pietro mengoli (1625-1686) - Departament de Matemàtica Aplicada I

XXI International Congress of History of Science (Mexico City, 8-14 July 2001)
Sobre los métodos de cuadraturas de Pietro Mengoli (1625-1686)
Massa Esteve Mª Rosa
Departament de Matemàtica
Aplicada 1.Escola Tècnica Superior d'Enginyeria
Industrial de Barcelona (E.T.S.E.I.B.).Universitat Politècnica de Catalunya.
Centre d'Estudis d'Història de les Ciències (C.E.H.I.C.). Universitat Autònoma de
Barcelona.
El objetivo de esta comunicación es exponer parte de mis estudios sobre los
métodos de cuadraturas utilizados por Pietro Mengoli (1625-1686). Por una parte,
intentaré clarificar y descodificar las herramientas matemáticas de su personal método
de cuadraturas y, por otra, analizaré su relación con el método de los indivisibles de su
maestro Buenaventura Cavalieri (1598-1647). La influencia de Cavalieri sobre la obra y
el pensamiento matemático de Mengoli es indiscutible pero, al mismo tiempo, resulta
obvio que no quiso utilizar el método de su maestro, presumiblemente porque no lo
consideraba suficientemente fundamentado. Esta búsqueda de rigor llevará a Mengoli a
una investigación original, muy personal, con un lenguaje nuevo y a veces oscuro para
sus contemporáneos. Mengoli emprende un singular camino, que lo distingue de
cualquiera de los matemáticos de su época, reuniendo en su obra tres características
fundamentales del pensamiento matemático del siglo XVII: la utilización del legado
clásico, ejemplificado con Euclides y Arquímedes, del lenguaje algebraico aplicado a la
geometría y del infinito.
1.SITUACIÓN HISTÓRICA SOBRE CUADRATURAS ALREDEDOR DE 1650
Debido a las traducciones latinas de los geómetras griegos, a finales del siglo XVI,
se produjo un resurgimiento de las investigaciones geométricas sobre temas
arquimedianos, en particular sobre el cálculo de áreas y volúmenes de figuras
geométricas. Desde el año 1600 al 1680 los procedimientos utilizados por distintos
matemáticos dieron lugar a variadas versiones de infinitesimales e indivisibles. Así
podríamos agruparlos, " a grosso modo", en tres grandes líneas de investigación: una,
relacionada con el método de exhausción (debido a Eudoxo y Arquímedes), otra, con
el método de los indivisibles de Cavalieri y una tercera que comprendería los métodos
algebraicos nuevos.
1
La técnica de los antiguos, que hoy se llama método de exhausción, fue creada por
Eudoxo. Euclides y Arquímedes la aprovecharon en una gran variedad de caminos para
determinar áreas de figuras curvilíneas, volúmenes, superficies y arcos. Arquímedes
obtuvo sus cuadraturas con la ayuda de métodos mecánicos y demostró la validez de
los resultados obtenidos mediante pruebas indirectas. Medía las figuras curvilíneas
aproximándolas (exhauriéndolas) mediante figuras poligonales inscritas y circunscritas.
Ya a principios del siglo XVII, Cavalieri fue uno de los primeros en desarrollar un
nuevo método de cuadratura, llamado método de los indivisibles, cuya principal virtud era
su fertilidad ya que resolvía problemas clásicos y nuevos obteniendo resultados que
coincidían con los ya conocidos por otras vías. El método se basaba en un tipo de
isomorfismo: la proporcionalidad entre dos colecciones de líneas o de planos podía ser
transferida a las figuras en las que se han determinado estas líneas o planos sin que se
definiera claramente si las líneas "componían" la figura o si los planos "componían " el
sólido. Esta transferencia de la razón o proporción entre "todas las líneas" de dos figuras
a la razón o proporción entre las figuras le permitía encontrar las áreas. Durante mucho
tiempo el método de los indivisibles fue discutido y criticado a causa de la poca solidez
de sus fundamentos. El método de Cavalieri se encuentra explicado básicamente en dos
de sus libros: Geometría indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota
(Bolonia, 1635) y Exercitationes geometricae sex (Bolonia, 1647).1 La demostración con
este método de cuadraturas de las infinitas parábolas y = xm , para m entero positivo, fue
publicada por Cavalieri en esta última obra, aunque afirmaba conocerla desde el año
1639.
Otra vía para demostrar la cuadratura de estas infinitas parábolas entonces era
enunciar una regla aritmética algebraica para la suma finita de potencias, comprobarla
para dos o tres casos y deducir el valor de la suma cuando el número de sumandos
tendía a infinito. De hecho, la influencia de Viète y sobre todo de Descartes hicieron que
los métodos algebraicos fueran cada vez más aceptados en el campo de la geometría.
Dentro de esta línea podemos citar a Gilles Persone de Roberval (1602-1675) que,
en 1636, en una carta dirigida a Pierre de Fermat (1601-1665) le enunciaba la regla para
encontrar la suma finita de potencias y explicaba que la utilizaba para el cálculo de las
cuadraturas.2 Así mismo, Fermat especificaba en una carta a Cavalieri, antes de 1644,
que había cuadrado las parábolas, exponiéndole la regla y un ejemplo. El propio Fermat,
en 1657, demostró las cuadraturas para m racional positivo. John Wallis (1616-1703) por
su parte, también demostró estas mismas cuadraturas en su Arithmetica Infinitorum
(1655) utilizando la suma de potencias.3
2
Sin embargo lo que faltaba era encontrar un método válido en general que fuera
aplicable sin ninguna modificación en cada caso particular. En su intento por hallar un
método más general y más sólidamente fundamentado para calcular cuadraturas,
Mengoli hizo confluir, de una manera singular, estas tres líneas: el método de
Arquímedes, los indivisibles de Cavalieri y la utilización del álgebra de Viète.
2. MÉTODOS DE CUADRATURAS DE MENGOLI
Antes de exponer las herramientas matemáticas básicas que utilizó Mengoli para
hacer cuadraturas recordaremos brevemente quien era este matemático boloñés que
murió solo y olvidado.4
El nombre de Pietro Mengoli aparece en el registro de la Universidad de Bolonia en
el periodo 1648-1686 donde sustituyó a su maestro Buenaventura Cavalieri (15981647) en la cátedra de mecánica. Se graduó en filosofía en 1650 y tres años más tarde
en leyes civiles y canónicas. En este primer período escribió tres obras de matemática
pura, Novae Quadraturae Arithmeticae seu de Additione Fractionum (Bolonia, 1650),
Via Regia ad Mathematicas per Atirhmeticam, Algebram Speciosam et Planimetriam
ornata, Maiestati Serenissimae D. Christinae Reginae Suecorum (Bolonia, 1655) y
Geometriae Speciosae Elementa (Bolonia, 1659). En 1660, fue ordenado sacerdote y
hasta su muerte fue prior de la iglesia de Santa María Magdalena de Bolonia. Aunque
de 1660 a 1669 no publicó nada, en 1670 aparecieron tres de sus obras: Refrattioni e
parallase solare (Bolonia, 1670), Speculationi di musica (Bolonia, 1670) y
Circolo
(Bolonia, 1672). Estas obras reflejaban el nuevo propósito de Mengoli de investigar no
únicamente sobre matemáticas puras sino también sobre matemáticas mixtas como la
astronomía, la cronología y la música. Además su investigación estaba claramente
dirigida a justificar escritos bíblicos y a hacer apología de la fe católica. Mengoli
continuó escribiendo en esta línea, publicando Anno (Bolonia, 1675) y Mese
(Bolonia,1681) dos obras sobre cosmología y cronología bíblica y Arithmetica rationalis
(Bolonia, 1674) y Arithmetica realis (Bolonia, 1675) sobre lógica y metafísica.
La obra más importante sobre cuadraturas, Geometriae Speciosae Elementa,
tiene 472 páginas y está compuesta por seis capítulos, que él llama elementos, y una
introducción titulada Lectori Elementario. En esta introducción de 80 páginas se explica
cada uno de los capítulos por separado. El primer capítulo da las potencias de un
binomio expresadas en letras tanto para la suma como para la resta, el segundo calcula
numerosas sumas de potencias y productos de potencias con una notación propia. En el
tercero a partir de la definición de los conceptos razón "cuasi nula", razón cuasi infinita" y
3
razón de "cuasi igualdad" desarrolla una teoría de cuasi proporciones basándose en la
teoría de proporciones del libro V de Euclides. En el cuarto capítulo, basándose también
en el libro V de Euclides elabora una teoría de proporciones logarítmicas. En el quinto
construye el logaritmo y sus propiedades y en el sexto calcula las cuadraturas de curvas
utilizando unas tablas triangulares y la teoría de cuasi proporciones.
Ya en las primeras páginas de esta obra Mengoli señalaba que su método, como
veremos, era una conjunción de los métodos conocidos hasta entonces,
"Ambas geometrías, la antigua de Arquímedes y la nueva de los indivisibles de
Buenaventura Cavalieri (preceptor mío), así como también el álgebra de Viète,
han sido tratadas con bastante acierto por personas cultas; de ellas, ni
confusamente ni como si fuese una mezcla, sino por una perfecta conjunción, se
obtiene una nueva, la especie propia de nuestro trabajo, que no podrá desagradar
a nadie."5
2.1 Método de los indivisibles de Mengoli. Observaciones al método de su maestro.
Es en el sexto elemento, dedicado a las cuadraturas, donde Mengoli, en un
primer cálculo que aparece en la Carta Dedicatoria a Cassini, utilizó el método de los
indivisibles de Cavalieri. Lo hizo a través de un lema y tres proposiciones cuasi
algebraicas de Jean Beaugrand que se encuentran en la Exercitatione quarta, de su
maestro;6 Cavalieri precisaba que incorporó estas soluciones de Beaugrand, que son
más algebraicas, para que no se perdiesen, pero a pesar de que decía que encontraba
la vía algebraica más fácil y más corta, no la utilizó.7 En cambio, Mengoli cuando usó
el método de los indivisibles de Cavalieri, especificaba que lo haría por vía algebraica
utilizando las proposiciones de Beaugrand, porque era más corta.8
Después de mostrar que conocía y sabía aplicar el método de los indivisibles
Mengoli especificó que se proponía dar fundamentos sólidos a un método nuevo para
calcular cuadraturas. Mengoli volvió a calcular las mismas cuadraturas mediante un
segundo método aritmético algebraico propio y lo justificó con estas palabras,
“Mientras tanto dejé de lado este añadido hecho a la
Geometría de los
indivisibles, teniendo miedo de la autoridad de los que juzgan falsa la hipótesis
que todas las infinitas rectas de una figura plana sean la misma figura plana; lo
dejé no porque fuese de esta opinión sino que la esquivé porque la encontraba
dudosa e intenté, si me era posible, establecer fundamentos nuevos y seguros
para el mismo método de los indivisibles o para otros métodos nuevos que
fuesen equivalentes.”9
4
2.2 Resultados matemáticos básicos.
Describiremos brevemente los tres resultados matemáticos básicos que utilizó
Mengoli, en el Elementum sextum, en la demostración de su nuevo método de
cuadraturas, las tablas triangulares de sumatorios, el cálculo de la suma de potencias
y el valor de esta suma cuando el número de sumandos tiende a infinito (cuasi
proporciones).
Mengoli, en el Elementum secundum, inventó una manera de escribir y de calcular
las sumas finitas de potencias. No escribió las sumas de potencias, dando valores o bien
escribiendo los números con el signo + y puntos suspensivos, sino que representó los
números con letras y creó una construcción original y ventajosa que le permitiera calcular
estas sumas.
Mengoli consideró un número cualquiera o tota, representado por la letra t, y lo dividía
en dos partes “a “ y “r = t-a”. Con sus palabras: " Las partes de tota se llamarán parte
separada [abscissa] y parte restante [residua], y la parte separada se representará con la
letra a y la restante con r."10 A continuación consideró tota igual a 1, 2,...y puso ejemplos
hasta 10. Es decir, si t es 2, a es 1 y r es 1. Si t es 3, a puede ser 1 o 2 y entonces r es 2
o 1, respectivamente. Si t es 4, a puede ser 1, 2 o 3, y entonces r es 3, 2 o 1,
respectivamente, y así indefinidamente. También calculó los cuadrados y los cubos de a,
los productos de a y r, de los cuadrados de a y r, etc.
Además, Mengoli explicó que todos los números que separaba, a, de un mismo
número, t, (así como los restantes r que le quedaban) los llamaría "sinónimos"
[synonymae]. Así, si t es 3, los synonimae son 1 y 2; si t es 4, los synonimae son 1, 2 y 3,
etc. Después sumó los synonimae para obtener sumas del tipo
t -1
O.a = tots els sin oïnims de t =a
a=1
Mengoli los llamó massa de todas las abscisas. Así, si t es 3, la suma [massa] valdrá 3,
ya que es la suma de 1 y 2. Si t es 4, la suma valdrá 6, ya que es la suma de 1, 2 y 3,
etc.
Mengoli ordenó todos estas sumas que resultan de la adición de los synonimae en una
tabla triangular que llamó tabla "de los símbolos" [Tabula Speciosa].
O.u
5
Base primera
O.a
O.a2
Base segunda
Base tercera
O.a3
O.r
O.a2r
Base cuarta O.a4 O.a3r
O.r2
O.ar
O.ar2
O.a2r2
O.r3
O.ar3
O.r4
Tabula speciosa
Los elementos de esta tabla son sumatorios del tipo
O.u = (t-1)
O.a = 1 + 2 + 3 +... + (t-1)
O.r = (t-1) + (t-2) + (t-3) +... + 1
O.a2 = 12 + 22 + 32 +... + (t-1)2
O.ar = 1.t-1) + 2.t-2) + 3.t-3) +... + (t-1).1
Mengoli los llamó species.11 Mengoli consideró el vértice de la tabla "de orden cero", y
la primera fila de la tabla triangular "de orden uno", la segunda "de orden dos", etc. y
asignó números ordinales a las filas o bases. Así calculó y demostró el valor de estas
sumas utilizando el número t como punto de partida para su construcción.12
La originalidad de Mengoli radica no en la definición de las tablas triangulares sino en
su tratamiento. Por un lado, Mengoli usó el álgebra de Viète para crear unas tablas con
letras expresando sumas finitas de potencias y de productos de potencias; por otro lado,
utilizó las relaciones entre las sumas y los números combinatorios del triángulo aritmético
para demostrar uno de los resultados importantes de su libro (Teorema 22): la expresión
de la suma de las m potencias de t-1 enteros.
El otro artilugio importante que Mengoli utilizó es la teoría de cuasi proporciones que
elaboró, en el Elementum tertium, basándose en la teoría de proporciones del libro V de
Los Elementos de Euclides. Mengoli primero definió las nociones de razón cuasi infinita,
razón cuasi nula, razón de cuasi igualdad, razón cuasi una razón dada, términos cuasi
proporcionales y cuasi iguales de esta manera:
1. Una razón indeterminada determinable, que al determinarse, puede ser mayor que
cualquier [razón] dada, en la medida en que es determinable, se llamará cuasi infinita.
2. Y si puede ser menor que cualquier [razón] dada, en la medida en que es
determinable, se llamará cuasi nula.
3. Y si puede ser menor que cualquier razón mayor que la igualdad; y mayor que
cualquier razón menor que la igualdad, en la medida en que es determinable, se
llamará de cuasi igualdad. O bien, dicho de otra manera, que pueda ser más próxima
a la igualdad que cualquier razón dada que no sea la igualdad, en la medida en que
sea tal, se llamará de cuasi igualdad.
6
4. Y si puede ser menor que cualquier razón mayor que una razón dada; y mayor que
cualquier razón menor que la misma razón dada, en la medida en que es
determinable, se llamará cuasi igual a esta razón. O bien, de otra manera, que pueda
ser más próxima a cualquier razón dada que cualquier otra razón que no sea igual a
esta, en la medida en que es determinable, se llamará cuasi igual a la razón dada.
5. Y los términos de razones cuasi iguales entre sí se llamarán cuasi proporcionales.
6. Y [los términos] de razones de cuasi igualdad se llamarán cuasi iguales.13
Seguidamente Mengoli probó que las cuasi proporciones así definidas cumplían todas
las propiedades (permutando, componendo,...) de las proporciones de Euclides,
estableciendo así su nueva teoría sobre pilares sólidos.14 En el teorema 42 de este
Elementum, partiendo del teorema 22 del Elementum secundum y utilizando esta teoría,
Mengoli demostró que la suma de las m potencias de (t-1) enteros cuando el número de
sumandos tiende a infinito es cuasi igual a la potencia (m+1) de t (o sea el orden de t es
una unidad mayor que el orden de las potencias de la suma).
