Solución a los Problemas de Sistemas de - Wiki 2010-11

SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS
DE SISTEMAS DE ECUACIONES
1. Encuentra dos números sabiendo que su suma es 50 y su diferencia es 10.
 x  y  50

 x  y  10
Reducción hace el trabajo:
Si sumamos las ecuaciones, obtenemos 2 x  60  x 
Y si las restamos, 2 y  40  x 
60
 30
2
40
 20 . Así que los números son 30 y 20.
2
2. Encuentra dos números sabiendo que su suma es 70 y su diferencia es 43.
Exactamente igual que el anterior:
113

2 x  113  x 
 66, 5
 x  y  70 
2



 x  y  43 2 y  27  y  27  13, 5

2
3. Encuentra dos números sabiendo que si le sumamos al doble del primero el triple
del segundo obtenemos 16, y que si le restamos el segundo al triple del primero
obtenemos 13.
2 x  3 y  16
Despejamos y en la segunda ecuación y sustituimos su valor en la

3x  y  13
primera:
y  3x  13  2 x  3 ·3x  13  16  2 x  9 x  39  16  11x  55 
55
x
 5  y  3 ·5  13  15  13  2
11
Los números son 2 y 5.
4. María tiene 15 euros más que Carmen. Si Carmen le diese 30 euros a María, ésta
tendría seis veces más dinero que ella. Calcula cuánto dinero tiene cada una
ahora.
Si llamamos x al dinero que tiene Carmen e y al de María, la primera ecuación
es sencilla: y  x  15
En este tipo de problemas la dificultad aparece cuando intentamos plasmar la
segunda condición en una ecuación. Normalmente los errores surgen si no
observamos bien qué sucede cuando el dinero cambia de manos. Es esencial
darse cuenta de que si Carmen le da 30 euros a María, María tendrá 30 euros
más, pero Carmen tendrá 30 euros menos. Es decir, que María tendría y + 30 y
Carmen x – 30. Solo falta escribir la condición “seis veces”:
y  30  6 ·x  30
Escribimos el sistema, fácil de resolver mediante igualación (por una vez):
 y  x  15
 y  x  15

 x  15  6 · x  30  30 

 y  30  6 · x  30  y  6 · x  30  30
225
 45  y  60
5
(Comprobación: al darle 30 euros Carmen a María, tendrían 15 y 90 euros, que
es el séxtuplo)
x  15  6 x  180  30  15  180  30  6 x  x  225  5 x  x 
5. Si Mario y Luigi hubiesen sumado sus edades en 1985 habrían obtenido como
resultado 53. Sabiendo que Luigi es un año mayor que Mario, ¿cuántos años
tiene cada uno?
Llamando l a la edad de Luigi y m a la de Mario, vemos que han pasado 26 años
desde 1985, así que:
l  m  1
l  m  1

REDUCCIÓN

 2l  106 

l  26  m  26  53 l  m  105
l
106
 53  m  l  1  52
2
6. El sábado compré 3 kg de manzanas y 4 de naranjas por un precio de 7,2 €. El
lunes compré 2 kg de manzanas y 6 de naranjas, en esta ocasión por 7,8 €.
Encuentra el precio del kilo de cada fruta.
Llamando x al precio del kg de manzanas e y al precio del kg de naranjas:
3x  4 y  7 , 2
3x  4 y  7 , 2
3x  4 y  7 , 2 RESTANDO



 



:2
·3
2 x  6 y  7 , 8
x  3 y  3, 9
3x  9 y  11, 7
5y  4,5  y 
4,5
 0 , 9 €  x  3 ·0 , 9  3 , 9  x  1, 2 €
5
7. En un rectángulo el perímetro es 26 cm, mientras que si lo doblamos por la
mitad del lado mayor obtenemos un rectángulo con perímetro 16 cm. Encuentra
las dimensiones del rectángulo.
Con el dibujo no hay más que comentar:
2 x  2 y  26
 y  10  2 x  10  16  2 x  6  x  3

2 x  y  16
8. En un instituto hay 500 alumnos. Si el 20 % de los chicos y el 10 % de las chicas
se diesen de baja, quedarían 426 alumnos. Calcula cuántos chicos y cuántas
chicas hay en el instituto.
Llamando x al número de alumnas e y al de alumnos, recordando que si
quitamos (por ejemplo) el 30 % de una cantidad nos queda el 70 %, y que el
modo más sencillo de calcular el 30 % es multiplicar por 0,3:
 x  y  500
Mediante sustitución: y  500 x 

