RESPUESTA EN FRECUENCIA

RESPUESTA EN FRECUENCIA
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA O FUNCIÓN DE RED
Frecuentemente para los circuitos se definen un puerto de salida, donde se
conecta la carga, y un puerto de entrada, donde se conecta la fuente de C.A.
La función de transferencia o función de red es el cociente entre una variable
circuital (voltaje o corriente) en la salida y a una variable circuital (voltaje o
corriente) en la entrada, en el dominio de la frecuencia:
H( f ) 
Variable de salida ( f )
Variable de entrada( f )
Entre las funciones de transferencia más comúnmente utilizadas están:
Función de transferencia de voltaje
HV ( f ) 
Función de transferencia de corriente
Vsal ( f )
Vent ( f )
HI ( f ) 
Función de transferencia de potencia
HP( f ) 
Psal ( f )
Pent ( f )
I sal ( f )
I ent ( f )
Impedancia de transferencia
HZ ( f ) 
Vsal ( f )
I ent ( f )
Ganancia y desplazamiento de fase
La función de transferencia de voltaje o de corriente se pueden expresar en forma
polar como
H ( f )  H ( f ) e j argH ( f )   H ( f ) e j ( f )  H ( f )  ( f )
A H ( f ) se le denomina la ganancia (de voltaje o de corriente), mientras que a
 ( f ) se le denomina desplazamiento de fase.
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Obtención de la respuesta de frecuencia o función de transferencia
1. Se define la variable de frecuencia compleja s = j.
2. Se transforma el circuito al dominio de la frecuencia compleja s, con ZL = sL
para los inductores y ZC = 1/(sC) para los condensadores.
3. Se determina la función de transferencia en el dominio de s, H(s), aplicando
el análisis de circuitos en RSP.
4. Se expresa H(s) en la forma de un cociente de polinomios:
H (s) 
N (s)
D(s)
5. Se determinan las raíces reales del polinomio del numerador N(s) y del
polinomio del denominador D(s) (ceros y polos de H(s), respectivamente) y
se expresa H(s) como un cociente de factores.
6. Se obtiene la expresión para H() en el dominio de , haciendo s = j.
7. Se analiza la contribución de cada factor a la respuesta en frecuencia
(magnitud y fase) y se construye la respuesta en frecuencia conjunta H()
(magnitud y fase).
DIAGRAMAS DE BODE
Los diagramas de Bode son las gráficas semilogarítmicas de la respuesta de
amplitud (ganancia) y respuesta de fase correspondientes a una respuesta en
frecuencia o función de transferencia.
La frecuencia se grafica en escala logarítmica para poder observar una mayor
gama de frecuencias, o espectro de frecuencias.
Para graficar la amplitud (ganancia) se define el decibel (dB):
 P (f)

Ganancia (dB)  10 log  sal
de potencia
P
(
f
)
 ent

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A continuación se presenta una tabla de valores notables de ganancias de
potencia en dB para diversos cocientes Psal ( f ) / Pent ( f ) .
Psal ( f ) / Pent ( f )
Ganancia (dB)
1
0
1/2
3,01 (3)
2
3,01 (3)
1/10
10
10
10
Aplicando propiedades de los logaritmos es sencillo en muchos casos determinar
cuál es la ganancia en dB para un cociente determinado de potencias, o
viceversa, como en los siguientes ejemplos:
- Como 20=2.10, la ganancia de potencia en dB correspondiente a una
ganancia de potencia de 20 aproximadamente es 3 dB + 10 dB =13 dB.
- Una ganancia de potencia de 24 dB = 8.(3 dB) corresponde aproximadamente
a una ganancia de potencia de 28 = 256, y también corresponde a 250=103/22
porque 24 dB = 3.(10 dB) – 2.(3 dB).
También se define el decibel para la ganancia de voltaje y corriente:
Ganancia(dB)  20 log HV ( f )
Ganancia (dB)  20 log H I ( f )
de corriente
de voltaje
A continuación se presenta una tabla de valores notables de ganancias en dB para
diversos valores de H ( f ) (aplica a voltajes y corrientes).
H( f )
Ganancia (dB)
1
0
2
3,01 (3)
2 2
3,01 (3)
1/10
10
20
20
Aplicando propiedades de los logaritmos es sencillo en muchos casos determinar
cuál es la ganancia en dB para un valor determinado de H ( f ) , o viceversa,
como en los siguientes ejemplos:
- Como 100 dB=5.(20 dB), la ganancia de voltaje típica en DC de un OPAMP
en lazo abierto (100 dB) corresponde a 105.
- Una ganancia de corriente de 1 / 8   2 
6
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corresponde a –6.(3 dB) = –18 dB.
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DIAGRAMAS DE BODE DE UNA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ESTÁNDAR
La función de transferencia estándar está factorizada:
P
H ( )  K
 N p ( )
p 1
Q
 Dq ( )
q 1
donde  denota una productoria, Np() es cada uno de los P factores del
numerador, y Dp() es cada uno de los Q factores del denominador.
Entonces:
20 log H ( )  20 log K 
arg H ( )  arg K  
P
Q
p 1
q 1
 20 log N p ( )   20 log Dq ( )
P
Q
p 1
q 1
 argN p ( )   argDq ( )
De acuerdo con esto, para elaborar el diagrama de Bode de amplitud o de fase de
una función de transferencia factorizada basta con elaborar los diagramas de
Bode individuales de cada factor y luego sumarlos algebraicamente.
Existen cinco tipos de factores en H(), tres asociados a raíces reales y dos
asociados a raíces complejas conjugadas:
1. Factor con cero de multiplicidad kp (raíz en el numerador):
 
N p ( )  1  j /  p
k
p
2. Factor con polo de multiplicidad kq (raíz en el denominador):
 
Dq ( )  1  j / q
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k
q
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3. Cero o polo de multiplicidad k en el origen:
N p ( )   j k ó Dq ( )   j k
4. Factor de multiplicidad kp con ceros complejos conjugados:


 
N p ()  1  2 p j /  p  j /  p
2 k
p
5. Factor de multiplicidad kq con polos complejos conjugados:


 
Dq ()  1  2 q j / q  j / q
2 k
q
Diagramas de Bode de un cero


Sea N p ( )  1   j /  p  k p
Entonces:
 
20 log N p ( )  10 k p log 1   /  p



2 

arg N p ( )  k p tan 1  /  p   N p ( )
Respuesta de amplitud asintótica
 Para    p (    p /10 ) se tiene 20 log N p ( )  0 dB. Esto
corresponde a una asíntota horizontal.
 Para    p se tiene 20 log N p ( )  3k p dB (punto de corte)
 Para    p (   10 p ) se tiene 20 log N p ( )  20k p log(  /  p )
dB. Esto corresponde en la gráfica semilogarítmica a una recta de
pendiente 20kp dB/década que parte de    p .
Respuesta de fase asintótica
 Para    p (    p /10 ) se tiene  N p ( )  0o . Esto corresponde a
una asíntota horizontal.
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 Para    p se tiene  N p ( )  45k p grados (punto de corte).
 Para    p (   10 p ) se tiene  N p ( )  90 k p grados, que también
corresponde a una asíntota horizontal.
 Al unir mediante una recta los puntos ( p / 10, 0 o ) y (10 p , 90k p o ) en
la gráfica semilogarítmica, dicha recta tiene una pendiente positiva de
45k p o /década.
En las siguientes figuras se muestras los diagramas de Bode asintóticos de
ganancia y desplazamiento de fase para un cero doble.
Ganancia (dB)
Desplazamiento de fase (grados)
Diagramas de Bode de un polo


Sea Dq ( )  1   j / q  k q .
Se tiene:
 
 20 log Dq ( )  10 kq log 1   / q



2 

 arg Dq ( )  kq tan 1  / q  Dq ( )
Respuesta de amplitud asintótica
 Para    p (    p /10 ) se tiene  20 log Dq ( )  0 dB. Esto
corresponde a una asíntota horizontal.
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 Para    p se tiene  20 log Dq ( )  3k p dB (punto de corte)
 Para    p (   10 p ) se tiene  20 log Dq ( )  20k p log(  /  p )
dB. Esto corresponde en la gráfica semilogarítmica a una recta de
pendiente 20kq dB/década que parte de    p .
Respuesta de fase asintótica
 Para    p (    p /10 ) se tiene  Dq ( )  0o . Esto corresponde a
una asíntota horizontal.
 Para    p se tiene   Dq ( )  45k q grados (punto de corte).
 Para    p (   10 p ) se tiene   Dq ( )  90k q grados, que
también corresponde a una asíntota horizontal.
 Al unir mediante una recta los puntos ( q / 10, 0 o ) y (10q ,  90k q o )
en la gráfica semilogarítmica, dicha recta tiene una pendiente negativa
de  45k q o /década.
En las siguientes figuras se muestras los diagramas de Bode asintóticos de
ganancia y desplazamiento de fase para un polo simple.
Ganancia (dB)
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Desplazamiento de fase (grados)
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Diagramas de Bode de un cero o polo en el origen
Sea N p ( )   j k p ó Dq ( )   j k q .
Se tiene:
 20 log Dq ( )  20 k q log 
20 log N p ( )  20 k p log 


arg N p ( )  k p 90   N p ( )


 arg Dq ( )  k q 90   Dq ( )
De acuerdo con esto, al cero en el origen le corresponde una respuesta de
fase constante, y una respuesta de magnitud que consiste en una recta con
pendiente positiva 20kp dB/década y que pasa por el punto (1, 0 dB),
mientras que al polo en el origen le corresponde también una respuesta de
fase constante, y una respuesta de magnitud que consiste en una recta con
pendiente negativa 20kp dB/década y que pasa por el punto (1, 0 dB).
En la siguiente figura se muestran los diagramas de Bode de magnitud
para un cero doble y un polo triple. A diferencia de los correspondientes a
ceros y polos que no están en el origen, los diagramas mostrados son
exactos (no hay aproximaciones involucradas).
Cero doble
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Polo triple
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