Teorema de la Diagonal:

Seminario:
Paradojas, Circularidad y Universalidad Expresiva.
Argumentos Diagonales:
Eduardo Barrio
Los lenguajes como conjuntos:
Supongamos que queremos tratar a los lenguajes formales como conjuntos:
-
Si un lenguaje de primer orden (L) puede ser representado como un conjunto,
entonces sus componentes (sus fbf) serán elementos de una colección, el
tamaño de esa colección será enumerable y sus fórmulas serán objetos sobre
los que se puede cuantificar.
A favor de la tesis de los lenguajes como conjuntos:
-
El tratamiento conjuntista abre la posibilidad de aritmetizar la lingüística: si L es
un conjunto infinito enumerable, cada uno de los elementos puede ser puesto en
correspondencia biunivoca con un número natural. Al poner en correlación
expresiones de un L con números se garantiza representar las propiedades
lingüisticas en términos de números. Y si las fbf pueden verse como números,
las operaciones entre fórmulas y sus propiedades pueden verse como
opereciones o propiedades entre números.
Aritmetización de los lenguajes:
-
Sea S un lenguaje de primer orden en el que se pueda axiomatizar la aritmética.
Por ejemplo, “x  (x = 1 + 1)” es una fbf. Hay ciertas fórmulas especiales,
las oraciones, de las cuales tiene sentido preguntar si son demostrables o no
lo son (usando los axiomas y las reglas de inferencia de la teoría).
-
Toda la sintaxis de S está aritmetizada de forma que a cada expresión y a cada
fórmula de S le corresponde un número de Gödel. Sea “«a»” el número de Gödel
de a.
-
Las fórmulas del lenguaje pueden representarse como objetos (números) sobre
los que se puede cuantificar.
-
Todos los conceptos metamatemáticos (por ejemplo, “x es demostrable en S”, “la
variable x se sustituye por la variable y”) de pueden codificar dentro de S.
-
Las fórmulas con una variable libre (como “x es un número par”) son especiales.
Se las llama class sign, ya que tan pronto como el dominio sea restringido, se
define una clase (la clase de los números…). Se puede decir que ellas codifican
o sirven para representar clases de números.
o
La idea es simple: la fórmula “F(x)” representa la clase de todos los
números n para los cuales F(n) es deducible en S. Tales fórmulas
pueden ser ordenadas.
Argumentos Diagonales
El principal intererés filosófico de los argumentos diagonales yace en su vinculación con
ciertas restricciones expresivas de los lenguajes.
Dada una lista, una colección de elementos, el método puede ser aplicado a ella para
descubrir un conjunto (L) de elementos que no aparece en la lista.
(D) Para cada elemento e de la colección, e está en la lista ssi e no está en la lista.
Teorema de la Diagonal:
Formulación: Sea R una matriz formada por las colecciones D1 y D2 y sea F una relación
diagonal sobre D1 y D2. Sea H el contravalor de F. Entonces, H no aparece como una línea
de R.
Ejemplos de argumentos diagonales
1) Prueba de Cantor: No hay una correspondencia biunivoca entre los naturales y los
reales.
D2
D1
1
2
3
4
E1
9
1
9
9
E2
1
1
9
1
E3
1
9
9
1
E4
9
1
1
1
E5
1
9
9
9
D1 = conjunto de los enteros positivos
D2= conjunto de los reales.
Sea R3 una función que correlaciona biunivocamente elementos de D1 y de D2
R3 (x, y, z) =
1, si el elemento x tiene a 1 en el lugar y
9, si el elemento x tiene a 9 en el lugar y
F3 (x, y, z) =
1, si el elemento x tiene a 9 en el lugar y
9, si el elemento x tiene a 1 en el lugar y
F3 es la antidiagonal.
Queda determinado un elemento de D1 que no está en la correlación inicial. Por eso, la
suposición de que hay una correspondencia biunivoca conduce a contradicción.
2) Heterological Paradox:
D2
D1
Monosilabico
Polisilábico
Largo
Nuevo
Monosilabico
F
F
F
F
Polisilábico
V
V
V
V
Largo
V
V
F
F
Nuevo
F
F
F
F
Heterológico?
V
F
V
V
D1 y D2 están compuestos por lon los predicados monádicos del español en el mismo orden.
Tomémos el primer elemento de D1. Su extensión queda definida por el conjunto FFFF…. En
particular, él no se aplica a sí mismo (“monosilábico” no es monosilábico).
Cada V en la diagonal corresponde a un predicado que es verdadero de sí mismo.
Cada F en la diagonal corresponde a un predicado que no es verdadero de sí mismo.
Consideremos la antidiagonal compuesta por la secuencia VFVV… Esta diagonal no puede
aparecer como una fila de D1
Supongamos que hubiera un predicado del español que fuera verdadero de exactamente
aquellos predicados falsos de sí mismos. Entonces, este predicado tendría que aparecer
como fila de D1 . Pero, “Heterológico” es heterológico?
