Teoremas de límites

UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÈCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
UNEFA NUCLEO CARACAS
Profesora Minerva Bueno
Materia: Matemática 1
Unidad II – Octubre 2007
TEOREMAS DE LÍMITES
Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la
definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Teorema de límite 1: Límite de una función constante
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces
Ejemplos:
Teorema de límite 2: Límite de f(x) = x
Para cualquier número
dado a,
Ejemplos:
Teorema de límite 3: Límite de una función multiplicada por una constante
Si
y
k es un numero real entonces se cumple que:
Ejemplos:
Teorema de límite 4:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
Teorema de límite 5: Límite de una suma y una diferencia de funciones.
Si f y g son dos funciones para las que
y
Entonces se cumple que:
Ejemplos:
También se aplica esta propiedad para la resta de funciones, por lo que podemos decir que:
lim[ f(x) - g(x) ] = lim f(x) - lim g(x) = L - M
xa
xa
xa
Teorema de límite 6: Límite de una multiplicación de funciones.
Si f y g son dos funciones para las que
y
Entonces se cumple: que:
Ejemplos:
Corolario Teorema de límite 6: Límite de una potencia.
Si
entonces
Dado que
=
Ejemplos:
Particularidad del Corolario:
Si
y n es un entero positivo, entonces:
=
Ln
Ejemplos
Teorema de límite 7: Límite de un cociente de funciones
Si f y g son dos funciones para las que
Entonces se cumple: que:
y
Siempre que M  0
Ejemplo:
Teorema de límite 8: Límite de una función radical
Si
si:
a. a es cualquier numero positivo
b. a < 0 y n es impar.
Ejemplos:
Teorema de límite 9:
Si
, entonces
si se cumple
alguna de las condiciones siguientes:
a.
es cualquier entero positivo
b.
es un entero impar positivo
(
)
Ejemplos:
Teorema de límite 10: Límite de un polinomio
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LÍMITES EN PUNTOS FÍNITOS:
Si queremos calcular el límite de una función f(x) cuando x se acerca a cierto valor a
simplemente hemos de sustituir el valor de a
en f(x) , aplicando los teoremas antes
mencionados.
El problema que nos podemos encontrar son formas indeterminadas del tipo k/0 ó
0/0
al
sustituir a por x en la función. Sin embargo, usando manipulaciones algebraicas (tales como la
factorización y la conjugada) podemos transformar la función de tal modo que se pueda evitar la
división entre cero.
- Tipos de Indeterminación y su Forma de Romperlas.
(1) Indeterminación k/0 (k0) : se presenta cuando en el numerador aparece un número
cualquiera no nulo y el denominador es “0”.
(2) Indeterminación 0/0 : en este caso tanto el numerador como el denominador se hacen
“0”.
Si tanto en el numerador como en el denominador tenemos polinomios, la forma de romper la
indeterminación es descomponer los polinomios en factores (mediante, por ejemplo, la regla de
Ruffini) y simplificar para posteriormente volver a sustituir.
En caso de que también aparezcan raíces cuadradas, el proceso es multiplicar y dividir por la
expresión conjugada con el fin de simplificar y luego sustituir.
Otro Ejemplo:
Calcular
Solución: Observe que en este caso aparecen dos variables: x y h. Para efectos del cálculo del
límite es h la que hacemos variar hacia 0 (pues dice h tiende a 0), la x se trata como si fuera
constante. Tenemos entonces:
Ejercicio con doble racionalización.
Calcular
Solución: En este caso procedemos por "doble racionalización", del siguiente modo:
Ejercicios resueltos
Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en
cada paso:
Soluciones
1. Solución
2. Solución:
4
3. Solución:
10
4. Solución:
5. Solución:
7 y 9
6. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante,
luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:
4
7. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante,
luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el
TL4(III):
8. Solución:
Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada
0/0;
por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:10
9. Solución:
No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de
multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el numerador
y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite:
10. Solución:
Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8:9
11. Solución:
El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez
factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7 y
TL6:10
12. Solución: