Estadística Descriptiva ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ANOTACIONES

Estadística Descriptiva
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
ANOTACIONES
1º BACHILLERATO SOCIALES
EMPRESARIALES ECONOMÍA ADE
PSICOLOGÍA
TRABAJO SOCIAL
Luciano Rubio Yusto
Dpto. Matemáticas
Dpto Matemáticas
IES León Felipe
1
Estadística Descriptiva
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Estadística es la ciencia que utilizando las matemáticas y de modo particular el
cálculo estudia las leyes de comportamiento de aquellos fenómenos que no estando
sometidos a leyes rígidas dependen del azar y basándose en ella, se predicen resultados.
La estadística tiene dos grandes ramas: Descriptiva e Inferencial.
-
Estadística Descriptiva analiza las características de una población o muestra
definiéndose unas propiedades acerca de su estructura y composición.
-
Estadística Inferencial basándose en los resultados obtenidos de una muestra
induce o estima las leyes reales de comportamiento de la población de la que
proviene dicha muestra.
-
Población son todos y cada uno de los elementos que se quieren analizar.
Puede ser finita o infinita( en realidad las poblaciones infinitas no existen,
pero cuando se trata de un número grande se trata como si lo fuera).
-
Muestra es un subconjunto de la población o parte de la población que se
observa.
-
Característica de una población es la propiedad que se estudia.
-
Variables es cualquier característica cuantitativa ( tome valor numérico) de
una población .
Ejemplo: Población Estudiantes de Económicas de Salamanca, Característica Edad de
ellos, la característica se designa con letras mayúsculas X, Y, Z,...., los valores de esas
edades son numéricos entonces es una variable cuantitativa y los valores que toman se
denotarían X={x1, x2, x3,........xn }.
-
Dominio de la variable son los valores que toma
-
Recorrido de la variable es la diferencia entre el valor mayor y el menor de
los que toma la variable.
-
Variable Discreta cuando toma un número finito de valores o bien cuando
toma infinitos y son numerables es decir entre dos no hay otro intermedio.
Ejemplo: la edad, las notas, ......
-
Variable continua cuando entre dos valores cualesquiera siempre puede
haber otro. Ejemplo: Talla, peso,......
-
Variable unidimensional Estudia solo una característica de la población.
Ejemplo: Estudiar el peso (X)
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2
Estadística Descriptiva
-
Variable bidimensional Estudia dos características de una población.
Ejemplo Estatura(X) y peso (Y)
-
Variable infidimensional estudiaría infinitas características
-
Atributos son características de la población no susceptibles de
cuantificación numérica. Ejemplo.: Color del pelo, los atributos se designan
con letras A, B, C, .......y sus valores A={a1, a2, .............., an}.
En Economía son muchos más importantes las variables (toman valor
numérico)) que los atributos.
ETAPAS DEL ANÁLISIS ESTADÍSTICO
1)
2)
3)
4)
Recogida de Datos
Ordenación de los mismos en tablas
Resumen de la información recogida a través de las medidas(Descriptiva)
Analizar los datos provenientes de una muestra para sacar conclusiones sobre la
población de la que proviene la muestra ( Inferencial).
ESCALAS DE MEDIDA
-
Escala nominal la característica estudiada se clasifica en una serie de
características no numéricas y mutuamente excluyentes y no se puede
establecer ningún orden entre ellos.
-
Escala ordinal el carácter medido no es numérico pero puede establecerse
algún tipo de orden. Ejemplo estudios de una persona.
-
Escala de intervalos la característica puede cuantificarse numéricamente,
estableciéndose intervalos entre dos operaciones. Ejemplo: Renta mensual
que percibe una persona.
ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES
-
Distribución unidimensional está formada por los valores que toma la
variable que se estudia acompañados de sus respectivas frecuencias.
-
Frecuencia absoluta
determinado valor.
-
Frecuencia relativa ( hi) es el cociente entre la frecuencia absoluta y el
número total de observaciones, por tanto la frecuencia relativa está siempre
entre cero y uno.
-
Frecuencia absoluta acumulada
( fi ) es el número de veces que se repite un
i
Fi   f j
es decir se suman las
j 01
frecuencias anteriores a un valor dado, por tanto la acumulada al final
coincide con la población N.
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3
Estadística Descriptiva
-
Distribución por datos no agrupados es cuando se especifican todos y cada
uno de los valores de la variable.
-
Distribución por datos agrupados los valores de la variable se miden en
intervalos , la amplitud del intervalo es la diferencia entre el extremo
superior e inferior del intervalo y la suma de las amplitudes de todos los
intervalos es igual al recorrido ( diferencia entre el valor mayor y el menor
de la distribución).
-
Marca de clase de un intervalo es la semisuma de los extremos del intervalo
y es el valor que sustituye a todo el intervalo
l
x
i
i 1
 li
2
siendo el
intervalo [li-1 , li ].
Las representaciones gráficas tienen que estar hechas para que el simple
impacto visual nos dé información de la distribución
En distribuciones cuantitativas si los datos no están agrupados, se emplea el
diagrama de barras, si están agrupados el histograma., si la distribución es
cualitativa se suele emplear el diagrama de sectores.
Diagrama de barras Datos sin agrupar y las barras proporcionales a las
frecuencias.
Diagrama de Barras
12
Frecuencias
10
8
6
4
2
0
x1
x2
x3
x4
x5
Datos X
Dpto Matemáticas
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4
Estadística Descriptiva
Diagrama rectángulos
Frecuencias
10
8
6
4
2
0
x1
Dpto Matemáticas
x2
x3
x4
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x5
X
5
Estadística Descriptiva
En datos agrupados el Histograma pone en el eje vertical las densidades de
frecuencia de cada intervalo de forma que el área de cada rectángulo es la frecuencia
absoluta del intervalo.
Densidad de frecuencia di = fi/ai
Frecuencias absolutas
Diagrama en escalera para datos no agrupados se utiliza para las frecuencias
acumuladas , son histogramas en los que en el eje vertical se acumulan las frecuencias
absolutas, por eso se llaman en escalera.
x1
x2
x3
xn
Datos
Frecuencias acumuladas
Diagrama de barras acumulado para datos agrupados
Intervalos clase
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6
Estadística Descriptiva
Histograma para datos agrupados en intervalos
Densidades
El área de cada rectángulo nos da la frecuencia del intervalo, por tanto la base es
la amplitud y la altura la densidad de frecuencia de dada uno di
f5
f3
f1
a1
Dpto Matemáticas
f4
f2
a2
a3
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a4
a5
Amplitudes
7
Estadística Descriptiva
MEDIDAS DE POSICIÓN
Se trata de resumir la información en un único número.
Las medidas de posición pueden ser:

De tendencia central o promedios
1. Media
2. Mediana
3. Moda

De tendencia no central
1. Cuantiles.
Las medidas de posición tienen que cumplir que intervengan todos los valores de la
variable, que se puedan calcular y que su valor sea único para cada distribución de
frecuencias.
1.- MEDIA
La media puede ser :




Aritmética simple o ponderada
Media Cuadrática
Media Geométrica
Media Armónica
Media aritmética simple
Se suman de todos los valores de la variable ponderados por sus frecuencias absolutas y
dividido todo ello por el número total de observaciones
n

x
x f
i 1
i
i
N
La media aritmética es siempre el centro de gravedad de la distribución y es
siempre un valor que entra dentro del campo de variación de la variable.
Si los datos están agrupados en intervalos se toma la marca de clase de cada
intervalo para su cálculo.
Propiedades
1.- Cuando a los valores de la variable se les suma una constante, la nueva media
es la antigua más la constante.
x´ x  K
Dpto Matemáticas



x´  x  K
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8
Estadística Descriptiva
Demostración
 x ´ f   ( x  K ) f   x f  k  f  x  K puesto
x´ 

_
i
i
i
N
i
i
N
i
i
N
N
que la suma de las fi es N.
2.- Si a los valores de la variable se les multiplica por una constante, la nueva
media es la antigua multiplicada por la constante.
x, ´ xi K



x´ K x
Demostración
 x ´ f   Kx f  K  x f  k x
x´


i
i
i
N
i
i
N
i
N
3.- Como consecuencia de las dos anteriores si a los valores de una variable se
les multiplica por constante y se les suma un número, la media aritmética queda
multiplicada por la constante y sumado el número.

Es decir si :

Y  KX  B entonces Y  K X  B
4.- La media aritmética se puede hacer siempre con variables cuantitativas y es
perfecta, pero tiene un inconveniente que es que si los valores son muy extremos
( desviados del resto), puede desvirtuarse la situación y hacerla poco
representativa, debido a este problema, a veces se hace la media truncada que es
quitar los extremos y hacer la media de los que quedan.
Media Aritmética ponderada
Es igual que la media aritmética simple, pero se pondera cada valor de la
variable por un coeficiente distinto de la frecuencia absoluta.
Media cuadrática
Es la media de los valores de la variable al cuadrado es decir :
x f
x 

2
2
i
i
N
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9
Estadística Descriptiva
Media Armónica
Es la media de los valores inversos de la variable, o la inversa de la media aritmética
H
N
f
 i
xi
La media armónica se utiliza cuando la variable se encuentra medida en términos
relativos. Por ejemplo la velocidad.
Media Geométrica
Es la raíz N-ésima del producto de los valores de la variable elevado cada uno de ellos a
su frecuencia absoluta
G  N x1f .x2f ..........xnf
1
2
n
Tiene el problema de que su cálculo es muy complicado sobre todo si N es grande.
2.- MEDIANA
Es el valor de la variable que ocupa el lugar central de la distribución, es decir el valor
de la variable que deja el 50% de observaciones hacia la izquierda y el 50% a la
derecha.
Para poder hallar la mediana, lo primero que hay que hacer es ordenar los valores de la
variable de forma creciente, y escribir los valores de las frecuencias acumuladas Fi.
Distinguiremos dos casos, datos no agrupados y datos agrupados.
Para datos no agrupados
Se calcula primero el 50% de la población N/2, se lleva ese valor a la columna de
frecuencias absolutas acumuladas.

Si el valor no está en la columna de acumuladas, se toma como valor de la
mediana el de la variable correspondiente al siguiente.

Si el valor si está en la columna de acumuladas, se toma como mediana la media
aritmética del valor de la variable y el siguiente.
Para datos agrupados en intervalos
Se calcula como antes la mitad de la población, y se lleva ese valor a la columna de
frecuencias absolutas acumuladas.
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10
Estadística Descriptiva

Si el valor no está en la columna, se toma como intervalo al que pertenece la
Mediana el siguiente al valor de N/2, y después de situarnos en el intervalo por
la hipótesis de uniformidad hacemos una proporción entre la amplitud del
intervalo, los elementos que tiene y la amplitud que correspondería a la
diferencia entre N/2 y la frecuencia acumulada anterior valor que añadiríamos al
extremo inferior del intervalo.

Si el valor sí está en la columna de frecuencias acumuladas, se toma como
Mediana el extremo superior del intervalo correspondiente.
También se puede hallar gráficamente con el diagrama correspondiente a las frecuencias
absolutas acumuladas.
3.- MODA
Es el valor de la variable que más veces se repite. En algunos casos existen varias
modas, pero normalmente es una, si son dos se llama bimodal.
Para datos no agrupados
La moda es el valor de la variable correspondiente a la mayor frecuencia absoluta.
Para datos agrupados en intervalos
Se halla la densidad de frecuencia de cada uno de los intervalos (di) y el de mayor
densidad de frecuencia se selecciona como intervalo modal, para determinar el valor de
la Moda, se aplica la siguiente fórmula, basada en la proporcionalidad:
Mo  Li 
d i  d i 1
.ai
(d i  d i 1 )  (d i  d i 1 )
Si los intervalos tienen todos la misma amplitud el intervalo modal es el de mayor
frecuencia absoluta.
CUANTILES
Son medidas de posición que no tiene porqué ser central. Hay varios tipos de cuantiles:
1.- Cuartiles Son valores de la variable que dividen a la distribución en cuatro partes
iguales, por lo tanto los cuartiles son tres C1 que deja por detrás de él al 25% de la
población, C2 que divide a la población en dos partes iguales y C3 que deja dtrás de él al
75% de la población.
2.- Deciles Son valores e la variable que dividen a la distribución en diez partes iguales,
por lo tanto los deciles son nueve, D1 deja al 10% antes, D2 al 20% y así sucesivamente
hasta D9 que deja al 90% antes y al 10% después de él.
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11
Estadística Descriptiva
3.- Percentiles.- Son valores de la variable que dividen a la distribución en cien
partes iguales, por lo tanto los percentiles son 99.
En realidad tanto cuartiles como deciles se calculan con el correspondiente percentil.
D1= P10
D9 = P90
C1 = P25
C2 = D5 = P50 = ME .
Para calcular cualquiera de ellos se utiliza por lo tanto el mismo procedimiento
que el descrito en el cálculo de la Mediana.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión nos indican el mayor o menor alejamiento de los
valores de una variable respecto a un promedio. Casi siempre acompañando a un
promedio debe ir una medida de dispersión que nos indica la mayor o menor
representatividad del promedio.
Las medidas de dispersión absoluta más utilizadas son:





Recorrido
Recorrido Intercuartílico
Desviación Media
Varianza
Desviación Típica
RECORRIDO
Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable
R = xn – x 1
RECORRIDO INTERCUARTÍLICO
Es la diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil
RI = Q3 – Q1
DESVIACIÓN MEDIA
Es la suma de los valores en valor absoluto de la diferencia entre cada valor de la
variable y la media aritmética por su frecuencia y dividido por el número de datos.
 x  x  f

i
i
i 1 

D 
x
N
in


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12
Estadística Descriptiva
VARIANZA

S
2
 ( x  x)

2
i
X
fi
N
Siempre es positiva (por estar al cuadrado). Como la varianza es siempre
positiva, a mayor varianza mayor será la dispersión.
Propiedades:
1.-La varianza siempre es mayor o igual que cero. Tan solo hay un caso en que es cero y
es cuando todos los valores de la variable son iguales.
2.- Si a los valores de la variable le sumo una constante, la varianza de la nueva variable
es la misma que la que tenía antes.
Es decir si xi´= xi+K entonces S2x´= S2x
Demostración:

S x´2 
 ( xi´ x´) fi
N


 ( xi  k  ( x k ))2 fi
N
 S x2
3.- Si a los valores de la variable se les multiplica por una constante, la varianza de la
nueva variable es la que tenía por el cuadrado de la constante.
Es decir si xi´= k xi entonces S2x´= k2 S2x
Demostración
´
 ( x ´ x)
S ´
2
x
i
2

fi
N
 (kx  k x)

i
N
2

fi
k
2
 ( x  x)
i
N
2
fi
 k 2 S x2
4.- Es consecuencia de las dos anteriores, la varianza de la variable Y=aX+b es la
varianza de X multiplicada por el cuadrado de a.
S y2  a2 Sx2
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13
Estadística Descriptiva

2
5.- Cálculo abreviado de la varianza S x2  x 2  x que es la fórmula más utilizada.
Demostración
2



 xi  x  f i



S x2 

N
2

 ( xi2  x  2 xi x) fi
N

 xi2 fi
N
2

x  fi
N


2 x  xi fi
N

2
2
x x.
DESVIACIÓN TÍPICA (Sx)
Es la raíz cuadrada positiva de la varianza y es la medida de dispersión más utilizada.
Clases de medidas de dispersión relativas
Se caracterizan por ser adimensionales, las más importante es el coeficiente de
variación de Pearson, nos indica la mayor o menor homogeneidad de los datos respecto
de la media y por lo tanto nos da la representatividad de la media en la distribución.
CVx 
Sx

x
Tipificación de variables
Tipificar una variable es cambiarla por otra que tenga de media cero y
desviación típica 1. Se utiliza para comparar distribuciones .
Cada valor se tipifica restando la media y dividiendo por la desviación típica, la
nueva variable z, tiene de media cero y desviación típica 1.

xx
z
Sx
MEDIDAS DE FORMA
Hacen referencia a la forma de la distribución, simétrica, asimetría a la derecha o
a la izquierda. En general la mejor manera de verlo es por la representación gráfica,
pero si no la tenemos existen coeficientes que nos indican la forma de la distribución.
Los más utilizados son:
 Coeficiente de asimetría de Pearson, sólo se puede utilizar en distribuciones
campaniformes (forma de campana) y unimodales
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14
Estadística Descriptiva


x M o
Sx
Este coeficiente puede ser:
Ap 
 0 entonces la media igual que la moda, distribución simétrica
 >0 entonces la media mayor que la moda, asimetría a la derecha positiva
 <0 entonces la media menor que la moda asimetría a la izquierda negativa
 Coeficiente de asimetría de Fisher, tiene la ventaja de que se puede hallar para
todas las distribuciones, aunque su cálculo es complicado y laborioso.

g1
 ( x  x)

3
i
N .S
fi
3
x
Este coeficiente puede ser:
 0 entonces la distribución es simétrica
 >0 entonces asimetría a la derecha
 <0 entonces asimetría a la izquierda.
 Curtosis hace referencia al mayor o menor apuntamiento que tiene una
distribución de frecuencias respecto a una distribución Normal, por lo tanto sólo
se estudia en distribuciones campaniformes , para compararlas con la campana
de Gauss, su calculo también es muy laborioso.

g2
 ( x  x)

i
N .S x4
Este coeficiente puede ser:
4
fi
3
 0 la curva es igual que la normal, se llama Mesocúrtica
 >0 la curva es más puntiaguda que la normal se llama Leptocúrtica
 <0 la curva es más aplastada quie la normal, se llama Platicúrtica
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15
Estadística Descriptiva
ANEXO MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN
La concentración estudia el mayor o menor grado de distribución de los valores
de la variable, la mayor o menor equidad o igualdad en el reparto, por lo tanto sólo se
puede estudiar en variables de tipo económico, rentas, sueldos, subvenciones, etc...........
Las medidas más utilizadas son el Índice de Gini y la curva de Lorentz, su cálculo se
basa en la siguiente tabla de distribución:
Li-1-Li
mi
10-20
20-40
40-50
50-70
70-80
80-100
fi
15
30
45
60
75
90
ui   fi .mi
Fi
6
4
3
5
2
3
N=23
6
10
13
18
20
23
90
210
345
645
795
1065
pi 
Fi
u
.100 qi i  i .100
N
un
26,09
43,48
56,52
78,26
86,96
8,45
19,72
32,39
60,56
74,65
291,31
Los pi nos indican el porcentaje de población y los qi correspondientes la cantidad que
se reparte ese porcentaje de población, también claro está en porcentaje.
Siempre pi > qi en caso de igualdad implica que todos perciben la misma cantidad, por
lo tanto hay nula concentración o total uniformidad en el reparto.
Si pi se aproxima a qi hay poca concentración o sea bastante uniformidad, caso contrario
mucha concentración o sea no hay uniformidad.
Indice de Gini
IG 
 ( p  q )  95,54  0,3280 en nuestro ejemplo hay escasa
291,31
p
i
i
i
concentración por lo tanto bastante uniformidad en el reparto.
La curva de Lorenz sería por tanto de la forma:
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16
Estadística Descriptiva
EJERCICIOS ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
1.- Dada la siguiente distribución de frecuencias de variable discreta . Calcular:
a) Mediana
b) Moda
xi
47
48
49
50
51
52
53
c) Media
d) Varianza y desviación típica
fi
1
3
2
8
3
2
1
2.- Consultados 350 matrimonios sobre la edad de la esposa, se confecciona la siguiente
tabla:
Edad esposa
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-50
50-70
Nº matrimonios
23
28
76
54
60
42
67
Calcular Media, Mediana y Moda
3.- Un hotel tiene cinco tipos de habitaciones cuyos precios así como los ingresos son:
Precio por Habitación
200
500
750
1.000
1.300


Ingresos
16.000
20.000
37.500
30.000
26.000
Calcula precio medio
Si el coeficiente de variación de los precios de otro hotel es 0,75 ¿ Cúal de los
dos hoteles posee una estructura de precios más homogéneos?
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17
Estadística Descriptiva
4.- Un empresario desea repartir unas bonificaciones entre sus empleados en base a
la categoría y productividad de los mismos. Dicha distribución quedó de la siguiente
forma:
Bonificaciones (Cientos Euros)
10-15
15-25
25-28
28-32
32-40
40-55






Nº Empleados
3
8
12
15
7
5
Bonificación media por trabajador
Bonificación más frecuente
Bonificación tal que la mitad de las restantes sea inferior a ella
La varianza
El coeficiente de variación y significado
El coeficiente de asimetría de Pearson y significado.
5.- Los beneficios en millones de euros de un grupo de empresas vienen detallados en
el siguiente histograma de frecuencias absolutas acumuladas:
3
2,8
2,6
2,4
2,2
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
25
50
75
100
125
150
Calcular:




Tabla estadística
Establecer nº de empresas con beneficios superiores a 75 millones
Calcular media mediana y moda
Coeficiente de variación y de asimetría de Pearson ( significado)
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18
Estadística Descriptiva
6.- Las calificaciones de 90 opositores en el primer ejercicio han sido:
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fi
4
10
13
11
13
10
9
7
7
4
2
Se pide Cuartiles e interpretación de los resultados
7.- La tabla adjunta muestra la distribución de los salarios/mes en Euros percibidos por
los 65 empleados de la empresa AVISO.
Salario mes
500-600
600-700
700-800
800-900
900-1000
1000-1100
1100-1200




Nº empleados
8
10
16
14
10
5
2
Se pide Salario medio de la empresa
Salario tal que la mitad de los empleados ganan menos
Salario más frecuente
Presenta los datos en un histograma.
8.- Una variable estadística tiene una media igual a 7, y una desviación típica igual a 5.
Calcular la media y la varianza de las variables:


Y = (X-2)/4
Z= 5X+2
Dpto Matemáticas
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19
Estadística Descriptiva
9.- Completar los datos que faltan en la siguiente tabla de distribución de frecuencias:
xi
70
60
50
40
30
20
10
fi
2
8
6
4
3
FI
12
34
-
hi
-
HI
-
Calcular:





Media aritmética
Varianza
Coeficiente de variación
Mediana
Recorrido intercuartílico
10.- La puntuación que han obtenido 50 personas que se presentaron para ocupar un
puesto en la plantilla de una empresa, ha sido la siguiente:
Puntuación
14-18
18-20
20-25
25-28
28-32
32-36



Nº personas
3
6
11
15
8
7
Puntuación media y puntuación más frecuente
Coeficiente de asimetría de Pearson y significado
¿ Qué tipo de curtosis presenta la distribución?
11.- Las últimas cien ventas facturadas por un establecimiento se habían agrupado en
cuatro intervalos de clase, recordamos tan sólo la siguiente información:




El primer intervalo tiene seis semanas como extremo superior, una frecuencia
relativa de 0,2 y una amplitud de cuatro semanas.
La marca de clase del segundo y cuarto intervalo son ocho y cincuenta semanas
respectivamente.
Hasta el segundo intervalo se acumulan sesenta ventas.
El tercer intervalo presenta una frecuencia de treinta ventas y una amplitud de
treinta semanas.
Con esta información construye la distribución de frecuencias y calcula la media,
mediana, moda y coeficiente de variación.
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20
Estadística Descriptiva
12.- Las indemnizaciones recibidas por los 42 propietarios de áreas de cultivo
después de unas recientes inundaciones, se distribuyen del siguiente modo:
Cientos de Euros
20-50
50-100
100-140
150
220




Propietarios
8
20
8
5
1
Si las perdidas se han valorado en más de 400.000 Euros, puede
afirmarse que las indemnizaciones son suficientes?
Calcular la indemnización más frecuente
Calcular la mediana y la media
Si a todos los propietarios se les subiera la indemnización en
2.000 Euros serían suficientes las indemnizaciones? Cuál sería
entonces la media?.
13.- Durante la última semana dos librerías han vendido los libros que ocupan los tres
primeros puestos en las listas de ventas a los siguientes precios
Librería 1
Precio
Nº Ejemplares
18
10
21
13
23
15


Librería2
Precio
Nº Ejemplares
15
25
19
18
20
25
Qué establecimiento ha presentado una recaudación media más
representativa
Cuál de los establecimientos presenta una mayor disparidad de precios?
14.- Una empresa automovilística ha abierto una nueva factoría en un país del este. En
este año en dicha factoría se han obtenido unas ventas medias mensuales de 100
automóviles con una desviación típica de 10, mientras que en España por término medio
se han vendido 75 coches con una desviación típica de 8.



¿ En la factoría de qué país las ventas medias de automóviles son más
representativas?
Si en el último mes las ventas de la nueva factoría son de 105 vehículos y
en la española de 80 ¿qué factoría presenta mayores ventas en términos
relativos este mes? ( Tipificar los valores)
Si la empresa piensa abrir otra factoría en Asia, y se espera que la
distribución de ventas sea Y= X – 10 , siendo X la distribución de ventas
en España ¿ En cuál de estas dos factorías las ventas son más
representativas?
Dpto Matemáticas
IES León Felipe
21
Estadística Descriptiva
15.- Las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos en Matemáticas y
Economía son:
Se pide a los alumnos de la clase las notas de la evaluación en las dos asignaturas y
se anotan los resultados. Una vez anotados los resultados en dos filas, se pide:








¿Cuántos alumnos tiene el grupo?
Tabla de correlación
Distribuciones marginales, medias y varianzas
¿Cuál de las dos es más homogénea?
Hallar la distribución de matemáticas condicionada a la Economía sea 7
Distribución de Economía condicionada a Matemáticas superior a 4
Porcentaje de personas que aprobaron la Economía
Nota mínima obtenida por el 30% de los alumnos que más nota tienen en
Economía
Calcular la covarianza
Calcular el coeficiente de correlación lineal y significado.
Nube de puntos.



16.- Con los datos de la siguiente tabla obténgase las medias, varianzas y covarianza de
las variables X e Y
1
2
4
ni
5
10
15
1
2
0
0
1
1
2
0
3
3
3
4
nij
3
2
5
10
xi
yj
17.- Dada la distribución :
xi
2
2
3
3
5

yj
1
4
2
5
4
nij
6
7
4
2
1
Determínese el coeficiente de correlación lineal entre las variables y dar
su significado, relaciona el resultado obtenido con la nube de puntos de
la distribución
Dpto Matemáticas
IES León Felipe
22
Estadística Descriptiva
18.- Se ha encuestado a 100 familias en una ciudad sobre su gasto mensual en ocio
(variable Y) y sus ingresos mensuales (Variable X). En la siguiente tabla se presentan
los resultados obtenidos, donde las variables vienen expresadas en Euros.
Y
X
600-1000
1000-1500
1500-2000
2000-3000
3000-5000






0-100
100-200
200-400
400-800
4
9
9
5
1
1
8
12
8
1
1
3
20
12
-
3
3
-
Obtener el ingreso medio mensual por familia
Obtener el gasto en ocio medio mensual por familia
Obtener la media de gasto en ocio para las familias con ingresos
inferiores a 2000 Euros
Cúal de las dos distribuciones es más homogénea?
Halla la correlación lineal entre ambas y explica su significado
¿ Cuál es el ingreso máximo que tienen el 20% de las familias que menos
ingreso tienen?
19.- En un determinado sector, la producción y las exportaciones durante los últimos
años han sido:
Año
2000
2001
2002
2003
2004



Producción (miles)
400
420
440
480
500
Exportación (miles)
80
80
90
92
98
Calcule la covarianza y el coeficiente de correlación lineal y dé su
interpretación
Realice un ajuste lineal entre ambas variables
Determine el coeficiente de determinación e interprete el resultado.
20.- Calcular las rectas de regresión de una variable bidimensional (X,Y) sabiendo los
siguientes datos :
x  14

y  7 S x2  3 S y2  1 r  0,95
¿ Qué valor asignaría a X para un valor Y=5
Dpto Matemáticas
IES León Felipe
23
Estadística Descriptiva
21.- Dada la recta de regresión Y = - 0,25 + 3,2X ¿ Puede ser Sy< 6,4 si Sx = 2?
22.- En una región de España se observó el precio del vino y la cantidad de producción
durante algunos años , obteniéndose los siguientes datos :
X
Y
35
100
31
140
42
120
60
110
52
200
49
200
61
110
50
160
55
160
58
200
donde X es el precio por litro del vino en céntimos de Euro e Y es la cantidad
producida en miles de litros. Considerando la variable X agrupada en intervalos de
amplitud constante y considerando que el primer intervalo es 25-35; se pide:






Distribuciones marginales
Media, mediana, desviación típica y coeficiente de variación de Pearson
de X
Covarianza entre las variables
Porcentaje de años en los que el precio del vino fue inferior a 48
céntimos
Recta de regresión de Y/X
Coeficiente de correlación y de determinación , significado.
23.- La recta de regresión entre dos variables viene dada por Y = 5 + b.X. Sabiendo que
las medias de las variables son respectivamente 5 y 20. Calcular el coeficiente de
regresión .
24.- Contestar razonadamente si las afirmaciones siguientes son ciertas:
1. Si el coeficiente de regresión es negativo, se deduce que:



El coeficiente de correlación es menor que cero
La variable Y aumenta cuando X disminuye
La covarianza es negativa
2. Si el coeficiente de determinación en un ajuste es 0,9



El ajuste es bueno
El coeficiente de correlación es 0,9
El 10% de los valores no se explican por la regresión
25.- Media aritmética y varianza. Tipos de medida que son. Utilidad, importancia y
propiedades que cumple cada una de ellas.
Dpto Matemáticas
IES León Felipe
24
Estadística Descriptiva
IES LEÓN FELIPE
Dpto Matemáticas
Examen ESTADÍSTICA 1º
19 de Mayo 2005
TEORÍA
1.- ( 2 puntos)
mismas.
Media aritmética. Definición. Propiedades y demostración de las
2.- ( 2 puntos) Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:




¿ Qué predicción sería más fiable en un modelo lineal?
a1) Aquella en la que R = 0,9
a2) Aquella en la que r = 0,92
Es posible que una variable estadística tenga de coeficiente de asimetría de
Pearson –2, siendo la media mayor que la moda?
Obtener la varianza de la variable Y = 2X + 4 siendo Sx = 6
Si una variable estadística toma un único valor constante K cual es su media y su
varianza.
PROBLEMAS
En todos los apartados ponga en un recuadro el resultado final
1.- ( 2 puntos ) Realizada una encuesta entre fumadores se ha obtenido la siguiente
tabla de frecuencias:





Nº Cigarrillos diarios
Nº de individuos
5-10
10-15
15-20
20-30
20
15
25
40
Número medio de cigarrillos fumados por individuo y día
Desviación típica y coeficiente de variación de Pearson
El valor más frecuente de la variable
Histograma de frecuencias absolutas
Número de cigarrillos que fuman el 30% de la población más fumadora.
2.- ( 2 puntos ) Halle las rectas de regresión de una variable bidimensional (X,Y)

sabiendo
x  20

y  10 S x  4 S y  2 ,
siendo
el
coeficiente
de
correlación lineal r = 0,95.
En cual de las dos variables la media es más representativa?. ¿ Qué valor asignaría
a Y = 6? Sería la predicción fiable?
Dpto Matemáticas
IES León Felipe
25
Estadística Descriptiva
3.- ( 2 puntos ) En una muestra de 20 empresas del sector metalúrgico se
obtuvieron los siguientes datos sobre el número de empleados X y sus ingresos anuales
Y en miles de Euros
Nº empleados(X)
10-30
30-50
50-100





Ingresos Anuales(Y)
5-15
6
1
0
Ingresos anuales(Y)
15-25
2
1
0
Ingresos anuales(Y)
25-45
0
0
10
Calcule los ingresos medios anuales
La mediana del número de empleados
La recta que te permita calcular los ingresos sabiendo el número de empleados
Sería fiable la predicción que se hiciera?
En los mismos ejes representa nube de puntos y recta de regresión hallada.
Dpto Matemáticas
IES León Felipe
26
Estadística Descriptiva
IES LEÓN FELIPE
Dpto. Matemáticas
Examen ESTADÍSTICA 1º
31de Mayo 2005
TEORÍA
1.- ( 2 puntos ) Conteste a la pregunta que mejor sepa de entre las propuestas por el
profesor en clase.
2.- ( 2 puntos ) Responda razonadamente las siguientes cuestiones:




Si la media y la varianza de la variable X son 10 y 36 respectivamente, es el
coeficiente de variación de Pearson mayor que 1?
Es posible que Sx sea mayor que 4 si Sxy=4 y Sy2 = 0,9?
Si a una variable se le multiplica por dos y después se le suma 5 ¿ que le ocurre
a la media?¿Qué le ocurre a la varianza?
Si una variable toma únicamente los valores uno y menos uno¿ Cuál sería su
media?¿Cuál sería su varianza?
PROBLEMAS
En todos los apartados ponga en un recuadro el resultado final
1.-(2 puntos ) Una empresa quiere realizar un estudio sobre la influencia de las
campañas publicitarias en sus cifras de ventas. Para ello dispone del gasto destinado a
publicidad y sus ventas en los últimos cinco años:
Años
2000
2001
2002
2003
2004



Dpto Matemáticas
Gastos publicidad
(Millones de Euros)
2,5
2,8
2,9
3,1
3,5
Ventas
(Millones de Euros)
200
221
230
239
248
Obtenga la recta de regresión que permita predecir las ventas a partir
de los gastos en publicidad
Prediga las ventas para el año 2005 si se piensa invertir en publicidad
4.000.000 de Euros.
Juzgue la bondad del modelo y la fiabilidad de la predicción
realizada.
IES León Felipe
27
Estadística Descriptiva
2.-(2 puntos ) Calcular los tres cuartiles de las dos distribuciones siguientes:
Xi
2
3
8
12
15
fi
8
10
12
6
3
Li-1-Li
5-10
10-15
15-20
20-30
fi
6
7
10
9
Calcular también estas medidas gráficamente en ambos casos
Calcula la Moda en la segunda distribución.
3.-(2 puntos ) Dada la variable X , que toma los valores 2, 4, 20 y 24.




Hallar la media y la varianza de los valores de esa variable tipificados.
Hallar la media y la varianza de la variable Y= 2X + 5
Hallar el coeficiente de variación de la variable X y de la variable Y e
interpretar el resultado.
Si a todos los valores de la variable X se les resta 2¿Cuál sería la media y la
varianza de la nueva variable?
Dpto Matemáticas
IES León Felipe
28
Estadística Descriptiva
Nota importante
Estas anotaciones, creo son de utilidad, primero para nuestros alumnos
de bachillerato de Sociales, paso previo para ir a la Universidad, y luego como
material de consulta bastante válido para las carreras universitarias de
Psicología, Trabajo Social, Economía, Administración y Dirección de
Empresas, Empresariales, Trabajo Social, Magisterio y algunas más que
tengan contenidos relacionados. Si os sirven de algo, muy bien, y de no ser así
gracias al menos por mirarlo.
Dpto Matemáticas
IES León Felipe
29