GEOMETRÍA ANALÍTICA PARES DE RECTAS: La Geometría

GEOMETRÍA ANALÍTICA
PARES DE RECTAS:
La Geometría Analítica presenta dos problemas fundamentales:
a) Cuando se parte de una ecuación para encontrar su grafica.
b) Cuando se analiza una grafica para obtener su ecuación.
A partir de las premisas anteriores, se presentan diversas situaciones en las que se
involucran graficas y ecuaciones y vamos a analizar aquellos casos en los que las graficas
son líneas rectas.
Son ecuaciones lineales, aquellas cuya representación grafica es una línea recta y fueron
abordadas en el tema anterior, hasta ahora solo se ha trabajado con una sola ecuación o bien
con sus elementos fundamentales a través de las cuales hemos deducido la ecuación
general.
Algunos casos particulares se dan cuando las rectas toman posiciones especiales, paralelas
al eje “X”, o al eje “Y”, es decir son horizontales o verticales. Entonces su ecuación general
cuya forma es AX + BY + C = 0, se simplifica y se obtiene que:
Rectas Verticales y Horizontales
La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una constante.
Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está definida o es infinita.
La ecuación de una recta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una
constante. La pendiente de una recta horizontal es cero.
Ejemplos: Construye la gráfica de cada ecuación:
1) x = -2
2) y - 5 = 0
3) 2y + 12 = 0
4) 3x – 15 = 0
Pares de rectas
Un sistema de ecuaciones lineales con dos o más incógnitas, es representado en el plano
cartesiano por un conjunto de rectas y se usa una recta por cada ecuación, es estos casos es
conveniente tomarlas en pares, relacionando aquellas que tengan datos comunes.
Dadas las ecuaciones de las rectas R1 y R2, que forman un sistema de ecuaciones lineales
al ser representarlas en el Plano Cartesiano, se generan las siguientes situaciones:
a) Son la misma recta.
b) Rectas Paralelas.
c) Rectas que se cortan en un punto.
a. Rectas Perpendiculares.
b. Rectas Oblicuas.
Ecuaciones que son la misma recta:
Sean las rectas 3x + 2y = 4 y 6x + 4y = 8, al llevarlas al Plano Cartesiano se puede verificar
que las dos rectas quedan superpuestas, es decir, una encima de la otra, esto se debe a que
los coeficientes y el termino constante de una son múltiplos de la otra. En realidad se trata
de la misma recta.
Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condición necesaria y
suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus
coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones
Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes
Rectas paralelas
Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, es decir, son paralelas
sólo si sus inclinaciones son idénticas, o si ambas son verticales y por ende no tienen
pendiente definida.
Condición de Paralelismo
Si dos rectas, l1 y l2, son paralelas, sus pendientes son iguales, m1 = m2.
Como l1 y l2 son paralelas, sus inclinaciones 1 y 2 son iguales, es decir, 1 = 2 y en
consecuencia tg 1 = tg 2, por lo tanto m1 = m2.
Rectas que se cortan en un punto
a) Rectas Perpendiculares
Dos rectas son Perpendiculares si forman un ángulo recto entre ellas, si el producto de sus
pendientes es igual a -1, o una posee pendiente 0 y la otra no está definida (infinita).
Condición de Perpendicularidad
Si dos Rectas son perpendiculares, la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo
contrario de la pendiente de la otra recta, m1 = -1/ m2
Sean l1 y l2 dos recta perpendiculares, la inclinación de una excede de la otra en 90 ;
es decir, en cualquiera de los casos 1=2+90 o 2=1+90; por lo tanto:
tg1 = -ctg 2
y como
tg 1 = m1
Tenemos que:
y
tg 2 = m2,
m1 = -1/ m2
También: dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando el producto de sus pendientes
es igual -1
m1 * m2 = -1
b) Rectas Oblicuas.
Cuando dos rectas no son ni paralelas ni perpendiculares el propósito ahora es establecer
una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.
ANGULO ENTRE DOS RECTAS.
Se define el ANGULO entre l1 y l2 como el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2
hacia l1. En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por:
+
+
=
Por lo tanto:
=
=
-
-
-
También es frecuente utilizar la ecuación que surge de la identidad trigonométrica para la
diferencia de dos ángulos:
tan β2 = tan (θ1 - θ2)
También,
Puesto que m1 = tan θ 1
en la forma:
tan β2
y m2 = tan θ 2, entonces las igualdades podemos escribirlas
por lo tanto
β2
Las ecuaciones anteriores expresan la tangente del ángulo β2, entre las rectas l1 y l2 en
términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de
perpendicularidad y paralelismo entre rectas.
Miscelánea de Ejercicios
1.- Hallar la pendiente de las siguientes rectas e indica cuáles de ellas son paralelas:
a) y = 2x + 5
b) 3y = 2x
c) y - 2x = 6
d) 3y = 2x + 22
2.- Halla, cuando proceda, los ángulos que forman los pares de rectas de los ejercicios
siguientes.
a) x - 7y + 5 = 0,
4x - 6y + 8 = 0
b) y = 2x – 1,
6x - 9y + 12 = 0
c) 10x - 5y - 1 = 0,
2x - y + 3 = 0.
3. Encuentra el valor de m, sabiendo que las rectas se cortan en un mismo punto.
a) y = x + 2
b) y = mx - 2
c) 5x - 2y - 11 = 0.
4.- Encuentra las ecuaciones de las rectas en los siguientes supuestos:
a) Pasa por el punto (1,-1/2) y es paralela a la recta 2x - 5y - 7 = 0.
b) Pasa por el punto (-1/3, 5) y es paralela a la recta que une los puntos (-1, 7) y (2, -7).
c) Pasa por el punto (-9, 7) y es perpendicular a la recta 2x - 5y - 7 = 0.
d) Pasa por el punto (2,-2) y el perpendicular a la recta x = -1
e) Pasa por el punto (1, 4) y forma 45º con la recta 2x - y + 3 = 0
5.- Dadas las rectas
r: 2x - 3y - 5 = 0
s: 3x + y - 6 = 0
t: ax + 2y - 5 = 0
a) Halla a para que s y t sean paralelas.
b) Halla a para que r y t sean perpendiculares.
c) Halla a para que s y t formen 45º
6.- Dada la recta r de ecuación ax + by - 3 = 0
a) Halla a y b para que pase por (1, 1) y sea paralela a y = 2x + 1.
b) Halla a y b para que pase por (1, 1) y sea perpendicular a y = 2x + 1.
7.- Dados los puntos A(1, 1), B(2, 5) y C(7, 7), halla las coordenadas de un punto D
sabiendo que ABCD es un paralelogramo y AB y BC son dos de sus lados.
8. Encuentra la recta perpendicular a la recta r de ecuación 2x-y +8 = 0, que pasa por el
punto P(3,-2).
Ing. Jaime Acosta Vélez
Mayo del 2009