TEMA:

INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS
Resolución Nº 883 de noviembre.28/02 Secretaría De Educación Distrital
REGISTRO DANE Nº 147001-000994
Teléfono 4336535 Barrio Bastidas Santa Marta
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
DOCENTE: LIC-ING. ROSMIRO FUENTES ROCHA
TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
GRADO NOVENO
Una ecuación lineal o de primer grado con dos incógnitas x e y, es de la forma ax + by = c, donde a, b y
c son constantes y a, b, distintos de cero.
Ejemplo: 3x - 4y = 20
Cualquier par de números, uno para x y otro para y, para el cual los dos miembros de (1) son iguales, es
una solución de la ecuación. Por lo tanto, una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas
soluciones. Su grafico cartesiano es una recta y las coordenadas de cualquier punto de la misma
satisfacen a la ecuación.
Dos o más ecuaciones de primer grado con el mismo número de incógnitas, consideradas
simultáneamente, reciben el nombre de sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo, dos ecuaciones del
tipo
2x  y  4 

x  2 y  3 
Constituyen un sistema de ecuaciones lineales, en este caso de dos ecuaciones con dos incógnitas. Todo
par de valores de x e y que satisfaga a ambas ecuaciones simultáneamente, recibe el nombre de solución
del sistema. Si el sistema tiene una y sólo una solución, se dice que es compatible ( y que las ecuaciones
son consistentes); si no tiene ninguna solución es incompatible (y las ecuaciones son inconsistentes) y si
tiene infinitas soluciones es indeterminado ( y las ecuaciones se dicen dependientes).
CRITERIOS DE EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE ECUACIONES
1º. Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión,
el sistema resultante es equivalente.
3 x  4 y  6 3 x  4 y  3  6  3


2 x  4y  16 2 x  4 y  5y  16  5y
x = 2, y = 3
2º. Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número
distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
3( 3x  4y )  6 ( 3 )
3x  4y  6 

 2 x  4y
16

2 x  4y  16 
2
2

x = 2, y = 3
3º. Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema
resultante es equivalente al dado.
3 x  4y  6 3 x  4y  6


2 x  4y  16 2 x  4y  3 x  4y  16  6
x = 2, y = 3
4º. Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro
sistema equivalente.
3 x  4y  6

2 x  4y  16
2 x  4y  16

3 x  4y  6
 4y  3 x  6

 4y  2 x  16
METODOS DE SOLUCION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES
Existen distintos métodos para resolver los sistemas de ecuaciones lineales, estos son: el método gráfico,
por eliminación, por sustitución, por igualación y por determinantes.
1. METODO GRAFICO
Consiste en trazar, en un sistema de coordenadas cartesianas, las dos rectas que representan las
ecuaciones. La solución del sistema viene dada por las coordenadas (x0, y0) del punto de intersección de
ambas.
Ejemplo1 :
Hallar la solución del sistema
2x  y  4
x  2y  3
Solución
Primero se despeja la variable y en cada ecuación con el fin de realizar una tabla de valores, así en la
primera ecuación 2 x  y  4  y  2 x  4
En la segunda ecuación x  2y  3  y 
2x - y = 4
3  x
2
Al realizar las diferentes tablas
x
y
Para 2x – y =
x + 2y = -3
x
y
Para x + 2y
-3
-10
-3
0
(1, -2)
-2
-8
-2
 12
-1
-6
0
-4
-1
-1
0

1
-2
3
2
1
-2
2
0
3
2
2
 52
4
3
-3
= -3
Se observa que los puntos en común es (1, -2)
La solución del sistema es el punto (1, -2)
Ejemplo 2: hallar la solución por el método gráfico la solución del sistema
Se despeja y en la primera ecuación
x  y2
2 x  2y  8
y  2x
Se despeja y en la segunda ecuación y 
8  2x
2
x+y=2
2x + 2y = 8
Al Graficar
se observa que las rectas son paralelas, por lo que el
sistema de ecuaciones es incompatible, esto implica que no tiene
solución ya que no hay puntos en común
TALLER DE DESARROLLO DE COMPETENCIAS
Utiliza el método grafico para hallar la solución de los siguientes
sistemas de ecuaciones lineales
1.
x  y8
3x  y  4
2.
x  2y  3
3x  6 y  4
3.
x  3y  2
3x  2y  9
4.
x  y  12
2x  y  9
5.
2x  y  4
3x  y  5
2. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con
una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo: resuelve por sustitución el siguiente sistema
3 x  4 y  6 

2 x  4 y  16 
Solución
1. Se despeja una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Por comodidad es preferible elegir la
incógnita que tenga el coeficiente más bajo.
2 x  16  4y despejando x se tiene
16  4y
se divide entre el denominador(en caso de ser posible, sino se deja indicado)
2
x  8  2y
x 
2. Se sustituye en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3 x  4y  6
3( 8  2y )  4y  6
3 Se resuelve la ecuación obtenida:
24  6 y  4y  6
 10y  6  24
 10y  30
y 
 30
 10
y  3
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
x  8  2y
x  8  2( 3)  8  6
x2
5 Solución
x  2
y  3 o como punto del plano (2,3)
3. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE IGUALACIÓN
1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
3 Se resuelve la ecuación.
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la
otra incógnita.
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo: resuelve por igualación el siguiente sistema
3 x  4 y  6 

2 x  4 y  16 
Solución
1. Se despejan cualquiera de las dos variables en ambas ecuaciones, por ejemplo, la incógnita x de la
primera y segunda ecuación:
3x  6  4y
2 x  16  4y
6  4y
3
16  4y
x 
2
x 
2. Se Igualan ambas expresiones:
6  4y
16  4y

3
2
3 se Resuelve la ecuación:
2( 6  4y )  3( 16  4y )
12  8y  48  12y
8y  12y  48  12
2oy  60
y 
60
20
y  3
4 se sustituye el valor de y, en una de las dos expresiones en las que se tiene despejada la x:
x 
6  4y
6  4( 3)  6  12 6


 2
3
3
3
3
x2
5. Solución:
x  2
y  3 o como punto del plano (2,3)
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES POR EL MÉTODO DE ELIMINACION O REDUCCIÓN
1.
2.
3.
4.
5.
Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.
se resta , y desaparece una de las incógnitas.
Se resuelve la ecuación resultante.
El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Ejemplo: resuelve por eliminación el siguiente sistema
3 x  4 y  6 

2 x  4 y  16 
Solución
Es importante tener en cuenta detalles que faciliten el desarrollo de la solución, tales como que los
coeficientes no sean altos, que tengan signos diferentes. Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no se
tendría que preparar las ecuaciones; pero se va a optar por suprimir la x, para que se observe mejor el
proceso.
3x  4y  6
s e multiplicapor 2
 6 x  8y  12
2x  4y  16
s e multiplicapor  3  6 x  12y  48
Se resta y se resuelve la ecuación:
y 
60
 20
y  3
Se sustituye el valor de y en la segunda ecuación inicial.
2x + 4y = 16
2x + 4(3)= 16 → 2x+ 12 = 16
→ 2x=16 – 12
4
x 
2
x2
Solución:
x  2
y  3 o como punto del plano (2,3)
→ 2x= 4
TALLER N° 2
Resuelve por: sustitución, igualación y reducción los sistemas:
1.
2 X  3Y  1

