¿Qué hace la teoría de Puntos Fijos de Kripke con la secuencia de

Mesa: “Universalidad expresiva: punto fijos y jerarquías”
¿Qué hace la teoría de Puntos Fijos de Kripke con la secuencia de Yablo?
Lavinia María Picollo (Universidad de Buenos Aires)
En el presente trabajo me propongo mostrar cómo la Teoría de Puntos Fijos de
Kripke hace un tratamiento adecuado de la secuencia de oraciones conocida como
Paradoja de Yablo, en contraste con la teoría tarskiana de las jerarquías de lenguajes.
La paradoja que ha recibido el nombre de El Mentiroso, a saber, aquella
oración que afirma de sí misma que es falsa, surge a partir de la posibilidad que tiene
un lenguaje de expresar su propia semántica, es decir, de contener su propio
predicado de verdad, en adición con la adherencia a la lógica clásica. Esto es,
precisamente lo que muestra el Teorema de Tarski.
Para evitar la aparición de este tipo de paradojas, Tarski mismo propone una
teoría de la verdad que consiste en la postulación de una jerarquía infinita de
lenguajes donde cada uno de ellos contiene el predicado de verdad de su predecesor
(Ln+1 = Ln + Tn). De este modo, aquellas oraciones que predican verdad de otros
enunciados de un lenguaje nunca pertenecerán al lenguaje mismo y, en consecuencia,
ya no será posible formular el Mentiroso.
Esta teoría no resulta satisfactoria para Kripke por diferentes motivos. Los más
importantes son la proliferación de diferentes predicados de verdad en contraposición
con la intuición de los hablantes comunes, quienes utilizan un único término para
designar aquello que consideran verdadero; la imposibilidad de asignar un nivel a priori
de la jerarquía de Tarski a una oración, pues éste obedece al contexto; y por último, la
necesidad de permitir la autorreferencia, cuya seguridad quedó garantizada por los
resultados de Gödel, y la de asumir el riesgo de que una oración sea paradójica ya
que ello depende de cuestiones contextuales y no semánticas o de lenguaje.
En consecuencia, Kripke propone una teoría de la verdad alternativa a la de
Tarski en la cual, en lugar de renunciar a la posibilidad de que un lenguaje contenga
su propio predicado de verdad, se deja de lado la lógica clásica, adoptando una
semántica trivalente (el esquema fuerte de Kleene). Dicha teoría se basa en la idea de
verdad según la cual estamos autorizados a afirmar o negar que una oración es
verdadera precisamente en aquellos casos en los que podemos afirmar o negar la
oración misma. Además, la teoría de Kripke pretende dar cuenta de dos nociones
centrales:
1
(i)
Fundamentación: decimos que una oración está fundada siempre y cuando su
valor de verdad pueda ser determinado en última instancia a partir de
cuestiones no semánticas. En caso contrario, decimos que dicha oración está
infundada. Así, el valor de verdad de “Es verdad que la nieve es blanca” queda
determinado por el de “La nieve es blanca”, que es verdadera o falsa según el
color de la nieve. Luego, tanto la primera como la segunda oración están
fundadas.
(ii)
Paradojicidad: decimos que una oración es paradójica cuando no es posible
asignarle valores de verdad de modo consistente. De esta forma, podemos
afirmar que el mentiroso es paradójica porque si se la considera verdadera
resulta ser falsa en virtud de su significado, y si se supone falsa resulta
verdadera.
A continuación, haré un esbozo de la teoría de Puntos Fijos.
Sea L un lenguaje interpretado de segundo orden1, con capacidad
autorreferencial (sea a través de la asignación de nombres mediante entrecomillación)
y con una cantidad finita o a lo sumo numerable de predicados primitivos,
completamente definidos, esto es, para todo nombre de un elemento del dominio (que
deberá ser distinto de vacío), éste pertenece o bien a la extensión o bien a la
antiextensión de cada predicado. Sea a su vez Λ el resultado de agregar a L un
predicado de verdad T, capaz de recibir una interpretación parcial, es decir, si S1 es su
extensión y S2 su antiextensión, puede haber términos singulares que no pertenezcan
ni a S1 ni a y S2. Llamaremos Λ(S1 ; S2) a un lenguaje Λ cuyo predicado de verdad T
recibe una interpretación parcial a través de S1 y S2.
De acuerdo con Kripke, una buena definición (aunque parcial) del predicado de
verdad T de un lenguaje Λ consiste en un par de conjuntos (S1 ; S2) tales que si S’1 es
el conjunto de todas las verdades de Λ y S’2 el de todas sus falsedades, S1 = S’1 y S2 =
S’2. Ello significa que Λ(S1 ; S2) contiene su propio predicado de verdad. Cualquier
interpretación (S1 ; S2) del predicado de verdad que cumpla con estas condiciones se
denomina punto fijo siempre y cuando su construcción se lleve a cabo de la siguiente
manera.
1
Es necesario un lenguaje de segundo orden para dar un análisis satisfactorio de la Paradoja
de Yablo ya que ésta hecha mano de la regla ω, que requiere o bien un lenguaje de primer
orden infinitario o bien un lenguaje de orden superior. La ventaja principal del segundo sobre el
primero es la capacidad de artimetización. En Outline of a Theory of Trurth, Kripke no parece
tener problemas con ello.
2
El modo de construir un punto fijo es a través de la consideración de una
jerarquía de lenguajes Λα(S1,α ; S2,α) tales que
Λ0 = Λ(S1,0 ; S2,0) donde S1,0 = S2,0 = Φ (vacío), es decir, todas las oraciones carecen de
valor de verdad al comienzo del proceso.
Λ1 = Λ(S1,1 ; S2,1) donde S1,1 es el conjunto de los términos singulares que son nombre
de oraciones cuya verdad está dada por nociones no semánticas del
mundo, y S2,1 es un conjunto análogo pero respecto de los términos
que designan oraciones falsas.
Λ2 = Λ(S1,2 ; S2,2) donde S1,2 es el conjunto de términos singulares que refieren a
oraciones verdaderas de Λ1, y S2,2 es un conjunto análogo pero
respecto de las oraciones falsas.
y así siguiendo. Advirtamos que una vez que hemos afirmado verdad de una oración
en un lenguaje cualquiera de la jerarquía, deberemos mantener dicha asignación en
todo lenguaje sucesivo. Esto es, para todo par (S1,α ; S2,α), S1,α  S1,α+1 y S2,α  S2,α+1.
Luego, decimos que la asignación de valores de verdad a lo largo del proceso es
monótona. Formalmente,
Λ0 = Λ(S1,0 ; S2,0) donde S1,0 = S2,0 = Φ
Λα = Λ(S1,α ; S2,α) donde S1,α es el conjunto de todas las verdades de Λβ y S2,α el de
todas las falsedades de Λβ, si α=β+1 (α es un ordinal sucesor)
Λε = Λ(S1,ε ; S2,ε) donde S1,ε =  S1,β y S2,ε =  S2,β (ε es un ordinal límite)
 
 
El proceso finaliza cuando encontramos un ordinal σ tal que S1,σ = S1,σ+1 y S2,σ =
S2,σ+1. La existencia de σ queda garantizada por el hecho de que hay, a lo sumo,
tantos niveles α como términos singulares de Λ y, puesto que esos últimos constituyen
un conjunto numerable, éste deberá tener un ordinal numerable cualquiera σ. Una vez
que ese ordinal sea alcanzado, no habrá más oraciones a considerar, con lo cual se
estancará el proceso. En consecuencia, decimos que (S1,σ ; S2,σ) es un punto fijo. Por
ser el primer punto fijo y por comenzar el proceso estando el predicado de verdad
completamente indefinido, Kripke lo denomina más propiamente punto fijo mínimo.2
Observemos que la teoría está ahora en condiciones de dar cuenta de la noción de
fundamentación: una oración está fundada si adquiere un valor de verdad en algún
nivel del proceso de construcción del punto fijo mínimo.
2
Notemos que todos los (S1,α; S2,α) con α>σ serán puntos fijos.
3
En adición, Kripke considera la existencia de otros tipos de puntos fijos. En
primer lugar, introduce los puntos fijos intrínsecos como aquellos que asignan valor de
verdad verdadero en Λ0 a oraciones infundadas que no pueden ser falsas y, a la vez,
valor de verdad falso a las que no pueden ser verdaderas, o lo que es lo mismo, no
hacen asignaciones arbitrarias de verdad. Y en segundo lugar, llama puntos fijos
maximales a los que otorgan, consistentemente, tantos valores de verdad como es
posible, en Λ0, a oraciones infundadas que pueden ser verdaderas o falsas, es decir,
para las cuales existe una asignación de valores de verdad consistente. Notemos que
todo aquello que es verdadero o falso en un punto fijo intrínseco lo será también en un
punto fijo maximal; la extensión y la antiextensión del predicado de verdad del punto
fijo intrínseco están incluidas en la extensión y la antiextensión del predicado de
verdad de un punto fijo maximal, respectivamente.
Consideremos ahora estas dos oraciones:
(1)
El Mentiroso: Esta oración es falsa
(2)
El Honesto: Esta oración es verdadera
Es sencillo notar que ambas oraciones involucran nociones semánticas y su
valor de verdad no depende de cuestiones empíricas (no semánticas) en ninguna
instancia. Luego, tanto el Mentiroso como el Honesto son infundadas. Sin embargo,
existe una diferencia crucial entre ambas, a saber, mientras que no es posible asignar
valores de verdad de modo consistente al Mentiroso, sí es posible hacerlo con el
Honesto, lo que significa que la primera es paradójica y la segunda no. Es importante
ver que la teoría de Kripke da cuenta de las similitudes así como de las diferencias
entre las dos oraciones en cuestión: si bien ambas permanecen sin valor de verdad en
el punto fijo mínimo, lo cual muestra que son infundadas; en un punto fijo maximal se
le asignará al Honesto valor de verdad verdadero o falso, mientras que el Mentiroso
permanecerá indeterminada ya que no puede ser verdadera ni falsa en virtud de su
significado. Éste es el modo mediante el cual la teoría de Kripke da cuenta de las
oraciones paradójicas y las diferencia del resto.
A continuación me propongo hacer una breve presentación de la secuencia de
oraciones conocida como Paradoja de Yablo, con el objeto de mostrar de qué manera
la teoría de Kripke hace un análisis satisfactorio de la misma. La secuencia de Yablo
puede presentarse del siguiente modo:
4
 0  k  0,  k
Aquí, cada oración afirma de todas las que le siguen que son
1  k  1,  k
falsas. Un modo intuitivo de percibir el carácter problemático
..............................
 n  k  n,  k
de esta secuencia es a través de la consideración de sus
..............................
oración cualquiera  n de la secuencia es verdadera. Luego, lo
oraciones mediante el lenguaje natural. Supongamos que una
que dice es el caso: todas las oraciones que le siguen son falsas. De ello podemos
sacar dos conclusiones.
(1)  n1 deberá ser falsa, puesto que está entre aquellas oraciones que siguen a  n
en la secuencia.
(2) Todas las oraciones que siguen a  n1 también serán falsas, ya que lo son todas
las que siguen a  n . Pero si eso es así,  n1 habrá de ser verdadera, ya que lo
que dice es precisamente eso.
Hemos arribado a una contradicción a partir del supuesto según el cual alguna oración
de la secuencia es verdadera. Luego, debemos suponer que son todas falsas; en
particular,  0 es falsa. Si esto es cierto, lo que dice no es el caso, por lo que debe
existir alguna oración por debajo de ella que sea verdadera. Sea esa oración  k .
Nuevamente, llegamos a que:
(1)  k 1 deberá ser falsa, puesto que está entre aquellas oraciones que siguen a  k
en la secuencia.
(2) Todas las oraciones que siguen a  k 1 también serán falsas, ya que lo son todas
las que siguen a  k . Pero si eso es así,  k 1 habrá de ser verdadera, ya que lo
que dice es precisamente eso.
Una vez más, hemos caído en contradicción. Consecuentemente, parece que no hay
una asignación de valores consistente al conjunto de oraciones de la secuencia, es
decir, ésta es inconsistente. No obstante, algunos intentos por formalizar el argumento
que hemos esbozado aquí para llegar a una contradicción mostraron que algunos
pasos empleados no son legítimos. Observemos la siguiente deducción:
5
 n
 n  m  n,  m
m  n,  m
 n 1
m  n  1,  m
 n 1
Ella es la formalización exacta de lo que hemos dicho antes.
Sin embargo, hay problemas con el segundo paso puesto
que no es una aplicación correcta del esquema T. Éste se
utiliza para decidir en qué casos estamos dispuestos a
afirmar verdad de una oración; pero  n no es una oración

ya que contiene a n como variable libre. Luego, parece
n,  n
necesario que la primera parte de la deducción se lleve a
 0
cabo para cada enunciado de la secuencia y no en general
n  0,  n
para todos. Sin embargo, sabemos que eso no es posible
 0
pues el conjunto de oraciones de la secuencia de Yablo es

infinito. Lo que hemos dado allí es simplemente un esquema
que muestra cómo se llegaría a una contradicción en cada
caso. Si bien podemos mostrar, mediante dicho esquema, que es posible llegar a un
absurdo partiendo del supuesto de que cada oración de la secuencia es verdadera, no
podemos afirmar que esto suceda para todas las oraciones a la vez. Para ello
precisamos de la regla ω, que afirma que, si tenemos la posibilidad de probar que una
propiedad cualquiera se cumple para cada número natural (por ejemplo, a través de un
esquema de demostración), luego podemos decir que se cumple para todos. Sin
embargo, la regla ω no es una regla de inferencia válida ya que tiene contramodelos, a
saber, aquellos modelos no estándar de la aritmética.
Los resultados de Ketland en su artículo Yablo´s Paradox and ω-Inconsistency
arrojan luz sobre este asunto. A través de la consideración de modelos no estándar de
la aritmética muestra que existe una asignación de valores consistente para las
oraciones de la secuencia si se prescinde de la regla ω. Sin embargo, si esta regla se
tiene en consideración, la secuencia resulta contradictoria. Luego, no estamos
autorizados a afirmar que la secuencia de Yablo es inconsistente sino ω-inconsistente.
Sostengo que estos resultados se reflejan perfectamente en la teoría de Puntos Fijos
de Kripke, ya que la misma da cuenta de la diferencia entre la secuencia de Yablo
aceptando la regla ω y no aceptándola, del mismo modo en que lo hace entre el
Mentiroso y el Honesto.
Supongamos que nuestra secuencia de oraciones pertenece al lenguaje cuyo
predicado de verdad queremos definir a través de la teoría de Kripke. Luego, debemos
analizar el comportamiento de la misma en los puntos fijos que hemos presentado.
Comenzado por el punto fijo mínimo, debemos observar primeramente que habrá que
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considerar un número infinito de lenguajes sucesivos Λ ya que el número de oraciones
es infinito y la verdad de cada una de ellas depende de la que le sigue en la
secuencia, es decir, cada una pertenece a un lenguaje Λ diferente en la jerarquía.
Puesto que la secuencia tiene tantas oraciones como números naturales pues éstas
están numeradas, sabremos qué tratamiento les da el punto fijo mínimo recién cuando
consideremos el lenguaje Λω, cuyo predicado de verdad está definido por el par (S1,ω ;
S2,ω), donde S1,ω =  S1,i y S2,ω =  S2,i3. Ya que el significado de cada oración
i
i
depende del de la que le sigue y todas ellas contienen conceptos semánticos,
podemos afirmar que permanecen indeterminadas en el punto fijo mínimo. De este
modo, la teoría de Kripke da cuenta del carácter infundado de la secuencia de Yablo.
Sin embargo, las consideraciones más importantes acerca de este conjunto de
oraciones se dan cuando atendemos a su comportamiento en puntos fijos intrínsecos y
maximales. Primeramente quisiera hacer dos observaciones:
(1)
Echemos nuevamente un vistazo a la deducción formal de la contradicción de las
oraciones de Yablo. Si bien no podemos probar la primera parte, no parece
haber problemas con la segunda, es decir, partiendo del supuesto de que las
oraciones son todas falsas, hemos llegado a un absurdo. Luego, debemos
concluir que al menos una de ellas es verdadera. Por el contrario, si tomamos la
regla ω como verdadera, estamos en condiciones de demostrar también la
primera parte y, por ende, debemos afirmar que el conjunto de oraciones es
contradictorio.
(2)
No siendo la regla ω una ley lógica, podemos asignarle valor de verdad en un
punto fijo maximal4.
Si optamos por asignarle valor de verdad falso en Λ0, en un punto fijo maximal
tendremos que hacer asignaciones de valores de verdad consistentes con ello. Luego,
como hemos afirmado antes, al menos una oración de la secuencia podrá pertenecer
a la extensión del predicado de verdad en un punto fijo intrínseco, y deberá hacerlo en
un punto fijo maximal. De esta manera, la teoría de Kripke muestra que la secuencia
de Yablo no es paradójica pero sí infundada. Es en este sentido que considero que la
secuencia de Yablo sin la regla ω se comporta de modo similar al Honesto excepto en
que al menos una de sus oraciones puede adquirir valor de verdad en un punto fijo
intrínseco, mientras que el Honesto en tales casos debe permanecer indeterminada
pues puede ser tanto verdadera como falsa.
ω es el primer ordinal transfinito, el ordinal del conjunto de los números naturales en su ordenamiento
usual.
3
4
Hay estructuras en las cuales la regla ω no transmite verdad de premisas a conclusión.
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Por otro lado, si elegimos asignar valor de verdad verdadero a la regla ω,
estaremos en condiciones de deducir una contradicción tanto del supuesto de que
cada una de las oraciones de la secuencia es verdadera como del que es falsa. Luego,
no es posible asignar consistentemente valores de verdad a dichos enunciados. En
consecuencia, aún en un punto fijo maximal, el conjunto de oraciones de Yablo carece
de valor de verdad. De esta forma, la teoría kripkeana de Puntos Fijos da cuenta del
carácter paradójico de la secuencia si se la considera en conjunción con la regla ω,
otorgándole un tratamiento similar al del Mentiroso.
Así, la teoría de Kripke da cuenta de la diferencia entre considerar la secuencia
de Yablo aceptando la regla ω o no y, en ambos casos, proporciona un análisis
satisfactorio que refleja los resultados obtenidos por Ketland al respecto.
Antes de terminar quisiera hacer una última observación. Frente a la existencia
de paradojas como el Mentiroso, Tarski opta por una solución drástica: restringir el
lenguaje de modo tal que el Mentiroso y paradojas del mismo tipo no puedan
formularse. No obstante, Yablo mismo muestra que la paradoja que lleva su nombre
puede expresarse en la teoría de la verdad de Tarski invirtiendo la jerarquía y
asignando un nivel a cada una de las oraciones, tal que cada lenguaje Li contenga una
oración Si de la secuencia y un predicado de verdad Ti+1 para todos aquellos lenguajes
que le siguen en la jerarquía. Luego, la solución tarskiana parece no funcionar en
casos como la Paradoja de Yablo. Por ello sostengo que la teoría de Kripke tiene
grandes ventajas frente a la tarskiana en tanto permite que un lenguaje contenga su
propio predicado de verdad, da cuenta de las nociones de fundamentación y
paradojicidad y, por último, ofrece un tratamiento adecuado de la secuencia conocida
como Paradoja de Yablo.
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Bibliografía
•
Kremer, M., “Kripke and the Logic of Truth”, Journal of Philosophical Logic, vol. 17,
no. 3, pp. 225-278, 1988
•
Kripke, S., “Outline of a theory of truth”, The Journal of Philosophy, vol. 72, no. 19,
pp. 690-716, 1975
•
Ketland, J., “Yablo’s Paradox and ω-Inconsistency”, Synthese, vol. 145, no. 3, 295302, 2005
•
Bays, T., “On Tarski on Models”, The Journal of Symbolic Logic, vol. 66, no. 4, pp.
1701-1726, 2001
•
Yablo, S., Circularity and Paradox, en T. Bolander, V. F. Hendricks, and S. A.
Pedersen, pp. 139-157, ed. Self-Reference (CSLI Press, 2006)
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