Pero el teorema diagonal impide que sea una fila (la extensión de “Heterológico” es la
antidiagonal de la matriz y ninguna antidiagonal puede ser parte de D 1. Sin embargo este
predicado existe en el español. Y por lo tanto, debe ser parte de D1.
3) Paradoja de Russell
D1 = clase propia de todos los conjuntos
D2= clase propia de todos los conjuntos
Sea R3 una función que correlaciona biunivocamente elementos de D1 y de D2
R3 (x, y, z) =
1, si y  x
0, si y  x
F3 (x, y, z) =
1, si x  x
0, si x  x
H3 es la antidiagonal.
H3 (x, y, z) =
0, si x  x
1, si x  x
Por el teorema diagonal no existe un conjunto de exactamente aquellos conjuntos que no
pertenecen a si mismos.
4) Paradoja de Cantor
D1 = el conjunto potencia de D2
D2= el conjunto de todos los conjuntos
Sea R3 una función que correlaciona biunivocamente elementos de D1 y de D2
R3 (x, y, z) =
1, si y  x
0, si y  x
Supongamos, para arrivar a una contradicción, que hay una diagonal F 3 (x, y, z). Podemos
definir un cierto miembro de D1 en términos de la diagonal: el conjunto de estos elementos de
D2 que no pertenecen al subconjunto de D1 con el cual ellos están correlacionados por la
diagonal F. Pero, por el teorema diagonal, no hay tal subconjunto en D 1. Tenemos una
contradicción y por eso, no hay tal diagonal F.
Podemos tener una paradoja: D1 no es ni más chico ni igual en tamaño que D 2. Sin embargo,
D2 es el conjunto de todos los conjuntos.
Pero, el argumento es malo porque supone la existencia del conjunto universal.
5) Teorema de Tarski
Teorema: Ninguna teoría suficientemente fuerte como para expresar la aritmética puede
contener su propio predicado veritativo.
Sea S una teoría de primer orden con identidad en la que puedan expresarse los axiomas de
Peano y la cual es adecuada para probar los resultados de la teoría de números.
Toda fórmula de S tiene un número de Gödel. Sea «p» su número de Gödel.
Las oraciones semánticas hablan acerca de propiedades de oraciones de S. Si S es
semánticamente universal, se puede hablar en S de su propia semántica. Toda lo que se
puede decir de la semántica de S, tiene que poder reflejarse como una fbf de S.
D1 = el conjunto de las class sign.
D2= el conjunto de los números naturales
“Tx” denota el conjunto de oraciones verdaderas de S.
“T*x” denota el conjunto de los números de Gödel de las oraciones de S.
¿Puede “T*x” ser definida por una fórmula de la aritmética de primer orden?
Sea R3 una función que correlaciona biunivocamente elementos de D1 y de D2
F3 (x, y, z) =
1, si x es verdadera de su número de Gödel
0, si x no es verdadera de su número de Gödel
H3 (x, y, z) =
1, si x no es verdadera de su número de Gödel
0, si x es verdadera de su número de Gödel
H3 es la antidiagonal.
Por el teorema diagonal ninguna fórmula de S es verdadera de exactamente los números de
Gödel de las fórmulas no verdaderas de sus propios números de Gödel.
Pero hay tal fórmula de S sobre la suposición de que el conjunto de números de Gödel de las
fórmulas de S que son verdaderas en la interpretación standard es aritmético. Pero, el
conjunto de fórmulas de S no verdaderas de sus propios números de Gödel existe. Y por
eso, una fórmula bien formada con este conjunto con su extensión es expresable en el
metalenguaje.
Teorema de la indefinibilidad de la verdad: No hay una fórmula “True(x)” que defina T*. Esto
es, no hay una fórmula “True(x)” de S tal que para toda fórmula x de S, True(x) ssi x es
verdadera.
The Liar: Es la oración S tal que S   True («S») se cumple.
Por eso, ninguna fórmula True(x) puede definir T*.
Informalmente el teorema dice que dado un sistema axiomático en el que se pueda expresar
la aritmética, el concepto de verdad en esa axiomatización no es definible usando los medios
expresivos del sistema. Este resultado implica una limitación sobre el alcance de la idea de
autorepresentación. Es posible definir una fórmula “True(x)” cuya extensión sea T*, pero solo
usando un metalenguaje cuyo poder expresivo sea más poderoso que S (por ejemplo,
usando un lenguaje de segundo orden).
6) Teorema de Gödel
Gödel pensó a las fórmulas de un sistema formal como “cosas” sobre las que se puede
cuantificar. De esta manera, podemos hablar de las formulas dentro del sistema. Hay que
pensar a los Dominos como conteniendo al lenguaje como una parte.
Se demuestra que existe una fórmula “Dem (x)” que codifica la clase de todas las oraciones
que son deducibles en PM.
