DERIVE

DERIVE
8
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA.
PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS
8.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RECTAS EN EL PLANO
Vamos a representar la recta de ecuación y = 2x  5. Para ello introduce la expresión
2x-5 y resáltala colocando el cursor sobre ella. A continuación se pulsa el icono
para abrir la ventana de gráficos 2D.
Una vez abierta es necesario volver a pulsar el mismo icono (pero en la ventana 2Dplot) para que se dibuje realmente la gráfica. Cada vez que se pulse el icono se redibuja
la función activa en un nuevo color.
Los iconos de la barra de herramientas de la ventana de gráficos 2D permiten centrar la
gráfica y hacer zoom.
Dibujar la función activa
Borrar la última función
Centrar la imagen en la posición del
cursor-cruz
Centrar la imagen en el origen de coordenadas
Ver mayor intervalo en los ejes =
reducir la imagen
Ver mayor intervalo del eje OY =
reducir la imagen en vertical
Volver a la pantalla de álgebra o
de expresiones
En la parte inferior izquierda aparecen las coordenadas de la posición del cursor. Sitúa
el cursor (aproximadamente) sobre el punto en que la gráfica corta al eje OX y anota el
valor de la abscisa que aparece abajo. Regresa a la pantalla de expresiones y “resuelve
la ecuación”. Para ello basta introducir la expresión 2x-5=0 y pulsar el icono Resolver,
, (si se omite “=0” se asume por defecto). Compara la solución con la abscisa estimada gráficamente.
La facilidad de DERIVE para resolver ecuaciones también puede aplicarse a expresiones
con puntos o vectores. Estos deben figurar con sus coordenadas entre corchetes.
Introduce la expresión [3,2]+5p=4[-2,3] y resuélvela indicando p como variable a
despejar.
Unidad 8. Geometría analítica plana. Problemas afines y métricos
1
Trata de usar el procedimiento anterior para hallar el punto medio de un segmento. Para
ello introduce la expresión que deban cumplir los vectores de posición de los puntos
implicados.
Halla el punto medio del segmento de extremos A(–5, 2) y B(7, –4). Introduce la expresión [7,-4]-[-5,2]=2(p-[-5,2]) y resuélvela en la variable p. Compara el resultado
con el del ejercicio resuelto 1 de la página 190 del libro. También puedes simplificar
directamente la expresión 1 / 2 ([7,-4]+[-5,2]).
1. Resuelve con DERIVE el resto de los ejercicios de la página 190 del libro.
En realidad, para DERIVE resolver es despejar. Introduce la ecuación 2x+3y-12=0 y
resuélvela en la variable y. Obtendrás una expresión de y en función de x. Has obtenido la ecuación explícita. ¿Cuál es la pendiente?
2. Resuelve el ejercicio 1 de la página 193 del libro.
Introduce entre corchetes la expresión [3x-5, 2x-3, 0]. Representa la expresión completa resultante. Obtendrás las dos gráficas conjuntas. Añadimos el 0 porque si solo incluimos dos expresiones, DERIVE interpreta una sola función en paramétricas.
Estima gráficamente las coordenadas del punto de intersección.
Vamos a obtener automáticamente el punto de intersección. Para ello abre el menú Resolver y elige la opción Sistema. Especifica que se trata de dos ecuaciones y a continuación introduce en cada línea y=3x-5 e y=2x-3, respectivamente. Asegúrate de que
en el campo correspondiente a las variables aparecen x e y. Pulsa Simplificar para
terminar.
Introduce la expresión siguiente y, a continuación, represéntala:
VECTOR (y=ax+1,a,1,5)
Obtendrás las gráficas de las cinco rectas que se consiguen al sustituir a, en y = ax + 1,
por 1, 2, 3, 4, 5. ¿Qué gráfica corresponde a cada valor de a? Elimina todas las gráficas.
3. Repite la práctica anterior con las siguientes expresiones:
VECTOR (y=ax+1,a,-4,4)
VECTOR (y=xx1,a,-4,4)
VECTOR (y=x+a,a,-4,4)
Prueba con otros valores y ecuaciones. Observa el efecto de los parámetros A, B y C
en las ecuaciones Ax + By + C = 0.
La función RANDOM(n) genera un número entero entre 0 y n. Introduce la siguiente
expresión, simplifícala y represéntala luego:
y=RANDOM(5)x+RANDOM(5)
Unidad 8. Geometría analítica plana. Problemas afines y métricos
2
Analiza el efecto en la gráfica de cada uno de los valores generados al azar. Sitúa el
cursor en la expresión anterior (de RANDOM) y repite la práctica. Se generarán nuevos
valores.
Para obtener algún valor negativo considera la siguiente expresión y repite la práctica:
y=(RANDOM(5)-5) x + RANDOM(5)-5
8.2 ELABORACIÓN DE HERRAMIENTAS
Para hallar el punto de intersección de dos rectas no paralelas puedes usar la facilidad de
DERIVE para resolver sistemas de ecuaciones. Pero también puedes construir una herramienta que lo haga.
Consideremos el caso de rectas dadas en forma implícita Ax + By + Cz = 0. El procedimiento equivale a resolverlo en general (con letras) y definir una expresión que proporcione el resultado en función de los coeficientes A1, B1, C1 y A2, B2, C2 de las
dos rectas.
Por ejemplo: las coordenadas PX, PY del punto de intersección de las rectas de ecuaciones A1x+B1y+C1=0 y A2x+B2y+C2=0 vienen dadas por:
PX (A1,B1,C1,A2,B2,C2):= (B1C2-C1B2) / (A1B2-B1A2)
PY (A1,B1,C1,A2,B2,C2):= (C1A2-A1C2) / (A1B2-B1A2)
Se escribe := en lugar de = porque se trata de una definición en vez de una ecuación.
Puedes definir la función conjunta que proporciona el punto completo:
P(A1,B1,C1,A2,B2,C2):=[(B1C2-C1B2)/(A1B2-B1A2),(C1A2-A1C2)/(A1B2-B1A2)]
Practica
4. Vamos a hallar el punto de intersección de las rectas de ecuaciones 3x + 4y – 5 = 0,
x – 3y – 6 = 0. Para ello escribe y simplifica la expresión P(3,4,-5,1,-3,-6). Compara el resultado con el del ejercicio 4 de la página 199 del libro.
5. Halla el punto de intersección de los siguientes pares de rectas:
2 x  3 y  1  0

3x  4 y  2  0
x  5y  7  0 

2x  y  5  0 
2.3x  5.8 y  7.3  0 

4.2 x  3.1y  8.4  0 
x  2 y  4  0
x  2y  4  0
 (¿puedes interpretarlo?)
 (¿puedes interpretarlo?)
2 x  4 y  4  0 
2 x  4 y  8  0
En los dos últimos casos las rectas no se cortan en un punto. Para determinar la posición
relativa de dos rectas construye la siguiente función:
Unidad 8. Geometría analítica plana. Problemas afines y métricos
3
PR(A1,B1,A2,B2):= IF( A1/A2=B1/B2, “Son paralelas”, “Se cortan en un punto”)
Pruébala con los sistemas del ejercicio anterior.
Si queremos especificar el caso de rectas coincidentes, debemos redefinir la función
anterior:
PR(A1,B1,C1,A2,B2,C2):=IF(A1/A2=B1/B2=C1/C2, ”Coincidentes”,
IF( A1/A2=B1/B2, “Paralelas”, “Se cortan en un punto”))
Prueba la función anterior con los ejercicios de la página 199.
El ángulo que forman dos rectas es el que forman sus respectivos vectores de dirección
o dos vectores perpendiculares a ellos.
Introduce la siguiente función:
ANG(A1,B1,A2,B2):= ACOS((A1A2+B1B2)/ ((A1^2+B1^2) ((A2^2+B2^2)))
Si quieres el resultado en grados, en vez de en radianes, añade la conversión correspondiente:
ANG(A1,B1,A2,B2):=ACOS((A1A2+B1B2)/((A1^2+B1^2)((A2^2+B2^2)))180/
Para hallar el ángulo formado por las rectas de ecuaciones 3x + 4y  5 = 0
x  3y  6 = 0, introduce y simplifica ANG(3,4,1,-3).
y
Observa que el término independiente no influye.
En el caso de rectas de pendientes m1 y m2 podemos definir la función de la forma:
ANGP(M1,M2):= ATAN((M2-M1)/(1+M1M2)) 180/ 
Aplícalo para hallar el ángulo que forman las rectas de ecuaciones:
y = 2x  3 y y = 5x + 7
Ten en cuenta que de los dos ángulos que forman dos rectas tomamos el menor de ellos.
Comprueba en cada caso si es el que has obtenido.
Practica:
6. Resuelve los ejercicios 52 y 53 de la página 209 del libro.
Para la distancia entre dos puntos, (PX,PY) y (QX,QY), considera la función:
DPQ(PX,PY,QX,QY:= ((PX-QX)^2+(PY-QY)^2)
Para la distancia de un punto, (PX,PY), a una recta, Ax+By+C=0, considera la función:
Unidad 8. Geometría analítica plana. Problemas afines y métricos
4
DPR(PX,PY,A,B,C):= (A PX + B PY + C)/ (A^2+B^2)
Utiliza las funciones anteriores para resolver los problemas de la página 201 del libro.
7. Resuelve los ejercicios 32, 33 y 34 de la página 208 del libro. Previamente debes
obtener las ecuaciones implícitas o las coordenadas de los puntos implicados.
De forma análoga considera las siguientes herramientas:
Ecuación de la recta determinada por el vector de dirección (VX,VY) y el punto
(PX,PY):
ECVP(VX,VY,PX,PY):=VY x – VX y + VX PY – VY PX=0
Ecuación de la recta paralela a Ax+By+C=0 que pasa por el punto (PX,PY):
ECRP(A,B,PX,PY):= Ax+By-(A PX + B PY)=0
Halla con estas herramientas una ecuación de la recta determinada por el vector de dirección v  (3, 2) y el punto P (5, –7), así como una ecuación de la recta paralela a
la anterior que contenga al punto Q (4, –1).
8. Construye herramientas similares para obtener la ecuación de la recta que pasa por
dos puntos, (PX,PY) y (QX,QY), el punto medio de un segmento de extremos
(PX,PY) y (QX,QY), o el punto simétrico de P respecto a Q.
Utilízalas para resolver los problemas 5 y 6 de la página 206 del libro.
Unidad 8. Geometría analítica plana. Problemas afines y métricos
5