2.3 Nuevo método de cuadraturas.
Finalmente, con estas herramientas, en el Elementum sextum, demostró las
cuadraturas con su nuevo método.15 Mengoli intentó desde el principio que quedara clara
su aplicación del álgebra a la geometría y para ello se extendió en la identificación de las
figuras (que él llama formas) que quería cuadrar con las expresiones algebraicas que
utilizaba para representarlas, sin hacer ningún dibujo. Daba su propio sistema de
coordenadas, definiendo la abscisa y la ordenada y describía individualmente las
ordenadas de las figuras a través de las abscisas en un intervalo. Así para representar la
parábola escribía FO.a2., para la expresión y = x3 escribía FO.a3., para la expresión y =
x.(1-x) escribía FO.ar., representando x con la letra a y 1-x con r ... Mengoli además
colocó estas expresiones algebraicas en tablas triangulares de manera similar a como
había hecho con los sumatorios a fin de poder calcular a la vez todas las cuadraturas de
las figuras de la tabla.
FO.u.
FO.a.
FO.r.
FO.a2. FO.ar.
FO.a3. FO.a2r.
FO.u.
FO.r2.
FO.ar2. FO.r3.
Tabula Formosa
FO.u.
FO.a.
FO.r.
FO.a2. FO.2ar.
FO.r2.
FO.a3. FO.3a2r. FO.3ar2. FO.r3.
Tabula Subquadraturarum
y=1
7
FO.2a .
FO.3a2.
FO.2r.
FO.6ar.
FO.r2.
y=2x
y=3x2
y=2(1-x)
y=6x(1-x)
y=3(1-x)2
FO.4a3. FO.12a2r. FO.12ar2. FO.4r3 y=4x3 y=12x2(1-x) y=12x(1-x)2
Tabula quadraturarum
y=4(1-x)3
Notación moderna
Los coeficientes por los que multiplicó las filas de la primera tabla (Tabula Formosa)
eran los correspondientes al triángulo aritmético obteniendo así la segunda tabla (Tabula
Subquadraturarum). Después multiplicaba cada fila de esta tabla por una unidad más que
el orden de la fila, así la primera fila por dos, la segunda por tres, etc. obteniendo la última
tabla (Tabula quadraturarum). Mengoli conocía, lo había calculado con el método cuasi
algebraico de Beaugrand, que el valor de las áreas de las figuras de la primera tabla eran
los inversos de estos productos; por tanto, los colocó como coeficientes de las figuras
que quería cuadrar y sólo le quedaba demostrar que todas las áreas de estas figuras
valían la unidad, es decir, el área de un cuadrado de lado uno.
Para la demostración utilizó la teoría de cuasi proporciones estableciendo dos cuasi
igualdades. Por una parte, demostró que la figura que quería cuadrar era cuasi igual a
una figura nueva, la adscrita a ella, y por otra, que esta figura adscrita era cuasi igual al
cuadrado de lado uno.
Para la primera cuasi igualdad utilizó las definiciones de figura inscrita y figura
circunscrita de Arquímedes. La figura inscrita está formada por los paralelogramos
máximos incluidos en la figura, la figura circunscrita por los paralelogramos mínimos que
incluyen la figura. En cambio, la figura adscrita está formada por los paralelogramos
construidos sobre las ordenadas correspondientes al primer extremo de la división (o bien
sobre el último).
Mengoli utilizó la definición de cuasi igualdad del Elementum tertium para demostrar
que la figura adscrita y la figura (forma) que quería cuadrar formada por las ordenadas
eran cuasi iguales. Por un lado, demostró que la circunscrita excede a la adscrita en una
cantidad rectangular determinada por la ordenada máxima y una de las partes de la base
y, por otro, que la adscrita excede a la inscrita en una cantidad no mayor (Proposición 5).
También demostró que la circunscrita y la inscrita eran cuasi iguales, o sea que es
posible encontrar un número de divisiones de la base que haga que la razón entre la
circunscrita y la inscrita se aproxime más a la igualdad que cualquier otra razón diferente
de la igualdad (Proposición 6). Al ser la figura a cuadrar y la adscrita figuras que se
encuentran entre la circunscrita y la inscrita y al ser estas últimas cuasi iguales, la figura
a cuadrar y la adscrita eran cuasi iguales (Proposición 7).
8
Esta es una demostración a la manera de Arquímedes pero utilizando el método
directo de las cuasi razones en vez del método de reducción al absurdo. Otra diferencia
con el método de exhausción es que, en él, se utiliza directamente la figura que se quiere
cuadrar entre la circunscrita y la inscrita; en cambio, Mengoli usa una figura nueva, que
llama adscrita, formada por rectángulos finitos.
Para establecer la segunda cuasi igualdad demostró previamente la proporción entre
la figura adscrita y el cuadrado por una parte y la suma de potencias y la potencia de t
por otra (Proposición 8). Aplicó la teoría de cuasi proporciones a esta proporción,
obteniendo que si la suma de potencias y la potencia de t son cuasi iguales (teorema 42
del Elementum tertium) entonces la figura adscrita y el cuadrado también son cuasi igual.
Una vez establecidas las dos cuasi igualdades, una entre la adscrita y el cuadrado y la
otra entre la adscrita y la figura a cuadrar, utilizó un teorema anterior que demuestra que
dadas dos razones de cuasi igualdad con antecedentes iguales éstas tendrán también
los consecuentes iguales (Proposición 10).
Cuando en el Teorema 42 Mengoli demostró que la suma de potencias y la potencia
de t con el número de sumandos tendiendo a infinito eran cuasi iguales, se podía
naturalmente pensar que Mengoli utilizaría esta cuasi igualdad para calcular el área de la
curva asociada a este sumatorio. Pero no lo hizo. No intentó hallar el área de la figura
directamente a través del valor de la suma cuando el número de líneas o rectángulos
aumenta, y de esta manera se evitó el problema que tuvo Cavalieri para justificar si
"todas las líneas" eran iguales a la figura. Mengoli, a diferencia de Cavalieri, nunca
comparó dos figuras a través de la comparación de líneas, nunca superpuso figuras, sino
que estableció cuasi razones entre figuras.
Además, la demostración de Mengoli era independiente del grado y le servía para
cualquier figura de la tabla. El álgebra le proporcionaba un método para calcular a un
mismo tiempo todas estas cuadraturas (que ya conocía) y no le hacía falta hacer cada
vez la cuadratura de una curva para encontrar una regla que le permitiera generalizarlas.
Quiero aprovechar para dejar constancia que la figura que Mengoli quería cuadrar era el
círculo. Y, es por este motivo que calculó las áreas en el intervalo (0,1), también en una
obra posterior, Circolo, interpoló la tabla de figuras (Tabula Formosa) y la tabla de valores
de las áreas de estas figuras calculadas en la Geometriae. Fue precisamente en el
Circolo donde las tablas triangulares cobraron verdadero protagonismo, aunque no hay
que olvidar que en la Geometriae las utilizó para hallar los desarrollos de una potencia
natural de un binomio cualquiera, para hallar sumas de potencias y de productos de
potencias y también para hallar áreas de figuras. Mengoli halló el instrumento
9
generalizador en las tablas triangulares y en el álgebra ya que las tablas se podían
extender indefinidamente, eran fáciles de construir y las letras le permitieron identificar las
figuras dentro de la tabla.
3. CONCLUSIÓN
El estudio de la obra de Mengoli revela que la base de su nuevo método no era el
método de los indivisibles de su maestro Cavalieri, sino el triángulo aritmético y la teoría
de cuasi proporciones. Así elaboró una teoría numérica de sumas de potencias y límites
de estas sumas que no tienen nada que ver con las Omnes lineae de Cavalieri. No está
clara la razón por la que Mengoli no siguió el camino de su maestro. Quizás fuera debido
a que el método de Cavalieri había recibido muchas críticas y Mengoli no podía dejar de
ser sensible a ellas. Quiso buscar nuevos métodos, con fundamentos más sólidos,
introduciendo en sus cálculos el álgebra de Viète a través de las tablas triangulares y la
teoría de las "cuasi-proporciones". Seguramente porque quería alejarse del método de
los indivisibles y de sus críticas, Mengoli recurrió a este nuevo lenguaje algebraico. En
este sentido, podemos decir que era "moderno". Pero Mengoli era clásico en su forma de
presentar la obra y su pensamiento ya que uno de sus grandes pilares fueron Los
Elementos de Euclides. La teoría de proporciones euclidiana era una de las bases de su
matemática. Con la teoría de proporciones construyó la teoría de cuasi proporciones.
Esta teoría, sin embargo, muestra también que era innovador ya que trabajó con el
infinito, comparó infinitos de diferente orden y demostró numerosas cuasi proporciones.
Mengoli, por tanto, siguiendo una investigación muy original "conjuntó perfectamente" en
su obra la matemática clásica, representada en este caso por Euclides (teoría de
proporciones) y Arquímedes (método de exhausción), el método de los indivisibles de su
maestro y la matemática innovadora, de aquel momento, representada por el álgebra de
Viète.
Aunque su método fuera innovador es una realidad que muchos matemáticos de la
época no se lo leyeron debido a su manera de escribir enrevesada y poco clara. Mengoli
hizo una aplicación muy rigurosa del lenguaje algebraico sobre todo en el aspecto formal
que comportó una complicación muy grande en cuanto a símbolos y escritura, que
además va en aumento a medida que avanza su obra. Pero si en su época la utilización
del lenguaje algebraico fue un handicap para su difusión, es precisamente esta
característica peculiar la que, actualmente, hace más interesante el estudio de Mengoli.
Sus aportaciones constituyen un eslabón más en el proceso de la algebrización de las
matemáticas que se estaba desarrollando en el siglo XVII. Su objetivo prioritario no fue ni
10
la construcción algebraica de las curvas ni la clasificación de las mismas, sino resolver
unas cuadraturas que ya conocía, a través de un método distinto, con fundamentos más
seguros, y en el cual desarrollaba el álgebra de Viète. En Mengoli las características del
pensamiento algebraico y geométrico no se enfrentaron, como ocurrió en el caso de otros
contemporáneos suyos, sino que se superpusieron como dos capas de barniz que
realzan el colorido del cuadro.
BIBLIOGRAFIA
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Exact Sciences, 31, 1984/85, 291-367.
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Pierre de Fermat, Oeuvres, ed. Paul Tannery and Charles Henry, 4 vols. y supps., París,
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Michael S. Mahoney, The mathematical career of Pierre de Fermat, Princeton, Princeton
University Press, 1973.
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Societat Catalana de Matemàtiques , nº 9, 1994, 68-100.
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Mª Rosa Massa, "Estudis matemàtics de Pietro Mengoli (1625-1686)", Tesi Doctoral,
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11
John Wallis, Opera mathematica, 3 vols., Arithmetica Infinitorum, vol. 1, Nueva York:
Olms, 1972.
1
Sobre el método de los indivisibles de Cavalieri, véase Kirsti Andersen, "Cavalieri's Method of
Indivisibles", Archive for the History of the Exact Sciences, 31, 1984/85, 291-367; Enrico Giusti,
Bonaventura Cavalieri and the Theory of Indivisibles, Edizioni Cremonese, Bolonia, 1980; Antoni
Malet, From Indivisibles to Infinitesimals, Studies on Seventeenth-Century Mathematizations of
Infinitely Small Quantities.Barcelona, Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona,
1996, 11-20; Mª Rosa Massa, "El mètode dels indivisibles de Bonaventura Cavalieri", Butlletí de la
Societat Catalana de Matemàtiques , nº 9, 1994, 68-100.
2
En conexión con la suma de potencias de Roberval, véase Evelyn Walker, A Study of the
Traité des Indivisibles of... Roberval, Nueva York, Columbia Univ. Press, 1986, p. 171-173.
3Aunque
ya Fermat y Wallis utilizaban elementos algebraicos en su método de cuadraturas, el
camino que siguieron fue muy diferente al de Mengoli. Para Fermat, véase Pierre de Fermat,
Oeuvres, ed. Paul Tannery and Charles Henry, 4 vols. And supp., Paris: Gauthier-Villars, 18911922, p. 69-70, 83-84 y Michael S. Mahoney, The mathematical career of Pierre de Fermat,
Princeton: Princeton Univ. Press, 1973, p. 291. Para Wallis, véase John Wallis, Opera
mathematica, 3 vols., Arithmetica Infinitorum, vol. 1, Nueva York: Olms, 1972, p. 384.
4
Para los datos biográficos de Mengoli véase, A. Natucci, "Pietro Mengoli", en Dictionary of
Scientific Biography, ed. C.C. Gillispie, 16 vols.,2 supps., Nueva York: Scribner's, 1970-1991,9:
303-304 y Mª Rosa Massa, "Estudis matemàtics de Pietro Mengoli (1625-1686)", Tesi Doctoral,
Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona, Bellaterra, 1999, p. 9-26.
5
En latín, " Ipsae satis amabiles litterarum cultoribus visae sunt, utraque Geometria, Archimedis
antiqua, & Indivisibilium nova Bonaventura Cavalierij Praeceptoris mei, necnor & Viettae Algebra:
quarum, non ex confusione, aut mixtione, sed coniunctis perfectionibus, nova quaedam, & propria
laboris nostri species, nemini poterit displicere" Pietro Mengoli, Geometriae Speciosae Elementa,
Bolonia, 1659, pp. 2-3. El subrayado es mío.
6
En la introducción de la Exercitatione quarta, Cavalieri explicaba que cuando estaba
investigando sobre cuadraturas pasó camino de París el padre Nicerone (1613-1646), a quien
comunicó sus descubrimientos y éste los refirió a Beaugrand. Más tarde, Cavalieri tuvo noticias
a través de Mersenne de la muerte de Beaugrand y de las soluciones que éste había
12
encontrado a las cuadraturas propuestas justificando su inclusión en el libro para que no se
perdieran. Bonaventura Cavalieri, Exercitationes geometricae sex, Bolonia, 1647, p. 243-245.
7
En Exercitatione, en el escolio después del lema, Cavalieri escribía:
"A partir de estas
demostraciones el lector no ignorante de estas multiplicaciones algebraicas, comprenderá que
esta vía es mucho más fácil que la Euclidiana, cuya estructura es más larga en las Proposiciones
17 y 18." - Bonaventura Cavalieri, Op. Cit., Bolonia, 1647, p. 286.
8
Véase demostraciones en Mª Rosa Massa, Tesi Doctoral, Publicacions de la Universitat
Autònoma de Barcelona, 1999, p.117.
9
En latín, “Ipsam interim accessionem, quàm Geometriae Indivisibilium feceram, praeterivi:
veritus eorum authoritatem, qui falsum putant suppositum, omnes rectas figurae planae
infinitas, ipsam esse figuram planam: non quasi hanc sequens partem; sed illam quasi non
prorsus indubiam devitans: tentandi animo, si possem demum eamdem indivisibilium
methodum, aut aliam equivalentem novis, & indubijs prorsus constituere fundamentis.” Pietro
Mengoli, Geometriae Speciosae Elementa, Bolonia, 1659, p. 364. El subrayado es mío.
10
En latín "2. Et partes Totae, dicentur, Abscissa, & Residua:&significabitur abscissa,
charactere a; & residua r" Pietro Mengoli, Op. Cit., p. 21.
11El
nombre procede claramente de Viète y su Logistica speciosa. Véase, François Viète,
Opera mathematica, ed. Jan Van Schooten, Nueva York: Olms, 1970.
12
Véase demostraciones en Mª Rosa Massa "Mengoli on "Quasi Proportions"", Historia
Mathematica 24 (1997), 257-280, p. 267.
13
En latín: "1. Ratio indeterminata determinabilis, quae in determinari potest esse maior, quam
data quaelibet, quatenus ita determinabilis, dicetur Quasi infinita. 2. Et quae potest esse minor,
quàm data quaelibet, quatenus ita determinabilis, dicetur, Quasi nulla. 3. Et quae potest esse
minor, quàm data quaelibet maior inaequalitas; & maior, quàm data quaelibet minor
inaequalitas, quatenus ita determinabilis, dicetur, Quasi aequalitas. Vel aliter, quae potest esse
propior aequalitati, quàm data quaelibet non aequalitas, quatenus talis, dicetur, Quasi
aequalitas. 4. Et quae potest esse minor, quàm data quaelibet maior, proposita quadam ratione;
& maior, quàm data quaelibet minor, proposita eadem ratione, quatenus ita determinabilis,
dicetur, Quasi eadem ratio. Vel aliter, quae potest esse propior cuidam propositae rationi, quàm
data quaelibet alia non eadem, quatenus talis, dicetur, Quasi eadem. 5. Et rationum quasi
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earundem inter se, termini, dicentur, Quasi proportionales. 6. Et quasi aequalitatum, dicentur,
Quasi aequales." Pietro Mengoli, Op. Cit., 97-98. El subrayado es mío.
14
Véase, Mª Rosa Massa, Ibidem, 268-277.
15
Véase demostraciones detalladas en el capítulo de cuadraturas de mi tesis doctoral. Mª Rosa
Massa, Tesis Doctoral, Barcelona, 1999, 108-171.
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