3 X  4Y  0 
5.
x  y  12
2x  y  9
2.
6.
x  y8
3x  y  4
3..
x  2y  3
3x  6 y  4
4.
x  3y  2
3x  2y  9
2x  y  4
3x  y  5
PROBLEMAS CON ECUACIONES
1.
Juan pagó $50 por 3 cajas de tornillos y 5 cajas de clavos. Pedro compró 5 cajas de tornillos y 7 de
clavos y tuvo que pagar $74. ¿Cuál es el precio de cada caja de tornillos y de cada caja de clavos?
X precio de la caja de tornillos, y precio de la caja de clavos
3x + 5y = 50
5x + 7y = 74
2. Luisa es costurera y quiere aprovechar una oferta de botones. El paquete de botones blancos cuesta
$15 y el de botones negros $10. Si con $180 compró en total 14 paquetes, ¿cuánto gastó en botones
blancos?
X cantidad de botones blancos, y cantidad de paquetes de botones negros
x + y = 14
15x + 10y = 180
3. Con dos camiones cuyas capacidades de carga son respectivamente de 3 y 4 toneladas, se hicieron en
total 23 viajes para transportar 80 toneladas de madera. ¿Cúantos viajes realizó cada camión?
Cantidad de viajes del primer camión x
Cantidad de viajes del segundo camión. Y
3x + 4y = 80
x + y = 23
4. La edad de Camila y de su mamá suman 54 años y dentro de 9 años la edad de la mamá será el doble
de la edad de Camila. ¿Cuántos años tiene cada una?
Edad actual de Camila x
Edad actual de la mamá y
x + y = 54
y = 2x
5. Jovita y Felipe hacen paletas de chocolate para vender. La materia prima necesaria para hacer una
paleta grande les cuesta $5.00 y para una paleta chica $3.00. Si disponen de $570.00 y quieren hacer
150 paletas, ¿cuántas paletas de cada tamaño podrán hacer?
6. El costo de las entradas a una función de títeres es de $30 para los adultos y $20 para los niños. Si el
sábado pasado asistieron 248 personas y se recaudaron $5930, ¿cuántos adultos y cuántos niños
asistieron a la función el sábado?
7. Marta y sus amigos pagaron $109 por 5 hamburguesas y 7 refrescos. Si la semana anterior
consumieron 8 hamburguesas y 11 refrescos y la cuenta fue de $173, ¿cuánto cuesta cada hamburguesa
y cada refresco?
8. El perímetro de un rectángulo es de 40 metros. Si se duplica el largo del rectángulo y se aumenta en 6
metros el ancho, el perímetro queda en 76 metros. ¿Cuáles son las medidas originales del rectángulo y
cuáles las medidas del rectángulo agrandado?
9. Don José y don Tiburcio fueron a comprar semillas para sembrar. Don José compró cuatro sacos de
maíz y tres sacos de frijol, y don
10. Tiburcio compró tres sacos de maíz y dos de frijol. La carga de don José fue de 480 kilogramos y la de
don Tiburcio de 340. ¿Cuánto pesaban cada saco de maíz y cada saco de frijol?
11. Encuentre dos números tales que su suma sea 40 y su diferencia sea 14.
12 En una fábrica tienen máquinas de tipo A y máquinas de tipo B. La semana pasada se dio
mantenimiento a 5 máquinas de tipo A y a 4 del tipo B por un costo de $3405. La semana anterior se
pagó $3135 por dar mantenimiento a 3 máquinas de tipo A y 5 de tipo B. ¿Cuál es el costo de
mantenimiento de las máquinas de cada tipo?
13. Las edades de Pedro y de su papá suman 44 años. Hace 4 años la edad de Pedro era la octava parte
de la de su papá. ¿Cuántos años tiene cada uno?
14. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a
cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en
mi clase?
15. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas
botellas de cada clase se han utilizado?
16. Con 1000 ptas. que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y leche
semidesnatada por un total de 960 ptas. Si el paquete de leche entera cuesta 115 ptas. y el de
semidesnatada 90 ptas. ¿Cuántos paquetes ha comprado de cada tipo?
17. En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg de naranjas y 5 Kg de patatas por 835 ptas. y 4 Kg de
naranjas y 2 Kg de patatas por 1.285 ptas. Calcula el precio de los kilogramos de naranja y patata.
18. El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron 196.250 ptas. Si los
adultos pagaban 400 ptas. y los niños 150 ptas. ¿Cuál es el número de adultos y niños que acudieron?
19. n una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a 800 ptas. y otros a 1200 ptas. con
los que han obtenido 19.200 ptas. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio?