Transformada de LAPLACE

Transformada de LAPLACE
Ecuaciones Diferenciales
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE GUANAJUATO PLANTEL PÉNJAMO
28 de Julio de 2008
Autor: L. S. C. Manuel Alejandro Moreno Raya
Transformada de LAPLACE
Ecuaciones Diferenciales
Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés
tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales
campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de
probabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos son
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1. Mécanique Céleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitación publicado
en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta
publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial, con implicaciones de largo
alcance en ramas de la Física que van desde la gravitación, la mecánica de fluídos, el
magnetismo y la física atómica.
2. Théorie Analytique des Probabilités que se considera la más grande contribución a esa
parte de las matemáticas. Como anecdota, el libro inicia con palabras que mas o
menos dicen "En el fondo, la teoría de probabilidades no es si no el sentido común
reducido a cálculos", puede ser que si, pero las 700 páginas que le siguen a esas
palabras son un análisis intrincado, en el cual usa a discreción la transformada de
laplace, las funciones generatrices, y muchas otras técnicas no triviales.
3. Tras la Revolución Francesa, el talento político y la ambición de Laplace alcanzaron
su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fácilmente cambiando sus principios; yendo y
viniendo entre lo republicano y monárquico emergiendo siempre con una mejor
posición y un nuevo título.
4. Uno de los defectos principales que se le han atribuido en detrimento de su reputación
es la omisión de toda referencia a los descubrimientos de sus predecesores y
contemporaneos, dejando entrever que las ideas eran suyas del todo.
5. La ayuda prestada a los jovenes talentos científicos fue un gran acierto; entre esos
jovenes se encuentan: el químico Gay-Lussac, el naturalista Humboldt, el físico
Poisson, y al joven Cauchy, que estaría destinado a convertirse en uno de los artífices
principales de las matemáticas del siglo XIX
1
Contexto
La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas
transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la
transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una
integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en
otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones
Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED
con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un
requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor
ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es
una función seccionada.
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación
diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la
ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste
en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como
transformada
Definición de la Transformada
Sea f una función definida para
, la transformada de Laplace de f(t) se define como
cuando tal integral converge
Notas
Definición de la Transformada Inversa
La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente
F(s), es decir
si es que acaso
Esta definición obliga a que se cumpla:
y
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1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se
considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
1. De orden exponencial
2. Continua a trozos
2
Tabla de Transformadas
1. Obtención
2. Obtención
3. Obtención
4. Obtención Para n entero
:
5. Obtención Para
6. Obtención Para s > a
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7. Obtención
8. Obtención
9. Obtención
10. Obtención
3
Existencia de la Transformada
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para
de una función cualquiera:
1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo
2. Ser de orden exponencial
Propiedades de la Transformada
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de
Laplace.
Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling
applications
1. Linealidad
Idea
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que
multiplican.
Versión para la inversa:
2. Primer Teorema de Traslación
Idea
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable
s.
Versión para la inversa:
3. Teorema de la transformada de la derivada
Idea
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.
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donde
4
4. Teorema de la transformada de la integral
5. Teorema de la integral de la transformada
Siempre y cuando exista
6. Teorema de la derivada de la transformada
7. Transformada de la función escalón
Si
representa la función escalón unitario entonces
8. Segundo teorema de Traslación
9. Transformada de una función periódica
Si f(t) es una función periódica con período T:
 Teorema de la Convolución
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Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces
Técnicas para la Transformada Inversa
1.
2.
3.
4.
5.
5
Separación de Fracciones,
Primer Teorema de Traslación,
Fracciones Parciales,
Segundo Teorema de Traslación,
Convolución,
Método de Solución A ED basado en Laplace
Pasos
1. Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ED
2. Usar las propiedades de la transformada para tener una expresión en L{y(t)}. Esta expresión se conoce
como la Ecuacion Característica
3. Aplicar la transformada inversa de Laplace para despejar y(t)
DEDUCCIONES DE FÓRMULA
La razón principal por la cual las demostraciones de las pruebas son incluidas es que hacen uso del teorema de la
transformada de la derivada, haciéndolas sencillas y breves.