0, 9 x  0 , 8 y  426
0 , 9 x  0 , 8 ·500  x   426  0 , 9 x  400  0 , 8 x  426 
0 ,1 x  26  x 
26
 260 alum nas, y  240 alum nos
0 ,1
9. Las dos cifras de un número suman 8. Si le diésemos la vuelta al número
obtendríamos un número 18 unidades inferior. Encuentra el número.
Para resolver este problema y el siguiente tenemos que darnos cuenta de que un
número de dos cifras se expresa como 10 x + y, porque la cifra de las decenas
tiene un valor multiplicado por 10. Si x es la cifra de las decenas e y la de las
unidades:
x  y  8
x  y  8
x  y  8



SUMANDO



:9
10y  x  10x  y  18 9 y  9 x  18
 y  x  2
6
 3 x  83  5
2
El número es 53.
2y  6  y 
10. La diferencia entre la cifra de las decenas y la cifra de las unidades de un
número de dos dígitos es 3, y si cambiamos las cifras de orden, obtenemos un
número 27 unidades menor. Encuéntralo.
x  y  3
x  y  3
x  y  3



SUMANDO



:9
10
y

x

10
x

y

27
9
y

9
x


27
y

x


3



0  0 !?
¿Qué ha sucedido? Las condiciones del problema nos han llevado a un sistema
compatible indeterminado, es decir, con infinitas soluciones (aunque debido a
que el problema trata de números de dos cifras, solamente sirven en las que
aparecen dígitos). Así que los números 30, 41, 52, 63, 74, 85, 96 sirven como
solución del problema.
Para entender mejor lo que ha sucedido, escribamos algebraicamente los
números con la cifra de las decenas 3 unidades mayor que la de las unidades:
10· x  x  3  10x  x  3  11x  3
Dándole la vuelta:
10·x  3  x  10x  30  x  11x  30
Y el segundo número siempre es 27 unidades menor:
11x  3  11x  30  11x  3  11x  30  27
11. Dos motoristas van a realizar un viaje de 560 km. El 2º va 10 km/h más rápido
que el primero, y tarda una hora menos. Calcula sus velocidades.
Aunque a simple vista las velocidades son las incógnitas de este problema,
leyendo mejor vemos que necesitamos tener en cuenta los tiempos que tardan
los motoristas. Además la relación entre las dos velocidades es muy sencilla, y
también la relación entre los dos tiempos. Necesitamos también considerar la
relación entre velocidad, espacio y tiempo. Llamando v y t a la velocidad y el
tiempo del primer motorista:
Utilizando
vt  560
vt  560
vt  560
560

que
vt



v  10·t  1  560 vt  v  10t  10  560
560  v  10t  10  560
vt  560
N
SUSTITUCIÓ
  
 v  10t  10  10t  10·t  560  10t 2  10t  560 

10
t

v

10

10t  10t  560  0  t  t  56  0  t 
2
2
  1 
 12  4 ·1· 56
1  15 16

8
1  1  224 1  225 1  15
2
2



1  15  14
2
2
2

 7
2
2
2 ·1

La solución negativa es absurda, así que, si t = 8 horas, v 
560
 70 km / h . La
8
velocidad del 2º motorista es 80 km/h.
12. El perímetro de un triángulo rectángulo es 48 cm. y su hipotenusa mide 20 cm.
Calcula la longitud de los catetos.
La ecuación que surge de la condición del perímetro es muy sencilla, y para
obtener otra ecuación hacemos lo habitual, invocar el Teorema de Pitágoras:
 x  y  20  48  x  y  28
2
N
 2
SUSTITUCIÓ
  
 y  28  x  x 2  28  x   400 
 2
2
2
2
 x  y  20
 x  y  400
x 2  784  56x  x 2  400  2 x 2  56x  384  0  x 2  28x  192  0 
x
  28 
 282  4 ·1·192
2 ·1
28  16 28  4


2
2

28  784  768

2
28  4 32

 16
2
2
28  4 24

 12
2
2
Si x vale 16, y vale 12, y si x vale 12, y vale 16, así que en realidad hay una
única solución al problema.
13. Un alumno obtuvo un 6,4 en Matemáticas. Los exámenes cuentan el 80 % de la
nota, y el trabajo diario un 20 %. Sabiendo que entre los exámenes y el trabajo
diario suma 14 puntos, calcula cuánto obtuvo en cada apartado.
Como habré explicado trescientas veces el método de calificación en
Matemáticas, solamente mencionaré que llamo x a la nota de los exámenes e y a
la nota del trabajo diario:
 x  y  14
 x  y  14
REDUCCIÓN




0 , 8 x  0 , 2 y  6 , 4
0 , 8 x  0 , 2 y  6 , 4
0 , 2 x  0 , 2 y  2 ,8 RESTANDO
3, 6
  0 , 6 x  3 , 6  x 
 6  y  14  6  8

0,6
0 , 8 x  0 , 2 y  6 , 4