I.b- Propuesta de Nuevo Currículo Educación Matemáticas

I.b- Propuesta de Nuevo Currículo Educación Matemáticas
1. ¿Cuál es el listado final de cursos que el grupo disciplinario o de perfil le propone a las
universidades? (hacer entrega oficial de los programas de todos los cursos)
EJE TEMÁTICO: NÚMEROS Y OPERACIONES
Descripción:
Este eje identifica los conocimientos y habilidades que debe mostrar sobre los
números y sus operaciones un profesor de matemáticas de segundo ciclo básico.
Estos saberes acerca de los números para su enseñanza en el segundo ciclo
básico incluyen: - la construcción de los números, sus operaciones y propiedades
a partir del estudio de las cantidades y las magnitudes; - la comprensión de las
estructuras axiomático deductivas que los modelan, y - la comprensión de los
sistemas de numeración usados para su representación;
así mismo,
el reconocimiento de secuencias apropiadas para la enseñanza de estos números
y de los obstáculos que afectan su aprendizaje en condiciones escolares, y el
reconocimiento de situaciones de modelación, de resolución de problemas, de uso
de tecnología y de evaluación que favorecen el aprendizaje.
El eje se organiza en dos sub-ejes, el de las cantidades discretas, “Números
Naturales y Enteros” y el de las cantidades continuas “De los Números
Racionales, reales y Complejos”. Esta división hace referencia a los conceptos de
cardinal y de magnitud que siendo distintos se superponen en la conformación del
concepto de número.
Subeje 1:Números Naturales y Enteros
Estándar 1:
Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las
cantidades discretas, y los distingue de sus formas de representación.
Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del
orden y de las operaciones con números naturales y enteros a partir de
propiedades evidentes de los números y de sus sistemas de representación.
Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas,
haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de las
operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, y herramientas
tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo que construya de la
situación.
Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo, aditivas,
multiplicativas, de divisibilidad y restos ligadas a contextos de los programas
oficiales de segundo ciclo de distintos sectores curriculares, en los que se utilice
operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en general propiedades de los números
naturales o enteros.
Indicadores de logro
 Distingue el objeto matemático número natural de los símbolos usados
para su representación, y de los conceptos de ordinal y cardinal. Además,
reconoce que esta complejidad conceptual constituye un obstáculo
didáctico.
 Reconoce el carácter pragmático y cultural de los sistemas de
numeración; relaciona los algoritmos de operación con sus estructuras, en
particular en el sistema indo-arábigo, y fundamenta los algoritmos de
operación en función de la base del sistema de numeración decimal.
 Verifica por medio de ejemplos propiedades como la asociatividad, y
explica la limitación de la verificación como argumento de prueba general.
 Prueba propiedades de divisibilidad basándose en las propiedades del
sistema de numeración decimal y provee argumentos sobre la validez
general de la propiedad.
 Comprende el número entero como una magnitud vectorial discreta con
magnitud y dirección.
 Distingue las situaciones donde el cero toma un valor absoluto, por
ejemplo tamaño, de aquellas donde el cero toma un valor relativo, por
ejemplo indicando una posición.
 Clasifica las situaciones aditivas en situaciones de estado, variación y
cambio.
 Resuelve problemas referidos a situaciones aditivas y multiplicativas
usando ecuaciones, cálculo mental y calculadora, según las condiciones
dadas.
 Utiliza la descomposición prima de los números y el teorema fundamental
de la aritmética multiplicativa para resolver problemas multiplicativos.
 Genera situaciones problemas referidas a las nociones de divisibilidad,
cuociente y resto, las relaciona con el Algoritmo de Euclides y las
resuelve.
 Modela situaciones problemas del ámbito de su disciplina en que se
utilicen números enteros o naturales.
 Provee justificaciones a los algoritmos de suma y multiplicación en Z..
Ejemplos
1. Da ejemplos que evidencien la diferencia entre cantidad y número.
Argumenta porque IX y 9 representan el mismo número.
2. Resuelve una suma en dos sistemas de numeración, verifica y
argumenta la igualdad de las sumas.
3. Ejemplifica una situación en la que los niños confunden el objeto
matemático número con una representación del mismo.
4. Explica las virtudes de un sistema de numeración posicional, con cero y
signos simples para la construcción de las cifras.
5. Identifica diferencias cualitativas entre la numeración maya, egipcia,
china, indo-arábiga, romana y babilónica.
6. Fundamenta el algoritmo usado para sumar con reserva y los canjes
para restar en el sistema decimal
7. Fundamenta el algoritmo de la multiplicación en base a la
descomposición aditiva de los números.
8. Verifica que existen múltiplos de seis que son pares, y explica por qué
ello no constituye una prueba de que “todos los pares son múltiplos de
seis”.
9. Investiga estrategias para operar números en distintas bases y discute
su utilidad práctica
10. Prueba que la suma de tres números consecutivos es múltiplo de tres, y
provee argumentos verbales sobre la validez de la propiedad en N.
11. Representa la suma y la resta de enteros en la recta numérica usando
flechas y da sentido a las nociones de magnitud y sentido de las
flechas.
12. Argumenta la diferencia entre el cero como tamaño de un objeto y el
cero como la temperatura en que se congela el agua.
13. Identifica problemas aditivos relativos a situaciones de estado, cambio y
variación.
14. Enuncia problemas referidos a situaciones de combinación o cambio, y
relaciona su resolución con la categorización de los problemas aditivos
15. Determina usando cálculo mental el valor a pagar por tres pasajes
escolares a $ 130 cada uno, y usando calculadora el área de una
propiedad rectangular de 14,5 metros de frente y 18,40 de fondo.
16. Determina el lapso de tiempo en que tres líneas de buses se
encuentran simultáneamente en el terminal, si una tiene recorrido cada
12 minutos, la otra cada 15 y la tercera cada 18 minutos. Todas
comienzan su recorrido a las 6:30 AM.
17. Elabora el enunciado de una situación problema referida a las nociones
de cuociente y resto, en que se requiera hacer uso del Algoritmo de
Euclides y lo resuelve.
18. Relaciona el Algoritmo de Euclides con situaciones cotidianas en que
adquiere significado el cuociente y el resto de una división
19. Modela una situación referida a geografía humana, frecuencia de uso
de palabras, o de ciencias en que utilice números naturales, atendiendo
a su mención como estudiante de pedagogía básica..
20. Argumenta el sentido de que la suma de un número positivo por un
negativo pueda ser positiva, pero en cambio la multiplicación de un
número positivo con uno negativo no pueda serlo
Estándar 2:
Comprende los conceptos de número natural y entero, como entes formales
cuyas propiedades están dadas por los axiomas y las proposiciones que se
deducen de ellos.
Comprende la estructura deductiva de los sistemas de números naturales y enteros;
reconoce las propiedades de estos sistemas y es capaz de explorar y deducir
algunas propiedades en el marco de la teoría de números y de la estructura de
anillo de los números enteros.
Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que
favorecen la comprensión y uso de los múltiplos, los divisores, la
descomposición en factores primos, la divisibilidad, las potencias y productos
como iteraciones, la representación de grandes y pequeños números, y la
estimación y el redondeo, como también, de los números enteros, sus
operaciones, orden y valor absoluto, atendiendo a los obstáculos didácticos
asociados a estos objetos, a las orientaciones didácticas de los programas
oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los
aprendizajes.
Indicadores de logro
 Describe las nociones de correspondencia biunívoca y función sucesor y
reconoce los axiomas de Peano como propiedades verificables con
cantidades discretas.
 Explica la construcción inductiva de los naturales y su relación con las
propiedades del orden, de la adición y de la multiplicación.
 Demuestra propiedades de los naturales usando técnicas de inducción,
lógica inferencial, cuantificadores, razonamiento deductivo y conceptos de
básicos de teoría de conjuntos.
 Caracteriza los números naturales a partir de su descomposición en factores,
pudiendo describir y demostrar algunos aspectos del algoritmo de Euclides y
del teorema fundamental de la aritmética.
 Define el orden y las operaciones con números naturales a partir de los
axiomas de Peano y las propiedades que se deducen de ellos.
 Conjetura y refuta o demuestra propiedades del orden, la adición, la
multiplicación, los múltiplos, los divisores, la divisibilidad, el MCM y el MCD.
 Distingue las situaciones relativas a conteo y cantidad, que dan origen a los
números naturales, de su definición formal, los invariantes asociados y sus
sistemas de representación.
 Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso de los
números naturales en el segundo ciclo básico, en particular los obstáculos
epistemológicos que quedan en evidencia en el desarrollo histórico de la
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matemática, y planifica actividades para la superación de estos por parte de
los alumnos.
Organiza secuencias de enseñanza para el estudio de los múltiplos, los
divisores y la descomposición en factores primos
atendiendo a los
programas de estudio del segundo ciclo básico.
Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que
favorecen la comprensión y uso de la divisibilidad, las potencias y productos
como iteraciones, la representación de grandes y pequeños números, y la
estimación y el redondeo, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados
a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales
del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los
aprendizajes.
Define los números enteros como clases de equivalencia entre pares de
naturales y prueba que Z es un conjunto ordenado y el orden es total
Define las operaciones con números enteros y deduce que ( Z,+,*) es un
anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero.
Reconoce en los opuestos una propiedad en Z no válida en N, que permite
dar solución a las ecuaciones aditivas.
Comprende la definición del valor absoluto y utiliza su representación gráfica.
Distingue las situaciones relativas a ganancias, perdidas, descuentos,
aumentos, descensos y orden de magnitud.que dan origen a los números
enteros, de su definición formal, los invariantes asociados y sus sistemas de
representación.
Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso de los
números enteros en el segundo ciclo básico y planifica actividades para la
superación de estos por parte de los alumnos.
Organiza secuencias de enseñanza para el estudio de los números enteros,
atendiendo a los programas de estudio del segundo ciclo básico; en
particular, construye situaciones problemas para facilitar en sus alumnos el
aprendizaje las operaciones con números enteros.
Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza para el
estudio de los números enteros, sus operaciones, orden y valor absoluto,
atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las
orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los
enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.
Selecciona con criterio pedagógico problemas que se resuelven usando
ecuaciones e inecuaciones aditivas y multiplicativas en Z, justificando los
procedimientos por medio de propiedades.
Ejemplos
1. Describe tres propiedades de la función sucesor y verifica tres axiomas de
Peano por medio de cardinales.
2. Explica el uso del principio de inducción para fundamentar la cancelación
en la suma de números naturales.
3. Demuestra la propiedad de cancelación de la suma en los naturales usando
técnicas de inducción y lógica
4. Demuestra que la potencia enésima de un primo tiene sólo n+1 divisores.
5. Define la suma usando recursividad en los naturales.
6. Propone dos conjeturas acerca de la divisibilidad por 6 y las prueba o
refuta
7. Examina tres conjeturas acerca los números pares. y prueba o refuta
según corresponda
8. Interpreta la relación MCD(a, b).MCM(a, b)= a b y la prueba
9. Explica la diferencia entre el natural como elemento de una teoría formal y
el natural como abstracción de una cantidad.
10. Presenta una situación en la que los alumnos confunden los números con
los numerales.
11. Organiza una secuencia de enseñanza para estudiar la descomposición en
factores primos de un número atendiendo a los programas de estudio del
segundo ciclo básico.
12. Fundamenta el uso de tres métodos distintos para determinar el MCD.
13. Planifica una secuencia de enseñanza para favorecer la comprensión y uso
de las potencias con exponente entero, atendiendo a los obstáculos
didácticos asociados a estos conceptos y a las orientaciones didácticas de
los programas oficiales del segundo ciclo.
14. Prueba que Z es un conjunto ordenado y el orden es total, a partir de la
definición de Z como conjunto cuociente.
15. Identifica todas las propiedades de ( Z,+,*) que lo identifican como un anillo
y las verifica.
16. Prueba la propiedad asociativa de la suma en Z, a partir de su construcción
desde los naturales.
17. Explica la ventaja de que los enteros no tengan divisores de cero en la
resolución de ecuaciones lineales.
18. Explica la ventaja de la existencia de opuestos en Z frente a las ecuaciones
aditivas.
19. Explica la definición del valor absoluto de un entero y explica su
representación gráfica.
20. Relaciona las operaciones en Z con situaciones referidas a magnitudes
positivas y negativas.
21. Organiza una secuencia de enseñanza para estudiar el orden en Z,
atendiendo a los programas de estudio del segundo ciclo básico.
22. Elabora situaciones de aprendizaje para que sus alumnos investiguen y
formulen conjeturas sobre las propiedades de la multiplicación de enteros.
23. Explica la problemática epistemológica asociada a los números negativos
24. Planifica una secuencias de enseñanza para tratar sumas y restas con
números enteros, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos
conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del
segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes..
25. Selecciona tres problemas que se resuelven usando ecuaciones e
inecuaciones aditivas o multiplicativas en Z, los resuelve y justifica el
procedimiento de resolución
26. Elabora una guía de trabajo apropiada a la realidad de un grupo curso con
problemas en contexto que se resuelven por medio de ecuaciones.
Subeje 2:Números Racionales , Reales y Complejos
Estándar 3:
Comprende los significados asociados a las fracciones y el concepto de número racional
como elemento de un conjunto cuociente, distinguiendo sus diferencias y similitudes.
Reconoce los números decimales como aquellos racionales que se expresan por fracciones
cuyo denominador es una potencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollos
decimales finitos y periódicos como una forma de representación de los números
racionales, alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos de las operaciones
aritméticas. Comprende la existencia de cantidades inconmensurables, e identifica los
números irracionales con las expresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos.
Reconoce en las distintas formas de representación de los números una complejidad
conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.
Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones, incluyendo potencias y raíces, en
los números decimales, racionales e irracionales, y las visualiza bajo las distintas formas de
representación, incluyendo esquemas y gráficos, de estas categorías de números.
Fundamenta los procedimientos de cálculo a partir de las formas de representación de los
números.
Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de la
modelación de situaciones referidas a diferencias y razones entre medidas,
mediciones y particiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia de
fraccionamientos,
cuocientes y restos, pendientes, escalas, semejanza,
porcentajes, tasas y variaciones proporcionales, probabilidades, medidas grandes
y pequeñas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de calculadora y
algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo; para lo cual utiliza
números irracionales, el sistema de los números racionales y diferentes registros
de representación, incluyendo expresiones fraccionarias, decimales finitas,
infinitas periódicas y no periódicas, y potencias con exponente entero.
Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas a distintas
disciplinas, en el marco de los programas de estudio de segundo ciclo básico,
usando fracciones, decimales y porcentajes.
Indicadores de logro
 Describe situaciones referidas a parte todo, parte de la unidad, punto en la
recta, porcentaje, razón entre cantidades que se expresan por medio del
símbolo de fracción.
 Comprende las fracciones propias e impropias como números que
representan cantidades que aluden a parte de una unidad.
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Describe situaciones en que es indistinto el uso de fracciones equivalentes
y resulta apropiado usar el conjunto cuociente.
Reconoce los números decimales como aquellos racionales que se
expresan por fracciones cuyo denominador es una potencia de diez.
Reconoce los desarrollos decimales finitos y periódicos como formas de
representación de los números racionales, alternativa a las fracciones, que
facilita los cálculos de las operaciones aritméticas.
Muestra que los números con representación decimal finita admiten otra
infinita.
Identifica los números irracionales con las expresiones o desarrollos
decimales infinitos no periódicos
Transforma fracciones a decimales y viceversa, y fundamenta sus
procedimientos.
Compara, ordena e intercala fracciones y decimales entre sí.
Realiza multiplicaciones usando fracciones y expresión decimal de las
mismas. para facilitar los cálculos de las operaciones.
Fundamenta los procedimientos de cálculo aritmético a partir de las formas
de representación de los números.
Prueba la irracionalidad de raíz de dos, a partir del estudio de la
inconmensurabilidad de la longitud de la diagonal de un cuadrado con
respecto a la longitud base.
Fundamenta la conveniencia de introducir los números irracionales para
describir las magnitudes continuas.
Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones, en los números decimales,
racionales e irracionales, distingue las que se heredan de los números naturales o
enteros, y las visualiza bajo las distintas formas de representación, incluyendo
esquemas y gráficos, de estas categorías de números.
Resuelve problemas por medio de cuocientes, razones, tasas,
proporciones, probabilidades, repartos y fraccionamientos.
Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de
la modelación de situaciones referidas a diferencias y particiones,
equivalencia de fraccionamientos, cuocientes y restos, medidas grandes y
pequeñas.
Describe fenómenos de la naturaleza que ilustran magnitudes o razones
constantes asociadas a números irracionales como e, pi y phi.
Utiliza en la resolución de problemas estrategias de redondeo,
aproximaciones, estimaciones, calculadora, ecuaciones, inecuaciones,
algoritmos operatorios y estrategias de cálculo basada en las propiedades
de las operaciones.
Utiliza en la resolución de problemas números irracionales y el sistema de
los números racionales bajo diferentes registros de representación,
incluyendo expresiones fraccionarias, decimales finitas, infinitas periódicas,
y notación científica.
Diseña, situaciones problemas asociadas a distintos sectores del currículo
de segundo ciclo básico, usando fracciones, decimales y porcentajes.
Reconoce en las distintas formas de representación de los números una
complejidad conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.
Ejemplos
1. Muestra cinco situaciones cotidianas que consideren la fracción 4/5
aludiendo a diferentes referentes: parte todo, parte de la unidad, punto en la
recta, porcentaje, razón entre cantidades
2. Presenta fracciones propias e impropias usando tres formas de
representación distintas.
3. Argumenta por qué no es lo mismo un fósil de un kilo que 2 fósiles de ½ kilo
y describe una situación en que es indistinto el uso de fracciones
equivalentes.
4. Explica cómo surgieron los números decimales y que ventaja tienen.
5. Muestra una situación referida a tasas o impuestos en que es más fácil usar
decimales que fracciones.
6. Argumenta de dos formas por qué 1 es igual al 0,99999... (periódico)
7. Argumenta por qué el cuociente entre el numerador y denominador de una
fracción no puede ser un decimal infinito no periódico.
8. Justifica el uso del término irracional para los desarrollos decimales infinitos
no periódicos.
9. Expresa un decimal semi-periódico como fracciones y fundamenta el
procedimiento usado.
10. Ubica fracciones y decimales en la recta numérica.
11. Realiza multiplicaciones usando fracciones y una expresión decimal de las
mismas comentando las facilidades de cada método.
12. Fundamenta los procedimientos usados para multiplicar con números
decimales.
13. Prueba la irracionalidad de raíz de dos, a partir del estudio de la
inconmensurabilidad de la longitud de la diagonal de un cuadrado con
respecto a la longitud base.
14. Desarrolla una situación en que tiene sentido usar números irracionales y
no una aproximación.
15. Señala dos propiedades de los racionales comunes a los enteros y dos
propiedades que no son válidas en los enteros.
16. Utiliza la recta numérica para mostrar las fracciones equivalentes en los
racionales
17. Resuelve problemas por medio de razones, tasas, y fraccionamientos.
18. Propone y resuelve problemas asociados a fenómenos naturales que hagan
uso de medidas pequeñas y notación científica..
19. Describe tres fenómenos que ilustren situaciones que se modelen con
números irracionales trascendentes como e, pi y phi.
20. Propone tres situaciones problemas que ilustren el uso de estrategias de
redondeo, aproximación y estimación
21. Plantea y resuelve problemas en contextos realistas que requieren el uso
de números irracionales y racionales.
22. Diseña una situación problema que haga uso pertinente de fracciones,
decimales y porcentajes.
23. Muestra una situación en que la forma de representación de los números se
constituya en un obstáculo didáctico.
Estándar 4:
Comprende el concepto de número racional, como ente formal cuyas propiedades
están dadas por su definición constructiva y las proposiciones que se deducen de
ellos.
Comprende la estructura deductiva del sistema de los números racionales,
reconoce sus propiedades como cuerpo ordenado y es capaz de explorar y
deducir algunas propiedades en el marco de la estructura del cuerpo cuociente
construido desde el anillo de los números enteros.
Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen
la comprensión y utilización de los números irracionales y del cuerpo ordenado de
los racionales, en situaciones referidas a fracciones de medidas, particiones,
reparto, ubicación en la recta, equivalencia de fracciones, expresiones decimales
infinitas periódicas y no periódicas, redondeos, aproximaciones, estimaciones,
operaciones entre racionales, cálculos con algoritmos estándares, uso de
estrategias de cálculo, uso de calculadora, lectura y escritura de números
racionales, divisores, restos, potencias, medidas grandes y pequeñas, exponentes
enteros incluyendo negativos; atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a
estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales de
cuarto básico a primero medio, y a los enfoques cognoscitivos actuales de los
aprendizajes.
Indicadores de logro
 Comprende el concepto de número racional, como ente formal cuyas propiedades están
dadas por su definición constructiva
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Comprende la diferencia entre el número irracional como objeto matemático
y su representación.
Construye los racionales como cuerpo cuociente y define el orden, la suma
y el producto en Q.
Reconoce las propiedades de Q como cuerpo cuociente, ordenado,
arquimediano, pero no completo, incluyendo propiedades de las potencias.
Explora y deduce algunas propiedades en el cuerpo ordenado (Q,+,*) a
partir de (Z,+,*).
Define raíz de un número y su potencia, explora propiedades de las raíces
y hace demostraciones a partir de las propiedades de las potencias.
Identifica y demuestra algunas propiedades de Q que no se verifican en Z.
Explica el sentido de la definición de número irracional como un límite de
sucesiones de Cauchy, intervalos encajados o cortaduras.
Extiende y verifica demuestra propiedades algebraicas de las operaciones
con números racionales al ámbito de los irracionales.
Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso de los
números racionales e irracionales en el segundo ciclo básico, en particular
los obstáculos epistemológicos que quedan en evidencia en el desarrollo

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histórico de la noción de número real, y planifica actividades para la
superación de estos por parte de los alumnos.
Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que
favorecen la comprensión y utilización del cuerpo ordenado de los
racionales, en situaciones referidas a fracciones de medidas, particiones,
reparto, equivalencia de fracciones, operaciones entre racionales, cálculos
con algoritmos estándares, uso de estrategias de cálculo, uso de
calculadora, lectura y escritura de números racionales, divisores, restos,
potencias, exponentes enteros incluyendo negativos; atendiendo a los
obstáculos didácticos asociados a estos conceptos y a las orientaciones
didácticas de los programas oficiales de cuarto básico a primero medio.
Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que
favorecen la comprensión y utilización de los racionales, en situaciones
referidas a ubicación en la recta, expresiones decimales infinitas periódicas,
redondeos, aproximaciones, estimaciones, medidas grandes y pequeñas;
atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las
orientaciones didácticas de los programas oficiales de cuarto básico a
primero medio, y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes
Organiza y diseña actividades que favorecen la comprensión y utilización
de los números irracionales, en situaciones referidas a fracciones de
medidas, ubicación en la recta, expresiones decimales infinitas no
periódicas, redondeos, aproximaciones, uso de estrategias de cálculo, uso
de calculadora, medidas grandes y pequeñas, atendiendo a los obstáculos
didácticos asociados a estos conceptos y a las orientaciones didácticas de
los programas oficiales de octavo básico y primero medio.
Ejemplos
1. Usa la definición de número racional para deducir propiedades desde
los enteros.
2. Reconoce la raíz de dos como irracional que no admite una
representación como fracción entre enteros, y cuyo cuadrado es dos.
3. Demuestra que existe una única función que a cada par de
racionales (a, b) y (c, d) le asigna el par (ad+bc, bd), con b y d no
nulos.
4. Presenta con apoyo tecnológico, la diferencia entre el sistema de
numeración decimal indo-arábigo y el sistema numérico de los
números decimales
5. Demuestra la propiedad asociativa de la suma en los racionales.
6. Explica la propiedad arquimidiana y la consecuencia de la
incompletitud de los racionales.
7. Prueba la existencia de un orden en Q que contiene al orden de Z.
8. Demuestra que el producto de las raíces de dos números racionales
es igual a la raíz del producto de estos números.
9. Utiliza el acotamiento por exceso y por defecto para calcular un valor
aproximado a una raíz irracional.
10. Demuestra la densidad de Q: que entre dos racionales existen
infinitos racionales
11. Demuestra la existencia del irracional raíz de dos usando cortaduras
o límite de sucesiones de Cauchy.
12. Demuestra la propiedad asociativa entre números racionales
13. Identifica el obstáculo epistemológico presente en el desarrollo
histórico del concepto de número irracional
14. Diseña una secuencia de enseñanza que favorece la utilización de
los racionales, en situaciones referidas a cálculos con algoritmos
estándares, atendiendo las orientaciones de los programas de cuarto
básico a primero medio.
15. Organiza actividades de aprendizaje en torno a la forma de sumar
fracciones y a su fundamento.
16. Diseña actividades que favorecen la comprensión de los racionales,
en situaciones referidas a medidas grandes y pequeñas; atendiendo
a las orientaciones didácticas de los programas oficiales
17. Elabora una situación de aprendizaje que permita establecer la
relación entre el área de una circunferencia y el valor de Pi.
Estándar 5:
Comprende de manera intuitiva los números reales como completación de los
racionales, a partir de los desarrollos decimales infinitos y el modelo de la recta
numérica, disponiendo de herramientas conceptuales y procedimentales para la
resolución de problemas y la interpretación de fenómenos referidos a magnitudes
continuas, teniendo en vista la organización de su enseñanza.
Comprende los números complejos como producto cartesiano de los reales en el
plano, a partir del cual se define una operatoria útil, de tipo vectorial que permite
resolver situaciones problemas.
Indicadores de logro
 Identifica la recta real como un modelo para representar los números
racionales e irracionales y ubica fracciones, decimales finitos e infinitos en
la recta.
 Diseña situaciones problemáticas que involucren magnitudes continuas para
el aprendizaje de los números reales y sus propiedades
 Identifica el plano como un modelo para representar los números complejos,
y ubica números complejos en el plano a partir de sus coordenadas
cartesianas o su módulo y argumento.
 Identifica situaciones en las que es útil usar números complejos y las
representa gráficamente en el plano.
Ejemplos
 Representa los reales en la recta numérica y ubica en ella fracciones,
decimales finitos e infinitos en la recta.
 Diseña situaciones problemáticas que involucren magnitudes continuas
para el aprendizaje de los números reales y sus propiedades
 Verifica la conmutatividad de la adición en R, a partir de
representaciones de magnitudes en la recta numérica.
 Representa números complejos por medio de pares ordenados en el
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plano.
Representa situaciones referidas a electricidad por medio de los
números complejos.
EJE TEMÁTICO: Geometría
Descripción:
Este eje está orientado a determinar los conocimientos relacionados con la rama de la
Geometría, de los cuales debe apropiarse un profesor de matemática de 2° ciclo básico,
como también la profundidad con que esos temas deben presentarse y las competencias
que debe demostrar el profesional a la hora de conducir a sus estudiantes en el proceso de
aprendizaje de los mismos. Con el fin de estructurar ordenadamente los estándares
relacionados con el ámbito de la Geometría, se ha dividido este eje en los siguientes
subejes: 1) Figuras Geométricas Planas, 2) Cuerpos Geométricos, 3) Transformaciones
Isométricas y 4) Geometría Proporcional. En cada uno de ello están incorporados los
contenidos de la matemática de 5° a 8° básico, pero también están aquellos temas
matemáticos que son fundantes de los tópicos tratados en la matemática escolar.
Los futuros profesores de 2° ciclo para el subsector matemática deben tener apropiadas
competencias en el ámbito pedagógico que son complementarias al ámbito disciplinario. Es
por ello que cada uno de los estándares para los distintos subejes incorporará el:
 conocimiento de Planes y Programas vigentes en Educación Matemática en 2° ciclo de
enseñanza básica y también en Enseñanza Media en lo referido a Geometría.
 desarrollo de habilidades para resolver problemas del ámbito geométricos,
 diseño y planificación de situaciones para facilitar el aprendizaje de geometría, en base a
actividades de aprendizaje, apoyándose en diferentes recursos.
 evaluación de aprendizajes.
Subeje: Figuras Geométricas Planas
Estándar 6
Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de
punto, recta, trazo, rayo. Comprende el significado de distintas figuras geométricas tales
como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las
regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar
dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y
demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de
longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades que permitan
calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en
cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica
los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes,
como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a
diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una
disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas
y épocas.
Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos de enseñanza hacia
procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma
comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla
y compás en construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras
construidas geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir
propiedades métricas. Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las
orientaciones didácticas presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques
cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje.
Indicadores de logro
 Reconoce y comprende las diferentes características que definen a los ángulos,
triángulos, cuadriláteros, polígonos y circunferencia como también los distintos criterios
de clasificación de ellas.
 Comprende el concepto de congruencia de figuras poligonales y reconoce pares de
figuras congruentes. Demuestra sus afirmaciones utilizando criterios de congruencia.
 Deduce, comprende y demuestra propiedades y relaciones fundamentales en ángulos,
triángulos, cuadriláteros y polígonos, fundamentándolas, cuando corresponda, con
teoremas de congruencia. Aplica estas propiedades en la resolución de problemas
geométricos.
 Reconoce y valora los aportes de la geometría euclidiana en las distintas manifestaciones
arquitectónicas, artísticas y estructurales presentes en la humanidad en distintas épocas.
 Construye con regla y compás diferentes figuras planas, conocidos algunos de sus
elementos y considerando sus características propias; describiendo, además, sus
procesos de construcción. Complementa dichos procesos constructivos utilizando un
software de construcción geométrica.
 Comprende el concepto de equivalencia de figuras y demuestra teoremas de
equivalencia.
 Conoce, relaciona, selecciona y utiliza unidades de medida adecuadas para medir
ángulos, trazos, figuras y superficies, en situaciones problemáticas
 Deduce y demuestra fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas de regiones planas,
comprendiendo el significado de área relacionándolo con la medida de la superficie y el
de perímetro con la adición de las longitudes de todos los lados de la figura o de la
superficie que la delimita.
 Establece un criterio de secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría
referidos a figuras planas señalados en los Planes y Programas de 5° a 8° año básico.
 Identifica conocimientos previos referidos a figuras planas que permitan instalar un nuevo
conocimiento y reconoce aquellos conceptos erróneos que dificultan su aprendizaje
 Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad de razonamiento
geométrico en los estudiantes, utilizando un software geométrico que permita
experimentar y recopilar información conducente a la elaboración de conjeturas acerca de
propiedades de elementos y relaciones conceptuales de los objetos bidimensionales
orientadas explícitamente a la resolución de problemas.
 Diseña planificaciones de clases referidas a figuras geométricas considerando los
momentos de ella.
 Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la utilidad
de lo aprendido respecto a figuras planas.
Ejemplos
1) Clasifica los cuadriláteros según sus elementos o características. Justifica tu respuesta
poniendo de manifiesto los criterios de clasificación inclusiva.
2) Determinar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio dado,
tangentes a una circunferencia dada.
3) Fundamente la construcción de la simetral de un trazo, haciendo uso de su concepción
como lugar geométrico.
4) Construir un octógono regular de lado
5 , inscrito en una circunferencia.
5) Dado un cuadrado ABCD, construir hacia su interior un triángulo isósceles ABP, de base
AB, cuyos ángulos basales son de 15º. Probar que el triángulo CDP es equilátero.
6) Demuestra que la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes con él.
7) Demuestra que la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un
trapecio, es paralela a las bases, y su medida es igual a la semisuma de las medidas de
las bases.
8) Demuestra que todos los triángulos que comparten la misma base y altura son
equivalentes entre sí, y equivalentes a la mitad del rectángulo determinado por la base y
la altura. Deduce la expresión para el área de la región triangular.
9) Utilice los conocimientos de congruencia y teoremas de congruencia para fundamentar
matemáticamente que las diagonales de un paralelogramo se dimidian.
10) Construye la simetría axial en diferentes cuadriláteros ABCD utilizando diferentes ejes de
simetría tales como la diagonal y el trazo que une los puntos medios de los lados
opuestos y reconoce que en algunos de esos cuadriláteros ABCD el eje de simetría
genera dos figuras congruentes, mencionando en forma explícita las condiciones que se
deben dar con el cuadrilátero y el eje para que se cumpla dicha condición (dos figuras
congruentes).
11) Construye, utilizando un software adecuado, un triángulo equilátero inscrito en una
circunferencia y establezca una relación métrica entre el radio de ella y la longitud del
lado del triángulo equilátero.
12) Utilizando diferentes recursos tales como escuadra, regla, compás, superficies
recortables, o un software de construcción geométrica, comprueba las siguientes
relaciones:
 Teorema de Pitágoras
 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°
y fundamenta el hallazgo a través de una argumentación matemática
13) Analiza la ubicación del ortocentro en distintos tipos de triángulos apoyándote en la
construcción geométrica de las alturas.
14) Investigue acerca de las propiedades que poseen los triángulos que se forman a partir
de las medianas de un triángulo isósceles. Fundamente estas propiedades de manera
adecuada.
15) Construir los triángulos determinados por las siguientes condiciones dadas:
 a = 3 cm, g = 60º, b = 3 cm
 a = 20º, c = 4 cm, b = 110º
 a = 25º, c = 3 cm, b = 25º
 a = 15º, g = 75º, c = 5 cm
Determine los instrumentos que permiten cada construcción, y clasifique los triángulos
según la longitud de sus lados y la medida de sus lados.
16) Investigue y explique el sistema radián para la medida angular
17) Dada una circunferencia de radio r, se inscribe en ella un cuadrado, sobre cada uno de
los lados del cuadrado se construye una semicircunferencia. Genere una fórmula en
función del radio que permita encontrar el perímetro de la figura y el área de la región
delimitada.
18) Señala los contenidos de 5°, 6° y 7° referidos a figuras geométricas y establece una
secuencialidad en ellos.
19) Menciona al menos tres errores conceptuales que podrían dificultar el aprendizaje de los
contenidos presentes en los contenidos de Perímetro y Área de 5° básico.
20) Identifica tres conocimientos previos y justifica la necesidad de utilizarlos para la
enseñanza de “estudio y trazado de cuadriláteros” en 6° básico.
21) Diseñe una actividad de aprendizaje utilizando un software adecuado que permita a sus
estudiantes:
a) evidenciar el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones (7° básico)
b) elaborar una conjetura acerca de la relación del ángulo exterior del triángulo con los
interiores no adyacentes a él.
c) evidenciar la colinealidad del ortocentro, baricentro e inscentro de un triángulo
cualquiera.
22) Planifica una clase considerando inicio-desarrollo-cierre y la adecuación de los tiempos
de cada uno de los momentos y que incluya actividades de aprendizaje de 8° básico
referidas al análisis de los elementos de una circunferencia y construcción conceptual de
las fórmulas para calcular su perímetro y el área del círculo.
23) Diseña 3 preguntas de prueba acerca de las diferencias entre un polígono y un polígono
regular (para el ámbito de la comprensión), además de existir otra pregunta respecto de
la utilidad de lo aprendido referido al uso de los polígonos regulares en la vida diaria.
24) Considera los planes y programas 5° básico a 1° medio y señala en qué niveles se
analizan los contenidos de congruencia de figuras planas y establece una secuencialidad
en ellos.
Subeje: Cuerpos Geométricos
Estándar 7
Comprende los conceptos referidos a rectas y planos paralelos y perpendiculares en el
espacio que permitan deducir y demostrar las propiedades involucradas en ellos; como
también comprende el concepto de ángulo diedro. Comprende, aplica y fundamenta las
diferentes clasificaciones de cuerpos en el espacio, y determina propiedades y relaciones en
ellas. Reconoce y clasifica los cuerpos poliedros, identificando sus elementos principales. Es
capaz, además, de fundamentar y aplicar el Principio de Cavalieri en la determinación de
fórmulas de volumen de cuerpos geométricos. Calcula volúmenes y áreas de superficie, y
aplica estos conocimientos a situaciones concretas, y resuelve problemas relacionados con
figuras en el espacio.
Organiza el proceso de aprendizaje de cuerpos geométricos a través de una mediación
efectiva que considera planificaciones con una alta consistencia interna, involucradas en la
conceptualización de los objetos geométricos, la deducción de propiedades y relaciones, y la
aplicación de éstas en la resolución de problemas. Además, es capaz de justificar la
organización de los contenidos geométricos en los planes de estudio de la enseñanza
básica, y comprende la vinculación que ésta tiene con los contenidos vistos en enseñanza
media.
Indicadores de logro
 Comprende los conceptos de rectas, planos en el espacio, así como sus posiciones
relativas, paralelismo, perpendicularidad e intersecciones. Comprende el concepto de
ángulo diedro y triedro, sus elementos y características.
 Conoce, caracteriza y clasifica los poliedros regulares, y comprende y utiliza la relación
existente entre el número de caras, el número de vértices y el número de aristas de un
cuerpo geométrico denominada Fórmula de Euler.
 Deduce, demuestra y utiliza fórmulas adecuadas para calcular área y volumen de
cuerpos geométricos, en resolución de problemas en diversos contextos
 Reconoce las características de cuerpos geométricos clasificándolos según criterios
como: redondos y no redondos, superficies laterales curvas o paralelas, número de
superficies basales, paralelismo de las superficies basales, etc.
 Modela objetos de entorno su con cuerpos geométricos conocidos. Conoce, relaciona,
selecciona y utiliza unidades de medida adecuadas para áreas y volumen para resolver
problemas de la vida cotidiana.
 Establece un criterio de secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría
referidos a cuerpos geométricos señalados en los Planes y Programas de 5° a 8° año de
educación general básica.
 Reconoce y analiza conceptos erróneos respecto de cuerpos geométricos que dificultan
el aprendizaje de otros contenidos geométricos, y diseña y planifica estrategias de
intervención para remediar esta situación.
 Identifica los conocimientos previos referidos a figuras planas que permiten instalar un
conocimiento específico de la geometría del espacio.
 Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad de razonamiento
geométrico en los estudiantes, utilizando un software geométrico que permitan
experimentar y recopilar información conducente a la elaboración de conjeturas.
 Diseña planificaciones de clases referidas a cuerpos geométricos considerando los
momentos de ella.
 Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la utilidad
de lo aprendido respecto a cuerpos geométricos.
Ejemplos
1) Determinar el número máximo de rectas y planos que se pueden determinar por 4
puntos en el espacio.
2) Fundamenta y describe las principales características de un tetraedro regular y establece
las diferencias con un hexaedro regular.
3) Utilizando un software de visualización geométrico, establece las diferencias entre un
prisma y una pirámide.
4) Observa distintos cuerpos geométricos estableciendo en cada uno de ellos el número de
caras (C), el número de vértices (V) y el número de aristas (A). A partir de ello reconoce
la relación existente entre C, V y A, denominada Fórmula de Euler.
5) Establece fundamentadamente distintos procesos concretos para el cálculo de
volúmenes de conos y cilindros.
6) Construye geométricamente representaciones bidimensionales (redes) de distintos
cuerpos geométricos y establece caracterizaciones más precisas de los cuerpos a partir
de ellas.
7) Comprende el significado de 1 metro cúbico y lo utiliza para establecer comparaciones
en distintos consumos de agua potable facturados.
8) Señala los contenidos de 5°, 6° y 7° referidos a cuerpos geométricos y establece una
secuencialidad en ellos.
9) Menciona al menos tres errores conceptuales que podrían dificultar el aprendizaje de los
contenidos presentes en la Interpretación y uso de fórmulas para el cálculo de volumen
de conos y cilindros presentes en la Unidad 5 de 8° básico.
10) Identifica tres conocimientos previos y justifica la necesidad de utilizarlos para la
enseñanza de “relaciones de equivalencias entre unidades de volumen de uso corriente”
en la Unidad 5 de 8° básico.
11) Diseña una actividad que permita discriminar los conceptos de volumen y capacidad en
niños que confunden ambas nociones.
12) Diseñe una actividad de aprendizaje que permita a sus estudiantes evidenciar la fórmula
de Euler.
13) Diseñe una actividad, usando un software de visualización geométrico, que permita que
un alumno determine la relación entre la medida del volumen de una pirámide respecto
de la medida del volumen de un prisma.
14) Planifica una clase considerando inicio-desarrollo-cierre y la adecuación de los tiempos
de cada uno de los momentos referida al contenido “experimentación de procedimientos
concretos para medir el volumen de conos y cilindros”.
15) Diseña una prueba acerca de cuerpos geométricos en donde exista una pregunta acerca
de las diferencias entre una pirámide y un prisma; para el ámbito de la comprensión.
Además de existir otra pregunta respecto de la utilidad de lo aprendido referido al uso de
las esferas en la vida diaria.
16) Genera un conjunto de preguntas para evaluar aprendizajes en diferentes momentos de
la clase respecto de los aprendizajes señalados en los planes y programas de educación
matemática de 8° básico.
Subeje: Transformaciones Isométricas
Estándar 8
Comprende las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de
transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial. Reconoce
transformaciones isométricas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos,
identificando su tipo y los elementos que la generaron. Aplica transformaciones y usa
simetrías para analizar y resolver problemas geométricos, así como para ilustrar
propiedades de figuras geométricas. Además, está en condiciones de organizar, planificar,
diseñar actividades de aprendizaje basadas en la resolución de problemas para los
contenidos presentes en el marco de los planes y programas vigentes en Matemática y de
generar instancias evaluativas acerca de estos aprendizajes.
Indicadores de logro
 Comprende, reconoce y construye traslaciones, simetrías puntuales, simetrías axiales y
rotaciones de figuras, usando regla y compás, y software de construcción geométrica.
 Valora la importancia de la presencia de las transformaciones isométricas en el arte y
arquitectura, identificando el tipo de transformación presente en determinadas obras.
 Utiliza simetrías en triángulos y cuadriláteros para clasificarlos, ilustrar propiedades, y
resolver problemas en diversos contextos.
 Establece una secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría referidos o
asociados a transformaciones isométricas señalados en los Planes y Programas de 5°
básico a 1° medio.
 Identifica conocimientos y aprendizajes previos que permitan al estudiante comprender
un nuevo conocimiento referido a transformaciones isométricas.
 Diseña y construye actividades de aprendizaje que permitan al alumno de 2do ciclo,
relacionar conceptos, plantear fundamentadamente procedimientos y conjeturas,
referidas a algún tipo de transformación isométrica, apoyándose en un software
geométrico o en construcciones geométricas,
 Planifica clases referidas a transformaciones isométricas, considerando los momentos de
inicio, desarrollo y cierre, proponiendo en cada uno de éstos diferentes actividades
genéricas de aprendizaje y evaluación. Para ello, utiliza al menos dos modelos de
planificación.
 Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la utilidad
de lo aprendido respecto a transformaciones isométricas, sus pautas de corrección y, si
corresponde, la rúbrica y escala de calificación.
Ejemplos
1) Construye la simetría axial de diferentes cuadriláteros utilizando diferentes ejes de
simetría tales como la diagonal y el trazo que une los puntos medios de los lados
opuestos, y reconoce que en algunos de esos cuadriláteros la simetría genera una figura
coincide con el cuadrilátero original, mencionando en forma explícita las condiciones que
se deben dar con el cuadrilátero y el eje para que se cumpla dicha condición.
2) Construye un hexágono regular usando un software geométrico, a partir de una serie de
transformaciones isométricas aplicadas a un triángulo equilátero. Describa en forma
explícita las transformaciones isométricas realizadas.
3) Dado un triángulo isósceles ABC, de base AB, construya otro triángulo A’B’C’
trasladando el primero 3 unidades a la derecha en la dirección de la recta que contiene
la base y aplicando luego un giro de 30º en sentido antihorario respecto del punto A.
4) Valora el rol de traslaciones, simetrías y/o rotaciones en la creación de pinturas de M.
Escher.
5) Investiga sobre la presencia de los 17 grupos de simetría en el arte de medio oriente.
6) Reconoce simetrías en tres elementos de la naturaleza o de su entorno físico. Describa
el tipo de simetría.
7) Reconoce traslaciones, simetrías y/o rotaciones en las pinturas de M. Escher.
8) Aplica traslaciones, simetrías y/o rotaciones en la construcción de tesselaciones
(embaldosamientos).
9) Considera los planes y programas de 5° básico a 1° medio y señala en qué niveles se
analizan los contenidos de transformaciones isométricas y establece una secuencialidad
en ellos.
10) Explica las consecuencias que en el estudiante puede tener el definir una isometría solo
a través de su raíz etimológica (iso = igual, metría = medida) en la respuesta a la
siguiente pregunta:
“Indica si la figura de la derecha es una transformación isométrica de la de la derecha:
11) Diseña una prueba acerca de polígonos en donde exista una pregunta acerca de las
diferencias entre traslación, simetría axial y rotación; para el ámbito de la comprensión.
Además de existir otra pregunta respecto de la utilidad de lo aprendido referido al uso de
las transformaciones isométricas en la vida diaria y en las artes.
Subeje: Geometría Proporcional
Estándar 9
Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidad de trazos, y los utiliza
para fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos. Aplica estos teoremas para
determinar relaciones de semejanza de polígonos, para resolver problemas y para
demostrar los teoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas y angulares en la
circunferencia. Comprende y aplica las razones trigonométricas para resolver problemas.
Construye homotecias directas e inversas de figuras. Valora uso de la semejanza de figuras
en el arte y la arquitectura.
Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometría proporcional y semejanza en
los planes de estudio de enseñanza básica y media, y es capaz de organizar el proceso de
aprendizaje de estos contenidos para el nivel de Educación General Básica.
Indicadores de logro
 Comprende el concepto de proporcionalidad de trazos y lo utiliza para fundamentar y
construir geométricamente la división interior y exterior de un trazo. Construye
geométricamente la media, tercera y cuarta proporcional y comprende los procedimientos
involucrados en dicha construcción.
 Conoce, comprende y aplica los teoremas de Thales en la resolución de problemas.
 Comprende el concepto de semejanza de figuras planas y lo utiliza para construir figuras
semejantes y fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos aplicándolos en la
resolución de problemas.
 Comprende el concepto de homotecia, lo utiliza para construir figuras semejantes y
fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos aplicándolos en la resolución de
problemas.
 Deduce y demuestra los Teoremas de Euclides y las relaciones métricas presentes en la
circunferencia (Teorema de las cuerdas, de las secantes, etc.) aplicando los teoremas de
semejanza.
 Aplica las relaciones métricas presentes en el triángulo rectángulo (Teoremas de Thales,
Euclides y Pitágoras) y en la circunferencia para resolver problemas geométricos.
 Comprende a las razones trigonométricas como la constante de proporcionalidad
involucrada en triángulos semejantes, y reconoce su utilidad para resolver problemas en
triángulos que no se pueden realizar utilizando los teoremas anteriores.
 Aplica las razones
contextualizados.
trigonométricas
para
resolver
problemas
geométricos
y
 Investiga situaciones reales en los que el concepto de semejanza está presente, y las
fundamenta matemáticamente; por ejemplo, la lectura de planos, mapas u otras
representaciones que utilicen el dibujo a escala, o bien, la presencia de la razón áurea en
el arte, arquitectura y naturaleza.
 Identifica los contenidos de enseñanza básica y media, relacionados con la semejanza de
figuras, estableciendo una secuencialidad en ellas.
 Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad de razonamiento
geométrico en los estudiantes, utilizando un software geométrico o construcciones
geométricas, que permitan experimentar y recopilar información conducente a la
elaboración de conjeturas acerca de las condiciones que deben cumplirse para que dos
figuras sean semejantes.
 Analiza textos escolares de matemática para 2do ciclo, y evalúa la pertinencia de las
actividades propuestas, relacionadas con geometría proporcional.
Ejemplos
1) Construye geométricamente la división interior y exterior de un trazo.
2) Dados dos trazos de longitudes p y q, construye la media proporcional geométrica.
Relaciona la construcción anterior con el teorema de euclides de la altura.
3) Reconocen en las condiciones de un problema geométrico, la utilización del teorema de
thales y elaboran demostraciones utilizando dicho teorema.
4) Utilizan la semejanza de figuras planas y los teoremas de semejanzas en triángulos para
demostrar propiedades y para reconocer pares de triángulos semejantes dados algunos
medidas angulares y longitudes de lados. Aplica los teoremas de semejanza de
triángulos para demostrar los teoremas de Euclides en un triángulo rectángulo.
5) Resuelve problemas geométricos acerca de relaciones métricas en un triángulo
rectángulo, utilizando el teorema de Euclides.
6) Construyen por homotecias figuras semejantes y fundamentan el porque las figuras
construidas son semejantes y establecen los invariantes asociados a la semejanza de
figuras planas.
8) Considera los planes y programas de matemática para 2° medio y construye los
indicadores de logro para el aprendizaje esperado “Conocen los criterios de semejanza
de triángulos y los aplican en el análisis de los diferentes polígonos y en la resolución de
problemas”.
9) Considera los planes y programas 5° básico a 4° medio y señala en qué niveles, la
secuencialidad y que deben aprender los alumnos respecto a Teorema de Thales,
Teorema de Euclides y Teorema de Pitágoras.
10) Identifica tres conocimientos previos y justifica la necesidad de utilizarlos para la
enseñanza de “Semejanza de Figuras Planas” (contenido de 2° medio).
11) Diseñe una actividad de aprendizaje, utilizando el Cabri II (u otro programa adecuado) o
construcciones geométricas, que permita a sus estudiantes
a) Estimar distancias o alturas aplicando semejanza de triángulos.
b) elaborar una conjetura acerca de la relación entre las áreas de dos triángulos
semejantes.
12) Planifica una clase considerando inicio-desarrollo-cierre y la adecuación de los tiempos
de cada uno de los momentos y que incluya actividades de aprendizaje referidas a los
teoremas de semejanza de triángulos.
13) Diseña una prueba acerca de trazos proporcionales y semejanza de triángulos en donde
exista una pregunta acerca de las diferencias entre figuras congruentes y figuras
semejantes; para el ámbito de la comprensión. Además de existir otra pregunta respecto
de la aplicación de la proporcionalidad en la vida diaria y en las artes.
