XI CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS"

SAEM "THALES". SEVILLA
XIX CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS"
XII CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”
SOCIEDAD ANDALUZA DE EDUCACIÓN
MATEMÁTICA "THALES". SEVILLA
No hay modo de entender bien al hombre si no se repara
en que la Matemática brota de la misma raíz que la poesía:
del don imaginativo.
JOSE ORTEGA Y GASSET (1883-1955), filósofo y ensayista español.
INTRODUCCIÓN
Está claro que vivimos en una sociedad muy competitiva, se precisa de gente que esté
preparada en muchos a aspectos de la vida cotidiana y, en especial, se quiere gente que
sea competente. Por eso, desde hace unos pocos años, se insiste en la enseñanza en
que los que estáis estudiando desarrolléis una serie de competencias básicas que os
puedan servir para desenvolveros en vuestra vida adulta.
Una de esas competencias es la matemática, que busca aplicar los conocimientos
matemáticos en contextos cotidianos y qué mejor que mirar a vuestro alrededor y ver
qué matemáticas podéis encontrar. Ese es uno de los objetivos de esta actividad.
Cada año, muchos alumnos y alumnas como vosotros, de distintos niveles educativos,
se fijan en las matemáticas que les rodean en forma de imágenes que captan su
atención. Envían una foto o una imagen fotográfica al concurso que organiza la
Sociedad Andaluza THALES en su sede provincial de Sevilla y con una selección del
material recibido se monta la exposición que vas a visitar.
¿Qué puedes encontrar en ella? Pues cosas corrientes: tapas de alcantarilla, edificios,
esculturas, farolas, grupos de gente, etc. Pero todas están vistas con unas “gafas”
especiales que saben reconocer las matemáticas que hay dentro de ellas.
Seguro que a diario usáis las matemáticas: en transacciones económicas, para medir el
tiempo en llegar al colegio o instituto o a una cita con amigos, para ordenar las cosas en
la mochila de forma que ocupen el menor espacio, para optimizar el tiempo que dedicáis
a estudio y a ocio, etc., pero si os fijáis un poco veréis que se pueden encontrar en otra
multitud de aspectos: en el deporte, en la música, en el cine, en la literatura, y en
muchos lugares más.
XIX CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" y XII CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”
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No es necesario seguir para asegurar que vivimos en un mundo matemático, lo que
ocurre es que muchas veces nuestra vista no está acostumbrada a ver con claridad esos
detalles y por eso necesitamos unas “gafas” para verlos. Para formar nuestros ojos en
esa otra vista la Sociedad Thales de Sevilla organiza los Concursos de Fotografía y de
Imágenes Matemáticas y esta exposición a partir de ellos.
Podréis ver imágenes muy cotidianas, que podéis encontrar al pasear por la ciudad o al
hojear cualquier revista o diario y donde hay referencias matemáticas. Algunas son
montajes realizados, con mucho arte y a veces humor, por sus autores para expresar un
concepto matemático que queda reflejado en la foto o el lema que le acompaña.
Para los que no la hayáis visto anteriormente solo comentar que vais a encontrar una
serie de imágenes muy corrientes, acompañadas de una pequeña frase con contenido
matemático, que hace alusión a algo de lo que aparece en la imagen y que se referirá a
conceptos que habréis trabajado en clase. Quizás alguna no la comprendáis porque ese
tema aún no lo hayáis estudiado, pero siempre podréis disfrutar visualmente de la
imagen que encontraréis.
Los autores se han esforzado por plasmar sus ideas y veréis cómo conceptos que
inicialmente pueden parecer muy abstractos o difíciles de imaginar como el redondeo de
decimales o la raíz cuadrada, también pueden ser presentados de una forma visual y
atractiva.
Estamos seguros de que si os lo proponéis, también vosotros podéis hacer una
fotografía, un dibujo, recortar una imagen de las que se encuentran en periódicos o
revistas o incluso hacer un montaje tomando trozos de imágenes y después, lo que
quizás sea más complicado, darle un título matemático. Si es así el año próximo podéis
ver vuestro trabajo colocado en la exposición, por lo que os animamos a ver estos
paneles con atención, responder a las preguntas que os señale vuestro profesor y a
pensar en participar el año próximo en el concurso. ¡Ánimo!
Para ayudaros a entender mejor las fotos e imágenes, y que podáis trabajar en clase
con ellas, hemos elaborado este cuaderno de actividades, deseando que le saquéis el
mayor rendimiento y disfrutéis con las matemáticas.
ACTIVIDADES
En estos días podéis ver las fotos e imágenes que componen la exposición sobre el XIX
Concurso Provincial de "Fotografía y Matemáticas" y el XII Concurso Provincial de
“Imágenes Matemáticas”, organizados por la Sociedad Andaluza de Educación
Matemática "Thales" de Sevilla. Cada foto o imagen está acompañada de un lema o
frase donde aparece algún concepto matemático, al mismo tiempo que hace referencia a
lo reflejado en la fotografía. Como veis, las fotografías del concurso se complementan
con fotos sacadas de periódicos y revistas, con dibujos o montajes que demuestran que
aunque no se tengan conocimientos fotográficos, también se pueden relacionar, si se
quiere, imágenes y matemáticas.
Ahora vais a visitar la exposición y después tendréis que contestar individualmente a las
siguientes cuestiones, que hemos agrupado en distintos bloques temáticos.
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Generales
 Elige las tres fotografías o imágenes de la exposición que más te gusten y explica la
razón de tu elección.
 Elige ahora las dos que menos te gusten e indica los motivos de ello.
 Escoge dos imágenes o fotografías, escribe sus lemas e invéntate otros distintos que
tengan contenido matemático. Explica la relación de los lemas que has puesto con las
imágenes o fotografías que has elegido.
 Elige alguna foto que creas que puede representar dos conceptos distintos e indica
cuáles serían a través de los títulos que te inventes.
 Si te fijas con cuidado en los títulos de las fotos e imágenes, encontrarás algunas en
las que la frase que la acompaña no es correcta, bien porque tenga algún fallo
matemático, o porque el concepto matemático del que habla no aparece exactamente
en la foto. Intenta encontrar alguna foto o imagen con esa cualidad. Si la encuentras,
indica cuál es y por qué es incorrecto el lema que la acompaña.
Números y medida
 Haz un visionado rápido de la exposición y escribe el tipo de números que aparecen y
alguna foto o imagen donde se encuentren. Por ejemplo, números enteros, decimales,
fracciones, irracionales, etc.
 Hay una imagen de título “Los números revoltosos” en la que aparecen varios
recortes, realiza las siguientes actividades:
o
En la imagen de las bolas, ¿qué números faltan?
o
Aparece un círculo con los números del 1 al 9, divide ese círculo, mediante
líneas, en tres partes de forma que los números de cada parte sumen lo mismo.
o
¿Qué operaciones aparecen en la imagen superior derecha?
 Un concepto que suele aparecer casi todos los años en esta exposición es el de
fracción, escribe su definición y pon un par de ejemplos.
 Dentro de los tipos de números, el que está más representado es el conjunto de los
números racionales. Indica cuál es ese conjunto.
 En la fotografía “Porción de manzanas” indica en cuántas partes se divide la manzana
que aparece, ¿qué fracción del total es cada uno de los pedazos de la manzana?
 Hay una imagen de la exposición que se llama “4/16, 7/16, 5/16”, ¿qué representa
cada fracción respecto del dibujo? ¿Qué tienen de particular estas fracciones? ¿Qué
obtienes si las sumas?
 Alguna de las fracciones anteriores, ¿se puede simplificar? En caso afirmativo indica
cuál sería la fracción irreducible.
 Ordena las anteriores fracciones de menor a mayor. ¿Hay alguna fracción de
denominador 16 que esté comprendida entre ellas? Escribe, en dicho caso, la fracción
y su equivalente simplificada.
 Escribe las fracciones que aparecen rellenas en la imagen “Fracciones triviales” y
simplifícalas.
 Algo que suele relacionarse con las fracciones es el tanto por ciento y en la
exposición hay una foto de título “El tanto por ciento humano”. Define ese concepto e
indica en qué situaciones cotidianas lo has encontrado aplicado.
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 Hay en la exposición fotografías o imágenes en las que aparece el número π.
Localízalas. Explica qué es ese número y qué aplicaciones tiene. Busca alguna
información sobre ese número.
“Epi y Blas” de
Carmen del Río Sánchez-Matamoro
Mención especial de
Imágenes de secundaria
 El número π no puede escribirse como un cociente de dos números enteros, es decir,
no es un número racional, ¿qué nombre recibe entonces?, ¿qué caracteriza a esos
números? Pon algún otro ejemplo de números famosos que conozcas en las mismas
circunstancias.
 En una de las imágenes anteriores aparece otro número de la misma familia que π, el
número e. Indica qué número es e y cuánto vale.
 Haz una aproximación por redondeo de los dos números anteriores a la centésima y a
la milésima.
 En la imagen “Raíz de pato” se representa un número, ¿qué número es?, ¿a qué
conjunto numérico pertenece? Define qué se entiende por la raíz cuadrada de un
número.
 ¿De qué otra operación es la operación inversa el calcular la raíz de un número?
“Centímetros cuadrados” de Marta Lestau Núñez
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 En “Potencia negativa” tenemos la definición de un tipo de potencia. Define lo que se
entiende por potencia de un número.
 Las potencias de exponente negativo, ¿a qué corresponden?
 Los radicales también se pueden escribir como potencia, en este caso, ¿qué tipo de
potencia es? Escribe como potencia el número que has escrito antes.
 Una de las fotos viene acompañada del lema “Mis amigas son infinitas”. El infinito es
otro elemento matemático muy corriente, ¿es un número? En caso afirmativo ¿de qué
tipo? Explica con tus palabras qué entiendes tú por infinito.
 Busca otras fotografías o imágenes en las que aparezca el infinito.
 Una imagen en concreto se titula “i3” para hablar de tres palabras que empiezan por
esa letra, una de ellas es infinito. Sin embargo la letra i se utiliza en matemáticas para
representar un número, ¿sabes a cuál nos referimos? ¿en qué tipo de números se
utiliza?
 También es usual que en la exposición aparezcan referencias a unidades de medida.
En este caso hay una leyenda que dice “Centímetros cuadrados”. Describe lo que
aparece en la imagen correspondiente y escribe su relación con el título.
 ¿Cuál sería el área del cuadrado central si tenemos en cuenta que los centímetros
corresponden a las divisiones más altas?
 Un procedimiento muy usual para resolver problemas suele ser la llamada “Regla de
tres”. Busca la fotografía con ese título e indica cómo se ha representado ese
concepto.
 Explica en qué consiste la regla de tres.
Álgebra y Funciones
 Una foto tiene por título “a² = b² + c²” que indica la relación entre los lados de un
triángulo rectángulo. Busca tres números, del tipo que sea, que cumplan esa relación.
“Progresión geométrica”
de Carmen Gómez Serván
Mención especial de
Fotografía de Secundaria
 Un concepto algebraico que aparece en la exposición es el de progresión. Una
progresión es un caso particular de sucesión de números, ¿puedes explicar qué es
una sucesión?
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 Una foto lleva el nombre de “Progresión geométrica”, búscala y explica qué es lo que
da idea de progresión en esa foto. Define lo que se entiende por progresión
geométrica.
 En dicha progresión indica cuál sería el primer término, cuál la razón y cuál el término
general.
 Existen otros tipos de progresiones, indica el nombre de alguna de ellas explicando
cuál es su característica principal.
 En la fotografía “4/16, 7/16, 5/16” si consideramos el número de latas que hay en cada
fila, ¿se podría considerar que es una progresión? En caso afirmativo, ¿de qué tipo?
“Eje de coordenadas en Lisboa” de Carlos García Polo
Mención especial de Fotografía de Primaria
 Para representar funciones es imprescindible disponer de unos ejes de coordenadas.
Explica qué son esos elementos.
 Existe una foto titulada “Eje de coordenadas en Lisboa”, ¿quienes serían en esa foto
los ejes de coordenadas?
 ¿Que función parece estar representada en esa foto?
 ¿Cuál sería el vértice de la parábola? ¿Cómo estaría situado dicho vértice respecto al
supuesto eje que forma el puente?
 Los ejes de coordenadas nos dividen el plano en cuadrículas como la que aparecen
en la foto “Cuadrículas gigantes de la Mancha”. ¿Que representan las cuadriculas?
 Hay otra imagen donde aparece el mismo concepto. Búscala, escribe su nombre e
indica cómo está representado ese elemento.
 En la fotografía “Sevilla y Triana unidas por las matemáticas” aparecen una serie de
circunferencias que son tangentes a dos funciones, ¿cuáles serían esas funciones?,
¿de qué grado serían los polinomios correspondientes?
Geometría
 Haz un vocabulario con todas las palabras (al menos diez) que encuentres
relacionadas con la Geometría e indica su significado.
 Los elementos más simples que hay en la matemática son los puntos y las rectas. En
concreto, estas últimas aparecen con mucha naturalidad en nuestra vida cotidiana y
por eso hay muchos elementos en la exposición que se refieren a ellas. Por ejemplo,
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en la fotografía “Paralelas en el cielo” aparecen líneas que cumplen esa propiedad.
Define qué son líneas paralelas.
Busca otras imágenes en las que aparezca el concepto anterior.
Las paralelas son rectas que tienen la peculiaridad de que no se cortan nunca.
¿Como se llaman las líneas que sí se cortan?
Las rectas pueden cortarse de muchas formas, un caso particular son las líneas
perpendiculares. Indica qué ángulo forman las líneas que se cortan
perpendicularmente.
Hay una foto de nombre “Líneas paralelas y perpendiculares en casa”. En esa
imagen, ¿son todas las líneas paralelas o perpendiculares? ¿Cuáles de las líneas que
aparecen cumplen esas características?
Las líneas oblicuas que hay en la misma foto, ¿son paralelas o perpendiculares a
algunas otras líneas? Razona la respuesta.
En la fotografía con el lema “Plantación de perpendiculares”, ¿cómo son en realidad
las líneas que aparecen?
En la imagen de título “Barreras infinitas” la perspectiva nos tiende una trampa. A
simple vista, ¿cómo son las líneas que forman los travesaños? ¿Son en realidad las
rectas tal como se ven?
”Barreras infinitas”
de Antonio Gil Alonso
Primer premio de
Foto de secundaria
 Otra foto se llama “Paralelas y secantes”, ¿a quienes serían secantes las líneas de las
que se habla?
 En la exposición existen polígonos de distinto tipo. Haz una lista de los que
encuentres, junto con el lema de su foto, clasificándolos según su número de lados.
¿Cuál es el de mayor número de lados?
 En la foto “Polígonos regulares en la autopista” aparecen dos señales de tráfico que
corresponden a dos polígonos. ¿Cuáles son esos polígonos?
 Indica qué otros polígonos dan forma a señales de tráfico.
 ¿Cuándo se dice que un polígono es regular? ¿Todas las señales de tráfico son
polígonos regulares?
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 Busca la imagen “Triángulos rectángulos de carretera”. ¿Qué forma tiene otra señal
blanquinegra que aparece? ¿Cómo se llama la línea que divide a la figura y da lugar a
los triángulos?
 En la foto “Matemáticas en nuestras manos” se ve un reloj dentro de un triángulo
formado por las dos manos. ¿De qué tipo es ese triángulo? Justifica tu respuesta.
 Busca la fotografía de título “Pentágonos unidos en serie”. Nosotros pensamos que el
título está mal puesto, ¿sabrías decirnos por qué?
“Simetría en la naturaleza”
de Daniel Delgado Díaz
Mención especial de
Imágenes de secundaria
 Hay una imagen con el nombre “Octógono multitriángulos”. ¿En cuántas partes está
dividido el octógono? ¿Son todas iguales? ¿De qué tipo son los polígonos en que se
divide? ¿Cuánto vale el ángulo central de cada triángulo? ¿Cuánto valen los otros dos
ángulos?
 La foto “Octógonos contra el agua” podríamos retitularla como “Octógonos
concéntricos” ¿Por qué? ¿Qué significa concéntricos?
 El concepto anterior aparece a menudo en las exposiciones pero sobre todo
relacionado con las circunferencias. Busca una imagen donde se represente ese
concepto y escribe su título.
 En la fotografía “Alicatados estrellados” aparecen triángulos divididos en cuatro
partes. ¿Qué relación hay entre los triángulos pequeños y el grande?
 ¿Cuánto mide el lado del triángulo grande respecto del pequeño?
 ¿Es posible dividir el hexágono en partes iguales trazando sus diagonales? ¿En
cuántas partes? ¿Qué tipo de polígonos se obtendrían?
 Otra figura que está dividida en partes es la que aparece en la foto “Claridad
geométrica”. ¿En cuántas partes está dividida la circunferencia que aparece?
 Si las líneas que surgen de la circunferencia las prolongáramos hasta el centro, ¿qué
ángulo formarían?
 Algunos de los polígonos regulares sirven, repitiéndolos, para hacer mosaicos que
recubran el plano. Busca ese concepto en la exposición.
 En la fotografía en la que habrás encontrado el concepto de mosaico aparecen una
serie de telas agrupadas dentro de un poliedro. ¿Qué tipo de poliedro es?
 En la fotografía “Interferencias” aparecen elementos relacionados con la
circunferencia. ¿Cómo se llaman esos elementos?
 Reseña otros elementos que tengan relación con la circunferencia.
 Hablando de estos elementos hay una foto con el nombre “Circunferencia
goniométrica”. Define qué se conoce por ese título.
 En varias imágenes aparece el concepto de simetría. Define simetría y busca en la
exposición elementos simétricos.
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 ¿Qué es un eje de simetría? En la imagen “Simetría en la Alhambra”, ¿cuál sería el
eje de simetría?
 En la imagen “Simetría paralela urbana”, ¿es posible señalar más de un eje de
simetría? ¿Cuáles serían?
 Aparte de la simetría axial, ¿conoces algún otro tipo de simetría? ¿Aparece esa
simetría en la exposición? ¿Dónde?
 Otro concepto geométrico muy corriente es el de semejanza. Explica qué entiendes
por semejanza de dos objetos.
 Hay una fotografía con el título “Semejanzas triangulares”, ¿cómo se refleja la
semejanza en esa foto?
 Busca otros lugares en los que se puede encontrar la idea de semejanza y explica por
qué te dan esa idea.
“Lunas crecientes”
de César Gil Alonso
Primer premio de
Fotografía de Secundaria
 Uno de los resultados más aplicados en el tema de la semejanza es lo que se conoce
como Teorema de THALES. Busca el enunciado de ese teorema y explica qué es lo
que dice.
 Busca la fotografía “Pentagramas en la hipotenusa” (en la exposición aparece, por
error, como “Pentagramas en la naturaleza”) e indica dónde se puede aplicar ahí el
teorema anterior.
 Ya hemos hablado anteriormente de líneas que son secantes. Otras líneas son
llamadas tangentes. ¿Qué se entiende por tangencia entre dos líneas?
 Dinos en “Fuga de círculos” qué tipo de tangencia aparece.
 En “Tangencia precaria”, ¿qué tipo de elementos son tangentes?
 Habla del tipo de tangencia que aparece en “Sevilla y Triana unidas por las
matemáticas”.
 Hasta ahora hemos estado jugando con el plano, pero también podemos pasar al
espacio. Por ejemplo en la foto “Geometría en mi cocina”, ¿qué elemento geométrico
de tres dimensiones aparece? ¿Cómo se llaman los objetos geométricos de tres
dimensiones?
 En la foto “Mira a tu alrededor CONO-ce las matemáticas” aparece reflejado un objeto
cotidiano con la forma de un cono, ¿pero es realmente un cono?
 Los dos elementos anteriores se generan cuando una línea recta gira alrededor de
otra recta. ¿Cómo deben estar situadas las rectas entre sí para que se obtenga un
cuerpo o el otro?
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 Otro elemento que se obtiene al girar una línea alrededor de un eje es la esfera, como
la que puedes ver en “La esfera del día a día”. ¿Qué elemento gira y alrededor de
quién para que se obtenga una esfera?
 Indica lugares de la vida cotidiana en los que puedas encontrarte con esferas.
 Otro lugar en el que aparecen elementos de tres dimensiones es en “Vajilla
geométrica”. Nombra los elementos geométricos que aparecen.
 En la foto “Polígonos estrellados” aparece, en parte, un elemento que tendría 20
puntas, ¿qué nombre recibe ese elemento?
 En la fotografía “Lunas crecientes” aparece un elemento parecido a la espiral, pero en
tres dimensiones, ¿cómo se llama ese objeto matemático?
 Si la imagen anterior correspondiera a un elemento del plano, ¿qué tipo de espiral
obtendríamos?
Varios
 Una de las fotografías lleva por lema “Análisis en serie”. En ese título aparecen dos
conceptos matemáticos muy importantes. Uno de ellos se consigue con el doble
sentido de la palabra análisis, según se considere dentro del ámbito matemático o
sanitario. Indica qué parte de la matemática compone el Análisis.
 Indica qué es una serie. De los elementos que has visto en la exposición ¿cuáles se
pueden considerar series?
“Derivada”
de Carmen Gómez Serván
Primer premio de
Imágenes de secundaria
 Otro concepto muy importante es la derivada. Busca una imagen con ese título e
indica como se refleja dicho concepto.
 ¿Qué se entiende por derivada de una función?
 ¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto?
 Existe una imagen con el nombre de “Moda geométrica”. ¿Qué se conoce como moda
en el mundo de la matemática?
 En la foto “4/16, 7/16, 5/16”, ¿cuál sería la moda de los elementos que aparecen?
 Aparte de la moda hay otros dos parámetros estadísticos muy usuales como medidas
de centralización. Indica sus nombres y explica qué representan.
 En la foto “Musgo fractal” aparece un árbol con un concepto matemático que es uno
de los elementos más recientes de las matemáticas, un fractal. Busca la definición de
fractal y comprueba si se corresponde con lo que aparece en la imagen.
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 Los fractales son muy corrientes en la naturaleza, busca en algún diccionario, o en
otros lugares, ejemplos de fractales que aparezcan en la naturaleza.
 En la foto “Mosaicos en el aire” aparece una figura alabeada formada por tela,
¿sabrías indicar qué función, de dos variables, corresponde a esa superficie?
CUESTIONARIO FINAL
Una vez realizadas las actividades anteriores, contesta las siguientes cuestiones:
 ¿Te ha gustado la exposición? ¿Por qué?
 Destaca algún aspecto que te parezca interesante de la experiencia de hacer
fotografías matemáticas.
 ¿Te ha servido la exposición para tener una idea distinta de las matemáticas? ¿Por
qué?
 ¿Te has fijado en cosas de tu entorno en las que no te habías dado cuenta de que
también hay matemáticas? En caso afirmativo indica alguna.
 "Después de ver la exposición nos damos cuenta de que las matemáticas están
omnipresentes en nuestro entorno" ¿Estás de acuerdo con esta frase? ¿Por qué?
 ¿Eres capaz de hacer fotografías o buscarlas en periódicos y revistas y ponerles un
lema matemático, igual que has visto en la exposición?
 ¿Te animarías a participar en el próximo concurso de "Fotografía y Matemáticas" o en
el de "Imágenes Matemáticas"?
Autores:
José Muñoz Santonja
Mª Jesús Serván Thomas
Antonio Fernández-Aliseda Redondo
Juan Antonio Hans Martín
XIX CONCURSO "FOTOGRAFÍA Y MATEMÁTICAS" y XII CONCURSO “IMÁGENES MATEMÁTICAS”
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