Deducción de :
En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función
y por consiguiente
y al aplicar el teorema nos queda:
de donde :
Deducción de :
En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función
y por consiguiente
y al aplicar el teorema nos queda:
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Por tanto
6
de donde y utilizando la obtención 1:
Por tanto
Deducción de :
En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función
y por consiguiente
y al aplicar el teorema nos queda:
de donde y utilizando la obtención 2 y la linealidad de la transformada:
Por tanto
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Deducción de :
En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función
y por consiguiente
y al aplicar el teorema nos queda:
de donde y utilizando un razonamiento inductivo:
Por tanto
7
Deducción de :
En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función
y por consiguiente
y al aplicar el teorema nos queda:
de donde:
Por tanto y despejando
:
Deducción de :
En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función
y por consiguiente
de donde:
Por otro lado, si ahora utilizamos el mismo teorema de la transformada de la derivada pero usando la función
y por consiguiente
y al aplicar el teorema nos queda:
Si resolvemos este sistema de ecuaciones simultaneas en
fórmulas deseadas.
y
obtenemos las
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y al aplicar el teorema nos queda:
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APÉNDICES
Apéndice: La Función Escalón Unitario
La función Escalón Unitario en a es la función simbolizada como
ó
y definida como:
Es decir, es una función que vale 0 y justo en después del instante t=a la función se activa y su valor cambia a uno.
El efecto es el de un switch que está abierto y justo en el instante t=a se cierra.
La gráfica de la función escalón queda de la siguiente forma:
La función puede ser combinada para construir funciones seccionadas como se ilustra en los ejemplos.
Apéndice: Función Periódica
Una función Periódica es una función que se repite. El período de la función es el mínimo intervalo de tiempo
donde la función no se repite.
Matemáticamente una función es periodica con período T es una función f(t) que cumple:
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Dicho en terminos simples, lo que es o pasa con la función en el intervalo describe o determina totalmente a la
función.
Gráficamente una función periódica queda
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Apéndice: Convergencia de una Integral
Una integral del tipo
es una Integral Impropia del tipo I, se dice que ella converge si existe el límite
Es decir se sustituye el infinito por una nueva variable; se calcula la integral definida, y al resultado se le aplica el
límite cuando la variable nueva tiende al infinito.
Apéndice: Continuidad a Pedazos
Apéndice: Función de Orden Exponencial
Una función f(t) se dice de orden exponencial
cumplan:
si acaso existe una constante positiva M y un número T que
Lo que establece la condición es que la función f(t) no crece mas rápido que la función exponencial en el intervalo
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Para motivos prácticos puede pensar a una función así como una función seccionada continua en cada una de las
secciones pero que posiblemente no es continua en los puntos donde se unen dichas secciones. Los problemas que
tiene la función son puntos aislados; no intervalos.
Estas funciones tienen graficas similares a:
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Apéndice: Función Gama de Eule r
Esta función, que es una de las funciones mas importantes de la matemática, se define como:
Para enteros positivos se cumple que:
Por lo que esta función puede ser vista como la generalizcación de la función factorial.
Apéndice: Convolución ent re dos funciones
La convolución entre las funciones f(t) y g(t) es una nueva función de t definida como :
Demostraciones
Teorema
Sean f(t) y g(t) dos funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, y a y b dos constantes.
Entonces
Demostración
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Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:
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Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:
Recordando la definición de la transformada para f(t) y para g(t):
Teorema
Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, y a una constante.
Entonces para s > a:
Siendo
Demostración
Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:
Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:
Agrupando las funciones exponenciales:
Si ahora hacemos el cambio de variable S=s-a lo anterior queda:
Este segundo miembro coincide con la transformada de laplace de la función f(t) en la variable S siempre y cuando
S > 0 , es decir siempre que s-a > 0, es decir s > a. Resumiendo
Donde
Teorema
Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, cuya derivada también es así.
Entonces
Demostración
Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:
Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:
Integrando por partes y tomando:
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Si encadenamos esta serie de igualdades
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por tanto:
y la integral anterior nos queda:
Avanzando en los cálculos del segundo miembro:
Asi:
(Ec.I)
Como la función f(t) es seccionalmente continua y de orden exponencial:
y además
Por tanto la ecuación (I) queda:
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Y por consiguiente:
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