14) Genera un conjunto de preguntas para evaluar aprendizajes en diferentes momentos de
la clase respecto de los aprendizajes señalados en los planes y programas respecto a
Teorema de Euclides
EJE TEMÁTICO: TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN
Descripción
En todas las esferas del mundo actual, políticas, científicas, tecnológicas y
domésticas, el tratamiento de la información constituye una herramienta de
primer orden en la predicción de fenómenos y la toma de decisiones.
Este eje está centrado en los conceptos, técnicas y métodos necesarios para el
tratamiento de la información en el marco de la resolución de problemas
extraídos de diferentes ámbitos contextuales.
El eje se estructura en los siguientes subejes:
1. Análisis de datos univariados y divariados.
2. Nociones básicas de Probabilidades.
Subeje: Análisis de datos univariados y bivariados
Estándar 10
Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticas requeridas para recopilar,
organizar, representar, analizar e interpretar conjuntos de datos a partir del
planteamiento, discusión y resolución de problemas extraídos de la vida real,
teniendo en vista la organización de su enseñanza.
Indicadores de Logro
 Formula interrogantes que para ser respondidas requieren de una
recolección de datos.
 Identifica tipos de variables: cualitativas-ordinales-cuantitativa, continuadiscreta, en contexto tomados de la vida diaria.
 Organiza conjuntos de datos presentándolos a través de tablas de
distribución de frecuencias y/o gráficos.
 Interpreta tablas y gráficos para describir el comportamiento de un
conjunto de datos.
 Fundamenta la importancia de la recopilación de datos en el proceso de
una investigación.
 Argumenta la elección de una técnica de centralización o dispersión para
describir el comportamiento de un conjunto de datos.
Ejemplos
1. Formula preguntas que pueden ser respondidas con datos recolectados y
organizados de su grupo curso.
2. Recopila, organiza y grafica datos extraídos de sus estudiantes, como
deporte favorito, número de hermanos, peso, estatura, con la finalidad de
obtener información significativa en base al comportamiento de ellos.
3. Diseña actividades de aprendizaje para que el estudiante aplique los
conceptos y las propiedades de la media aritmética, la mediana y la moda.
Plantea a sus estudiantes problemas con datos de la vida diaria, para que
éstos seleccionen y fundamentan el tipo de medida de tendencia central
que mejor representa a un conjunto de datos.
Estándar 11
Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticas tales como tablas,
diagramas, regresiones y correlaciones, requeridas para determinar y describir
las relaciones existentes entre dos variables. Planifica estrategias pedagógicas
teniendo en cuenta el tipo de variables, el tipo de gráfico y el indicador apropiado
en el análisis de la información.
Indicadores de logro
 Ordena, construye e interpreta conjuntos de datos correspondientes a dos
variables, presentándolos en forma simultánea a través de tablas
divariadas y/o gráficos.
 Cuantifica el grado de asociación que presentan dos variables
seleccionando el estadístico adecuado para la situación.
 Obtiene conclusiones a partir del grado de asociación que presentan dos
variables.
 Utiliza software estadístico para la presentación y análisis de datos.
Ejemplos
1. Presenta en una tabla y representa en un gráfico los datos correspondientes al
género y edad de los estudiantes de un curso y fundamenta la forma de
representación seleccionada.
2. Dato el valor de la correlación entre el peso y la estatura de un grupo de
sujetos, interpreta su significado.
3. Diseña actividades de aprendizaje que involucran situaciones de la vida diaria
para que los estudiantes calculen y discutan la relación entre variables.
4. Dado un conjunto de datos bivariados, realiza predicciones de una de las
variables como un acercamiento a la idea de inferencia estadística.
SUB EJE: Nociones Básicas de Probabilidades
Estándar 12
A partir del análisis de situaciones significativas comprende el concepto de
probabilidad y la importancia de su aplicación en la predicción y planifica
estrategias pedagógicas teniendo en cuenta el concepto de azar.
Indicadores de logro
 Comprende, explica y describe las diferencias entre fenómenos aleatorios
y fenómenos determinísticos.
 Establece un espacio muestral asociado a un fenómeno aleatorio.
 Determina un evento o suceso asociado a un fenómeno aleatorio.
 Interpreta el concepto de probabilidad asociándolo a “resultados posibles”
y “resultados favorables”.
 Describe situaciones del mundo natural y cultural en las que se usan la
probabilidad y las limitaciones que ella presenta.
Ejemplos
1. Selecciona y analiza en alguna revista o periódico una situación en la cual se
usen las probabilidades.
2. Diseña actividades que, basadas en las ideas intuitivas de los estudiantes y en
la discusión de ellas, permitan diferenciar y caracterizar fenómenos aleatorios y
fenómenos determinísticos.
3. Plantea problemas extraídos de medios de información que permitan la
discusión y argumentación de las conclusiones.
EJE TEMÁTICO: MODELIZACIÓN ALGEBRAICA
Descripción:
Este eje se fundamenta en la importancia del álgebra como pilar fundamental para la
construcción de la matemática como disciplina científica.
La modelización algebraica, está estrechamente relacionada con la construcción de
modelos para describir una situación y realizar predicciones sobre ella y a su vez
comunicar lo obtenido. Estos modelos tienen la fuerza de ser aplicados a diversas
situaciones problemáticas, brindándole a la matemática el estatus de ser una
herramienta funcional para la vida diaria, consolidándola como una ciencia necesaria
para la sociedad del conocimiento.
Es por lo anterior que este eje temática está dividido, su vez, en tres subejes:
Subeje 1: Lenguaje algebraico y Ecuaciones
Subeje 2: Variaciones Proporcionales
Subeje 3: Funciones y gráficas
En forma paralela a la adquisición de conocimientos matemáticos, los futuros
profesores de Segundo Ciclo Básico deben poseer las competencias pedagógicasdidácticas para una adecuada preparación de la enseñanza en función de los
aprendizajes que deben lograr en todos sus estudiantes.
Por esta razón en que incluye en cada subeje el conocimiento de las dificultades de
enseñanza y de aprendizaje de los conceptos matemáticos, además de su ubicación
en el marco curricular y la planificación y evaluación de los contenidos disciplinares a
enseñar.
Subeje 1:
Lenguaje Algebraico y Ecuaciones
Estándar Nº 13
Identifica el lenguaje algebraico como una relación entre la aritmética y el álgebra y
de estos con el lenguaje común. Da sentido a la notación y uso de las letras
(variables) dentro de este nuevo lenguaje. Relaciona, a su vez, su semántica y
sintaxis con símbolos y significados únicos y que si bien se construyó a partir de las
propiedades de los sistemas numéricos, tiene sus propias particularidades.
Además utiliza el lenguaje algebraico para la resolución de problemas, que se
transformarán en ecuaciones o inecuaciones, mediante la utilización de herramientas
como la supresión de paréntesis, reducción de términos semejantes, factorización y
la operatoria básica con expresiones algebraicas.
También desarrolla la capacidad de generalización del lenguaje algebraico asociado
al cálculo de productos y factores, como son los productos notables y el cálculo de
perímetros y áreas de figuras planas.
Por otra parte, conoce los orígenes históricos del lenguaje, reflexionando en torno al
razonamiento inductivo y su importancia para la articulación de un currículo con
sentido, para el estudiante que lo aprende en el segundo ciclo básico.
De la misma forma para el futuro profesor se hace necesaria la incorporación a su
praxis docente de elementos innovadores como es el uso de materiales didácticos y
software matemáticos, incorporándolos en la organización, planificación y evaluación
de actividades que fomente y mejore los aprendizajes de todos sus estudiantes.
Indicadores de logro
 Generaliza la operatoria aritmética de los sistemas numéricos a operatoria
algebraica a través del uso de símbolos adecuados a la situación, haciendo un
paralelo entre lo particular y lo general.
 Construye patrones numéricos y/o geométricos a partir de la generalización de
patrones de repetición.
 Plantea y resuelve ecuaciones utilizando la operatoria algebraica de reducción de
términos semejantes y/o factorización.
 Calcula productos notables, hace factorizaciones y los interpreta numérica y
geométricamente.
 Conocen algunos antecedentes históricos sobre la evolución del lenguaje
algebraico.
 Resuelve ecuaciones con coeficientes numéricos y literales y analiza la existencia
de sus soluciones.
 Reconoce las características del lenguaje algebraico, en cuanto a su construcción
y sus usos y las utiliza para la justificación de la enseñanza y del aprendizaje de
este contenido en el sistema escolar.
 Desarrolla el razonamiento inductivo para la obtención de leyes y propiedades que
modelen la relación entre objetos matemáticos en situaciones contextualizadas.
 Comprende el proceso para llegar a la regla de resolución de la ecuación de
segundo grado.
 Crea modelos de expresiones numéricas transformándolas en expresiones
algebraicas y entiende su significado para la preparación de la enseñanza en el
segundo ciclo básico.
 Analiza los sistemas de ecuaciones lineales, en función de las posibles soluciones,
resolviendo posteriormente para comprobar.
 Hace referencia al origen histórico del álgebra en la planificación de los contenidos
a enseñar, reconociendo e identificando categorías diferentes de interpretación y
uso de letras dentro del álgebra de manera de explicitar la construcción de la
matemática como disciplina científica.
 Modela situaciones problemáticas en contexto mediante ecuaciones e
inecuaciones lineales y las resuelve aplicando las propiedades de los sistemas
numéricos, construyendo modelos que permitan generalizar conclusiones acerca
de la utilidad de los algoritmos para resolución de problemas.
 Organiza en forma didáctica situaciones problema, contextualizadas y con base
histórica, en que se utilicen expresiones algebraicas, para darle un sentido utilitario
al aprendizaje del álgebra.
 Manipula software como el graphmatica que le permitirán relacionar el algebra con




la geometría a través de la construcción de gráficos y le proporcionará
herramientas actividades incluyendo el uso de tecnología.
Analiza críticamente los libros de texto de educación matemática en el segundo
ciclo de enseñanza básica, relacionando los contenidos disciplinares y didácticos
expuestos en él con respecto a el tratamiento del lenguaje algebraico y
ecuaciones.
Entiende la modelización algebraica como una capacidad de analizar soluciones
de problemas, generalizarlas y justificar el alcance de ellas, permitiendo además
reducir los tipos de problemas y unificar las técnicas de solución.
Acepta que el lenguaje común y el lenguaje algebraico se relacionan muchas
veces en semántica y sintaxis, pero que su objeto de comunicación son distintos.
Se percata de los posibles errores que un estudiante del segundo ciclo básico
puede cometer al trabajar con lenguaje algebraico y ecuaciones.
Ejemplos:
1. Escribe el modelo algebraico del “nombre de los números”
2. Interpreta geométricamente la identidad  a  b 2  a2  2ab  b2
3. Estudia los tres períodos fundamentales del desarrollo de la notación algebraica,
distinguiendo claramente cada uno de ellos.
4. Planifica una clase considerando la etapa del algebra geométrica, tomando
ejemplos del libro II de Euclides y la resolución propuesta en él.
5. Encontrar la solución de x2  12 x  64 , por el método geométrico de Al-Khawarizmi.
6. Resolver la ecuación x2 10x  9 , por el método de completación de cuadrados.
7. Elabora guías de estudio de lenguaje algebraico y ecuaciones, donde se utilicen las
letras en cada uno de sus seis posibles categorías.
8. Determina y explica los errores cometidos en  a  b 2  a2  b2  2ab y propone
actividades para la corrección de los errores.
9. Resuelve la ecuación 2x  3  7 mediante el uso de la balanza, de un diagrama y
algebraicamente.
10. Resuelve ecuaciones lineales mediante métodos aritméticos, reglas formales,
búsqueda experimental, método de la balanza y resolución en una estructura
algebraica.
11. Construye secuencias didácticas inspiradas en la progresión histórica de los
conceptos a enseñar en el segundo ciclo básico, permitiendo que los niños visualicen
que la matemática evoluciona y que no es una ciencia hecha y fija.
12. Elabora una planificación para introducir a los estudiantes de 8º básico en la
resolución de ecuaciones lineales, mediante modelos concretos y analiza la ventaja y
desventaja del procedimiento en el aprendizaje.
13. Reconoce los obstáculos que produce el aprendizaje del álgebra a nivel básico,
de manera de aportar para que no se repitan en la enseñanza media, ya que articula
su enseñanza con la que el estudiante básico recibirá en los siguientes años de
escolaridad.
14. Elabora actividades donde es posible reconocer que los errores que se producen
en el álgebra muchas veces provienen de la incomprensión de las propiedades
aritméticas de los números.
Subeje 2:
Variaciones Proporcionales
Estándar Nº 14
Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad que se inserta en la
necesidad de describir mediante un único modelo los diferentes tipos de relaciones de
proporcionalidad (segundo nivel de algebrización) justificando la forma actual de la
organización matemática escolar en torno a la proporcionalidad de magnitudes.
De esta organización matemática en torno a la función lineal, se desprenden las tres
relaciones proporcionales que aparecen en la matemática escolar, como son los
conceptos de razón, proporción y magnitudes proporcionales, con sus definiciones,
propiedades, diferentes representaciones, aplicaciones y técnicas de resolución.
A su vez, utiliza los contenidos matemáticos anteriores en función de las necesidades
de aprendizaje de los contenidos del segundo ciclo básico establecidos por el marco
curricular en cuanto a la organización, planificación y evaluación de actividades
contextualizadas y pertinentes para los estudiantes de este grupo, para así lograr un
aprendizaje significativo en todos ellos.
Indicadores de logro
 Estudia con detalle el concepto de razón como un par ordenado de cantidades de
magnitudes, a través de sus distintas utilizaciones, representaciones y conjunto
numérico al que pertenecen.
 Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad a partir del
modelo funcional que describe en un único modelo las tres relaciones de
proporcionalidad clásicas: proporcionalidad directa, inversa y compuesta.
 Demuestra el teorema fundamental de las proporciones y lo utiliza para reconocer
que algunas razones forman una proporción.
 Ejemplifica con situaciones contextuales la no proporcionalidad y proporcionalidad
directa e inversa, permitiendo al estudiante de enseñanza básica entender el para
qué es necesario su aprendizaje.
 Resuelve problemas relacionados con la razón porcentual, entendiendo esta como
una aplicación de la proporcionalidad directa, a través de un cociente constante, en
un contexto cercano a sus estudiantes.
 Utiliza el teorema fundamental de las proporciones para clasificar las distintas
proporciones que se forman al cambiar el orden de los términos y las utiliza para la
resolución de problemas.
 Modela y resuelve problemas de proporcionalidad compuesta, entendiendo esta
como una conjunción entre situaciones de proporcionalidad directa y/o inversa y
una forma económica de resolución de problemas donde estas estén relacionadas.
 Usa las propiedades de las proporciones para resolver problemas geométricos
relativos a segmentos proporcionales, semejanza de triángulos, etc. y así
relacionar la aritmética y el álgebra con la geometría que aprenderá el estudiante
de enseñanza básica, en la enseñanza media.
 Comprende que la regla de tres de una técnica eficaz para la resolución de
problemas de proporcionalidad directa y compuesta, pero que esta “esconde” la
caracterización de los tipos de proporcionalidad.
 Diseña situaciones de enseñanza que permitan a los estudiantes de educación
básica aprender otras herramientas de resolución de problemas acordes el tema






tratado y lograr un aprendizaje significativo en ellos.
Identifica y justifica las razones por las cuales se hace una diferenciación en el
tratamiento del contenido Variaciones Proporcionales entre 6º y 8º año básico.
Diseña diferentes tipos de evaluaciones del contenido del marco curricular
Variaciones Proporcionales, considerando la diversidad de estudiantes en la sala
de clases.
Diseña y elabora unidades didácticas considerando los aprendizajes esperados, de
los contenidos de Variaciones Proporcionales, en cada curso del segundo ciclo
básico, donde el contenido es tratado.
Analiza críticamente los libros de texto de educación matemática en el segundo
ciclo de enseñanza básica, relacionando los contenidos disciplinares y didácticos
expuestos en él con respecto a el tratamiento de las variaciones proporcionales.
Valora la matemática como una herramienta útil y funcional para que los
estudiantes del segundo ciclo de educación básica alcancen contenidos y
aprendizajes para desenvolverse en la sociedad actual.
Aprecia la organización matemática en torno a la proporcionalidad, comprendiendo
su necesidad para la consolidación matemática de los conceptos asociados a ella.
Ejemplos:
1. Resuelve problemas del siguiente tipo: La fuerza de gravedad en la luna es 1/6 de
la fuerza en la tierra. Si una persona es capaz de hacer un salto de altura de 1, 70 mts
y de 4,85 mts de longitud en la tierra, ¿Cuánto podrá saltar en altura y longitud en la
luna?. Aplica el razonamiento de la regla de tres y el razonamiento de función lineal
para hacer los cálculos.
