LÍNEAS DE TRANSMISIÓN

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LÍNEAS DE TRANSMISIÓN
INTRODUCCIÓN
Supongamos que se quiere calcular la intensidad y el voltaje en la resistencia de
carga RL conectada a través de dos hilos de cobre de 6 cm de longitud a un generador
sinusoidal Vg de frecuencia 1 MHz y resistencia interna Rg (Fig. 1).
donde se han ignorado los hilos de cobre, es decir, no radian energía y no presentan
resistencia ni inductancia para ninguna frecuencia.
Supongamos que ahora la longitud de los hilos es de 60 m. Uno podría pensar
que el problema es análogo al anterior sin más que tener en cuenta la resistencia total de
los hilos de cobre, que ahora no se pueden despreciar frente a Rg y RL. El problema
planteado de este modo estaría mal resuelto.
La razón de ello es que no se ha tenido en cuenta un efecto importante: la
propagación de la señal del generador a la carga.
El voltaje y la intensidad de corriente en los hilos de cobre son ahora función no
sólo del tiempo sino de la distancia respecto al generador. Es decir, al contrario que en
el primer caso, la corriente en los puntos de los hilos de cobre ya no tienen el mismo
valor, por lo que ya no se está en condiciones de corriente estacionaria (lentamente
variable en el tiempo) y los hilos de cobre forman lo que se denomina una línea de
transmisión.
Los bornes del generador excitan sendas ondas de voltaje y corriente que se
propagan a lo largo de los hilos con una velocidad de 3 x 108 m/s, con lo que la
longitud de onda (distancia que recorre la onda en un período) es de =v/f=300 m. A
todas luces, 6 cm es una distancvia muy pequeña comparada con la longitud de onda,
por lo que no cabe hablar de propagación
y la señal del generadoir aparece
instantáneamente en la carga. O dicho de otro modo, el tiempo que tarda la señal en
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llegar a la carga (0.2 ns) es despreciable comparado con el período de la señal (1
s=1000 ns).
En el segundo caso, 60 m de hilo de cobre es sólo /5. El tiempo que tarda la
señal en llegar a la carga (0.2 s) ya no es despreciable comparado con el período de la
señal (1 s) y los efectos de propagación no pueden ser despreciados.
El uso principal de las líneas de transmisión es el de transmitir de forma guiada
señales y potencias. Una línea de transmisión está formada por dos conductores
separados por un medio dieléctrico, largos en una dimensión y dortas en las otras dos,
siendo los tipos más comunes:
1. Línea coaxial: dos conductores concéntricos separados por un dieléctrico (Fig.
2ª.). Posee la ventaja de que confina completamente los campos eléctrico y magnético
dentro de la región dieléctrica (Fig. 2b), de tal forma que no hay pérdidas por radiación
y es muy inmune a las interferencias externas de la línea. Se utilizan en instrumentos de
precisión a alta frecuencia y en cables telefónicos y de TV.
2. Línea de dos hilos paralelos (o de Lecher) separadas por un material
dieléctrico (Fig. 3a): se utilizan para cables telefónicos.
3. Línea de placas conductoras plano paralelas (“striplines”) separadas por un
material dieléctrico (Fig. 3b). Pueden fabricarse con bajo coste mediante tecnología de
circuitos impresos.
Para las frecuencias usadas en la transmisión de potencia las dimensiones
transversales son pequeñas comparadas de . Incluso las dimensiones longitudinales son
generalmente pequeñas, ya que las líneas de transmisión rara vez los 500 km (frente a
los 6000 km de la longitud de onda de una señal sinusoidal de 50 Hz de frecuencia). El
límite superior para la frecuencia de trabajop de una línea de transmisión ordinaria
(coaxial o bifilar) es de 1 GHz (=1000 MHz), ya que las pérdidas se hacen prohibitiva la
propagación de energía.
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Existen dos formalismos para analizar el comportamiento de las líneas de
trnsmisión:
1. Propagación del campo electromagnético resultante de las ecuaciones de
Maxwell: la teoría de ondas guiadas considera como punto de partida una onda que se
propaga en el espacio exterior a los conductores y que está sujeta a satisfacer sobre las
superficies de los conductores las condiciones en los límites que resultan de las
ecuaciones de Maxwell. Esta condición implica la existencia de una onda
electromagnética que se propaga entre los conductores, creando en ellos una corriente
que circula y estableciendo un voltaje entre los conductores.
2. Propagación de ondas de voltaje y corriente analizando la línea de
transmisión mediante parámetros distribuidos (R, L, C y G por unidad de
longitud): cuando la longitud de onda del campo electromagnético es grande
comparada con las dimensiones transversales de la línea de transmisión, los campos
eléctrico y magnético en la línea de transmisión son perpendiculares entre sí y
transversales a la dirección de propagación (Modos transversales electromagnéticos o
TEM). Para estos modos las magnitudes escalares V e I están relacionadas con los
campos E y H de la línea de transmisión. Por tanto, es posible hacer una extensión de la
teoría de circuitos en términos de voltaje e intensidad de corriente introduciendo los
elementos pasivos distribuidos uniformemente a todo lo largo de la línea de transmisión.
En la teoría de circuitos se ha supuesto que los elementos pasivos R, L y C se
hayan concentrados (en el sentido de que no hay variación espacial de la intensidad en
ellos) y unidos por cables conductores ideales. La validez de los elementos
concentrados se restringe a circuitos cuya longitud física real se mantenga dentro de los
límites que permitan considerarla pequeña frente a la longitud de onda del campo
electromagnética que se origina.
Cuando esta condición ya no se cumple, los fenómenos de propagación que se
observan no se explican por modelos concentrados y es necesario tomar otros nuevos
considerando densidades lineales de resistencia e inductancia a lo largo de los
conductores y de conductancia y capacitancia entre los dos conductores de la línea de
transmisión.
ANÁLISIS DE LAS LÍNEAS DE TRANSMISIÓN MEDIANTE PARÁMETROS
DISTRIBUIDOS
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La representación usual de una línea de transmisión es la de dos conductores
paralelos en la dirección del eje z (Fig. 4ª), donde se tiene una resistencia y una
inductancia en serie, a la vez que una capacidad y una conductancia en paralelo,
distribuidos uniformemente a lo largo de la línea. La resistencia y la conductancia dan
idea de las pérdidas de energía asociadas a que los conductores y el dieléctrico no son
perfectos. Por tanto, una línea de transmisión es un circuito con parámetros distribuidos
en la que R, L, C y G vienen defindos por unidad de longitud de la línea (Fig. 4b).
El voltaje y la corriente son función de la posición z, que es la coordenada
longitudinal de propagación, y del tiempo:
es decir, no presenta la misma magnitud y fase en todos los puntos de la línea en un
instante determinado. Además distintos puntos en la línea no responden simultánea e
instantáneamente a un cambio en la tensión o en la corriente en otro punto de la línea de
transmisión.
La teoría convencional de los circuitos eléctricos se puede aplicar a una pequeña
porción de línea z:
y la línea línea de transmisión se puede considerar como formada por conexiones en
cascada de estas secciones.
La posición en la línea, z, se mide desde la entrada de la línea (Fig. 1a), y la
sección z se puede tratar como un cuadrupolo de resistencia total Rz, inductancia
total Lz, conductancia total Gz y capacidad total Cz (Fig. 2).
Aplicando las leyes de Kirchhoff (LDK) en el dominio temporal se puede
calcular los parámetros de transmisión inversa, es decir el voltaje y la corrinte en los
terminales de salida de la sección en función del voltaje y corriente en la entrada del
mismo, y a partir de eelos conocer las variaciones del voltaje y la corriente en esa
sección de línea:
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donde estas expresiones son aproximadas, en el sentido de que V e I son valores
promedio sobre el intervalo z.
Sin embargo, este error tiende a cero si se hace la sección cada vez más corta
(z0). Por tanto, dividiendo por z y hallando el límite se obtiene:
que son las ecuaciones diferenciales de la línea de transmisión.
LÍNEAS DE TRANSMISIÓN SIN PÉRDIDAS
En el estudio de las líneas de transmisión se analizará inicialmente en detalle la
línea de transmisión ideal, es decir, aquella en que se desprecian las pérdidas por efecto
Joule a través de la resistencia de los conductores y las fugas a través del dieléctrico que
separa los dos conductores en toda la línea. Por tanto, en un elemento infinitesimal de
línea se tiene que R=0 y G=0.
Aunque parezca una simplificación muy drástica, en muchos casos prácticos las
pérdidas en la línea son relativamente bajas. Sin embargo, posteriormente se analizará la
línea incluyendo estos efectos.
Las expresiones (3) quedan de la forma
Derivando la 1ª expresión respecto al tiempo y la 2ª respecto a la distancia
Repitiendo el proceso a la inversa
Reagrupando términos se obtiene finalmente
que son las ecuaciones unidimensionales de onda.
Etas expresiones son las mismas que las obtenidas para E y H en el espacio
libre. Se tendrá ondas de voltaje y corriente en l línea de transmisión propagándose con
una velocidad
Como en general el dieléctrico no es un material magnético 0
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siendo r la permitividad relativa del dieléctrico y n el índice de refracción. Por tanto, la
velocidad de propagación (que coincide en líneas de transmisión con la velocidad de
grupo) depende de la permitividad del dieléctrico que separa los conductores. Este
resultado no debe sorprender si se tiene en cuenta ue los campos electromagnéticos se
propagan en el dieléctrico.
El problema se reduce ahora a resolver las ecuaciones diferenciales con las
condiciones de contorno (en la entrada y la salida de la línea de transmisión) adecuadas.
La solución general de las ecuaciones unidimensionales (5) será de la forma
F(t  z/v), que representa la forma (sinusoidal, cuadrada, pulso,...) de la onda dada por la
fuente que se propaga en la dirección del eje z con velocidad v.
En concreto, la solución será de la forma:
que representa la superposición de dos ondas que se propagan en la línea con velocidad
vf  1
LC
, es decir, una onda que se propaga en el sentido positivo del eje z (onda
incidente) y la otra en sentido negativo (onda reflejada).
Por tanto, en un instante determinado el voltaje y la corriente en cualquier punto
de la línea vienen dados por una combinación de las ondas incidente y reflejada,
estandop éstas íntimamente relacionadas con las ondas de E y H en la línea de
transmisión.
Como las soluciones de la tensión y de la corriente están acopladas a través de
las ecuaciones unidimensionales (5), sustituyendo las soluciones (8) en ellas se pueden
expresar en función solo de los tensiones voltajes incidente y reflejado:
Para que se cumpla la igualdad se tiene que verificar que
Haciendo un cambio de variable: A=z-vt
Integrando se obtiene
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Sustituyendo estos resultados en la expresión (8) para la corriente se obtiene
Finalmente, las soluciones son
donde
es la impedancia característica (en este caso, resistencia) de la línea de transmisión sin
pérdidas.
Con esta definición:
donde el signo (-) indica que la corriente reflejada viaja en el sentido negativo del eje z.
De las expresiones (13) se concluye que la impedancia (resistencia)
característica relaciona las ondas de voltaje y corriente incidentes y las ondas de voltaje
y corriente reflejadas en la línea de transmisión. Sin embargo, no relaciona el voltaje y
la corriente en un punto cualquiera de la línea de transmisión.
Veamos algunos casos de interés:
1. La línea de transmisión es infinitamente larga (z):
En la línea sólo existen ondas de voltaje y corriente viajando en el sentido
positivo del eje z, es decir alejándose de la fuente, y no existen ondas reflejadas.
De aquí se obtiene que la impedancia característica es la relación entre las
ondas de voltaje y de corriente en una línea de transmisión infinitamente larga.
La energía que atraviesa en la unidad de tiempo una sección transversal de la
línea de transmisión es la potencia transmitida por las ondas a tavés de la línea de
transmisión en el sentido positivo del eje z.
En una posición z respecto de la entrada de la línea, la diferencia de potencial o
voltaje entre los conductores es Vi(z,t) y la corriente que circula por cada uno de ellos
(en sentidos contrarios) Ii(z,t). En este caso, la potencia instantánea será:
y es la misma potencia que se consume por efecto Joule en una resistencia igual a R0.
Sin embargo, esta potencia no se disipa, al tratarse de una línea sin pérdidas, sino
que se transmite al resto de la línea:
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donde el primer término del sumando es la energía eléctrica almacenada por unidad de
longitud y el segundo término la energía magnética almacenada por unidad de longitud,
y donde se ha hecho uso de la expresión
2. Línea de transmisión finita (de longitud zL) con una resistencia de carga RL
conectada en su salida entre los dos conductores.
Las condiciones de contorno para el voltaje y la corriente en la salida e la línea
(Fig. 6) imponen que
y es una consecuencia de que NO puedan existir discontinuidades ni en el voltaje ni en l
corriente en la salida de la línea.
Por tanto, se verifica la relación
De las ecuaciones (16) se puede obtener una relación muy importante
Es el coeficiente de reflexión para la onda de voltaje, y expresa la intensidad relativa de
la onda reflejada generada por la discontinuidad en la impedancia que observan las
ondas al alcanzar la salida de la línea de transmisión.
Una consecuencia importante es que si el coeficiente de reflexión es distinto de
cero, parte de la potencia incidente (ViIi) es reflejada y vuelve por la línea a la entrada.
El resto de la potencia incidente se suministra a la resistencia de carga y ahí se consume
totalmente.
Si V = -1 (línea cortocircuitada, RL = 0) o si V = +1 (línea en circuito abierto,
RL = ) se tiene reflexión total, lo cual es lógico ya que ninguna de las dos resistencia
de carga puede aceptar potencia.
Si V = 0 (RL = R0) se dice que la carga está adaptada o acoplada a la línea de
transmisión.
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En este último caso, la línea se dice equilibrada, ya que no hay potencia reflejada
por la carga y toda la potencia incidente se consume en la resistencia de carga.
Además, desde el punto de vista de la fuente de excitación, conectada a la
entrada de la línea, la línea de transmisión acoplada se comporta como una línea
infinitamente larga. De esta forma, la impedancia característica es la resistencia que al
conectarla a una línea de transmisión no da onda reflejada.
Si se hace lo mismo para la corriente:
También se puede definir el coeficiente de transmisión:
3. Existe una discontinuidad en la unión de dos líneas de transmisión de distinta
impedancia característica.
LÍNEA DE TRANSMISIÓN SIN PÉRDIDAS CON FUENTES DE
EXCITACIÓN SINUSOIDAL
Con frecuencia las líneas de transmisión son excitadas por fuentes de señales
que varían sinusoidalmente en el tiempo, de manera que el voltaje y la corriente en
culuier punto de la línea tambien varían sinusoidalmente en el tiempo. Además, ha de
tenerse en cuenta que cualquier forma de onda no sinusoidal puede ser tratada como la
superposición de funciones sinusoidales mediante la aplicación de las series de Fourier
y del teorema de superposición dada la linealidad de las ecuaciones de onda de la línea
de transmisión.
Considérese una tensión
Aplicada a la entrada de la línea de transmisión (z=0) en el instante t=0 s. En la línea
aparece una onda que se desplaza con una velocidad vf = 1/
LC
hacia la carga,
donde w es la pulsación del generador (en rad/s), = w/vf = 2/ es el desfase por
unidad de longitud y se denomina constante de fase y  es la longitud de onda.
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Si la línea de transmisión es infinita sólo existirá onda incidente, al igual que
cuando se tiene una línea de longitud finita que termina en una impedancia de carga Z L
igual en valor a la impedancia característica de la línea. En el primer caso la onda se
propaga indefinidamente, mientras que en el segundo caso, no hay onda reflejada y la
energía incidente se suministra a la impedancia de carga donde se consume.
De la expresión anterior se observa que la amplitud de las ondas de voltaje y
corriente no se atenúa en una línea sin pérdidas, mientras que la fase será distinta en
cada uno de los puntos de la línea de transmisión.
Si el coeficiente de reflexión en la carga es distinto de cero, una vez alcanzado
el régimen permanente en el sistema, se tiene una situación de ONDA
ESTACIONARIA para el voltaje y la corriente en la línea de transmisión. Las ondas
estacionarias de voltaje y corriente se pueden interpretar como formados por ondas que
se propagan en sentidos contrarios, es decir, como suma de una onda incidente y otra
reflejada:
En notación fasorial, la amplitud y la fase de las ondas de voltaje y corriente en
un punto de la línea que dista una distancia z de la entrada vienen dadas por las
magnitudes complejas
donde  = j es la constante de propagación compleja para líneas de transmisión sin
pérdidas, que depende de la frecuencia. El factor ejwt puede omitirse ya que tanto el
voltaje como la corriente en cualquier punto de la línea oscila a la misma frecuencia (o
pulsación) de la señal sinusoidal del generador.
En la práctica, la mayoría de las medidas útiles se toman respecto al extremo
receptor, es decir, con respecto la carga. Por tanto, imponiendo las condiciones en los
terminales de salida, es decir suponiendo que la línea de longitud zL termina en una
impedancia ZL por la que circula una corriente IL y con un voltaje VL, se puede conocer
tanto Vi como Vr en función de ellos:
Sustituyendo estas soluciones en las expresiones (21) podremos conocer el
voltaje y la corriente en cualquier punto de la línea en función del voltaje y la corriente
en la salida de la línea:
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