de ventas consecutivas.
b) Por lo menos una venta en tres intentos de ventas consecutivas.
Distribución Binomial
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-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c) ¿Cuántos intentos de ventas consecutivas deben hacerse para obtener
una seguridad de 0,938 de obtener por lo menos una venta.
SOLUCIÓN:
a. Para el primer caso, la distribución binomial: n=3
P(x=2)=(0,5)3=3/8
b. P(x1)=1-P(x=1)=1-0,53=7/8
c. P(x1)=1-P(x=1)=0,938
1-0,938=(0,5)n
 nLn(0,5)=Ln(0,062)  n=4
Distribución Binomial
- 13 -
p=0,5