C-1 LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de padre del análisis moderno. El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto (a,b), como lo muestra la figura 1. b a Figura 1. Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para funciones de n variables es análogo. Primero definimos el análogo a un intervalo abierto de R. Definición de Disco de radio y centro P Un disco D(P, ) abierto, o simplemente un disco, de radio y centro en P = (a,b) es el conjunto de todos los puntos (x,y) tales que su distancia a (a,b) es menor que , es decir: D(P, = (x,y) R2 tal que (1) C-2 Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un obtenemos un disco cerrado. Definición de Limite de una función Sea f : D((a,b), ) R2 R una función de dos variables definida en el disco abierto D((a,b), ), excepto posiblemente en (a,b). Entonces Si y solo si para cada existe un correspondiente tal que , siempre que 0 Observación : gráficamente, esta definición significa que para un punto (x,y) ≠ (a,b), cualquiera (x,y) D((a,b), ), el valor de f(x,y) está entre L + y L - , como se ilustra en la figura Como ya mencionamos, cuando escribimos que (x,y) entendemos que el punto (x,y) se aproxima al punto (a,b) en cualquier dirección. Si el valor de C-3 no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a (a,b), entonces el límite no existe (ver ejemplo 1). Hay muchas maneras de cómo acercarse al punto (a,b), puede ser a través de rectas, parábolas, cubicas, etc. El caso más sencillo a probar es acercarse al origen por una recta de pendiente m. Propiedades de límites de funciones de dos variables Las reglas siguientes se cumplen si L, M y K son números reales y y 1) Regla de Suma: 2) Regla de la Diferencia: 3) Regla del Producto: 4) Regla de Multiplicación por una Constante: (K es cualquier número) 5) Regla del Cociente: , M≠0 6) Regla de la Potencia: si r y s son enteros no comunes, y s ≠ 0, entonces: Siempre que que L ) sea un número real. (Si s es incluso, nosotros asumiremos Ejemplo 1 Compruebe que el siguiente límite no existe C-4 Solución El dominio de esta función es D = R2 – existe, consideramos dos trayectorias punto (0,0). . Para comprobar que le límite no diferentes de acercamiento al Sobre el eje X (y = 0) cada punto es de la forma (x,0) y el límite en esta dirección es: = = Sobre la trayectoria y=x cada punto es de la forma (x,x) y el límite en esta dirección es = = Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en (0,0) existen puntos (x,y) en los cuales f vale 1/2 y 0 . Luego f no puede tener límite cuando (x,y) (0,0). Observación: en el ejemplo 1 pudimos concluir que el límite no existe porque encontramos dos caminos que conducen a límites diferentes. Sin embargo, aunque los dos caminos hubieran llevado al mismo límite, no podemos concluir que el límite existe. Para llegar a tal conclusión, debemos demostrar que el límite es el mismo para toda posible trayectoria. Esta tarea no es simple y requiere el uso de la definición misma, como muestra en siguiente ejemplo. Ejemplo 2 Compruebe que : =0 Solución C-5 La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este caso, pues aunque el límite dé cero a través de muchas trayectorias esto no demuestra que este sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite existe. Sea , queremos encontrar un tal que siempre que 0 Es decir: siempre que 0 Como: =3 Por consiguiente, si elegimos a , entonces Por consiguiente, por la definición: =0 Recordatorio sobre las propiedades del valor absoluto (1) (2) (3) (4) C-6 Ejemplo 3 Usar la definición de límite para demostrar que Solución El primer requisito de la definición es que 2x + 3y debe estar definido en algún disco abierto que tenga centro en el punto (1,3), excepto posiblemente en (1,3). Como 2x + 3y está definida en cada punto (x,y), entonces cualquier disco abierto centrado en (1,3) satisfará este requisito. Ahora, debe demostrarse que para cualquier existe un tal que: Si 0 , entonces De la desigualdad, Debido que: y Se deduce que: Si entonces 2 Esta proposición muestra que una elección adecuada para es, 0 . Con esta se tiene el argumento siguiente: y es 5 , esto C-7 2 De este modo, se ha probado que para cualquier que la proposición 0 se elige a fin de , entonces Sea verdadera. Esto demuestra que: Ejemplo 4 Calcule el límite siguiente: Solución Evaluando da: =1 Ejemplo 5 Calcule el límite siguiente: Solución Evaluando dá: la cual es una indeterminación, entonces factorizando el denominador, recordando que: A3 - B3 = (A – B)(A2 + AB + B2), luego: C-8 Ejemplo 6 Calcule el límite siguiente: Solución Evaluando dá: la cual es una indeterminación, entonces racionalizando el denominador, nos queda: = = = =2+2=4 Ejemplo 7 Calcule el límite siguiente: Solución Sean (r, ) las coordenadas polares del punto (x,y) y sean (r,θ,z) las coordenadas cilíndricas del punto (x,y,z). Entonces debemos tener presente que en coordenadas polares y en coordenadas cilíndricas: Polares Cilíndricas x = r.cosθ x= y = r.senθ y= r2 = x2 + y2 z= = x2 + y2 + z2 C-9 Evaluando dá: la cual es una indeterminación, luego usando coordenadas polares, cuando (x,y) (0,0) entonces r , luego el 0 Pues, para cualquier valor de Ejemplo 8 Estudie la existencia del siguiente límite: Solución Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0, tenemos: = Usando como trayectoria la parábola y=x2, luego tenemos que: Esto nos podría llevar a concluir que el límite existe y es cero, pues las rectas y la parábola que pasan por el origen son una infinidad de trayectorias. Pero observe que al usar la trayectoria y = x3, obtenemos: Por tanto, el límite no existe. Ejemplo 9 C-10 Calcule el siguiente límite: Solución Evaluando dá: la cual es una indeterminación, entonces factorizando el numerador, nos queda: = = (o)2 - (0)2 = 0 Ejemplo 10 Calcule el siguiente límite: Solución Evaluando dá: la cual es una indeterminación, entonces racionalizando el denominador, nos queda: = = Ejemplo 11 Aplicando la definición de límite, demostrar que: Solución Para cualquier existe un tal que: Siempre que 0 , o sea C-11 Siempre que 0 Siempre que 0 Siempre que 0 Desde tenemos que: Si escogemos y deje 0 , obtendremos que: Esto demuestra que: RECORDATORIO DE LÍMITES NOTABLES DE UNA VARIABLE Y ALGUNAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS A) LIMITES NOTABLES B) LIMITES TRIGONOMÉTRICOS (LIMITES NOTABLES) 1) , al igual que C-12 2) , al igual que 3) 4) , , al igual que al igual que 5) al igual que al igual que 7) 8) 9) ALGUNAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS sen(2u) = 2sen(u).cos(u) cos(2u) = cos2(u) – sen2(u) = C-13 1 + tg2(u) = sec2(u) tg(2u) = 1 + ctg2(u) = csc2(u) sen(u • (u tg(u EJERCICIOS PROPUESTOS 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) (Trabajo) 8) 9) 10) (Trabajo) C-14 11) 12) 13) 14) Usar coordenadas esféricas para encontrar el limite. (Sugerencia: tomar: x= y= z= = x2 + y2 + z2 Observar que (x,y,z) (0,0,0) es equivalente a ) DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE n VARIABLES. Suponiendo que f es una función de n variables y que A es un punto de Rn. Se dice que f es continua en el punto A si y solo si se satisfacen las tres condiciones siguientes: (i) (ii) (iii) DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES C-15 Una función f(x,y) es continua en el punto (a,b) si: (i) f está definida en (a,b), es decir f(a,b) Existe (ii) (iii) Una función es continua si es continua en cada punto de su dominio. La definición de continuidad para funciones de dos variables, pueden extenderse a funciones de tres o mas variables. Ejemplo 1 Determine si la función g es continua en (0,0), si si (x,y) ≠ (0,0) g(x,y) = 2 si (x,y) = (0,0) Solución (i) . Por tanto, se cumple la primera condición. (ii) Veremos si , para ello calculemos el límite: , evaluando da: Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0, tenemos: C-16 Usando como trayectoria la parábola y=x2, luego tenemos que: Por tanto, podemos concluir que g es continua en el punto (0,0), ya que cumple con las tres condiciones de continuidad. Ejemplo 2 Determine si la función h es continua en (0,0), si si (x,y) ≠ (0,0) h(x,y) = 0 si (x,y) = (0,0) Solución (i) . Por tanto, se cumple la primera condición. (ii) Veremos si , para ello calculemos el límite: , evaluando da: Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0, tenemos: C-17 ya podemos concluir que el limite no existe porque el limite quedo en función de m, sin embargo vamos a usar otra trayectoria de acercamiento al punto (0,0), para verificar que el limite no existe. Usando como trayectoria la parábola y=x2, luego tenemos que: Si una función f de dos variables es discontinua en un punto (a,b) pero , entonces se dice que f tiene una discontinuidad removible (o eliminable) en (a,b) debido a que si se redefine f en (a,b) de modo que: Entonces la nueva función es continua en (a,b). Si una discontinuidad no es removible, entonces de denomina discontinuidad esencial. EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Analizar la continuidad de la función siguiente: (Trabajo) C-18 si (x,y) ≠ (0,0) f(x,y) = 1 si (x,y) = (0,0) 2) En los ejercicios (2.1) a (2.4) la función es discontinua en el origen debido a que f(0,0) no existe. Determine si la discontinuidad es removible o esencial. Si la discontinuidad es removible redefina f(0,0) de modo que la nueva función sea continua en (0,0). (2.1) (2.2) (2.3) (2.4)