Tema 3-ProgramLineal-CSyH

Matemáticas Aplicadas a las CCSS y Humanidades
Tema 3- Programación lineal.
I.7.- INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
BIDIMENSIONAL.



Igualdades y desigualdades. Propiedades de las desigualdades.
Inecuaciones lineales con una y dos incógnitas.
Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Resolución
gráfica.
IGUALDADES
Y
DESIGUALDADES.
DESIGUALDADES.
PROPIEDADES
DE
LAS
Del mismo modo que para expresar que dos cantidades o expresiones
algebraicas son iguales se usa el signo de igualdad “ = “, para expresar que
son distintas puede emplearse simplemente el signo “ ≠ “, pero se proporciona
mas información si se indica cual de ellas es mayor. Para eso tenemos las
desigualdades o signos de desigualdad:
Mayor que:
a>b
c positivo / a = b + c
Menor que:
a<b
c positivo / a + c = b
Mayor o igual que: a ≥ b
c positivo o cero / a = b + c
Menor o igual que: a ≤ b
c positivo o cero / a + c = b
Las desigualdades cumplen las siguientes propiedades:
a  b
a c
b  c
Si un número (o expresión) es mayor que otro y éste que un tercero, el
primero es mayor que el tercero.
1.-
2.- a > b
a+c>b+c
Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo
número o expresión se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
a  b
  ac  bc
c  0
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un
mismo número positivo se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
3.-
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a  b
  ac  bc
c  0
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un
mismo número negativo se obtiene una desigualdad de sentido contrario.
4.-
a  b
  ac  bd
c  d
Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido
se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.
(si fueran de sentidos contrarios podría dar cualquier resultado. Y si se restan
también).
5.-
ab 
1 1
 
ab  0
a b
Si los dos miembros de una desigualdad tienen el mismo signo y se
invierten se obtiene una desigualdad de sentido contrario.
6.-
INECUACIONES LINEALES CON UNA Y DOS INCÓGNITAS.
Así como una ecuación es una igualdad que sólo se cumple para
determinados valores de las incógnitas que aparecen en ella, una inecuación
es una desigualdad que sólo se cumple para algunos valores de las incógnitas
que aparecen en ella.
Ejemplo:
3(x + 2) > 5 + 5x
Hay inecuaciones de primer y segundo grado, etc.; de una o varias
incógnitas; sistemas de inecuaciones; etc. Para resolverlas se utilizan las
propiedades de las desigualdades y normalmente tienen infinitas soluciones
que pueden representarse mediante una semirrecta para las de una variable
(incógnita) y una región del plano o del espacio para las de dos y tres variables.
INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA: Son las que, una vez
simplificadas todo lo posible, tienen la forma:
ax + b > 0
b

x   a si a  0
Para resolverla hacemos: ax   b  
x   b si a  0

a
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Por tanto, en el primer caso las soluciones son todos los números reales del
b

 b

intervalo   ,   , y en el segundo los del intervalo   ,   .
a
 a


Gráficamente la solución es una de las semirrectas en que el punto x   b
a
divide a la recta (ese punto estará incluido en la solución si el signo de la
desigualdad incluye el
igual).
INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS: Son las que, una vez
simplificadas todo lo posible, tienen la forma
ax + by + c > 0
y que, despejando la y, pueden escribirse en la forma
y > mx + p.
Si sustituimos el signo de desigualdad por el de igualdad obtenemos la
ecuación y = mx + p cuya representación gráfica es una recta en el plano
formada por los puntos cuyas coordenadas (x,y) cumplen la ecuación.
Esa recta divide al plano en dos semiplanos. En los puntos de uno de
ellos el valor de la ordenada es mayor que el calculado mediante la expresión
mx + p, luego son los que cumplen la inecuación y > mx + p. Para los puntos
del otro semiplano la ordenada es menor que el valor mx + p, luego son los
que cumplen la inecuación y < mx + p.
Si en la inecuación aparecen los signos ”≤” o “≥” las coordenadas de los
puntos de la recta que determina el semiplano también serán solución de la
inecuación.
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SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
RESOLUCIÓN GRÁFICA.
Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto
de inecuaciones lineales con dos incógnitas cuyas posibles soluciones
comunes se trata de averiguar.
La solución del sistema es la región formada por los puntos del plano
que verifican a la vez todas las inecuaciones. Las coordenadas de cualquier
punto que verifique todas las inecuaciones son una solución del sistema.
Resolver un sistema de inecuaciones es hallar sus soluciones o decidir
que ningún punto la cumple. Para resolverlo se representan los semiplanos que
son solución de cada una de las inecuaciones y la parte común a todos ellos es
la solución del sistema.
2x  6y  12
7x  3y  21
Ejemplos: Resolver los sistemas:

x0


y0
x
x
x
y
 y  5
 y  3

0


0
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I.8.- FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
DE PROGRAMACIÓN LINEAL.
Formulación de problemas sencillos de programación lineal (en dos variables).
Definiciones: función objetivo, conjunto de restricciones, región factible,
soluciones óptimas. Resolución por métodos gráficos y analíticos.
FORMULACIÓN DE PROBLEMAS SENCILLOS DE PROGRAMACIÓN
LINEAL (EN DOS VARIABLES). DEFINICIONES: FUNCIÓN OBJETIVO,
CONJUNTO DE RESTRICCIONES, REGIÓN FACTIBLE, SOLUCIONES
ÓPTIMAS.
En muchas situaciones de la vida real (industria, economía, etc.) se
plantea la necesidad de elegir entre varias posibilidades la más ventajosa:
obtener el mayor beneficio posible, conseguir que los costes de producción
sean mínimos, establecer la mejor ruta de transporte desde los puntos de
producción a los de venta, etc.
Este tipo de problemas de optimización es el que estudia la
programación lineal; en concreto el problema tipo de programación lineal es el
siguiente:
Encontrar los valores de dos variables x e y (normalmente no negativos)
que hagan máxima o mínima una función lineal de ellos z = ax + by teniendo en
cuenta que los valores posibles de las variables están limitados por una serie
de condiciones o restricciones que se expresan mediante desigualdades.
La función que se pretende maximizar (o minimizar) se llama
función objetivo.
Las condiciones que deben cumplir las variables forman el conjunto
de restricciones.
Cada conjunto de valores de las variables que cumplan el conjunto
de restricciones constituye una solución factible y el conjunto de todas
ellas (su representación gráfica en el plano) forma la región factible.
Las soluciones óptimas son aquellas, de entre las factibles, que hagan
máxima o mínima (según interese) a la función objetivo.
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EJEMPLO 1:
Una empresa dedicada a la reparación de componentes
electrónicos recibe el encargo de reparar ordenadores y consolas de
videojuegos. Los aparatos han de pasar por dos talleres de reparación. El
primero puede emplear 300 horas de trabajo y necesita emplear 6 horas para
cada ordenador y 5 para cada consola. El segundo dispone de 200 horas y
necesita 2 horas para reparar cada ordenador y 5 para cada consola. Las
ganancias netas que obtiene la empresa son de 10.000 pta por ordenador y
10.000 por consola. La empresa desea obtener una ganancia máxima. ¿Cuáles
son las unidades que deben repararse de cada artículo para maximizar las
ganancias de la empresa?.
Representando los datos en una tabla tenemos:
TALLERES
PRIMERO
SEGUNDO
HORAS POR
ORDENADOR
6
2
HORAS POR
CONSOLA
5
5
HORAS
TOTALES
300
200
La función objetivo es la que da el beneficio B = 10.000x + 10.000y
Las restricciones por las condiciones de los talleres son:
6x + 5y ≤ 300
2x + 5y ≤ 200
Y también serán, evidentemente:
x≥0
y≥0
EJEMPLO 2: Las 20 chicas y los 10 chicos de un grupo de 2º de Bachillerato
organizan un viaje para el cual necesitan dinero. Deciden pedir trabajo por las
tardes en una compañía encuestadora que contrata a dos tipos de equipos de
jóvenes:
Tipo A. Parejas: una chica y un chico.
Tipo B. Equipos de cuatro, formados por tres chicas y un chico.
Se paga a 30 € la tarde del equipo tipo A y 50 € la tarde al tipo B. ¿Cómo les
conviene distribuirse para conseguir la mayor cantidad posible de dinero?.
Representando los datos en una tabla tenemos:
EQUIPOS
Nº DE EQUIPOS
TIPO A
TIPO B
TOTAL
x
y
CHICAS QUE
INTERVIENEN
x
3y
x + 3y
CHICOS QUE
INTERVIENEN
x
y
x+y
La función objetivo es la que da el beneficio (en decenas de euros):
+ 5y
B = 3x
Las restricciones por los tipos de equipos serán:
≤ 20
x + 3y
Y también serán, evidentemente:
x+ y ≤ 10
x≥0
y≥0
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RESOLUCIÓN POR MÉTODOS GRÁFICOS (de las rectas de nivel).
Si representamos gráficamente y resolvemos las inecuaciones que
forman el conjunto de restricciones obtenemos una región del plano, la región
factible, que incluye o representa a todas las soluciones factibles ya que sus
puntos son aquellos cuyas coordenadas satisfacen todo el conjunto de
restricciones. En la figura tenemos la región factible correspondiente al ejemplo
2 teniendo en cuenta que las soluciones (número de equipos de cada tipo) han
de ser números enteros por lo que sólo hay esos 54 puntos factibles (1ª figura).
Ahora nos falta determinar cual de entre todas las soluciones factibles
(infinitas a no ser, como en este ejemplo, que tengan que tomar valores
enteros) es la solución óptima, que en este caso será la que haga máxima la
función beneficio B = 3x + 5y (se ha escrito en decenas de euros para que la
representación gráfica resulte mas sencilla). Vamos a ver como se resuelve
este problema gráficamente.
La recta 3x + 5y = 0 (en el caso general ax + by = 0) de beneficio 0 pasa
por el origen de coordenadas. Si trazamos paralelas a ella (que son las que se
llaman rectas de nivel) hacia la derecha (hacia arriba) serán rectas de
ecuaciones ax + by = k siendo el beneficio k positivo y cada vez mayor (2ª
figura). La intersección de cada una de esas rectas con la región factible da los
puntos del plano (y las correspondientes coordenadas los valores de la
variable) que proporcionan el valor k a la función objetivo (3ª figura).
Por tanto el punto (o puntos) de la región factible que coincidan con la
recta de esa familia mas alejada hacia la derecha (arriba) dará los valores de la
variable que hacen máxima la función objetivo, y el que coincida con la recta
mas alejada hacia la izquierda (abajo) proporcionará los valores que hacen
mínima la función objetivo.
Normalmente esos puntos serán vértices del polígono que forma la
región factible, con lo que la solución óptima será única a no ser que alguna de
las rectas obtenidas a partir de las restricciones y que limitan por su parte mas
alejada la región factible sea paralela a la familia de rectas ax + by = k en cuyo
caso habrá infinitas soluciones óptimas.
En la práctica se representa la recta ax + by = 0 y se va desplazando
paralelamente a sí misma hasta encontrar el vértice (solución única) o lado
(infinitas soluciones) mas alejado en la dirección que interese, según se trate
de maximizar o minimizar la función objetivo (4ª figura).
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En este ejemplo la solución será el punto de corte de las rectas x + 3y =
20, x + y = 10, por lo que habrá 5 equipos de cada tipo, con un beneficio de 400
euros.
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RESOLUCIÓN DEL EJEMPLO 1:
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RESOLUCIÓN ANALÍTICA.
Como consecuencia de lo visto está claro que la solución óptima está
en alguno de los vértices del polígono o región factible (a no ser que lo sean
todos los puntos de uno de sus lados) por lo que para resolver el problema se
puede calcular el valor que toma la función objetivo en cada vértice y ver
entonces cual es el que proporciona la solución óptima. Este método se conoce
como resolución algebraica o analítica.
Este método es que se ha utilizado en el apartado d) del Ejemplo 1 en la
página
anterior.
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PROBLEMAS CLÁSICOS: Entre los muchos problemas que se resuelven
utilizando la programación lineal hay algunos muy clásicos como son el de la
producción, el de la dieta y el del transporte. A continuación se presenta un
ejemplo de cada uno de ellos.
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