3º Bachillerato Biológico y Ciencias Agrarias Examen de Matemática

3º Bachillerato Biológico y Ciencias Agrarias
Categoría C
Diciembre de 2011
Examen de Matemática
1) a) Averigua si la siguiente función es continua en x  5 y explica el por qué de tu proceder.
e x  5  2 x  9 si x  5

f ( x)   x  1
si x  5
 x  2
De acuerdo a lo estudiado y sin hacer nada más ¿puedes asegurar que f es derivable en x  5 , o sea que
existe f ' (5) ? Explica tu respuesta.
  2x  5  x
b) Calcula: i) lim 
.e
x   x  4 
  2x  5  x
ii ) lim  
.e
x  4  x  4 
2) a) Halla la derivada de la función f ( x) 
iii) lim
x 2  2x
x2 2x 2  x  6
iv) lim
Lx
x    3 x 2
3x  5
cuyo gráfico está representado en la figura I. Luego halla
e 2 x 1
las coordenadas del punto A en ella indicada y la ecuación de la recta tangente a dicho gráfico en el punto de
corte con el eje vertical; representa dicha recta. Decide, tan sólo teniendo en cuenta la relación que existe
entre una función y su función derivada, cual de las dos gráficas dadas en la figura II corresponde a la
función f ' y justifica tu respuesta.
Figura I
Figura II
b) Grafica una función que cumpla las siguientes condiciones:
Dom f  R  0,3,
lim  f   , lim  f   , lim f  1 , lim f   y además presenta
x  3
x 0
x  
x  
asíntota de ecuación y  0.5x  1 para  
3)Analiza las siguientes variables aleatorias indicando el recorrido de cada una, si es discreta o continua, si
alguna corresponde a una sucesión de pruebas de Bernoullli. Justifica tus respuestas. Halla finalmente
P (X = 3) para cada una de ellas y en caso de ser continua halla además P(X >3).
a) Se saca una bolilla de cada bolillero representado en la figura
donde se han indicado las cantidades de bolillas blancas y rojas de
cada uno.
X indica la cantidad de rojas extraídas.
b) Se tiran simultáneamente dos dados, 5 veces seguidas.
X indica la cantidad de veces que la suma da 4
c) X es la variable aleatoria cuya función de densidad está representada
en la figura.
d) X es una variable aleatoria normal de media   5 y desviación   1.3
3º Bachillerato Biológico y Ciencias Agrarias
Categoría C
Febrero de 2012
Examen de Matemática
1) a) Indica qué debe cumplir una función para ser continua en un valor a de su dominio y que debe cumplir
para ser derivable en él. Luego indica en la siguiente representación gráfica de f en cuáles de los valores a, b,
c o d, no es continua y por qué así como también en cuáles no es derivable y por qué.
2) Dada la función f ( x)  L x 2  6x  2x  1
a) Demuestra que no presenta asíntota oblicua.
b) Demuestra que tiene dos máximos relativos.
c) A lo ya estudiado en partes a) y b) agrega todo lo que creas necesario y realiza la representación gráfica.
3) Averigua si existe el lim f en cada uno de los siguientes casos; si alguno no existe explica por qué, si
x2
existe debes calcularlo.

x 2  6x
si x  2
a) f ( x)   x - 2

 1 x si x  2
e
b) f ( x ) 
x 2  2x
2 x 3  3x 2  11x  6
c) f ( x) 
e x  10
( x  2) 2
4) En un grupo de 50 personas 8 están afectadas de cierta enfermedad. En otro grupo de 65 personas están
afectadas de la misma enfermedad 11personas.
Al elegir una persona de cada grupo al azar:
a) ¿En cuál de los dos grupos es más probable que se seleccione una persona enferma? Justifica.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas lo estén?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las dos lo esté?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que una exactamente de las dos lo esté?
5) Un tubo fluorescente estándar tiene una duración que se distribuye en forma normal con media   7000
horas y desviación   1000 horas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un tubo dure más de 9000 horas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un tubo dure menos de 5000 horas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un tubo dure entre 5000 y 7000 horas?
3º Bachillerato Biológico y Ciencias Agrarias
11 de abril de 2012
Examen de Matemática (Categoría C)
Ejercicio Nº1
a) Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifica todas tus respuestas.
i) Si una función f es continua en a entonces se puede asegurar que f es derivable en a.
ii)Si de una función f se sabe que f (2)  5 y f (4)  10 entonces se puede asegurar que existe una raíz
de dicha función entre 2 y 4.
b) Escribe la definición de derivada de una función en a ( f ' (a) ) y muestra aplicándola a la función
f ( x)  x 2  5x que f ' (7)  9 .
3
c) ¿Para qué valor o valores de x se cumple que f ' ( x)  0 siendo f ( x)  e3x  4 x (2 x  5) ?
d) Grafica una función que tenga asíntota y  2 x  1 para   , dominio R  1, lim f   y lim f  0 .
x 1
x 1
¿Es posible que, a diferencia de lo que sucede con la función que tu graficaste, la función presente asíntota
diferente para   que para   , o que no presente asíntota en   ? Explica las razones de tus respuestas.
e) Demuestra que los siguientes límites son iguales, justificando detalladamente tu procedimiento para
calcularlos.
lim
Lx  2 x 2
x   x 2  4
lim
x 3 
x 5
e 2x 6
 4 x  14
Ejercicio Nº2.
Para la función f ( x ) 
x 2  6x
x 2  4x  4
a) Realiza el estudio necesario y represéntala gráficamente.
b) Halla la ecuación de la recta tangente a dicho gráfico en el punto en que x  0 .
(Recuerda que la ecuación de la recta que pasa por un punto A se puede obtener así: y  y A  m..(x  x A ) ).
c) Averigua cuál es el máximo y el mínimo absoluto de f en el intervalo  0.25 , 10 .
Ejercicio Nº3.
a) Al realizar una estudio estadístico y disponer de una serie de datos numéricos, además de hallar el promedio
es posible hallar la desviación típica. Explica por qué es útil conocer esta última o que es lo que permitiría
concluir.
b) De las siguientes variables aleatorias, una es discreta y la otra continua. Indica cual es cual y por qué. Indica
además cual es el recorrido de la discreta y halla la probabilidad de que dicha variable tome el valor 3.
i)
X representa el tiempo que demora una cierta planta en florecer.
ii)
Y representa la cantidad de veces que salió cara al lanzar tres veces seguidas una moneda.
Ejercicio Nº4.
a) Consideremos que Z es una variable aleatoria normal de media 0 y desviación 1.
De las siguientes probabilidades hay dos que son iguales entre sí; hay dos que sumadas dan 1.
P(Z  0.5) P(Z  2) P( Z  0.5) P(Z  2)
Indica cuales son los pares que verifican lo anterior y justifica sin usar la tabla de probabilidades.
b) Ahora si, ayudándote con la tabla de probabilidades para variables normales, calcula P(14  X  18)
siendo una X una variable normal de media 17 y desviación 2.
3º Bachillerato (Biológico)
Examen de Matemática
 x 3  5x
si x  2
 x 2 4
si x  2
i) ¿es f continua en 2?
ii)¿es f continua en alguno de los siguientes intervalos cerrados?
Justifica tus respuestas.
Julio de 2012
1)a)Dada f ( x)  
0,2
2,10
b) Usando la definición de derivada halla f ' (2.5) para f ( x)  x 2  4 , luego usa este resultado para hallar la
ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto correspondiente a x  2.5 . Representa f
y dicha tangente.
c) ¿Puede ocurrir que para una función cualquiera no exista la derivada en algún valor de su dominio? En ese
caso ¿cómo se apreciaría eso en la gráfica de dicha función?
2) Estudia todo lo que creas necesario para representar gráficamente la siguiente función y realiza dicha
representación.
f ( x)  L
2x 2  1
x2  4
x 2  6x
x2
a) Halla las ecuaciones de las dos rectas indicadas en la
figura teniendo en cuenta su relación con la gráfica de
la función y también las coordenadas del punto A
3) El siguiente es el gráfico de f ( x) 
4) Calcula los siguientes límites:
a) lim
x
ex
4x
b) lim
x2
2 x 3  2 x 2  20x  16
x  2x
2
  3x  2 
c) lim 
 Lx
x  2 x  4 
  3x  2 
d ) lim 
 Lx

x2  2 x  4 
5)En un grupo hay 8 mujeres y 12 varones, en otro hay 11 mujeres y 18 varones. Se elige al azar uno de cada
grupo.
a) Halla la probabilidad de que ambos sean varones y la de que ambas sean mujeres.
b) Si X es la variable aleatoria que indica la cantidad de mujeres que salieron elegidas ¿cuál es su recorrido y
cuál su esperanza?
6)La altura alcanzada por ciertos árboles corresponde a una variable aleatoria normal con media de 25 m y
desviación típica de 4m. Calcula la probabilidad de que un árbol de ese tipo
a) mida más de 30 m
b) mida entre 25m y 30m