Ecuación de primer grado

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Ecuación de primer grado
Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está
elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.
Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:
con a diferente de cero.
Su solución es la más sencilla:
Resolución de ecuaciones de primer grado
Dada la ecuación:
1- Transposición:
Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los
miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo
teniendo en cuenta que:
Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los
dos miembros, la igualdad no varía.
En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9),
pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al
otro lado sumando (+6)
La ecuación quedará así:
Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han
quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no
la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado en el segundo
miembro (a la derecha).
Jemina Karen Cruz Nina
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2- Simplificación:
El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y
corta.
Realizamos
la
simplificación
del
primer
miembro:
Y simplificamos el segundo miembro:
La ecuación simplificada será:
3- Despejar:
Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un
término de la igualdad.
Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos
miembros, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al
otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin
cambiar su signo).
Si dividimos entre un mismo monomio (o número) en los dos
miembros, la igualdad no varía.
En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma
fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número
pasará sin cambiar su signo).
Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y,
como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):
Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos
una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo,
debemos simplificar.
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Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de
que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y
ése es el resultado.
En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 =
5,5263157894737)
Por tanto, simplificando, la solución es:
Resolución de ecuaciones de primer grado: problema
Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es
igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas
tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el
enunciado como una expresión algebraica:
Se podría leer así: X número de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el
número x de canicas menos 2 canicas.
El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el
valor de x; para ello se sigue este procedimiento:
Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro
y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que
cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así
obtenemos:
Que, simplificado, resulta:
Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice
que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el
resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar,
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multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el
mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos
ambos miembros por -1 obtendremos:
El problema está resuelto.
DESCRIPCIÓN Y EJEMPLOS
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras
(incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra
(incógnita, normalmente la x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4
Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a
ninguna potencia (por tanto a 1).
Ejemplos:
3x + 1 = x - 2
1 - 3x = 2x - 9.
x - 3 = 2 + x.
x/2 = 1 - x + 3x/2
ECUACIONES QUE NO TIENEN SOLUCIÓN
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Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
x - 3 = 2 + x.
Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego
esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x.
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución.
En la escena siguiente, observarás que no se representa ninguna recta,
luego la ecuación no representa a ninguna recta y por tanto no existe el
punto de corte con el eje X, luego no existe la solución.
Ejercicio 4.- Resuelve numéricamente, comprobando que no tiene
solución la ecuación:
3x - 2 + x = 5x + 1 - x
En la escena anterior cambia la ecuación actual por esta, observando que
no se representa ninguna recta, luego no existe la solución.
ECUACIONES CON INFINITAS SOLUCIONES
Ejercicio 5.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
2x-1 = 3x + 3 - x - 4
Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿qué significa ahora?. La
igualdad que has obtenido es cierta pero se te han eliminado la x. ¿Cuál es
la solución?.
Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x!.
Compruébalo sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.
En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier
valor de x es solución).
Gráficamente no podemos hacer una interpretación similar a la de las
escenas anteriores ya que el programa no interpreta de ninguna forma la
igualdad 0 = 0.
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INECUACIONES
Definición:
g
La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las
ecuaciones.
5x + 6 < 3x - 8
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7
Todos los valores de x menores que -7 (es decir desde -7 hasta satisfacen la inecuación.
Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos por un numero
negativo una inecuacion tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.
3x > -2
-9x < 6
x < -2/3
Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incognita.
Se resuelven por separado las inecuaciones y se toman como soluciones
los intervalos comunes de las soluciones
5x + 6 < 3x - 8
3x > 2
La solucion de la primera ecuacion es:
5x - 3x < -8 - 6
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2x < -14
x < -7
La solucion de la seguna ecuacion es:
3x > -2
x < -2/3
La solucion del sistema sería x < -7.
Inecuaciones fraccionarias
Son las inecuaciones en las que tenemos la incognita en el denominador.
Se pasan todos los terminos a un lado del signo de desigualdad y se
reducen a comun denominador.
Despues se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso
de las ecuaciones de segundo grado). Hay que tener en cuenta que las
soluciones que anulan el denominador no valen.
Inecuaciones con valor absoluto
Se resuelven convirtiendo la funcion valor absoluto en dos inecuaciones
|x - 3| > 3
OPERACIONES CON DESIGUALDADES.



Si a los dos miembros de una desigualdad les sumamos o restamos un
mismo número la desigualdad se mantiene.
3<5
3+2<5+
2
5<
Si a los dos miembros de una desigualdad les multiplicamos o
dividimos por un mismo número, la desigualdad: si el nº es positivo se
mantiene. 3 < 5
3·2<5·2
6 < 10
Si el número es negativo, se invierte. 3 < 5
3 (-2) > 5 (-2)
-6 > -10
Si elevamos los dos miembros de una desigualdad a un mismo
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

exponente impar la desigualdad se mantiene.
exponente par
 si los términos son positivos la desigualdad se
mantiene.
 si los terminos son negativos la desigualdad se
invierte.
 si uno es positivo y otro negativo depende de los
valores absolutos.
(Exponente impar):
2<4
23 < 43
8 < 64
(Exponente par):
Términos positivos:
2<4
22 < 42
4 < 16
Términos negativos:
-1 > -4
(-1)2 < (-4)2
1 < 16
Términos de distinto signo:
-2 < 1
-1 < 2
(-2)2 > 12
(-1)2 < 22
4>1
1<4
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Son de la forma a x + b < 0 ( ó 0 ó >0 ó 0). Es decir, son las
que tienen la incógnita con exponente 1.
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Para resolverlas se despeja la x, respetando las normas de las
operaciones con desigualdades.
Ejemplo:
x+2<3–x
2x < 1
2x – 1 < 0
x<½
Interpretación geométrica.
La solución de una inecuación de primer grado ax + b  0 representa
aquellos valores de x que hacen que la función y = ax + b quede por
encima del eje x (o por encima y sobre el propio eje x, o por debajo del eje
x, o por debajo y sobre el propio eje x).
Ejemplo:
x+2<3–x
2x < 1
2x – 1 < 0
x<½
y = 2x – 1
x=0  y = -1  (0, -1)
y=0  x = 1/2  ( 1/2, 0)
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