“Dem (x)” tiene la propiedad de que si “F” es una oración en PM, entonces la oración
Dem(«F») es demostrable en S ssi F es deducible en PM. Es una fórmula que habla de otra
fórmula.
Sea “K” una clase de números que cumpla:
(G) n  K   Dem (« Fn (n) »)
o sea que n  K ssi la oración “Fn (n)” no es demostrable en PM.
El Teorema de Gödel muestra que podemos construir en PM una fórmula con una variable
abierta [a class signs] que sea verdadera de exactamente los números de Gödel de fórmulas
bien formadas que no son probables de sus propios números de Gödel.
(G) afirma su propia indemostrabilidad.
Ya que todos los conceptos que aparecen en (G) son formalizables en PM, también lo es el
conjunto K. Por lo tanto, hay un elemento de D1 que codifica el conjunto K.
D1 = el conjunto de los class signs de PM
D2= el conjunto de los números naturales
Sea R3 una función que correlaciona biunivocamente elementos de D1 y de D2
R3 (x, y, z) =
1, si x es demostrable de y
0, si x no es demostrable de y.
F3 (x, y, z) relaciona cada class sign con su número asociado.
H3 (x, y, z) =
1, si x no es demostrable de y
0, si x es demostrable de y
H3 es la antidiagonal.
Por el teorema diagonal H no aparece como una fila de R. Es decir, ningún class sign de PM
es probable de exactamente los números de Gödel de las class sign no probables de sus
propios sus propios números de Gödel.
Esto es el teorema muestra que hay algunas instancias de class sign que conducen a
contradicción.
En particular, el class sign Fn (n) no es probable de exactamente estos números de Gödel y
sin embargo, Fn (n) es verdadera de esos números. Por eso, debe haber algún número q tal
que Fq (q) es demostrable, pero no verdadera o Fq (q) es verdadera, pero no demostrable.
Si PM es sound, entonces Fq (q) es verdadera, pero no demostrable. Es decir, hay verdades
que no son demostrables.
Podemos ser más específicos. Supongamos, para obtener una contradicción que F n (n) es
demostrable de exactamente los números de los cuales es verdadera. Si esto fuera así, F n
(n) aparecería en D1. Dado que la diagonal F asocia con cada miembro del lado algún
miembro de D2 , F relaciona con Fn (n) el número q. Tomemos como argumento para H la
celda Fq (q) de la diagonal.
H(Fq
(q)) = 1 ssi R (Fq (q)) = 0
Pero ya que H es una fila
H(Fq (q)) = 1 ssi R (Fq (q)) = 1
Consideremos la oración Fq (q). Supongamos que Fq (q) fuera probable. Entonces, Fq (q)
sería verdadera. Por eso, q es el número asociado con la la fórmula abierta que no es
demostrable de su número asociado. Esto es Fq (q) no es demostrable, lo cual contradice
nuestra suposición. Supongamos, por otro lado que  Fq (q) es demostrable. Entonces Fq
(q) no se mantiene. Entonces, q es un número asociado con una fórmula abierta que es
probable de su número asociado. Esto es Fq
(q) es demostrable, lo cual es imposible.
Por eso, ni Fq (q) ni [ Fq (q) es demostrable en PM: Fq (q) es nuestra oración indecidible.
Bajo la interpretación pretendida, Fq (q) dice que q es un número asociado con una fórmula
abiarta no demostrable de su número asociado. Esto es, dice acerca de sí misma que no es
demostrable. Por eso, Fq (q) es nuestra verdad indemostrable.
Reflexión sobre el Esquema de comprensión
y x (P(x)  x  y)
y x (True(x)  x  y)
(G) n  K   Dem (« Fn (n) »)
La indefinibilidad de la verdad es una consecuencia del esquema de comprensión de Frege.
Hay un paralelismo entre el mentiroso y el conjunto de todos los conjuntos que no se
pertenecen a sí mismos.
La demostrabilidad, en cambio, es definible en la teoría de números, ya que es una
propiedad recursivamente enumerable.
Los teoremas diagonales son interpretaciones de la fórmula de Russell.
(Ru)
xy ( Jxy   Jxy)
Antidiagonal: el conjunto de los elementos del discurso los cuales no tienen J con ellos
mismos. ¿Puede este conjunto ser una fila de D1?
“x no es verdadera de sí misma”
“x no es demostrable de sí misma”
“x no pertenece a sí misma”
“x es heterológica”
Tipos de Argumentos diagonales:
Un argumento diagonal directo especifica en términos conjuntistas dos lados, una matriz y
una diagonal, todos los cuales existen. El resultado diagonal es una interpretación del
teorema diagonal.
Un argumento diagonal indirecto especifica también en términos conjuntistas dos lados, una
matriz y una diagonal, pero asume la existencia de al menos uno de ellos con el propósito de
concluir una contradicción. Se genera una contradicción a través de una prueba del teorema
diagonal.