¿Cuál es la solución? Escuela: Profr.(a): Curso:

¿Cuál es la solución?
Plan de clase (1/4)
Escuela: _____________________________________ Fecha: __________
Profr.(a): ______________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Secundaria
Eje temático:
SNyPA
Contenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y
resolverlas usando la factorización.
Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que tienen
asociadas ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0.
Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas. Para
ello planteen y resuelvan la ecuación que corresponda.
1. El área de un cuadrado es igual a 8 veces la medida de su lado. ¿Cuánto
mide por lado el cuadrado?
2. Calcular el lado de un cuadrado, sabiendo que el triple de su área es igual a
21 veces la longitud del lado.
3. El triple del área de un cuadrado menos seis veces la medida de su lado es
igual a cero. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado?
Consideraciones previas:
En el primer caso se espera que los alumnos escriban la ecuación x 2  8x ;
luego, es muy probable que vayan probando con diferentes números hasta
encontrar el valor de x que cumple con las condiciones del problema, que en
este caso es 8.
Puede ocurrir que en la ecuación x 2  8x , algunos alumnos hagan lo siguiente:
x 2  8x
x 2 8x

x
x
x8
En este caso, es importante señalar que la división entre x se puede realizar
sólo si se sabe que x ≠ 0. Haga notar que 0 es una solución de la ecuación
(pues 02 = 8 0), y que otra (la distinta de cero) es 8.
Quizás algunos igualen a cero y obtengan lo siguiente:
x 2  8x  0
Si esto sucede, se recomienda ayudarles a ver que el primer miembro de la
ecuación se puede factorizar como:
x(x – 8)
Como este producto es igual a cero, alguno de los dos factores debe ser cero.
De manera que:
x = 0,
o bien,
x–8=0
x=8
De estas dos soluciones (0 y 8), la que cumple con las condiciones del
problema es 8.
Esta última manera de encontrar una de las soluciones de la ecuación es el
método de factorización para resolver ecuaciones cuadráticas de una incógnita.
Las ecuaciones correspondientes a los otros dos problemas también pueden
resolverse mediante este método. Sin embargo, se recomienda que primero
permita a los estudiantes usar sus propios métodos y que introduzca el método
cuando usted lo considere conveniente en esta sesión.
Al igual que con la ecuación del primer problema, es probable que algunos
encuentren la solución al segundo problema mediante ensayo y error. Otros
podrían dividir ambos miembros primero por 3 y luego por x, y encontrar que
x = 7. Si es el caso, nuevamente, señale que la división entre x se puede realizar
sólo si se sabe que x ≠ 0. Haga notar que 0 es una solución de la ecuación y que
otra (la distinta de cero) es 7.
Finalmente, la ecuación correspondiente al último problema es:
3x 2  6 x  0
Una vez que han planteado la ecuación correctamente, pedirles que expresen
a 3x2 – 6x como el producto de dos factores. En esta parte es muy probable
que lleguen a cualquiera de las siguientes ecuaciones equivalentes:
x(3x – 6)=0
o
3x(x – 2)=0
Luego, que encuentren que los valores de x, los cuales son 0 y 2.
Para estos dos últimos problemas el contexto obliga a eliminar la solución igual
a cero.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de
clase?
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de
uso para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Camino inverso
Plan de clase (2/4)
Escuela: _____________________________________ Fecha: __________
Profr.(a): ______________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Secundaria
Eje temático:
SN y PA
Contenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y
resolverlas usando la factorización.
Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización para resolver
problemas que implican ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0
Consigna. En equipos planteen una ecuación que les permita resolver el
siguiente problema:
La edad de Luis multiplicada por la de su hermano, que es un año mayor, da
como resultado cinco veces la edad del primero. ¿Cuáles son las edades de
Luis y de su hermano?
