tema em.2 conductores y dielectricos

Fundamentos Físicos de la Informática
Escuela Superior de Informática
Curso 07/08
Departamento de Física Aplicada
TEMA 4. ELECTROSTATICA EN CONDUCTORES Y
DIELECTRICOS
4.1.- Se tiene un conductor esférico de radio R = 0.25 m. Si el potencial a una distancia
de 0.5 m. desde el centro de la esfera es de 1300 V. Calcular:
a) La densidad de carga superficial en el caso de que sea una esfera maciza y en el caso
de una esfera hueca.
b) Para los dos casos mencionados, el campo eléctrico a las distancias del centro 0.1,
0.25 y 0.4 m.
SOLUCION: a)   9.2 10 -8 C / m 2 ; b) E = 0 ; E = 104 ur N/C ; E = 4061.4 ur N/C
4.2.- Dado el sistema de la figura, calcular la carga total Q de la esfera.
1
SOLUCION: Q =   q 1d + q 2 R 2 
d
4.3.- Una partícula de masa m y carga q, está sometida a la acción de un campo eléctrico
generado por dos conductores esféricos
de radio R, cargados uniformemente. Si
los conductores se sitúan como indica la
figura y la carga de 1 es Q1 y el
potencial de 2 es nulo, se pide: a) Carga
Q 2 del conductor 2. b) Calcular la
fuerza F que habría que ejercer sobre la
partícula para que su trayectoria fuese el
eje OY. c) Calcular el trabajo necesario
para desplazar la partícula desde el punto
A(0, 3R) al punto B(2R, R).
Nota:
Despreciar
la
influencia
electrostática de la carga q sobre los conductores.
Qq
Q
Q1qR
i c) W  0.052 1
SOLUCION: a) Q 2   1 b) F  K
3
2
4
R
16R 2  y2 
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4.4.- Una bola conductora de radio R posee una densidad superficial de carga  .
Rodeando a esta se coloca una cáscara conductora de espesor muy pequeño dotada de
una carga -Q, siendo su radio 2R. Cuando el sistema formado por los dos conductores
esté en equilibrio, ¿ cual será la densidad superficial de la cara externa de la cáscara ? ¿
Cuando será nula la densidad superficial de la cara externa de la cáscara ?

Q
SOLUCION:   
Q = 4  R 2
2
4 16  R
4.5.- Un sistema está formado por dos esferas conductoras concéntricas. La esfera
interior de radio R1, tiene una carga Q. La esfera exterior tiene como radios interior y
exterior R2 y R3 respectivamente. Calcular la carga total Q  de la esfera exterior, para
que el potencial de la esfera interior sea nulo. ¿ Cuanto vale el potencial de la esfera
exterior ?
R

 R  R1 
R
SOLUCION: Q = Q 3  3  1
V = KQ 2

 R 2 R1

 R1 R 2 
4.6.- Una carga puntual de valor -q, está situada en el centro de una corona conductora
esférica de radios interior R1 y exterior R2, tal como muestra la
figura. La carga neta de la esfera es cero. Se pide:
a) Dibujar las líneas de fuerza asociadas al campo eléctrico,
dentro y fuera de la esfera.
b) Calcular el valor del campo eléctrico en función de la
distancia r, al centro de la esfera, y representarlo gráficamente.
c) Determinar el valor del potencial para r<R1 y para r>R2.
SOLUCION: b) Para 0<r<R1  E =  K
q
u r ; Para R1<r<R2  E = 0 ;
r2
q
u
r2 r
q
q
q
K
c) Para r<R1  V =  K  K
r
R1
R2
Para r>R2  E = K
; Para r>R2  V = K
q
r
4.7.- Una pequeña esfera metálica conductora de radio r está en el centro de otra mayor
de radio R, también metálica. Sus cargas respectivas son q y Q. Calcular: a) La
diferencia de potencial entre las esferas. b) ¿ Que ocurre si se conectan ambas esferas
mediante un hilo conductor ?.
1 1 
SOLUCION: a) VA  VB  Kq   V b) Se igualan los potenciales.
r R
4.8.- Una carga puntual positiva de 2.5  C se encuentra en el centro del hueco de una
corteza conductora esférica sin carga, de radio interior 60 cm y radio exterior 90 cm. a)
Determinar las densidades de carga sobre las superficies interior y exterior de la corteza
y la carga total sobre cada superficie. b) Determinar el campo eléctrico en cualquier
punto del espacio. c) Responder a) y b) para el caso en el que se añade una carga de -3.5
 C a la corteza.
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SOLUCION: a) 1  -5.53 10-7 C / m2 2  2.46 10-7 C / m2
q
q
b) Para r<R1  E = K 2 ; Para R1<r<R2 E = 0; Para r>R2  E = K 2
r
r
-7
2
-8
2
c) 1  -5.5310 C/m 2  9.82 10 C/m
q
Para r<R1  E = K 2 radial y saliente; Para R1<r<R2 E = 0 ;
r
-Q + q
radial y entrante
Para r>R2  E = K
r2
4.9.- Tres capas esféricas conductoras de radios internos y externos
R1  2 cm y R 2  3 cm ; R3  4 cm y R 4  5 cm ; R5  10 cm y R6  22 cm , tienen
cargas eléctricas de 10 nC, x C y 12 nC respectivamente. Las tres capas esféricas se
llevan a una posición concéntrica, manteniéndolas aisladas entre ellas. Sabiendo que en
estas condiciones el potencial de la capa esférica intermedia vale 20 kV ¿Cuánto debe
valer su carga x?.
SOLUCION: x  139 nC
4.10.- Sea un sistema formado por dos esferas conductoras y un cascarón esférico de
espesor despreciable de radios R1, R2 y R3 y
cargas q1, q2 y q3 como muestra la figura,
siendo d>>R3 y R2.
a) Hallar los potenciales de las tres esferas.
b) Si la esfera 2 se une a tierra ¿ cual es su
carga ? ¿ y los potenciales de las otras dos
esferas ?
SOLUCION:
 q  q 2 q3 
q
 q  q 2 q3 
q
q 

a) V1  K 1  2  3  ; V2  K 1
  ; V3  K 1

d
R 3 
 R1 R 2 d 
 R2
 d
 1
 1 R2 
R
1 
b) q 2  q 1  2 q 3 ; V1  Kq 1

 2
 ; V3  Kq 3 
d
 R1 R 2 
 R3 d 
4.11.- Se tienen dos esferas conductoras, una 27 veces mayor que la otra, muy alejadas
entre si. Inicialmente la esfera menor tiene una carga de 4 C, y la mayor está descargada.
Si las unimos (sin acercarlas) mediante un hilo conductor muy fino, ¿ cuales serán las
cargas finales de cada esfera, una vez se haya alcanzado el equilibrio electrostático ?.
SOLUCION: q 1  1C la mas pequeña y q 2  3C la mas grande.
4.12.- Una esfera conductora de radio R1 y carga Q se une mediante un hilo conductor
muy delgado a otra esfera de radio R1/2, inicialmente descargada. Suponiendo que las
esferas están lo suficientemente alejadas entre si para que los fenómenos de influencia
sean despreciables, calcular: a) Cargas de cada esfera. b) Potencial. c) Densidad
superficial de carga de cada esfera.
2KQ
Q
Q
2Q
Q
2 
SOLUCION: a) Q1 
b) V =
c) 1 
Q2 
2
3R 1
6 R 1
3 R 12
3
3
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4.13.- Dos esferas conductoras de radios respectivos 1 cm y 2 cm, tienen cada una 10-8
C de carga. Si la distancia entre los centros de las esferas es de 1 m, calcular la carga y
el potencial final de cada esfera cuando se conectan mediante un hilo fino.
V = 6070 V
SOLUCION: q A  0.66 10-8 C y q B  1.34 10-8 C
4.14.- Sea un sistema formado por tres placas conductoras idénticas y paralelas. Las
placas exteriores están conectadas mediante un hilo, mientras que la placa interior
permanece aislada y cargada con una densidad superficial de carga  . Determinar las
densidades de carga  1 y  2 , a cada lado de la placa interior, sabiendo que d1 = 1.5 cm,
d2 = 1 cm y  1 + 2 =  = 7  C / m2 .
 2 = 4.2  C / m2
SOLUCION:  1 = 2.8  C / m2
4.15.- Tres láminas metálicas paralelas de área S están
dispuestas como se indica en la figura. La lámina central,
aislada, tiene una carga Q y las otras dos están eléctricamente
unidas. Si a la lámina izquierda se le da una carga igual a -3Q
determinar las densidades de carga en las superficies de las tres
láminas. (d<< S se desprecian los efectos de los bordes).
SOLUCION:
Q
3Q
3Q
Q
Q
1  6 
; 3 
; 2 
; 5 
; 4 
S
4S
4S
4S
4S
4.16.- Un dieléctrico está formado por n
moléculas por unidad de volumen con una
disposición de las cargas en cada molécula
como muestra la figura. Al aplicar un
campo eléctrico uniforme E sobre el
dieléctrico, la carga de 4q se desplaza
hacia arriba en el eje Z una distancia d.
Calcular la polarización del dieléctrico.
SOLUCION: P = 4nqd k
4.17.- Entre dos placas conductoras muy próximas en las que existe una diferencia de
potencial V0 se introduce un dieléctrico de    2 como se aprecia en la figura. Calcular
los vectores D, E y P en el espacio comprendido entre las placas conductoras y las
densidades de carga polarizada en las superficies del dieléctrico. Aplicar para l=8 cm;
e=3 cm y V0=10 V.
. i V / m ; D = 1.36 10-9 i C / m 2 ; P = 6.8 10-10 i C / m 2
SOLUCION: E0 15384
p( cara izq.) = -6.8 10-10 C / m2 ; p(cara der.) = 6.8 10-10 C / m2
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4.18.- Una placa de dieléctrico de espesor d, permitividad  1 y dimensiones infinitas
está en el interior de un medio dieléctrico de  2 . En el medio dieléctrico existe un
campo eléctrico uniforme E2, perpendicular a la placa. Calcular:
a) Campo eléctrico en la placa.
b) Polarización en el medio y la placa dieléctricos.
c) Densidad superficial de carga en el plano de separación de los dos dieléctricos.


 
SOLUCION: a) E1  2 E2 b) P1 =  0 2  2 E2 ; P2   0  2  1 E2
1
1 

 

c)    0  2  1E 2
 1

4.19.- Una esfera metálica de radio a tiene una carga
Q y está rodeada de una capa esférica dieléctrica
como muestra la figura. La permitividad del
dieléctrico es   40 . Calcular: a) Los vectores D, E
y P en el dieléctrico. b) Las densidades de carga de
polarización sobre las superficies interior y exterior de
la capa esférica de dieléctrico.
SOLUCION:
a)
Q
Q
3Q
D=
u ; E=
u ; P=
ur
2 r
2 r
4 r
16 0 r
16 r 2
3Q
3Q
Para r = a  p  
2 ; Para r = b   P 
16 a
16 b 2
4.20.- Se dispone de dos conductores uno esférico de
radio R1 y carga Q y otro un cascarón esférico
concéntrico con el anterior de espesor despreciable,
radio R3 y carga - Q  siendo mayor la carga negativa
que la positiva. Entre R1 y R2 (R1<R2) existe un
dieléctrico de permitividad relativa  1 y entre R2 y R3
(R2<R3) otro dieléctrico de permitividad relativa  2 .
Calcular la diferencia de potencial entre la superficie
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del conductor esférico y la cara interna del cascarón esférico.
Q 2 R 3  R 2  R1   1 R1  R 3  R 2 
SOLUCION: V1  V3 
4 0
1 2 R1R 2 R 3
4.21.- Una esfera conductora de radio R está aislada y con una carga Q. Sobre la esfera
se coloca un dieléctrico formando una capa esférica de radio interior y exterior R y 3R
respectivamente. Calcular la permitividad dieléctrica  para que el módulo del campo
eléctrico en el dieléctrico sea constante y no exista carga de polarización sobre la
superficie de radio 3R.
9 R 2
SOLUCION:   02
r
4.22.- Dos cortezas esféricas 2 y 3 se encuentran dispuestas como se indica en la figura.
La corteza 2 tiene un radio R 2 y está cargada con q2 . La corteza 3 tiene un radio R 3 y
está cargada con q 3 . En el centro de ambas cortezas se sitúa una carga puntual  q1 , y
todo en el vacío. En este sistema se pide:
a) Distribución de cargas en las caras interior y exterior de cada corteza esférica.
b) Campo eléctrico en cualquier punto del espacio indicando claramente el sentido.
Posteriormente se une la corteza 2 a tierra
c) Que carga adquiere la corteza 2.
Con la nueva carga de la corteza 2 se
introduce un dieléctrico ocupando todo el
espacio entre la corteza 2 y la corteza 3. El
dieléctrico tiene una permitividad   5 0 .
En este caso
d) Calcular el valor de la polarización para
cualquier punto del dieléctrico.
SOLUCION: b)
q1
radial y entrante
r2
q q
Para R 2  r < R 3  E  k 2 2 1 radial y saliente
r
q q q
Para r>R 3  E  k 3 22 1 radial y entrante
r
R 2R 3
c) q2 
 q1
R3
R 2q3
ur
d) P 
5 R 3r 2
Para r<R 2  E  k
4.23.- Una esfera metálica 1 tiene una carga Q1 y radio R1 . Otra esfera metálica hueca
2 tiene radios interior y exterior R 2 y R 3 respectivamente y una carga inicial Q2 .
Calcular:
a) Potenciales electrostáticos de las dos esferas.
A continuación se introduce la esfera 1 en el hueco de la esfera 2, se pide:
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b) Distribución de carga en las superficies de los dos conductores y densidades
superficiales de carga.
c) Campo eléctrico en los intervalos 0  r  R1 ; R1  r <R 2 ; R 2  r  R3 ; r >R3
d) Potencial en un punto en el espacio comprendido entre las esferas.
Se introduce un dieléctrico de   en el espacio entre las esferas
e) Determinar la polarización que se produce en el dieléctrico.
SOLUCION:a) V1  k
Q1
R1
; V2  k
Q1
Q1
;  2int 
;  2ext
2
4 R1
4 R 22
Para 0<r  R1  E  0
b)  1int

Para R1 < r <R 2  E  k
c)
Q1
r2
Para R 2  r  R 3  E  0
Q1  Q 2
r2
Q
Q
Q  Q2
d) V  k 1  k 1  k 1
r
R2
R3
   1 Q1
ur
e) P 
4  r 2
Para r>R 3  E  k
Q2
;
R3
Q Q
 1 22
4 R 3