2. Justifica la siguiente regla para el cálculo de porcentaje: Para calcular el p% de un
número a, basta con multiplicar a por el operador decimal de porcentaje (p/100).
3. Demostrar que si
a c
a b cd
 , entonces se cumple que

b d
b
d
4. Analiza el siguiente problema, en relación con las posibles respuestas, formas de
resolver y errores que pueden cometer los estudiantes de 8º básico: Si sube el precio
de 1 kg. de porotos de $520 a $570, ¿Cuál es el porcentaje de aumento en el precio?
5. Dos mangueras de igual caudal, llenan una piscina en tres horas, ¿Cuánto tiempo
se demorarán en llenarla cinco mangueras iguales a las anteriores?
6. Planifica situaciones de enseñanza y aprendizaje, considerando situaciones como
descuento en tiendas comerciales, construcción de obras, ingredientes para elaborar
alimentos, donde el estudiante infiera las características de una variación proporcional
directa, inversa o de no proporcionalidad.
7. Diseña actividades de aprendizaje donde se pone de manifiesto la relación entre la
geometría proporcional y las variaciones proporcionales mostrando que las ramas de
la matemática están relacionadas entre sí.
8. Estudia en los diferentes medios de comunicación donde aparecen porcentajes y
los utiliza para la elaboración de proyectos grupales donde los estudiantes de
educación básica vean la utilidad de aprender el contenido.
9. Elabora una pauta de apreciación para evaluar y calificar el trabajo de proyectos
considerando la diversidad de estudiantes, las diferentes formas de aprender y los
aprendizajes esperados de la unidad variaciones proporcionales en 6º, 7º y 8º básico,
en función de los aprendizajes a alcanzar.
Subeje 3:
Funciones
Estándar Nº 15
Comprende y utiliza el concepto de función de variable real, sus tipos,
representaciones y propiedades, que consolidan la noción de modelización
algebraica, que articula los niveles de educación básica y media, comprendiendo que
no es un tópico a enseñar, pero que es de vital importancia para dar un sustento
teórico al aprendizaje y la enseñanza del álgebra y su utilización en los cursos
superiores de enseñanza media y universitaria. A su vez comprende la importancia de
este concepto dado el enorme campo de aplicaciones prácticas, ya sea en el ámbito
físico, químico o propiamente matemático.
Indicadores de logro
 Analiza situaciones y fenómenos que se pueden modelar utilizando función lineal,
cuadrática o exponencial
 Caracteriza diferentes tipos de funciones (lineal, cuadrática, valor absoluto, raíz
cuadrada, exponencial), basándose en su representación gráfica, su crecimiento o
decrecimiento, dominio y recorrido y analiza su continuidad.
 Construye expresiones algebraicas y/o gráficas para representar fenómenos
físicos, biológicos y/o matemáticos.
 Reconoce la expresión algebraica y gráfica de las funciones lineales, cuadráticas y
exponenciales, traduciendo de un registro a otro.
 Relaciona los sistemas de ecuaciones lineales, con su representación gráfica y sus
posibles soluciones.
 Estudia variados procedimientos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales
y selecciona el más adecuado para el problema a resolver.
 Desarrolla diferentes estrategias (gráficas y/o algebraicas) para detectar si una
relación entre variables es o no una función.
 Investiga la construcción histórica el concepto de función, indicando las diferentes
etapas por las cuales pasó el concepto para su actual definición.
 Explica la relación entre los conceptos de ecuación de primer grado y la función
lineal.
 Identifica que la proporcionalidad directa e inversa son tipos de funciones y lo
verifica mediante el uso de gráficas.
 Valora el aporte de diferentes matemáticos a la construcción de la matemática
como disciplina científica y valida su campo de acción.
 Utiliza software matemático para la graficación de funciones.
 Es capaz de crear estrategias de enseñanza de ecuaciones lineales donde se
relacionen estas con el concepto intuitivo de función lineal.
 Investiga situaciones contextuales relacionadas con funciones lineales, cuadráticas
y exponenciales y su utilización en distintas áreas del conocimiento, como
economía, finanzas, física, química, entre otras.
Ejemplos:
1. Analice la función raíz cuadrada en el intervalo (-4, 0]
2.
Extrae
la
información
pedida
del
siguiente
gráfico
¿Cuántos litros tenía el estanque a la salida?
¿Qué sucedió en el kilómetro 80? ¿Y en el 240?
¿Cuántos litros gastó durante el viaje?
3. Dada la siguiente tabla, escribe la expresión algebraica asociada. Elabora un
gráfico y explicita su dominio y recorrido, ¿A qué conjunto numérico pertenecen?
4. Si el perímetro de un cuadrado es 24 cms.,
Determina distintos valores para cada uno de los lados
¿Cuál es el mayor valor que puede tomar la base? ¿y el menor?
Construye una tabla con los valores anteriores y represéntalos en el plano cartesiano.
¿Cuál es la expresión funcional que está representada en el gráfico anterior?
5. Supón que hoy día vas a un banco y depositas $10.000 en una cuenta de ahorro al
0,3% mensual. Supón, además, que cada mes depositas $1.000 en la misma cuenta
y no retiras fondos, ¿Cuánto dinero tendrás en la cuenta al cabo de un año?, ¿y
después de dos años?
6. En un loteo de sitios rectangulares, el largo de cada terreno tiene 20 m. más que su
ancho. Edmundo recuerda que uno de los terrenos tiene 525 m2 de superficie.
Encuentra las dimensiones del terreno.
7. Desarrolla una exposición de algún matemático que haya contribuido a la formación
de la disciplina, en particular con el concepto de función.
8. Crea una guía de trabajo con un software matemático que relacione las ecuaciones
de primer grado con las funciones lineales.
Asignatura:
Algebra y Funciones
Autor(a)/Universidad:
Alicia Zamorano/Universidad del Bío-Bío
Horas presenciales por semana:
6 (4 teóricas, 2 prácticas)
Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 4
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con
sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con
autonomía para tomar decisiones informadas.
Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le
permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza.
En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que
potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes.
Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la
educación que ofrece su institución escolar
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados con el curso.
El curso de Álgebra y Funciones está diseñado para lograr con especial énfasis los estándares
y competencias que a continuación se indican:
Estándar Nº 13
Identifica el lenguaje algebraico como una relación entre la aritmética y el álgebra y de estos
con el lenguaje común. Da sentido a la notación y uso de las letras (variables) dentro de este
nuevo lenguaje. Relaciona, a su vez, su semántica y sintaxis con símbolos y significados únicos
y que si bien se construyó a partir de las propiedades de los sistemas numéricos, tiene sus
propias particularidades.
Además utiliza el lenguaje algebraico para la resolución de problemas, que se transformarán en
ecuaciones o inecuaciones, mediante la utilización de herramientas como la supresión de
paréntesis, reducción de términos semejantes, factorización y la operatoria básica con
expresiones algebraicas.
También desarrolla la capacidad de generalización del lenguaje algebraico asociado al cálculo
de productos y factores, como son los productos notables y el cálculo de perímetros y áreas de
figuras planas.
Por otra parte, conoce los orígenes históricos del lenguaje, reflexionando en torno al
razonamiento inductivo y su importancia para la articulación de un currículo con sentido, para el
estudiante que lo aprende en el segundo ciclo básico.
De la misma forma para el futuro profesor se hace necesaria la incorporación a su praxis
docente de elementos innovadores como es el uso de materiales didácticos y software
matemáticos, incorporándolos en la organización, planificación y evaluación de actividades que
fomente y mejore los aprendizajes de todos sus estudiantes.
Estándar Nº 15
Comprende y utiliza el concepto de función de variable real, sus tipos, representaciones y
propiedades, que consolidan la noción de modelización algebraica, que articula los niveles de
educación básica y media, comprendiendo que no es un tópico a enseñar, pero que es de vital
importancia para dar un sustento teórico al aprendizaje y la enseñanza del álgebra y su
utilización en los cursos superiores de enseñanza media y universitaria. A su vez comprende la
importancia de este concepto dado el enorme campo de aplicaciones prácticas, ya sea en el
ámbito físico, químico o propiamente matemático.
Competencias del Perfil, Eje 2
Competencia 1: Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de
aprendizaje que es responsable de enseñar.
Competencia 2: Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el
sector curricular que enseña, estableciendo relaciones con el primer ciclo y la enseñanza
media, utilizando este conocimiento para planificar su enseñanza.
Competencia 3: Utiliza los resultados de las investigaciones en su especialidad y de las
Ciencias de la educación para planificar secuencias de enseñanza y evaluación que
contemplan la lógica de los contenidos y el proceso de aprendizaje.
Competencia 5: Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los educandos
y ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas.
El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este
curso:
Estándar 4
Comprende la modelación de situaciones referidas a cuocientes, razones, tasas, proporciones,
probabilidades, repartos y fraccionamientos, por medio del sistema de los números racionales y
sus registros de representación, para aplicarla en la resolución problemas asociados a
fenómenos naturales y sociales, teniendo en vista la organización de su enseñanza.
Estándar 5
Comprende de manera intuitiva los números reales como
partir de los desarrollos decimales infinitos y el modelo de
herramientas conceptuales y procedimentales para la
interpretación de fenómenos referidos a
magnitudes
organización de su enseñanza.
completación de los racionales, a
la recta numérica, disponiendo de
resolución de problemas y la
continuas, teniendo en vista la
Estándar Nº 14
Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad que se inserta en la
necesidad de describir mediante un único modelo los diferentes tipos de relaciones de
proporcionalidad (segundo
nivel de algebrización) justificando la forma actual de la
organización matemática escolar en torno a la proporcionalidad de magnitudes.
De esta organización matemática en torno a la función lineal, se desprenden las tres
relaciones proporcionales que aparecen en la matemática escolar, como son los conceptos de
razón, proporción y magnitudes proporcionales, con sus definiciones, propiedades, diferentes
representaciones, aplicaciones y técnicas de resolución.
A su vez, utiliza los contenidos matemáticos anteriores en función de las necesidades de
aprendizaje de los contenidos del segundo ciclo básico establecidos por el marco curricular en
cuanto a la organización, planificación y evaluación de actividades contextualizadas y
pertinentes para los estudiantes de este grupo, para así lograr un aprendizaje significativo en
todos ellos.
Competencia 4, Eje 2: Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa
para monitorear el avance y logro de las metas de aprendizaje
II. Aprendizajes esperados:
Conceptual
 Generaliza la operatoria aritmética de los sistemas numéricos a operatoria algebraica a
través del uso de símbolos adecuados a la situación, haciendo un paralelo entre lo particular
y lo general.
 Analiza algunos antecedentes históricos sobre la evolución del lenguaje algebraico.
 Reconoce las características del lenguaje algebraico, en cuanto a su construcción y sus
usos y las utiliza para la justificación de la enseñanza y del aprendizaje de este contenido en
el sistema escolar.
 Desarrolla el razonamiento inductivo para la obtención de leyes y propiedades que modelen
la relación entre objetos matemáticos en situaciones contextualizadas.
 Comprende el proceso para llegar a la regla de resolución de la ecuación de segundo grado.
 Entiende la modelización algebraica como una capacidad de analizar soluciones de
problemas, generalizarlas y justificar el alcance de ellas, permitiendo además reducir los
tipos de problemas y unificar las técnicas de solución.
 Caracteriza diferentes tipos de funciones (lineal, cuadrática, valor absoluto, raíz cuadrada,
exponencial), basándose en su representación gráfica, su crecimiento o decrecimiento,
dominio y recorrido y analiza su continuidad.
 Reconoce la expresión algebraica y gráfica de las funciones lineales, cuadráticas y
exponenciales, traduciendo de un registro a otro
 Relaciona los sistemas de ecuaciones lineales, con su representación gráfica y sus posibles
soluciones.
 Analiza diversos procedimientos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales y
selecciona el más adecuado para el problema a resolver.
 Investiga la construcción histórica el concepto de función, identificando las diferentes etapas
por las cuales pasó el concepto para su actual definición.
 Explica la relación entre los conceptos de ecuación de primer grado y la función lineal.
 Identifica que la proporcionalidad directa e inversa son tipos de funciones y lo verifica
mediante el uso de gráficas.
Procedimental
 Construye patrones numéricos y/o geométricos a partir de la generalización de patrones de
repetición.
 Plantea y resuelve ecuaciones utilizando la operatoria algebraica de reducción de términos
semejantes y/o factorización.
 Calcula productos notables, hace factorizaciones y los interpreta numérica y
geométricamente.
 Resuelve ecuaciones con coeficientes numéricos y literales y analiza la existencia de sus
soluciones.
 Modela situaciones problemáticas en contexto mediante ecuaciones e inecuaciones lineales
y las resuelve aplicando las propiedades de los sistemas numéricos, construyendo modelos
que permitan generalizar conclusiones acerca de la utilidad de los algoritmos para resolución
de problemas.
 Crea modelos de expresiones numéricas transformándolas en expresiones algebraicas.
 Construye expresiones algebraicas y/o gráficas para representar fenómenos físicos,
biológicos y/o matemáticos.
 Desarrolla diferentes estrategias (gráficas y/o algebraicas) para detectar si una relación
entre variables es o no una función.
 Analiza situaciones y fenómenos que se pueden modelar utilizando función lineal, cuadrática
o exponencial
 Utiliza software matemático para la graficación de funciones.
 Analiza los sistemas de ecuaciones lineales, en función de las posibles soluciones,
resolviendo posteriormente para comprobar.
Actitudinal
 Valora el aporte de diferentes matemáticos a la construcción de la matemática como
disciplina científica.
 Acepta que el lenguaje común y el lenguaje algebraico se relacionan muchas veces en
semántica y sintaxis, pero que sus objetos de comunicación son distintos.
III. Lecturas Requeridas:
Lectura Obligatoria
 Ayres, F., (2001), Matemáticas Financieras, Mc Graw-Hill, México
 Azcárate, C. y Deulofeu, J. (1990). Funciones y gráficas. Madrid: Síntesis.
 Hall y Knight (1994) Álgebra Superior. UTHEA. México.
 Stewart, J.; Redlin, L. - Watson, S.(2001), Precálculo . Thomson Learning.
Lectura complementaria
 Alcalá, M. (2002 ), La construcción del lenguaje matemático, Editorial Graó, Barcelona.
 Boyer, C. B. (1986), Historia de la matemática. Alianza, Madrid. (Capítulo 1, 2 y 3)
 Socas, M.M., Camacho, M., Palarea, M. y Fernández, J. (1989). Iniciación al álgebra.
Madrid: Síntesis. (Capítulo 1)
IV. Otros recursos:
http://www.oei.es/innovamedia/mat.htm
http://almez.pntic.mec.es/%7Eagos0000/
http://www.programurl.com/software-algebra-one-on-one-downloadnow.html
http://www.oei.es/innovamedia/mat.htm
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique
las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y
competencias del perfil de egreso)
1. Resolución de ecuaciones con coeficientes numéricos y literales y analiza la existencia de
sus soluciones
Estándar 13/Competencia 1
Los estudiantes, resolverán una guía de ejercicios y problemas que involucren el contenido de
de ecuaciones, donde sus coeficientes serán números y letras. Para resolver utilizarán las
propiedades de los números y comprobarán sus soluciones. En las respuestas con valores
literales, analizarán la existencia de las soluciones, según el problema y el conjunto numérico al
que pertenezcan los coeficientes literales.
2. Calcula productos
geométricamente.
notables,
hace
factorizaciones
y
los
interpreta
numérica
y
Estándar 13/Competencia 1
En base a una guía con problemas de cálculo de perímetros y áreas de cuadrados y
rectángulos, con medidas literales, calculan los perímetros y las áreas. Para calcular deben
reducir términos semejantes, aplicar productos notables como cuadrado de un binomio,
reducción de términos con paréntesis. Relacionan el perímetro con una expresión lineal y el
área con una expresión cuadrática.
3. Construcción de expresiones algebraicas y/o gráficas para representar fenómenos físicos,
biológicos y/o matemáticos.
Estándar 13- 15/Competencia 1
El (la) profesor(a) agrupa a los estudiantes en binomios y les entrega problemas
contextualizados como boletas de gasto de electricidad, gas o agua potable, biológicos como el
crecimiento de las bacterias y matemáticos, como una serie de números y a partir de ellas
encuentran las regularidades, escribiendo la expresión algebraica asociada a cada contexto.
Los datos los agrupa en tablas y con la ayuda de un software los grafica.
4. Caracterización de funciones, basándose en sus gráficos, crecimiento, dominio y recorrido
Estándar 13-15/Competencia 1
Los estudiantes, en binomios, a partir de una guía de trabajo con gráficos de distintos tipos de
funciones, entregada por el (la) profesor(a), los caracterizan según el dominio y recorrido,
intervalos de crecimiento y decrecimiento y construyen tablas de valores para escribir la
expresión algebraica asociada.