Consideraciones previas:
Se espera que los alumnos planteen la ecuación: x(x+1) = 5x
Una vez que hayan planteado la ecuación y traten de despejar x, es probable
que lleguen a cualquiera de las siguientes ecuaciones:
x2 – 4x = 0
o
x2 = 4x
En esta sesión se recomienda promover el uso del método de factorización; así
que si la ecuación obtenida no está igualada a cero, se sugiere pedir a sus
alumnos que lo hagan.
Una vez con la ecuación igualada a cero, hay que ayudar a factorizar el primer
miembro de la ecuación, obteniendo
x(x – 4) = 0
Como este producto es igual a cero, alguno de de los dos factores debe ser
cero. De manera que:
x = 0,
o bien,
x–4=0
Por lo tanto, los valores para x son 0 y 4.
No olvidar que es necesario recuperar el contexto del problema para
determinar cuál es su solución.
Con la finalidad de que los alumnos se familiaricen con esta técnica que
consiste en factorizar la ecuación para encontrar las soluciones, hay que
plantearles muchos otros problemas como el siguiente:

El cuadrado de un número es igual al triple del mismo número. ¿Cuál es
ese número?
También se les puede pedir que resuelvan algunas ecuaciones como las
siguientes:
a) x(x+2) = 4x
b) 2x(x+1) = 0
c) 2x2 – 4x = 0
Es importante que los alumnos verifiquen las dos soluciones de cada ecuación
sustituyendo los valores que obtienen en cada una.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de
clase?
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de
uso para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
En busca de dos factores
Plan de clase (3/4)
Escuela: _____________________________________ Fecha: __________
Profr.(a): ______________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Secundaria
Eje temático:
SNyPA
Contenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y
resolverlas usando la factorización.
Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización para resolver
problemas que implican ecuaciones de la forma ax2 + bx + c =0.
Consigna. En equipo, contesten las preguntas sobre el siguiente problema:
A un cuadrado (fig. A) se le aumenta cierta longitud de largo y otra de ancho,
con lo que se forma un rectángulo (fig. B).
fig. A
fig. B
x
x
a) Si el área del rectángulo de la figura B, es x2 + 9x + 18, ¿cuántos
centímetros se aumentó de largo y cuántos de ancho al cuadrado de lado
x?
b) Si el área del rectángulo de la figura B es igual a 40 cm2, ¿cuántos
centímetros mide de largo y cuántos centímetros mide de ancho el
rectángulo?, ¿cuánto mide el lado del cuadrado de la figura A?
Consideraciones previas:
Aunque ya se ha trabajado la factorización de expresiones algebraicas, en esta
sesión se divide la tarea en dos partes: en el inciso (a) se pide la factorización
de la expresión algebraica, en el inciso (b) se soluciona la ecuación cuadrática
correspondiente.
En la solución del inciso (a), es recomendable recordar a los alumnos la técnica
para factorizar expresiones de la forma ax2 + bx + c que dice:
Para encontrar los términos no comunes basta con descomponer el
tercer término en dos factores tales que, sumados den el coeficiente del
segundo término y su multiplicación sea el tercer término del trinomio.
Por tanto, al factorizar, los alumnos deberán llegar a ( x  6)(x  3) y determinar
que se le aumentó 6 cm de largo y 3 cm de ancho, o bien, 3 cm de largo y 6 cm
de ancho.
Para responder el inciso (b), se espera que los alumnos primero establezcan la
ecuación:
x 2  9 x  18  40
Luego igualen a cero:
x2 + 9x – 22 = 0
Y, finalmente, factoricen para obtener:
( x  11)(x  2)  0
Al llegar a esta forma hay que ayudarles a ver que cada uno de los binomios se
puede igualar a cero y se despejan las incógnitas, con lo cual se obtienen las
dos soluciones de la ecuación: x1 = −11 y x2 = 2. Como no hay longitudes
negativas, entonces el valor de x que satisface el problema es 2. Por lo tanto,
las dimensiones del rectángulo son 8 cm de largo por 5 cm de ancho, y el
cuadrado mide 2 cm de lado.
Sin embargo, es probable que algunos alumnos establezcan la ecuación:
( x  6)(x  3)  40
Y luego, por ensayo y error, determinen el valor de x. Si esto sucede,
sugiérales que primero igualen a cero y después factoricen, siguiendo así el
método de factorización.
Para consolidar lo aprendido hay que plantear muchos otros problemas. Por
ejemplo:
a) ¿Cuántos metros mide por lado el siguiente cuadrado?
A = 100 m2
x+5
x+5
c) ¿Cuánto miden la base y la altura del siguiente paralelogramo?
A = 48 cm2
x+8
x
c) ¿Cuáles son las dimensiones del siguiente rectángulo?
x2 + 6x + 8 = 35 cm2
Es importante que los alumnos decidan si las dos soluciones encontradas para
las ecuaciones cuadráticas correspondientes son adecuadas en términos del
contexto de cada problema.
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de
clase?
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de
uso para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
Los factores importan
Plan de clase (4/4)
Escuela: _____________________________________ Fecha: __________
Profr.(a): ______________________________________________________
Curso: Matemáticas 3 Secundaria
Eje temático:
SNyPA
Contenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y
resolverlas usando la factorización.
Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización para resolver
problemas y ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0.
Consigna. En equipos, resuelvan el siguiente problema. Para hacerlo planteen
una ecuación cuadrática y resuélvanla mediante factorización.
Al desarmar las piezas que forman el marco de una fotografía y
colocarlas alineadamente, como se muestra en el dibujo, se forma un
rectángulo cuya área es 72 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del
rectángulo que se forma?
6
8
x
x
Consideraciones previas:
Al relacionar los datos del problema, se espera que los alumnos formulen una
ecuación equivalente a:
x(28 + 4x) = 72
Se recomienda revisar grupalmente la ecuación obtenida. Se espera que, sin
dificultad, eliminen paréntesis y obtengan:
4 x 2  28x  72
También se les puede preguntar: ¿qué se puede hacer para simplificar la
ecuación? Habrá que dejarlos que den sus planteamientos. La reflexión deberá
estar enfocada en la posibilidad de reducir el coeficiente de x2 a 1.
En este caso, una posibilidad es dividir toda la ecuación entre 4, así se obtiene:
x 2  7 x  18
Una vez que se tiene esta ecuación se puede igualar a cero y factorizar:
x2 + 7x – 18 = 0
(x + 9)(x – 2) = 0
A partir de aquí se obtienen las soluciones:
x1 = −9
x2 = 2
Como no hay longitudes negativas, entonces el valor de x que satisface el
problema es 2. Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo que se forma con
las ocho piezas es 36 cm de largo por 2 cm de ancho.
Es conveniente apoyar a los estudiantes en resolver las dudas que se
presenten. Si es necesario, se explicarán los pasos del método de
factorización.
Para consolidar esta técnica se puede proponer que resuelvan por factorización
ecuaciones como las siguientes:
a) 4x2 + 6x = 0
b) 5x2 + 10x = 0
c) x2 + 4x = 7x
d) x2 + 6x + 8 = 0
e) m2 + 10m + 21 = 0
f) n2 – 6 = −n
g) x2 −10x + 25 = 0
h) x2 = −6x − 9
i) 12x +36 = −x2
También es muy importante que presente el siguiente tipo de problemas.
Encuentren una ecuación cuyas soluciones sean:
a) x1 = 3, x2 = −1
b) x1 = 5, x2 = 7
c) x1 = -4, x2 = −1
d) x1 = −4, x2 = 3
Observaciones posteriores:
1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?
__________________________________________________________
__________________________________________________________
2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de
clase?
__________________________________________________________
__________________________________________________________
3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de
uso para usted.
Muy útil
Útil
Uso limitado
Pobre
14/15