FUNCIÓN CUADRÁTICA- ECUACIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA. ECUACIÓN CUADRÁTICA
 La función cuadrática
 La función f ( x)  x 2
 La función f ( x)  ax2
 Crecimiento, decrecimiento, mínimo o máximo.
 Desplazamiento de f ( x)  x 2
 Desplazamiento vertical
 Desplazamiento horizontal
 Desplazamiento vertical y horizontal
 Raíces de la función cuadrática
 Ecuaciones cuadráticas





Si el término lineal es nulo
Si el término independiente es nulo
Si la ecuación es completa: fórmula resolvente
Tipo de soluciones de una ecuación cuadrática
Discriminante
 Construcción del gráfico
 Forma factorizada y forma canónica de la función cuadrática
 Problemas de máximos y mínimos
 Propiedades de las raíces de una función cuadrática
 Sistemas de dos ecuaciones: lineal - cuadrática y cuadrática - cuadrática
 Inecuaciones cuadráticas. Intervalos de positividad y de negatividad
FUNCIÓN CUADRÁTICA .ECUACIÓN CUADRÁTICA
1) Dadas las siguientes funciones:
f ( x)  2 x  3  52 x  3  8 x3  2 x 
2
g  x   4 x 2  3 x  6   2 x  3  5 x  8
2
h x   6 x  3 x x  5  2 x  13  x   6
i  x   2 x  1  2 x x  2   5
2
j  x   52  x  x  2   3 x  1 x  2   2 x 2
k  x   3 x  1 x  2    x  4 
2
Determina cuáles son cuadráticas. Especifica: coeficiente cuadrático, coeficiente lineal y término
independiente
2) Para cada una de las siguientes funciones:
f ( x)  3x 2
1
g ( x)   x 2
5
a) Especifica los coeficientes a, b y c
b) Sin graficar, indica: hacia dónde se dirigen las ramas, conjunto Imagen, intervalos de crecimiento,
intervalos de decrecimiento y si presenta máximo o mínimo.
3) La función f ( x)  x 2 se desplaza:
o 3 unidades hacia arriba
o 2,5 unidades hacia la izquierda
o 1,5 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha.
a) Determina la fórmula de la función correspondiente a cada desplazamiento.
b) Expresa cada fórmula en forma polinómica.
4) Dadas las fórmulas:
2
g ( x )   x  5
t ( x)  x 2  2,5
h( x )   x  4  
2
7
2
a) Exprésalas en forma polinómica.
b) Determina cuál fue el desplazamiento aplicado a la función f ( x)  x 2 para obtenerlas
c) Aplicando los desplazamientos correspondientes, grafica cada una de ellas y especifica: coordenadas
del vértice y ecuación del eje de simetría
5) Determina, de ser posible, las raíces reales de las siguientes funciones cuadráticas.
f ( x)  x 2  9
g ( x)   x 2  0,01
t ( x)  x 2  4
h( x )  2 x 2  4
j ( x)  2 x 2  x
m( x ) 
1 2
x  5x
2
6) Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
2 x 2  3x  1  0
3x  x 2  0
x
1 2
x  x2  2
2
7) Plantea y resuelve las siguientes situaciones problemáticas
a) Determina los números reales que verifican que el doble de su cuadrado, mas la mitad de su triple es
igual a cero.
b) Determina las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su altura es 3cm mayor que su base y que
su superficie es de 70cm2.
c) Las medidas en centímetros de la hipotenusa y del cateto mayor de un triángulo rectángulo son
números naturales consecutivos. Al cateto menor le faltan 7cm para igualar al mayor. ¿Cuánto miden
los tres lados?
d) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 41 cm y uno de los catetos mide 4cm. ¿En cuánto
hay que aumentar la medida de la longitud de los catetos para que la superficie del triángulo aumente
en 200cm2?
8) Sin calcular sus raíces, indica el número de soluciones reales (dos, una o ninguna) de cada una de las
siguientes ecuaciones cuadráticas:
x2  x  2  0
 2 x 2  5x  0
x  9x 2  1  0
 9x 2  6x  1
9) Determina los posibles valores de m para que se cumpla la condición pedida en cada caso:
a)
x 2  m x  3  0 tiene una raíz doble
b) 2 x 2  x  m  0 no tiene raíces reales
c) el gráfico de las funciones de la forma f ( x)  mx2  x  1 interseca al eje x en dos puntos
d) el gráfico de las funciones de la forma f ( x)   x 2  mx  5 tiene contacto con el eje x , pero no lo
atraviesa
e) la ecuación x 2  m  0 tiene solución en el conjunto de los números reales
10) Dadas las siguientes funciones cuadráticas
f ( x)  x 2  5 x  6
g ( x)   x 2  4 x
3
1
h( x )   x 2 
2
2
1
k ( x)  x 2  x 
4
2
j ( x)  x  x  1
a) Grafica cada una de ellas
b) Especifica: ordenada al origen, raíces reales (si las tiene), coordenadas del vértice y ecuación de su
eje de simetría
11) Determina la fórmula de la función cuadrática que cumple con los requisitos pedidos en cada caso:
a) Su gráfico pasa por el punto (1;1) y su vértice es el punto v  (2;3)
b) Su grafico interseca al eje y en el punto (0;3) y su vértice es el punto v  (1;2)
 1

c) Una de sus raíces es x  3 y el vértice es v    ;2 
 2

12) Para cada una de las funciones del ejercicio anterior:
a) Determina, de ser posible, las raíces reales.
b) Analiza si la ordenada del vértice es un máximo o un mínimo.
c) Realiza el gráfico.
d) Indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
13) Expresa en forma factorizada las siguientes funciones cuadráticas:
f ( x)  3x 2  6 x
g ( x )   x 2  13x
k ( x )  x 2  13x  42
l ( x )  2 x 2  4 x  30
m( x )  x 2  14x  49
n( x )  6 x 2  24
14) Utiliza la expresión más conveniente para hallar una fórmula de la función cuadrática f (x) en cada uno
de los siguientes casos
a)
f (x) tiene coeficiente cuadrático a =3 y su gráfico contiene los puntos P  0;2 Q   2;4
b) el gráfico de f (x) tiene su vértice en v   1;2 y una de sus raíces es 1
c)
f (x) tiene como raíces a -4 y a 2 y su gráfico contiene al punto P  3;12
15) Expresa la fórmula de cada una de las funciones representadas, en forma canónica y en forma factorizada
Forma factorizada
Forma canónica
f (x)
g (x)
h(x)
i(x)
j (x)
k (x)
16) Escribe las siguientes funciones: f ( x)  3x 2  2x  1; g ( x)  x 2  x  6 en forma canónica y factorizada
17) En una empresa productora de cestos de mimbre del mercado nacional, el costo promedio en $ por
unidad al producir una cantidad x de cestos es c( x)  20  0,06x  0,0002x 2
a) ¿Qué número de cestos producidos minimizaría el costo promedio?
b) ¿Cuál sería el costo promedio si se produjera dicha cantidad?
18) ¿Cuál es la ganancia máxima g en $ obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto si su
función de ganancia está dada por: g ( x)  60x  x 2 ?
19) Si el precio p y el costo c de x artículos están dados por las siguientes funciones: p( x)  15  0,5x
c( x)  5  0,2 x
a) ¿Cuál debe ser la cantidad vendida para que el ingreso sea máximo? (ingreso =precio .cantidad )
b) ¿Cuál debe ser la cantidad vendida para que el beneficio sea máximo? (beneficio = ingreso – costo)
20) Halla la expresión polinómica de la función cuadrática cuyo coeficiente cuadrático es 3 y tiene dos raíces
reales cuya suma es 6 y cuyo producto es 8
21) El producto de las raíces de una función cuadrática es -9, su suma es nula y el gráfico interseca al eje y
en P  0;18 . Escribe su expresión en forma polinómica.
22) Una función cuadrática de coeficiente lineal 6 tiene dos raíces reales cuya suma es 2 y cuyo producto es:
-35. Halla su expresión polinómica.
23) La suma de las raíces de la función cuadrática g (x) es -9 y su producto es 20. escribe la expresión
polinómica de g (x) considerando que g (3)  8
24) Dadas las funciones: f ( x)  x 2
g ( x)  x  2
a) Determina analíticamente los puntos de intersección entre sus gráficas.
b) Comprueba gráficamente la solución hallada.
25) Dadas las funciones: h( x)  x 2  4
j ( x)  6x  5
a) Determina analíticamente los puntos de intersección entre sus gráficas.
b) Comprueba gráficamente la solución hallada
26) El gráfico de m( x)   x 2  bx  4 y el de la función lineal n(x) se intersecan en los puntos
P  3;2 Q  5;4
a) Determina analíticamente la fórmula de la función n(x)
b) Determina analíticamente el coeficiente lineal de m(x)
27) Dadas las funciones: f ( x)  2x 2  2x  4 ; g ( x)  2x 2  8x  6 ; h( x)  x 2  2x
a) Determina analíticamente los puntos de intersección entre: f ( x) y g ( x); g ( x) y h( x); f ( x) y h( x)
b) Comprueba gráficamente la solución hallada
28) Considerando que las siguientes ecuaciones pueden formar un sistema, calcula qué valor o qué rango de
valores podría tomar el número k para que el sistema tenga: una única solución, dos soluciones distintas,
ninguna solución.
y  x 2  10
y  kx 2  2 x
y  4 x 2  kx  3
y   x 2  3x  k
29) Determina los intervalos de positividad y los de negatividad de las siguientes funciones:
u ( x)  x 2  2 x  3
v( x)  8 x 2  2 x  1
w( x)   x 2  6 x  9
z ( x)  2 x 2  2
30) Dadas las funciones: p( x)  x  5 y q( x)  x 2  3
a) Determina para qué valores de x la función p(x) es menor que la función q(x)
b) Grafícalas
30) Dadas las funciones:
f ( x)  2 x 2  x  3
g ( x )  2 x  2
h( x)  x 2  8 x  12
j ( x)  2 x  13
a) Indica para qué valores de x se cumple que f ( x)  g ( x)
b) Indica para qué valores de x se cumple que h( x)  j ( x)
31) Dadas las funciones: m( x)  0,5 x  4 y n( x)   x 2  3 indica para qué valores de x se cumple que
m( x)  n( x)
32) Un juego de simulación de vuelos muestra en pantalla la fórmula de la trayectoria de distintas naves. Un
helicóptero se desplaza con una trayectoria dada por f x  2x 2  2 px  40000 y la fórmula que
describe la trayectoria de un avión es g x   20000 400x ¿Qué valores puede tomar p para que el avión
y el helicóptero no colisionen?
33) La inmobiliaria 1 tiene una ganancia g ( en miles de pesos) que puede calcularse en función del tiempo t
(en meses) mediante la fórmula: g t   28t  48  2t 2 ; t  2;12 La inmobiliaria 2 tiene como función de
ganancia a(t )  40  2t; t  0;20
a) ¿En qué mes logra la inmobiliaria1 su máxima ganancia? ¿Cuál es dicha ganancia?
b) ¿En qué meses la ganancia de la inmobiliaria2 es inferior a la de su competidor?
c) ¿En qué período de tiempo la inmobiliaria1 incrementa su ganancia? ¿Qué sucede en esa época con
la inmobiliaria2?
d) ¿Cuándo tienen igual ganancia ambas?