Pauta para la evaluación clave
EVALUACIÓN CLAVE 1
1. Estándar 13-15-4/ Competencias 1-2-3-5
2. Justificación (¿Por qué tiene que saber esto un/una profesor(a) de segundo ciclo?)
Un(a) profesor(a) de 2º ciclo debe conocer los diferentes matemáticos que han ayudado a la
creación de la matemática como disciplina científica, en particular aquellos que contribuyeron a
la construcción del lenguaje algebraico y el concepto de función. Por otra parte, tendrán que
relacionar las etapas de aprendizaje de los estudiantes con la epistemología de los conceptos
matemáticos y así comprender los obstáculos con los cuales se encuentran los estudiantes de
enseñanza básica.
3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben hacer antes de la evaluación):
Los estudiantes deben:
- Manejar, analizar y seleccionar bibliografía, que sea pertinente con la información necesaria
para realizar la tarea encomendada.
- Manipular a nivel de usuario el computador para buscar la información requerida.
4. Descripción breve de la evaluación
Los estudiantes realizarán una investigación fuera del aula, en forma individual. Esta
investigación consistirá en recopilar información sobre los diversos matemáticos que han
contribuido a lo largo de la historia para la construcción de la disciplina, en particular aquellos
que lograron “algebrizarla”. Además de reconocerán los obstáculos que se desprenden de los
conceptos de lenguaje algebraico y funciones, para comprender algunas dificultades con las
que se encontrará en el momento de enseñar dichos contenidos.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
Buscará en libros de historia de la matemática, diversos matemáticos que contribuyeron al
desarrollo de la disciplina, en particular durante los siglos XV al XIX y así comprender en forma
global los avances matemáticos ocurridos en esa época y la velocidad de su construcción.
Paso 2:
Seleccionará un matemático del cual harán una bibliografía, personal y disciplinar indicando
sus aportes a la matemática y otras disciplinas afines, además que línea de investigación
desarrollaron y como esta área esta hoy incluida dentro de la matemática disciplinar y otras
áreas de investigación.
En cuanto al contenido matemático, explicitará las dificultades para la aceptación de los
conceptos, además de las complicaciones propias de su complejidad matemática.
Paso 3:
Presenta un avance del trabajo realizado ya sea para realizar consultas o para verificar que el
avance del trabajo investigativo está encaminado correctamente.
Paso 4:
Elabora un informe escrito con los pasos anteriores y las conclusiones obtenidas durante el
desarrollo de la investigación, tanto en el ámbito disciplinar como personal para su futura
profesión docente.
6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:
Puntos
1. Revisión bibliográfica pertinente (Estándar 15 / Competencia 1)
10
(rúbrica)
2. Selección pertinente e
investigación profunda
(Estándar 14 / Competencia 1-2)
20
(rúbrica)
3. Avance del trabajo
(Estándar 14 / Competencia 1-3-5)
20
(rúbrica)
4. Informe final
(Estándar 14 / Competencia 1-2)
30
(rúbrica)
5. Autoevaluación
(Competencia 5 )
Total de puntos
_20__
100
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos, habilidades o actitudes (textos, sitios de la red y otros)
- Internet y sitios web coherentes con el tema a investigar
- Biblioteca con textos necesarios para desarrollar la investigación
- Pauta de cómo serán evaluados con los indicadores de elaboración y presentación del
informe
- Tiempo coherente para el desarrollo de la investigación, tanto dentro del aula (para responder
consultas) como fuera de ella para recopilar información y elaboración del informe.
Rúbrica de evaluación:
EVALUACIÓN CLAVE 1
Paso 1
Busca en libros de historia
de la matemática, diversos
matemáticos
que
contribuyeron al desarrollo
de
la
disciplina,
en
particular
durante
los
siglos XV al XIX y así
comprender
en
forma
global
los
avances
matemáticos ocurridos en
esa época y la velocidad
de su construcción.
Paso 2:
Selecciona un matemático
del
cual
hará
una
bibliografía, personal y
disciplinar indicando sus
aportes a la matemática y
otras disciplinas afines,
además indica la línea de
investigación
que
desarrolló.
Explicita las dificultades
para la aceptación de los
conceptos
estudiados,
además
de
las
complicaciones propias de
Insatisfactorio
0 puntos
Básico
1-5 puntos
Competente
5-8 puntos
Destacado
9-10 puntos
Puntos
No
realiza
la
revisión
bibliográfica o lo
que realiza está
fuera del período
histórico
que
interesa estudiar.
La
revisión
bibliográfica
es
escasa, ya que solo
reporta dos o tres
matemáticos
relevantes
o
la
información extraída
de los matemáticos
es insuficiente.
Realiza una revisión
bibliográfica
competente, ya que
investiga a más de
cuatro
personajes
matemáticos,
describiendo
sus
aportes
para
la
construcción de la
matemática.
Realiza
una
revisión 10
bibliográfica competente, ya que
investiga a más de cuatro
personajes
matemáticos,
describiendo sus aportes para la
construcción de la matemática y
relacionándolo
con
la
matemática escolar que le
tocará enseñar.
No
selecciona
ningún matemático
o
el
que
selecciona no está
relacionado con el
tema algebraico o
está relacionado
tangencialmente.
Selecciona
un
matemático, pero no
profundizan en el
aporte
disciplinar,
evidenciando
una
escasa investigación
bibliográfica personal
y de aporte a la
ciencia matemática
Selecciona
un
matemático
e
investiga
a
profundidad
sus
aportes
a
la
construcción de la
matemática. Además
de indagar en las
dificultades de el o
los
conceptos
matemáticos en los
cuales
trabajó,
indicando
su
complejidad
Selecciona un matemático e 20
investiga a profundidad sus
aportes a la construcción de la
matemática. Además de indagar
en las dificultades de el o los
conceptos matemáticos en los
cuales trabajó, indicando su
complejidad
matemática.
Además relaciona los conceptos
estudiados por ese matemático
con
otras
áreas
del
conocimiento
científico
moderno.
su
matemática.
complejidad
(multiplicar por 2)
matemática.
Paso 3:
Presenta un avance del
trabajo realizado ya sea
para realizar consultas o
para verificar que el
avance
del
trabajo
investigativo
está
encaminado
correctamente.
No
presenta
avance del trabajo
o lo que presenta
es solo la revisión
bibliográfica,
sin
mayores
indagaciones.
Presenta un avance
del trabajo, pero este
es pobre en calidad y
cantidad, ya que no
hay profundidad en la
investigación,
sólo
muestra
al
matemático en un
ámbito personal.
Presenta un avance
del
trabajo
destacado, ya que en
el hay evidencias de
una
revisión
bibliográfica
importante
y
la
profundidad
del
estudio
del
matemático
es
adecuada.
Presenta un avance del trabajo 20
destacado, ya que en el hay
evidencias de una revisión
bibliográfica importante y la
profundidad del estudio del
matemático
es
adecuada.
Además que tienen claro las
ideas faltantes para la entrega
del trabajo final.
No
elabora
el
informe escrito, o
solo con alguno de
los
pasos
anteriores,
sin
conclusiones
El informe final no
muestra rigurosidad
ni en su presentación
ni en el contenido
matemático
encontrado,
evidenciando
una
escasa revisión por
parte del estudiante.
El
informe
final
presentado
es
impecable en cuanto
a
presentación,
desarrollo del tema y
rigurosidad
matemática.
El informe final presentado es 30
impecable
en
cuanto
a
presentación, desarrollo del
tema y rigurosidad matemática.
Además de hacer un aporte a su
proyección de la docencia.
(multiplicar por 2)
Paso 4:
Elabora un informe escrito
con los pasos anteriores y
las conclusiones obtenidas
durante el desarrollo de la
investigación en el ámbito
disciplinar como personal
para su futura profesión
docente.
(multiplicar por 3)
Total Puntos
Asignatura:
Didáctica del Álgebra
Autor(a)/Universidad:
Alicia Zamorano/Universidad del Bío-Bío
Horas presenciales por semana: 6 (3 teóricas y 3 prácticas)
Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 6
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con
sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con
autonomía para tomar decisiones informadas.
Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le
permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza.
En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que
potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes.
Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la
educación que ofrece su institución escolar
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados al curso.
El curso de Didáctica del Álgebra, está diseñado para lograr con especial énfasis los
estándares y competencias que a continuación se indican:
Estándar Nº 13
Identifica el lenguaje algebraico como una relación entre la aritmética y el álgebra y de estos
con el lenguaje común. Da sentido a la notación y uso de las letras (variables) dentro de este
nuevo lenguaje. Relaciona, a su vez, su semántica y sintaxis con símbolos y significados
únicos y que si bien se construyó a partir de las propiedades de los sistemas numéricos, tiene
sus propias particularidades.
Además utiliza el lenguaje algebraico para la resolución de problemas, que se transformarán en
ecuaciones o inecuaciones, mediante la utilización de herramientas como la supresión de
paréntesis, reducción de términos semejantes, factorización y la operatoria básica con
expresiones algebraicas.
También desarrolla la capacidad de generalización del lenguaje algebraico asociado al cálculo
de productos y factores, como son los productos notables y el cálculo de perímetros y áreas de
figuras planas.
Por otra parte, conoce los orígenes históricos del lenguaje, reflexionando en torno al
razonamiento inductivo y su importancia para la articulación de un currículo con sentido, para el
estudiante que lo aprende en el segundo ciclo básico.
De la misma forma para el futuro profesor se hace necesaria la incorporación a su praxis
docente de elementos innovadores como es el uso de materiales didácticos y software
matemáticos, incorporándolos en la organización, planificación y evaluación de actividades que
fomente y mejore los aprendizajes de todos sus estudiantes.
Estándar Nº 14
Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad que se inserta en la
necesidad de describir mediante un único modelo los diferentes tipos de relaciones de
proporcionalidad (segundo
nivel de algebrización) justificando la forma actual de la
organización matemática escolar en torno a la proporcionalidad de magnitudes.
43
De esta organización matemática en torno a la función lineal, se desprenden las tres
relaciones proporcionales que aparecen en la matemática escolar, como son los conceptos de
razón, proporción y magnitudes proporcionales, con sus definiciones, propiedades, diferentes
representaciones, aplicaciones y técnicas de resolución.
A su vez, utiliza los contenidos matemáticos anteriores en función de las necesidades de
aprendizaje de los contenidos del segundo ciclo básico establecidos por el marco curricular en
cuanto a la organización, planificación y evaluación de actividades contextualizadas y
pertinentes para los estudiantes de este grupo, para así lograr un aprendizaje significativo en
todos ellos.
Estándar Nº 15
Comprende y utiliza el concepto de función de variable real, sus tipos, representaciones y
propiedades, que consolidan la noción de modelización algebraica, que articula los niveles de
educación básica y media, comprendiendo que no es un tópico a enseñar, pero que es de vital
importancia para dar un sustento teórico al aprendizaje y la enseñanza del álgebra y su
utilización en los cursos superiores de enseñanza media y universitaria. A su vez comprende la
importancia de este concepto dado el enorme campo de aplicaciones prácticas, ya sea en el
ámbito físico, químico o propiamente matemático.
Competencias del Perfil, Eje 2
Competencia 1: Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de
aprendizaje que es responsable de enseñar.
Competencia 2 : Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el
sector curricular que enseña, estableciendo relaciones con el primer ciclo y la enseñanza
media, utilizando este conocimiento para planificar su enseñanza.
Competencia 3: Utiliza los resultados de las investigaciones en su especialidad y de las
ciencias de la educación para planificar secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan
la lógica de los contenidos y el proceso de aprendizaje.
Competencia 4: Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para
monitorear el avance y logro de las metas de aprendizaje.
Competencia 5: Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los educandos
y ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas.
Competencia 6: Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes y
significativas para presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que
enseña.
El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:
Estándar 1
Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las cantidades
discretas, y los distingue de sus formas de representación.
Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del orden y de las
operaciones con números naturales y enteros a partir de propiedades evidentes de los números
y de sus sistemas de representación.
Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas, haciendo uso
eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de las operaciones, el valor absoluto, las
ecuaciones, las inecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el
modelo que construya de la situación.
Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo, aditivas, multiplicativas,
de divisibilidad y restos ligadas a contextos de los programas oficiales de segundo ciclo de
44
distintos sectores curriculares, en los que se utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en
general propiedades de los números naturales o enteros.
.
Estándar 3
Comprende los significados asociados a las fracciones y el concepto de número
racional como elemento de un conjunto cuociente, distinguiendo sus diferencias y
similitudes. Reconoce los números decimales como fracciones cuyo denominador es
una potencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollos decimales finitos y
periódicos como una forma de representación de los números racionales, alternativa a
las fracciones, que facilita los cálculos de las operaciones aritméticas. Comprende la
existencia de cantidades inconmensurables, e identifica los números irracionales con las
expresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos. Reconoce en las distintas
formas de representación de los números una complejidad conceptual
que se
constituye en un obstáculo didáctico.
Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones en los números decimales,
racionales e irracionales, y las visualiza bajo las distintas formas de representación de
estas categorías de números.
Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de la modelación de
situaciones referidas a diferencias y razones entre medidas, mediciones y particiones, repartos
y fraccionamientos, equivalencia de fraccionamientos, cuocientes y restos, tasas y variaciones
proporcionales, probabilidades, medidas grandes y pequeñas, redondeos, aproximaciones,
estimaciones, uso de calculadora y algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo;
para lo cual utiliza el sistema de los números racionales y diferentes registros de
representación, incluyendo expresiones fraccionarias, decimales finitas, infinitas periódicas y no
periódicas, y potencias con exponente entero.
Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas a distintas disciplinas, en el
marco de los programas de estudio de segundo ciclo básico, usando fracciones, decimales y
porcentajes.
Estándar 5
Comprende de manera intuitiva los números reales como completación de los racionales, a
partir de los desarrollos decimales infinitos y el modelo de la recta numérica, disponiendo de
herramientas conceptuales y procedimentales para la resolución de problemas y la
interpretación de fenómenos referidos a
magnitudes continuas, teniendo en vista la
organización de su enseñanza.
Comprende los números complejos como producto cartesiano de los reales en el plano, a partir
del cual se define una operatoria útil, de tipo vectorial que permite resolver situaciones
problemas.
Competencias del Perfil, Eje 2
Competencia 8: Logra identificar, entre sus estudiantes, aquellos con necesidades educativas
especiales que necesitan una enseñanza diferenciada para brindarles los apoyos pedagógicos
apropiados.
Competencia 11: Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo y
manteniendo normas consistentes y consensuadas de disciplina en el aula que potencian el
desarrollo social de los educandos para la vida en una sociedad democrática.
II. Aprendizajes esperados:
45
Conceptual
.Hace referencia al origen histórico del álgebra en la planificación de los contenidos a enseñar,
reconociendo e identificando categorías diferentes de interpretación y uso de letras dentro del
álgebra de manera de explicitar la construcción de la matemática como disciplina científica.
 Identifica y justifica las razones por las cuales se hace una diferenciación en el tratamiento
del contenido Variaciones Proporcionales entre 6º y 8º año básico.
Procedimental
 Organiza en forma didáctica situaciones problema, contextualizadas y con base histórica, en
que se utilicen expresiones algebraicas, para darle un sentido utilitario al aprendizaje del
álgebra
 Analiza críticamente los libros de texto de educación matemática en el segundo ciclo de
enseñanza básica, relacionando los contenidos disciplinares y didácticos expuestos en él
con respecto a el tratamiento del lenguaje algebraico y ecuaciones.
 Ejemplifica con situaciones contextuales la no proporcionalidad y proporcionalidad directa e
inversa, permitiendo al estudiante de enseñanza básica entender el para qué es necesario
su aprendizaje.
 Resuelve problemas relacionados con la razón porcentual, entendiendo esta como una
aplicación de la proporcionalidad directa, a través de un cociente constante, en un contexto
cercano a sus estudiantes.
 Usa las propiedades de las proporciones para resolver problemas geométricos relativos a
segmentos proporcionales, semejanza de triángulos, etc. y así relacionar la aritmética y el
álgebra con la geometría que aprenderá el estudiante de enseñanza básica, en la
enseñanza media.
 Diseña situaciones de enseñanza que permitan a los estudiantes de educación básica
aprender otras herramientas de resolución de problemas acordes el tema tratado y lograr un
aprendizaje significativo en ellos.
 Diseña diferentes tipos de evaluaciones del contenido del marco curricular Variaciones
Proporcionales, considerando la diversidad de estudiantes en la sala de clases.
 Diseña y elabora unidades didácticas considerando los aprendizajes esperados, de los
contenidos de Variaciones Proporcionales, en cada curso del segundo ciclo básico, donde el
contenido es tratado.
 Crea estrategias de enseñanza de ecuaciones lineales donde se relacionen éstas con el
concepto intuitivo de función lineal.
Actitudinal
 Valora la matemática como una herramienta útil y funcional para que los estudiantes del
segundo ciclo de educación básica alcancen contenidos y aprendizajes para desenvolverse
en la sociedad actual.
 Se percata de los posibles errores que un estudiante del segundo ciclo básico puede
cometer al trabajar con lenguaje algebraico y ecuaciones.
III. Lecturas Requeridas:
Lectura Obligatoria
 Alcalá, M. (2005), La construcción del lenguaje matemático, Editorial Graó, Barcelona.
 Alsina, C., Burgués, C, Fortuny, J., Jiménez, J. & Torra, M. (2002), Enseñar
Matemáticas, Editorial Graó, Barcelona.
 Boyer, C. B. (1986), Historia de la matemática. Alianza, Madrid.
46
 Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido
entre la enseñanza y el aprendizaje. Barcelona: ICE-Horsori.
 Grupo Azaquiel, (1991), Ideas y actividades para enseñar álgebra, Editorial Síntesis,
Madrid.
 Mineduc, Marco Curricular de la educación básica, Objetivos Fundamentales y Contenidos
Mínimos Obligatorios de la Educación Básica, (2002), Santiago.
 Orton, A. (1990). Didáctica de las matemáticas. Madrid: Morata/MEC.
 Socas, M., Camacho, M., Palarea, M. & Hernández, J. (1996), Iniciación al Álgebra, Editorial
Síntesis, Madrid.
Lectura Complementaria
 Brousseau, G. (1990) ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la
Didáctica de la Matemáticas? Versión Castellana de L. Puig. España (Primera Parte)
 Gimenez, J., (1997), Evaluación en Matemáticas. Una Integración de Perspectivas. Editorial
Sintesís S.A. Madrid, España.
 Gutiérrez, A., Gómez, A., Godino J. & Rico, L. (1999), Área de conocimiento: didáctica de
las matemáticas, Editorial Síntesis, Madrid.
IV. Otros recursos:
http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros
http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap4/4.1/index.htm#applet
http://ddm.ugr.es/personal/pflores/textos/cLASES/Materiales/Recomendaciones_%20200304.pdf
http://www.comenius.usach.cl/enlacesmatsp/index.php?q=material
http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/335/33590107.pdf
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique
las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y
competencias del perfil de egreso)
1. Revisión y análisis de los programas de estudio de educación matemática, en torno a las
unidades de Proporcionalidad, Perímetro, área y volumen, Ecuaciones de Primer grado y
Lenguaje algebraico.
Estándar 13-14-15/ Competencia 1-3-6
De la totalidad de los estudiantes del curso, el profesor o profesora, los dividirá en 4 grupos.
Cada grupo revisará el programa de un curso del segundo ciclo básico de educación
matemática de 6º a 8º, además de primer año medio. Los integrantes de cada grupo se
dividirán según el número de unidades del curso que contenga los temas de proporcionalidad,
perímetro, área, volumen, ecuaciones de primer grado y lenguaje algebraico, según esten
presentes en cada curso. En cada unidad harán la relación entre los contenidos y los
aprendizajes esperados de ella. Luego lo presentarán al resto del curso, por medio de una
pequeña disertación, para su conocimiento.
2. Diseño de actividades para el aprendizaje del contenido de la unidad de Relaciones de
Proporcionalidad de séptimo año básico, con base en su origen histórico.
Estándar 13-14/ Competencia 1-3-6
47
Los estudiantes en binomios (parejas) investigarán sobre el origen del álgebra y su conexión
con las relaciones de proporcionalidad y diseñarán actividades en función del aprendizaje
esperado “Evalúan y utilizan diversas estrategias para solucionar problemas que implican
variaciones proporcionales de las magnitudes”, que deberán lograr con sus futuros estudiantes.
Elaborarán un pequeño informe que será calificado por el profesor o profesora del curso.
3. Utilización de elementos históricos, didácticos y pedagógicos del contenido de Ecuaciones
de Primer grado, para la planificación de los contenidos a enseñar
Estándar 13-15 / Competencia 1-2-6
Los estudiantes en forma individual elaborarán una unidad didáctica relacionada con la unidad
Números y ecuaciones de octavo año básico, en particular los contenidos “Traducción de
situaciones y problemas a ecuaciones con una incógnita y Uso de propiedades de los números
y de las operaciones para encontrar soluciones” y sus respectivos aprendizajes esperados. La
planificación deberá contemplar las actividades a desarrollar, los materiales a utilizar y el
tiempo destinado para realizar este proceso. La unidad didáctica elaborada será entregada al
profesor o profesora del curso como un informe de trabajo.
Pauta para la evaluación clave
EVALUACIÓN CLAVE 1
1. Estándar 13-14-15/ Competencia 1-2-3-6-8
2. Justificación (¿Por qué tiene que saber esto un/una profesor(a) de segundo ciclo?)
Un(a) profesor(a) de 2º ciclo debe ser capaz de comprender los conceptos matemáticos a
enseñar de álgebra: variaciones proporcionales, lenguaje algebraico, ecuaciones, funciones
para crear situaciones de enseñanza adecuadas a los estudiantes, teniendo el cuenta
distintas metodologías y evaluaciones que permitan lograr aprendizaje en todos sus
estudiantes, considerando la diversidad de estilos de aprendizaje y la utilización de los
contenidos en su realidad inmediata.
3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben hacer antes de la evaluación):
Los estudiantes deben:
- Conocer y comprender los contenidos disciplinares a enseñar (variaciones proporcionales,
lenguaje algebraico, ecuaciones, funciones)
- Manejar la operatoria básica (adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación) de
los diferentes sistemas numéricos para la resolución de diversos problemas.
4. Descripción breve de la evaluación
Cada estudiante, en forma individual, creará un “texto de saber”. El texto de saber consiste en
la elaboración de un informe que considere tanto lo disciplinar como lo pedagógico y didáctico
de los contenidos a enseñar. Este contiene la disciplina matemática que está relacionada con
los aprendizajes a lograr en algún nivel del segundo ciclo básico en una unidad particular que
trate variaciones proporcionales o lenguaje algebraico o ecuaciones de primer grado, el
desarrollo histórico de estos contenidos y el discurso pedagógico didáctico que cualquier
profesor pone en práctica en el aula para la realización de una enseñanza que provoque los
aprendizajes esperados en la unidad.
48
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
Seleccionarán un contenido disciplinar y lo buscarán en el programa del segundo ciclo básico.
Luego de identificar el curso donde se trata, elegirán un aprendizaje esperado.
Paso 2:
Recopilarán la información disciplinar que fundamenta ese aprendizaje. Para esto deberán
hacer una revisión bibliográfica matemática. Al mismo tiempo buscarán el origen histórico de
ese contenido disciplinar mencionando los matemáticos o matemáticas que contribuyeron a la
disciplina.
Paso 3:
Con la información anterior, elaborarán el discurso pedagógico-didáctico que utilizarán en la
sala de clases para el logro del aprendizaje esperado en todos sus estudiantes. En este
discurso traducido en una planificación deben estar presenten las actividades que
desarrollarán, los recursos que se utilizarán, la metodología, los posibles errores y dificultades
a encontrar en el aula, el tiempo a utilizar y la forma de evaluar el proceso.
Paso 4:
Entrega del informe: “texto del saber”
6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:
Puntos
1. Selección del contenido
disciplinar y su relación con
el contenido escolar
(Estándar 13-14-15 / Competencia 1-2)
10 (rúbrica)
2. Revisión bibliográfica
(Estándar 13-14-15 / Competencia 1)
20 (rúbrica)
3. Creación del discurso
(Estándar 13-14-15 / Competencia 1-2-3-6)
20 (rúbrica)
4. Reporte individual
(Estándar 13-14 -15/ Competencia 1-2-3-6)
30 (rúbrica)
5. Autoevaluación
(Competencia 4-5)
_20__
Total de puntos
100
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos, habilidades o actitudes (textos, sitios de la red y otros)
- Biblioteca con textos matemáticos, históricos y didácticos
- Internet y sitios webs coherentes con el contenido matemático y el aprendizaje esperado
- Pauta de cómo serán evaluados con los indicadores de elaboración y presentación del “texto
del saber”
- Tiempo coherente para el desarrollo del proyecto, tanto dentro del aula (para responder
consultas) como fuera de ella para recopilar información y elaboración del texto.
49
50
Rúbrica de evaluación:
EVALUACIÓN CLAVE 1
Paso 1
Selecciona un contenido
disciplinar y lo busca en
los
programas
de
Matemática del segundo
ciclo básico. Luego de
identificar el curso donde
se
trata,
elige
un
aprendizaje esperado.
Paso 2:
Recopila la información
disciplinar
que
fundamenta
ese
aprendizaje. Para esto
hace
una
revisión
bibliográfica matemática.
Al mismo tiempo busca el
origen histórico de ese
contenido
disciplinar
mencionando
los
matemáticos
o
matemáticas
que
contribuyeron
a
la
disciplina.
Paso 3:
Con
la
Insatisfactorio
0 puntos
Básico
1-5 puntos
Competente
5-8 puntos
Destacado
9-10 puntos
No
elige
un
contenido
matemático,
se
remiten
al
contenido escolar,
basando todo su
trabajo en este
contenido escolar.
Elige el contenido
matemático y el
contenido
escolar,
pero hay relación
entre ambos. No
elige un aprendizaje
esperado adecuado.
El contenido escolar
está estrechamente
relacionado con el
contenido disciplinar
y lo identifica con el
curso donde ese
contenido
debe
enseñarse en la
escuela, además se
seleccionar
un
aprendizaje
esperado coherente
con el contenido.
El contenido escolar está 10
estrechamente relacionado con
el contenido disciplinar y lo
identifica con el curso donde
ese contenido debe enseñarse
en la escuela, además se
seleccionar un aprendizaje
esperado coherente con el
contenido.
Paralelo a esto,
hace una reflexión de la
importancia
del
contenido
matemático para comprender
los contenidos escolares y los
aprendizajes que se deben
lograr en el segundo ciclo
básico.
No
recopila
información de los
textos
matemáticos para
la
construcción
del
texto
del
saber.
Recoge información
de distintos textos
disciplinares, pero su
búsqueda
es
superficial
y
no
nombra
a
los
matemáticos
o
matemáticas
que
contribuyeron a la
construcción
del
conocimiento.
La
revisión
bibliográfica
es
exhaustiva.
Hace
una
estrecha
relación entre el
saber disciplinar y el
saber
escolar
escogido. Investiga
sobre
los
matemáticos
que
ayudaron
a
la
construcción de la
matemática.
La revisión bibliográfica es 20
exhaustiva. Hace una estrecha
relación
entre
el
saber
disciplinar y el saber escolar
escogido. Investiga sobre los
matemáticos que ayudaron a la
construcción de la matemática.
Además indaga en los otros
temas
matemáticos
que
trabajaron
los
autores
estudiados, relacionando la
matemática de un curso
determinado
con
sus
conexiones en otras áreas del
conocimiento matemático.
información No
realiza
el Su discurso es pobre Crea
su
Puntos
discurso Crea su discurso pedagógico 20
50
51
anterior,
realiza
el
discurso
pedagógicodidáctico que utilizará en
la sala de clases para el
logro
del
aprendizaje
esperado en todos sus
estudiantes.
En
este
discurso
deben
estar
presenten las actividades
que desarrollarán, los
recursos que se utilizarán,
la metodología, y la forma
de evaluar el proceso.
discurso
pedagógico o es
escasamente
comprensible
para quien lo lee.
(multiplicar por 2)
Paso 4:
Entrega
del
informe: No elaboran el
“texto del saber”
informe escrito, o
solo con alguno
de
los
pasos
(multiplicar por 3)
anteriores,
sin
conclusiones
individuales
ni
grupales
en
el
sentido
pedagógico
y
didáctico, ya que se
centra
en
el
paradigma
conductista, dejando
escaso desarrollo al
trabajo
del
estudiante, ya sea
en forma individual
como grupal.
pedagógico didáctico
acorde
con
los
requerimientos
ministeriales
considerando
los
aprendizajes a lograr
e incluyendo una
evaluación
coherente con la
metodología
empleada en las
actividades
realizadas.
didáctico acorde con los
requerimientos
ministeriales,
considerando los aprendizajes
a lograr e incluyendo una
evaluación coherente con la
metodología empleada en las
actividades realizadas.
Además señala los posibles
errores
y
dificultades
a
encontrar en el aula en el
momento de aplicar este
discurso.
Elaboran el informe
final
,
aunque
deficitario
en
algunos
aspectos
como
la
investigación o la
creación del discurso
Entregan el informe
final con todos los
detalles que se le
pedían: investigación
rigurosa,
discurso
pedagógicodidáctico adecuado
al
curso
y
considerando
los
aprendizajes a lograr
y
evaluación
coherente
Entregan el informe final con 30
todos los detalles que se le
pedían: investigación rigurosa,
discurso pedagógico-didáctico
adecuado
al
curso
y
considerando los aprendizajes
a lograr y evaluación coherente.
Además
concluyen
la
importancia de vincular la
matemática disciplinar con la
escolar.
Total Puntos
80
51
52
Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica: Respuesta a un
Desafío (UCV 0402)
Asignatura:
Geometría del Triángulo y del Cuadrilátero
Autor(a)/Universidad:
Andrés Ortiz/ Universidad de Concepción
Horas presenciales por semana:
7 horas
Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 14 horas
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida
formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para
tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar
las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza.
En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que
potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en
acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que
ofrece su institución escolar
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso.
El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer y las evaluaciones han sido
alineadas con los estándares y competencias del perfil de egreso para la formación inicial de
profesores del segundo ciclo básico. Los siguientes estándares y competencias tienen un énfasis
principal en este curso:
Estándar 6
Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto,
recta, trazo, rayo. Comprende el concepto de distintas figuras geométricas tales como ángulo,
polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan;
distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su
construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y
relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y
demuestra propiedades que permitan calcular áreas de regiones y perímetro de la circunferencia;
reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el
concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos
para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir tesselaciones y así
vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a
la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad y sus civilizaciones en
distintas culturas y épocas.
Organiza, planifica y diseña actividades que guíen los procesos de enseñanza hacia procesos de
conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma comprensiva la
clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y compás en
construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidas
geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas. Diseña
52
53
planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes en el
marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje.
Competencia 1, eje 2:
Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es
responsable de enseñar.
Competencia 2, eje 2:
Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que enseña,
estableciendo relaciones con el primer ciclo y la enseñanza media, utilizando este conocimiento para
planificar su enseñanza.
Competencia 6, eje 2:
Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes y significativas para presentar
ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña)
El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:
Estándar 8
Comprende las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de transformaciones
isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial. Reconoce transformaciones isométricas en
variados contextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y los elementos que la
generaron. Aplica transformaciones y usa simetrías para analizar y resolver problemas geométricos,
así como para ilustrar propiedades de figuras geométricas. Además, está en condiciones de
organizar, planificar, diseñar actividades de aprendizaje basada en la resolución de problemas para
los contenidos presentes en el marco de los planes y programas vigentes en Matemática y de generar
instancias evaluativas de estos aprendizajes.
Competencia 7, eje 2:
Planifica la enseñanza en colaboración con otros profesionales para organizar
experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los estudiantes
integrar el conocimiento, destrezas y métodos de investigación de diversos
sectores de aprendizaje.
II. Aprendizajes esperados
estándares/competencias)
(los
aprendizajes
claves
para
el
logro
de
los
Conceptual
 Comprende los atributos relevantes que estructuran los conceptos de ángulo, triángulo,
cuadrilátero, polígono, circunferencia y círculo y explica las relaciones conceptuales entre ellas.
Deduce la fórmula de área y perímetro de un círculo y circunferencia respectivamente, a partir de
la relación entre un polígono de n lados y la circunferencia.
 Clasifica triángulos y cuadriláteros según longitud de sus lados, medidas de sus regiones
angulares interiores y ejes de simetría. En el caso de cuadriláteros, además la cantidad de pares
de lados paralelos que posee.
 Deduce y demuestra los teoremas referidos a cuadriláteros inscriptibles y circunscriptibles para
reconocer este tipo de cuadriláteros.
53
54
 Reconoce pares de triángulos congruentes utilizando criterios de congruencia.
 Explica, utilizando el concepto de congruencia de figuras, porqué todos los cuadrados son
congruentes entre sí y porqué no todos los rectángulos son congruentes entre sí.
 Utiliza los criterios de congruencia para demostrar propiedades de los elementos secundarios del
triángulo y propiedades de los paralelógramos.
 Deduce y demuestra fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas de regiones planas utilizando
los teoremas de equivalencia; comprendiendo, además, el significado de área relacionándolo con
la medida de la superficie y el de perímetro con la longitud del contorno de la superficie que la
delimita, utilizando las unidades de medida adecuadas.
