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Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
Insituto Universitario de Sistemas Inteligentes y
Aplicaciones Numéricas en Ingenierı́a
Trabajo de Fin Máster :
Aplicación del análisis isogeométrico a un
problema bidimensional de Poisson
Tutores:
José Marı́a Escobar Sánchez,
Rafael Alejandro Montenegro Armas
Marina Brovka
Las Palmas de Gran Canaria, 18 de junio de 2012
ÍNDICE
Índice
1. Introducción
3
2. Conceptos básicos
4
2.1. B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2. Curvas y superficies B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3. Non-uniform rational B-splines (NURBS) y T-splines . . . . . . . . . .
7
3. Resolución del problema mediante análisis isogeométrico
9
3.1. Problema a resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2. Parametrización del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3. Concepto del análisis isogeométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.4. Formulación variacional
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.5. Ensamblaje del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4. Resultados
16
4.1. Error y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Otros ejemplos
16
19
5.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
5.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.3. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1
ÍNDICE
5.4. Ejemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
6. Conclusiones y lı́neas futuras
26
Bibliografı́a
27
2
1 Introducción
1.
Introducción
El principal inconveniente del método de elementos finitos (FEM) clásico es el
problema de precisión producido por la aproximación de la geometrı́a. El análisis isogeométrico (IGA)[1, 2] surge en un intento de solucionar dicho inconveniente unificando
FEM clásico con el campo del diseño asistido por ordenador (CAD). La principal idea
de este método consiste en utilizar para el espacio de soluciones las mismas funciones
de base que se han utilizado para modelado de la geometrı́a del dominio. Otra ventaja
de este método, comparado con FEM, es la mayor suavidad de la solución numérica
obtenida. Utilizando las funciones de base NURBS de grado 3, por ejemplo, se consigue
una solución de clase C 2 frente a C 0 del FEM.
Sin embargo, IGA es un método muy reciente que todavı́a tiene numerosos frentes
abiertos. Por un lado la distorsión inherente a la parametrización del dominio puede
llegar a producir elementos con jacobiano negativo, lo que dificultarı́a la aplicación
del método. Por otro lado, no existe, por el momento, una manera completamente
satisfactoria de simultanear condiciones de contorno de tipo Dirichlet y Neumann.
Tampoco esta clara la convergencia del método en geometrı́as complejas.
Para la aplicación del análisis isogeométrico se pretende hacer uso de T-splines[3]
que, a diferencia de NURBS [4], permiten hacer un refinamiento local de malla. Esto
conlleva algunas dificultades a la hora de elaborar un código eficiente y deja abiertas
muchas cuestiones de carácter técnico y teórico sobre la implementación del método.
Todas estas cuestiones se pretende abordar conjuntamente en nuestro grupo de trabajo.
Como primer paso en estudio de análisis isogeométrico para abordar las cuestiones
planteadas, se pretende desarollar un código para resolución de la ecuación de Poisson
en 2-D mediante IGA, utilizando lenguaje de programación el paquete Mathematica.
Paralelamente, en otros trabajos fin de máster, se va a elaborar un código para generación de una T-mesh y otro código para la optimización de la calidad de la malla,
necesarios para obtener un código general y eficiente de elementos isogeométricos en 2D. El código que se propone elaborar va a servir posteriormente como una herramienta
para experimentar con el método de IGA.
3
2 Conceptos básicos
2.
Conceptos básicos
2.1.
B-splines
El conjunto de n funciones de base B-spline de grado p en un knot vector {ξ1 , ξ2 , . . . , ξn+p+1 }
se define recursivamente con la formula :
{
Ni,0 (ξ) =
Ni,p (ξ) =
1 if ξi ≤ ξ < ξi+1 ,
0 othewise.
ξ − ξi
ξi+p+1 − ξ
Ni,p−1 (ξ) +
Ni+1,p−1 (ξ).
ξi+p − ξi
ξi+p+1 − ξi+1
(i = 1, 2, ..., n)
Cada función de base es una función polinómica a trozos con un soporte compacto.
1
1
N1,1
N1,2
Ξ
Ξ
0
1
2
3
0
4
1
2
3
4
5
1
1
N2,1
N2,2
Ξ
Ξ
0
1
2
3
0
4
1
2
3
4
5
3
4
5
1
1
N3,1
N3,2
Ξ
Ξ
0
1
2
3
0
4
1
2
Figura 2: B-splines de grado 2 para
un knot vector {0,1,2,3,4,5}
Figura 1: B-splines de grado 1 para
un knot vector {0,1,2,3,4}.
4
2.1 B-splines
Para definir n funciones de base de grado p se necesita n + p + 1 knots. El soporte de
la función Ni,p es intervalo [ξi , ξi+p+1 ]. Las funciones son de clase C ∞ en los intervalos
(ξi , ξi+1 ) y de clase C p−k en los knots, donde k es multiplicidad del knot.
Propiedades:
Partición de unidad:
∑n
i=1
Ni,p (ξ) = 1.
No negatividad: Ni,p (ξ) ≥ 0.
Linealmente independientes
1.0
N7,3
N1,3
0.8
N4,3
N3,3
N2,3
N5,3
N6,3
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 3: Funciones B-spline de grado 3 para un knot vector {0,0,0,0,0.25,0.5,0.75,1,1,1,1}.
Los knots de las funciones: N1,3 −{0,0,0,0,0.25}, N2,3 −{0,0,0,0.25,0.5}, N3,3 −{0,0,0.25,0.5,0.75},
N4,3 −{0,0.25,0.5,0.75,1}, N5,3 −{0.25,0.5,0.75,1,1}, N6,3 −{0.5,0.75,1,1,1}, N7,3 −{0.75,1,1,1,1}.
Funciones B-spline en 2D se definen como producto tensorial de 2 funciones de base
univariantes:
Ni,p (ξ, η) = Ni1 ,p (ξ)· Ni2 ,p (η).
1.0
0.5
0.0
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
0.5
1.0
Figura 4: Una función B-spline bivariante.
5
2.2 Curvas y superficies B-spline
2.2.
Curvas y superficies B-spline
Una curva B-spline en Rd (d = 2, 3) se define como combinación lineal de las
funciones B-spline univariantes :
C(ξ) =
n
∑
Pi Ni,p (ξ),
i=1
donde los coeficientes Pi ∈ Rd se llaman puntos de control. En general, los puntos de
control no se interpolan por la curva B-spline, salvo el primero y último punto del knot
vector que se repiten p + 1 veces, en ese caso se dice que el knot vector es abierto. Toda
curva B-spline tiene la propiedad de estar contenida en la envolvente convexa de sus
puntos de control.
12
10
8
6
4
2
5
10
15
Figura 5: Curva B-spline y su polı́gono de control
Analogamente, una superficie B-spline en R3 se define como combinación lineal de
las funciones B-spline bivariantes :
C(ξ, η) =
n
∑
i=1
donde los puntos de control Pi ∈ R3 .
6
Pi Ni,p (ξ, η),
2.3 Non-uniform rational B-splines (NURBS) y T-splines
2.3.
Non-uniform rational B-splines (NURBS) y T-splines
Una función racional NURBS se define a partir del conjunto de las funciones Bspline polinómicas:
wi Ni,p (ξ)
Ri,p (ξ) = ∑n
,
j=1 wj Nj,p (ξ)
donde wi ≥ 0 es el peso correspondiente a la componente Ni,p . Funciones NURBS
consiguen una parametrización exacta de las secciones cónicas (circulo, elipse). Si todos
los pesos wi son iguales - las funciones NURBS se convierten en funciones polinómicas
B-spline.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 6: Funciones NURBS de grado 3 en un knot vector no uniforme
pesos w={1,2,1,1,2,1}.
{0,0,0,0,0.2,0.5,1,1,1,1}
con
La principal desventaja de las funciones NURBS es que la inserción de los knots es
una operación global, con lo cual solo es posible un refinamiento global. Este problema
se resuelve con T-splines que permiten hacer un refinamiento local.
(a)
(b)
Figura 7: (a) Refinamiento global uniforme, (b) T-mesh con un refinamiento local.
7
2.3 Non-uniform rational B-splines (NURBS) y T-splines
Las T-splines son NURBS definidas sobre una estructura similar a la de la figura
8, conocida como T-mesh. Los knots de la T-spline se definen por las intersecciones de
lı́neas horizontales y verticales con las aristas de la T-mesh, tal como se muestra en la
figura 8.
Η5
Η4
Η3
Η2
Η1
Ξ1
Ξ2
Ξ3
Ξ4
Ξ5
Figura 8: Knots de la función T-spline centrada en (ξ3 , η3 ) con soporte [ξ1 , ξ5 ] × [η1 , η5 ].
8
3 Resolución del problema mediante análisis isogeométrico
3.
Resolución del problema mediante análisis isogeométrico
3.1.
Problema a resolver
Se propone resolver una ecuación de Poisson en un dominio circular con condiciones
de contorno tipo Dirichlet:

2
2
−10(x2 +y 2 )
,

 ∆u = −40(10x + 10y − 1) e

 u = e−10 .
(x, y) ∈ Ω = {x2 + y 2 ≤ 1},
∂Ω
La solución analı́tica : u(x, y) = e−10(x
3.2.
2 +y 2 )
.
Parametrización del dominio
El problema se resuelve en el espacio paramétrico, por lo tanto el primer paso es
conseguir una parametrización del dominio real mediante funciones spline. Para ello
construimos una malla (fig. 9) en el espacio paramétrico (un cuadrado 1 × 1) y definimos en ella una base de funciones bivariantes T-spline: {Bi (ξ, η)}i=1..N . Necesitamos
una transformación geométrica biyectiva T : R2 → R2 que transforme el espacio
paramétrico en espacio fśico del problema:
η
y
1
0
Ω
T (ξ, η) = (x, y)
Ω̄
1
ξ
x
Buscamos la transformación T como combinación lineal de las funciones de base :
T (ξ, η) =
N
∑
Ci Bi (ξ, η),
Ci ∈ R2 .
i=1
Para hallar puntos de control Ci definimos N puntos de interpolación en espacio
paramétrico {Pi }, y en espacio fı́sico {Qi } y planteamos un sistema de ecuaciones:
T (Pi ) =
N
∑
Ci Bi (Pi ) = Qi ,
i=1
9
i = 1, 2, ...N.
3.2 Parametrización del dominio
Resolviendo el sistema, obtenemos los coeficientes Ci y, por lo tanto, la transformación
geométrica T. Como puntos de interpolación Pi del espacio paramétrico se toman normalmente las anclas de las funciones (vértices de la malla) mas otros si hay repetición
de knots, mientras que los puntos Qi del espacio fı́sico deben ser elegidos convenientemente para conseguir una malla de buena calidad. Una buena calidad de la malla
supone que el jacobiano de la transformación T no tome valores negativos, valores
próximos a cero y no tenga variación muy grande.
Figura 9: Ejemplo de una malla 8 × 8 celdas en espacio fı́sico y paramétrico con sus puntos de
interpolación.
4
3
2
1
Figura 10: Jacobiano de la transformación T para la malla de la figura 9.
Una vez definida la transformación T , para cualquier función f (x, y) en espacio
fı́sico Ω se puede definir función fˆ en espacio paramétrico como:
fˆ(ξ, η) = f (T (ξ, η)) = f (x, y), o también f (x, y) = fˆ(T −1 (x, y)) = fˆ(ξ, η).
Nota 3.1 A partir de ahora Ω significa la aproximación por splines del dominio real.
10
3.3 Concepto del análisis isogeométrico
3.3.
Concepto del análisis isogeométrico
Consideremos en general el problema de Dirichlet:


 −∆u = f (x, y),

 u = b(x, y).
(x, y) ∈ Ω = {x2 + y 2 ≤ 1},
∂Ω
Buscamos la solución ûh en espacio paramétrico como una combinación lineal de las
mismas funciones de base definidas anteriormente para la parametrización del dominio:
ûh (ξ, η) =
N
∑
ai ∈ R.
ai Bi (ξ, η),
(1)
i=1
La solución en el espacio fı́sico se define como uh (x, y) = ûh (T −1 (x, y)) = ûh (ξ, η).
Las funciones de base {Bi }i=1..N se dividen en dos grupos:
{Bi }i=1,...,A - las que se anulan en el contorno y
{Bi }i=A+1,...,N - las que no son nulas en el contorno ∂Ω.
Figura 11: Las funciones {Bi }i=1,...,A y {Bi }i=A+1,...,N para una malla de 16 celdas con A = 25
y N = 49.
Partimos el sumatorio (1) en dos partes:
ûh =
A
∑
ai B i +
i=1
N
∑
ai Bi ,
(2)
i=A+1
donde los coeficientes ai (i = A
+ 1, ..., N ) en el último sumatorio se puede hallar de
las condiciones del contorno: u∂Ω = b(x, y). Para ello se plantea un sistema de N − A
11
3.3 Concepto del análisis isogeométrico
ecuaciones:
N
∑
ai Bi (ξj , ηj ) = b(T (ξj , ηj )),
j = 1..N − A,
i=A+1
donde Pj = (ξj , ηj ) - puntos de interpolación en el contorno.
Denotemos g(ξ, η) =
N
∑
ai Bi (ξ, η).
i=A+1
Entonces
ûh =
A
∑
ai Bi + g.
(3)
i=1
Por lo tanto tenemos A incógnitas: ai (i = 1, ..., A.)
Nota 3.2 La funciones Bi (ξ, η) están definidas en espacio paramétrico Ω̂, y cuando
decimos Bi (x, y) - nos referimos a las funciones del espacio fı́sico Bi (x, y) = Bi (T −1 (x, y)) =
Bi (ξ, η). De manera similar se hace la misma consideración para la función g(ξ, η).
12
3.4 Formulación variacional
3.4.
Formulación variacional
Método de residuos ponderados:
∫
(∆u + f )Bi dΩ = 0,
i = 1, ..., A.
Ω
Integramos por partes:
∫
∫
▽u · ▽Bi dΩ −
Ω
Γ
∂u
Bi dΓ =
∂n
∫
f Bi dΩ.
Ω
La funciones de peso Bi son nulas en el contorno, por lo tanto:
∫
∫
▽u · ▽Bi dΩ =
f Bi dΩ.
Ω
Ω
Segun (3):
∫ (∑
A
Ω
A
∑
j=1
)
aj ▽ Bj + ▽g
· ▽Bi dΩ =
f Bi dΩ.
Ω
j=1
)
(∫
(▽Bj · ▽Bi dΩ
aj
∫
∫
∫
f Bi dΩ −
=
Ω
Ω
▽g · ▽Bi dΩ,
i = 1, ..., A.
Ω
En forma matricial tenemos: K ā = f¯, donde
∫
Ki,j =
▽Bj · ▽Bi dΩ,
Ω
∫
∫
fi =
f Bi dΩ − ▽g · ▽Bi dΩ, i, j = 1, ..., A.
Ω
Ω
Nota 3.3 ▽ = ▽xy y ∆ = ∆xy .
3.5.
Ensamblaje del sistema
Calculamos la matriz K e en cada celda Ωe . Realizamos el cambio de variable (x, y) =
T (ξ, η) para calcular las integrales en el elemento Ω̂e del espacio paramétrico.

 x = x(ξ, η)
Cambio de variable:
T (ξ, η) :

13
y = y(ξ, η)
3.5 Ensamblaje del sistema
Figura 12: Elemento en espacio fı́sico y parametrico.
 ∂x
dx
 ∂ξ

=

 ∂y
dy
∂ξ


∂x  



dξ
dξ
∂η 

 = J
.

∂y  dη
dη
∂η
Tal que dΩ = dx dy = |J| dξ dη = |J| dΩ̂,
∂x
∂ξ
donde |J| = ∂y
∂ξ
- jacobiano de la transformación T.
∂y ∂η
∂x
∂η
∂y
∂x  

−
−
dξ
dx
dx


∂η
∂η


 = J−1 
= 1 
.


|J|  ∂y ∂x 
dη
dy
dy
−
∂ξ
∂ξ





▽xy Bi (T (ξ, η)) = ▽ξη Bi (ξ, η) J−1 .
Por lo tanto:
14
3.5 Ensamblaje del sistema
∫
e
Ki,j
∫
▽Bj · ▽Bi dΩ =
=
Ωe
Ω̂e
∫
fie
∫
∫
f (x, y)Bi dΩ −
=
▽ξη Bj (ξ, η) J−1 · ▽ξη Bi (ξ, η) J−1 |J| dΩ̂,
Ωe
∫
fˆ(ξ, η)Bi |J| dΩ̂ −
▽g · ▽Bi dΩ =
Ωe
Ω̂e
▽ξη g J−1 · ▽ξη Bi J−1 |J| dΩ̂.
Ω̂e
Evaluamos las integrales por cuadratura de Gauss con 16(4 × 4) puntos de integración.
1
100
200
289
1
1
100
100
200
200
289
289
1
100
200
289
Figura 13: Ejemplo de la matriz de rigidez K, malla 16 × 16 celdas, 289 grados de libertad.
15
4 Resultados
4.
Resultados
4.1.
Error y convergencia
Se han obtenido los siguientes resultados:
solucion analitica
solucion numerica
uHΞ,0.5L
ÈõuHΞ,0.5LÈ
1.0
2.5
0.8
2.0
16 celdas
16 celdas
0.6
1.5
0.4
1.0
0.2
0.5
Ξ
0.2
0.4
0.6
0.8
Ξ
1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.4
0.6
0.8
1.0
ÈõuHΞ,0.5LÈ
uHΞ,0.5L
1.0
2.5
0.8
2.0
64 celdas
0.6
1.5
0.4
1.0
0.2
0.5
Ξ
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
(a) La solución
64 celdas
Ξ
0.2
(b) El gradiente
Figura 14: Evolución de la solución y su gradiente en las primeras dos iteraciones: 4 × 4 y 8 × 8
celdas.
(b)
(a)
Figura 15: (a) Solución numerica ûh en el espacio paramétrico, (b) Solución númerica uh en el
espacio fı́sico, 289 grados de libertad, 256 celdas.
16
4.1 Error y convergencia
(b)
(a)
Figura 16: (a) Representación gráfica del error |uh − u|, (b) Representación gráfica del error de
gradiente |▽uh − ▽u|, 289 grados de libertad, 256 celdas.
Para analizar la convergencia se ha calculado el error de aproximación en normas
L2 , L∞ y H 1 .
e = uh − u.
∥e∥L∞ = máx |e(x, y)|.
(x,y)∈Ω
(∫
∥e∥L2 =
) 12
(uh − u) dΩ .
2
Ω
(∫
(▽uh − ▽u) + (uh − u) dΩ
∥e∥H 1 =
2
2
) 21
.
Ω
El orden de convergencia que se observa en norma L2 es ≃ 2.1 y en norma H 1 es
≃ 1.6.
Log @ °e´ D
0
1
2
3
4
5
6
Log @ grado de libertad D
-1
-2
-3
-4
-5
-6
pendiente - 1.61
norma H 1
-7
norma L2
-8
pendiente - 2.1
-9
Figura 17: Error ∥e∥ en función del numero de grados de libertad con refinamiento global.
17
4.1 Error y convergencia
También se calculó estimador de error:
2
E(Ω) =
∑
2
E(Ωe ) =
e
∑ (∫
h2e (∆uh
)
+ f ) dΩ ,
2
Ωe
e
donde he diámetro de la celda Ωe .
Log @ °e´ D
0
1
2
3
4
Log @ grado de libertad D
-1
-2
-3
-4
norma H 1
-5
norma L2
E HWL
-6
-7
Figura 18: El error en normas L2 , H 1 y estimador de error E(Ω).
Según los resultados obtenidos, el estimador de error E(Ω) tiene el mismo orden de
convergencia que el error en norma H 1 y se comporta como:
E(Ω) = C∥e∥H 1 = 5.8∥e∥H 1 .
Las celdas con el valor del estimador mas elevado coinciden con las que tienen el
error en H 1 mas alto comparado con otras celdas.
Figura 19: Estimador E(Ω) y error H 1 en una malla de 32 × 32 celdas.
18
5 Otros ejemplos
5.
Otros ejemplos
5.1.
Ejemplo 1


 −∆u = 4,

 u = 0.
(x, y) ∈ Ω = {x2 + y 2 ≤ 1},
∂Ω
Solución analı́tica : u(x, y) = 1 − (x2 + y 2 ).
(a)
(b)
Figura 20: (a) Solución numerica ûh en el espacio paramétrico, (b) Solución numérica uh en el
espacio fı́sico, 1089 grados de libertad, 1024 celdas.
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.00001
5. ´ 10-6
0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Figura 21: Representación gráfica del error |uh − u|, 1089 grados de libertad, 1024 celdas.
19
5.2 Ejemplo 2
LogHerror en H1L
0
1
2
3
4
LogHgrad de libertadL
-1
-2
-3
-4
-5
norma H 1
norma L2
-6
-7
Figura 22: Error ∥e∥ en función del número de grados de libertad con refinamiento global de
una malla uniforme.
5.2.
Ejemplo 2

8(1 + x2 + y 2 ) − 16


∆u
=
,


(1 + x2 + y 2 )3



 u = 0,
Ω = {x2 + y 2 ≤ 1},
∂Ω
Solución analı́tica : u(x, y) =
2
.
1 + x2 + y 2
(a)
(b)
Figura 23: (a) Solución numérica ûh en el espacio paramétrico, (b) Solución númerica uh en el
espacio fı́sico, 289 grados de libertad, 256 celdas.
20
5.2 Ejemplo 2
Figura 24: Representación gráfica del error |uh − u|, 289 grados de libertad, 256 celdas.
Convergencia:
LogHerror en H1L
0
1
2
3
4
LogHgrad de libertadL
-1
-2
-3
-4
-5
-6
norma H 1
norma L2
-7
Figura 25: Error ∥e∥ en función del número de grados de libertad con refinamiento global de
una malla uniforme.
21
5.3 Ejemplo 3
5.3.































Ejemplo 3
−∆u =
πxy
π2 2
(x + y 2 ) sin
,
4
2
Ω = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1},
ux=0 = 0,
uy=0 = 0,
uy=1 = sin π2x ,
ux=1 = sin π2y
Solución analı́tica : u(x, y) = sin π 2x y .
(a)
(b)
Figura 26: Solución númerica uh (a) y su error |uh − u| (b), 289 grados de libertad, 256 celdas.
0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0
3. ´ 10-13
2. ´ 10-11
2. ´ 10-13
1. ´ 10-11
1. ´ 10-13
0
0
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
1.0
(a)
(b)
Figura 27: Estimador E(Ω) (a) y error H 1 (b) en las celdas, 256 celdas.
22
5.3 Ejemplo 3
Log @ °e´ D
-3
-4
-5
-6
-7
-8
norma H 1
norma L2
estimador E HWL
-9
1
2
3
4
Log @ grado de libertad D
Figura 28: Error ∥e∥ en función del numero de grados de libertad con refinamiento global de
una malla uniforme.
Nota 5.1 En este ejemplo la transformación geometrı́ca T es la identidad.
23
5.4 Ejemplo 4
5.4.
Ejemplo 4
El problema resuelto en una T-mesh:

2
2
−10(x2 +y 2 )
,

 ∆u = −40(10x + 10y − 1) e

 u = e−10 .
(x, y) ∈ Ω = {x2 + y 2 ≤ 1},
∂Ω
Solución analı́tica : u(x, y) = e−10(x
2 +y 2 )
.
Figura 29: T-mesh para para ejemplo 4, 61 grados de libertad, 40 celdas.
4
3
2
1
0
Figura 30: Jacobiano de la transformación T del ejemplo 4, 40 celdas.
24
5.4 Ejemplo 4
Figura 31: Solución numérica ûh y su error en el espacio paramétrico, 61 grados de libertad.
∥e∥L∞ = 0.016,
∥e∥L2 = 0.006,
∥e∥H 1 = 0.1
25
6 Conclusiones y lı́neas futuras
6.
Conclusiones y lı́neas futuras
El método parece ser muy sensible a la calidad de parametrización del dominio real
que hacemos y, en particular, a la aproximación del contorno. La mejor convergencia se
ha conseguido en los casos donde la transformación geométrica es la identidad (véase
sección 5.3) o en casos en los que la solución y su gradiente son bastante pequeños
cerca del contorno, comparados con los valores en el interior del dominio (sección 4.1).
Todos los ejemplos mostrados en el trabajo, salvo el último, fueron resueltos en una
malla uniforme y con un refinamiento global. El siguiente paso es resolver los problemas
propuestos realizando refinamientos locales con una T-mesh para intentar mejorar la
convergencia del método.
26
BIBLIOGRAFÍA
Bibliografı́a
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elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement. Computer Methods in
Applied Mechanics and Engineering, 194:4135–4195, 2005.
[2] J. Austin Cottrell, Thomas J.R. Hughes, and Yuri Bazilevs. Isogeometric Analysis.
WILEY, 2009.
[3] Y. Bazilevs, V.M. Calo, T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, S. Lipton, M.A. Scott, and
T.W. Sederberg. Isogeometric analysis using T-splines. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 199:229–263, 2010.
[4] L Piegl and W Tiller. The NURBS Book. Springer, 1997.
[5] Becker E.B and Carey G.F. Finite elements. An introduction. Prentice-Hall, 1982.
27