 Establece un criterio de secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría referidos a
figuras planas señalados en los Planes y Programas de 5° a 8° año básico.
Procedimental
 Resuelve problemas geométricos que involucren propiedades y relaciones fundamentales en
ángulos, triángulos, cuadriláteros y polígonos en la resolución de problemas geométricos.
 Construye con regla y compás diferentes figuras planas, conocidos algunos de sus elementos y
considerando sus características propias; describiendo, además, sus procesos de construcción.
Complementa dichos procesos constructivos utilizando un software de construcción geométrica.
Actitudinal
 Valora los aportes de la geometría euclidiana en las distintas manifestaciones arquitectónicas,
artísticas y estructurales presentes en la humanidad en distintas épocas.
III. Lecturas Requeridas:
Obligatorios
 Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometría elemental”, Ediciones Universidad
Católica de Chile.
 Cano, O (1963) “Geometría”.
 Clemens, S; O’Daffer, P; Cooney, T (1998) “Geometría”, Pearson / Addison Wesley.
 Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria.
 Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley.
 Pogorélov, A. V. (1974) “Geometría elemental”, Editorial Mir.
Complementarios
 Coxeter, H. S. M (1989) “Introduction to geometry”, John Wiley & Sons.
 MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”, MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”, MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”, MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo año básico”, MINEDUC,
2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo año básico”, MINEDUC,
2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”, MINEDUC, 2da ed.
 MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año medio”, MINEDUC, 2da ed.
54
55
IV. Otros recursos:
 http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub=
 http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php
 http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las
principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias
del perfil de egreso)
TRABAJO 1: Construcción geométrica de figuras Estándar 6/ Competencia 1
PUNTOS)
(12
Utilizando sólo regla, compás y hojas construye geométricamente las siguientes figuras:
A. El Triángulo Órtico y la Recta de Euler de un triángulo cualquiera.
B. Las tres circunferencias ex inscritas a un triángulo acutángulo.
C. Construye un triángulo equilátero sobre cada uno de los lados de un triángulo
rectángulo.
Elabora un informe (que incluya introducción, cuerpo principal y conclusiones), que incluya
cada una de las construcciones geométricas realizadas describiendo esta construcción en
lenguaje coloquial y formal como también las respuestas a las siguientes preguntas:




¿el triángulo órtico existe para cualquier tipo de triángulo? Fundamente
Las tres bisectrices interiores de un triángulo son concurrentes en un punto llamado
inscentro, ¿sucede lo mismo con las bisectrices exteriores?
¿Qué ángulo se forma entre la bisectriz interior y la exterior respectiva? Demuestre su
afirmación.
Demuestre que el triángulo equilátero definido sobre la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cualquiera es equivalente a la suma de los triángulos equiláteros definidos
sobre los catetos.
TRABAJO 2: Construcción de figuras utilizando un software geométrico Estándar 6/ Competencias
1- 6 (12 PUNTOS)
2.a) Utilizando Cabri II, construye una “macro” para triángulos equiláteros (macro 1) y
triángulos rectángulos (macro 2).
2.b) En un informe replica dichos procedimientos, pero con regla y compás, y explica porqué
la figura construida es un triángulo equilátero o un triángulo rectángulo.
2.c) Utilizando Cabri II, construye una “macro” para circunferencias inscritas (macro 3) y otra
para circunferencias circunscritas (macro 4) a un triángulo cualquiera.
2.d) Utilizando la macro 3 construye circunferencias inscritas en diferentes tipos de
triángulos, analizando la ubicación del inscentro.
55
56
2.e) Utilizando la macro 4 construye circunferencias circunscritas en diferentes tipos de
triángulos, analizando la ubicación del circunscentro.
2.f)
Construye una circunferencia circunscrita en un triángulo equilátero y analiza la relación
existente entre la longitud del lado del triángulo y la longitud del radio de la
circunferencia
2.g) Entrega un informe que contenga la siguiente información:
 Descripción en lenguaje matemático de las construcciones de una circunferencia
inscrita y una circunscrita.
 Ubicaciones de los centros de las circunferencias inscritas y circunscritas de acuerdo
al tipo de triángulo en donde estén definidas y el dibujo de la construcción que
muestra claramente dichas posiciones.
 La razón entre la longitud del lado de un triángulo equilátero y la longitud del radio de
la circunferencia circunscrita en él.
TRABAJO 3: Figuras congruentes presentes en el arte y arquitectura
7
(8 PUNTOS)
Estándar 6 - 8 / Competencia
Investiga, con arquitectos o diseñadores gráficos, sobre la presencia de las figuras congruentes
(tesselaciones, por ejemplo) en el arte, arquitectura y naturaleza, presentando un informe que
contenga 5 manifestaciones (artísticas, de la naturaleza o arquitectónicas) claramente
referenciadas en donde estén presentes de forma manifiesta las figuras congruentes
TRABAJO 4: Visualización, deducción y demostración de Teoremas de Paralelógramos
Estándar 6 / Competencia 1- 8
(12 PUNTOS)
Elabora un informe en que desarrolla las siguientes actividades:
4.a) Construye en GeoGebra (freeware en español) o en Cabri II (software con licencia) figuras
que permitan visualizar los siguientes teoremas:





El cuadrilátero definido a partir de los puntos medios de los lados de un
cuadrilátero cualquiera es siempre un paralelógramo.
Las diagonales de un paralelógramos cualquiera se dimidian.
Las diagonales de un rombo cualquiera son perpendiculares.
Los ángulos opuestos de un paralelógramos son suplementarios.
Los lados opuestos de un paralelogramo tienen igual longitud
4.b) Demuestra los teoremas anteriores.
4.c) Resuelve un listado problemas en los que estén involucrados teoremas
56
57
VI. EVALUACIONES CLAVES
Evaluación 1
1. Estándar 6 / Competencia 1
2. Justificación:
Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender que el triángulo es una figura
fundamental en la geometría, cuyas características permiten sustentar el estudio de otras figuras
geométricas. Además, y debido a que los procedimientos de construcción de triángulos se basan en
los criterios de congruencia, es necesario que el profesor los aplique en la deducción de las
propiedades y teoremas que deberá enseñar en 2do ciclo. Esto les permitirá entender los procesos de
construcción geométrica de triángulos, posteriormente, de otras figuras geométricas y también las
distintas formas de clasificar triángulos; tema que es abordado como uno de los contenidos mínimos
obligatorios del programa oficial de estudios de 2do ciclo.
3. Pre-requisitos:
Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:
 Comprender y reconocer los conceptos de punto, segmento, recta, rayo, ángulo,
perpendicularidad y paralelismo, figura.
 Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos y segmentos de
medidas determinadas.
 Comprender la noción de simetría y de eje de simetría.
4. Descripción breve de la evaluación:
Los profesores en formación clasificarán triángulos según distintos elementos, reconocerá
pares de figuras congruentes, deducirá propiedades de triángulos y construirá triángulos a
partir de información dada.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1: Clasificación de Triángulos según longitud de sus lados, medidas angulares y número
de ejes de simetría.
Individualmente, clasifican diversos triángulos según medida de sus lados o de sus ángulos interiores.
Identifican además aquellos triángulos en los que es posible descomponerlos en triángulos
congruentes. Relacionan esta propiedad con la simetría, y los clasifican según el número de ejes de
simetría que poseen. Establecen una relación entre estos tres tipos de clasificaciones.
Paso 2: Construcción de los elementos secundarios y deducción de propiedades
Para una colección de triángulos de distintos tipos, construyen geométricamente sus alturas, simetrales
y bisectrices, deducen propiedades de éstas y establecen las condiciones para que se cumplan
(identifican aquellas regularidades propias de determinado tipo de triángulo, por ejemplo). Enuncian
sus resultados como teoremas y los demuestran.
Paso 3: Aplicación de criterios de congruencia para identificar triángulos y polígonos
congruentes.
57
58
Los profesores en formación, mediante la aplicación de los criterios de congruencia, identificarán
figuras congruentes (triángulos y otros polígonos), descomponiéndolas, cuando sea posible, en
triángulos congruentes. Demuestran todas sus afirmaciones.
Paso 4: Construcción de triángulos según condiciones dadas y utilización de criterios de
congruencia para justificar formalmente sus afirmaciones
Construyen geométricamente triángulos a partir de medidas determinadas, o bien, a partir de
elementos dados (trazos que definen lados o elementos secundarios y/o ángulos). Describen sus
construcciones y demuestran sus afirmaciones usando los criterios de congruencia.
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos,
habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):
 Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador).
 Textos escolares de Matemática y Textos de Universitarios de Geometría.
 Planes y programas del subsector Educación Matemática (4to a 8vo básico) y Matemática (1ro
a 3ro medio).
58
59
Rúbrica de evaluación
Paso
Insatisfactorio
(0 puntos)
Básico
(3 puntos)
Competente
(6 puntos)
Destacado
(8 puntos)
Puntos
1
No clasifican triángulos según
medida de sus lados y ángulo; y
Clasifican los triángulos según
medida de sus lados y ángulos; y
Clasifican los triángulos según medida
de sus lados y ángulos; y
Clasifican los triángulos según medida
de sus lados y ángulos; y
8
No descomponen un triángulo
simétrico en dos triángulos
congruentes,
o
bien,
descomponen en triángulos no
congruentes.
Descomponen
simétrico
en
congruentes
Descomponen un triángulo simétrico en
dos
triángulos
congruentes
identificando el eje de simetría.
Descomponen un triángulo simétrico
en
dos
triángulos
congruentes
identificando el eje de simetría; y
No construyen geométricamente
ni alturas, ni bisectrices, ni
simetrales, ni medianas.
Construye geométricamente sólo
algunos
de
los
elementos
secundarios; y
Construye geométricamente todos los
elementos secundarios; y
Tampoco deducen propiedades o
deducen propiedades de forma
incorrecta. (por ej: la altura de
cualquier triángulo es eje de
simetría).
No
identifica
correctamente
figuras congruentes; o bien,
identifica triángulos congruentes,
pero
no
fundamenta
su
respuesta.
No logran deducir propiedades
correctas que involucren los
elementos
secundarios
del
triángulo.
Deducen propiedades correctas que
involucren los elementos secundarios
del triángulo, pero no son capaces de
escribir la propiedad como teorema.
Identifica triángulos congruentes, y
fundamenta
sin
criterios de
congruencia, e
Identifica triángulos
fundamenta
con
congruencia, e
Identifica polígonos congruentes,
pero no descompone los polígonos
en triángulos congruentes.
Construyen
geométricamente
triángulos, dados algunos de sus
elementos principales y describen
su construcción en lenguaje no
formal.
Identifica polígonos congruentes, y
fundamenta mediante descomposición,
pero sin usar criterios de congruencia.
Construyen
geométricamente
triángulos, dados algunos de sus
elementos principales, o dada alguna
característica de éste y describen su
construcción en lenguaje formal.
Demuestran sus afirmaciones en
lenguaje formal.
2
(1,5 x)
3
.
4
Construyen
geométricamente
triángulos dados solamente sus
tres
lados.
Describen
su
construcción en lenguaje no
formal.
un
dos
triángulo
triángulos
congruentes, y
criterios
de
Establecen una relación entre el
número de ejes de simetría y la
clasificación según sus lados.
Construye geométricamente todos los
elementos secundarios; y deducen
propiedades correctas que involucren
los
elementos
secundarios
del
triángulo,
escribiéndolas
como
teorema y demostrándolas.
Identifica triángulos y polígonos
congruentes,
fundamentando
mediante descomposición y criterios
de congruencia de triángulos.
8
Construyen
geométricamente
triángulos dados algunos de sus
elementos (principales o secundarios),
escriben y demuestran su construcción
en lenguaje formal; y
8
Analizan la existencia
soluciones.
TOTAL DE PUNTOS
59
12
de
otras
36
60
EVALUACIÓN 2
1. Estándar 6 / Competencia 1
2. Justificación:
Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender al cuadrilátero, y sus distintas formas de
clasificación, pues es una figura fundamental en la geometría de enseñanza básica. Además, debe ser
capaz de deducir, comprender y demostrar las propiedades de cuadriláteros, pues éstas fundamentan
diversas relaciones métricas. Finalmente, debe comprender, deducir y aplicar las fórmulas para el
cálculo de áreas de regiones delimitadas por cuadriláteros y triángulos.
3. Pre-requisitos:
Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:
 Comprender y reconocer los conceptos de punto, segmento, recta, rayo, ángulo,
perpendicularidad y paralelismo, figura.
 Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos y segmentos de
medidas determinadas.
 Comprender y aplicar el concepto de congruencia y los criterios de congruencia.
 Comprender la noción de simetría y de eje de simetría.
4. Descripción breve de la evaluación:
Los profesores en formación clasificarán cuadriláteros según distintos criterios, deducirán y
demostrarán propiedades de cuadriláteros y construirán cuadriláteros a partir de información
dada. Finalmente, deducirán y aplicarán fórmulas para el cálculo de áreas de regiones
delimitadas por cuadriláteros y triángulos.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
Dada una colección de cuadriláteros convexos, los clasifica como pertenecientes a la familia de los
trapezoides, trapecios o paralelogramos, fundamentando de acuerdo a la cantidad de lados paralelos y
señalando en cada uno el nombre por el cual es identificado en la familia a la que pertenece. Además
dada una colección de paralelogramos los clasifica según el número de ejes de simetría
Paso 2:
En parejas o ternas, construyen un mapa conceptual que relacione los elementos geométricos
involucrados en el concepto de cuadrilátero y en sus clasificaciones.
Paso 3:
Construyen geométricamente cuadriláteros convexos, a partir de elementos dados y/o características
específicas siendo de capaz de escribir formalmente los procesos constructivos. Dada una colección
de cuadriláteros reconoce aquellos que son inscriptibles y circunscriptibles justificando a partir de los
teoremas relativos a la inscriptibilidad y la circunscriptibilidad; además aplica dichos teoremas para
resolver problemas geométricos que involucren este tipo de cuadriláteros.
Paso 4:
Deducen de ellos las propiedades métricas y angulares presentes en los planes y programas de 5°
básico a 1° medio, discuten sus afirmaciones y las enuncian como teoremas, los que finalmente
demuestran.
Paso 5:
60
61
Deducen fórmulas para el área de regiones delimitadas por cuadriláteros y triángulos. Utilizan la noción
de equivalencia de figuras para demostrar sus afirmaciones. Aplican estas fórmulas en la resolución de
problemas geométricos dados.
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos,
habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):
 Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador).
 Textos escolares de Matemática.
 Planes y programas del subsector Educación Matemática (4to a 8vo básico) y Matemática (1ro
a 3ro medio).
61
62
Rúbrica de evaluación
Paso
Insatisfactorio
(0 puntos)
Básico
(3 puntos)
Competente
(6 puntos)
Destacado
(8 puntos)
Pun
tos
1
Clasifica sin fundamentar o clasifica
incorrectamente
al
menos
un
cuadrilátero o al menos uno de los
paralelogramos.
Clasifica la colección de cuadriláteros
sólo señalando la familia a la cual
pertenece según la cantidad de pares
de lados paralelos, sin identificar el
nombre que recibe en la familia
respectiva, y
Clasifica la colección de cuadriláteros
señalando la familia a la cual pertenece
según la cantidad de pares de lados
paralelos, identificando el nombre que
recibe en la familia respectiva, y
Clasifica la colección de cuadriláteros
sólo señalando la familia a la cual
pertenece según la cantidad de pares de
lados paralelos, identificando el nombre
que recibe en la familia respectiva e
identifica correctamente la colección de
paralelogramos, justifica utilizando los
ejes de simetría
8
Elabora
un
mapa
conceptual
estableciendo enlaces entre niveles de
jerarquía contiguos y no contiguos
fundamentando cada enlace.
Construye
geométricamente
cuadriláteros según condiciones dadas,
escribiendo formalmente los pasos y
argumentando
los procedimientos
utilizados en la construcción, y
12
2
Elabora sólo
contenidos.
una
secuencia
de
x 1,5
3
No
construye
geométricamente
cuadriláteros o los construye, sin
argumentar
los
procedimientos
utilizados y sin escribir formalmente
los pasos de la construcción, o
x 1,5
No
reconoce
cuadriláteros
inscriptibles ni circunscriptibles.
No clasifica correctamente la colección
de paralelogramos utilizando los ejes
de simetría como argumento
Elabora
un
mapa
conceptual
estableciendo enlaces entre niveles de
jerarquía contiguos.
Clasifica correctamente la colección de
paralelogramos argumentando con los
ejes de simetría
Elabora
un
mapa
conceptual
estableciendo enlaces entre niveles de
jerarquía contiguos y no contiguos.
Construye
geométricamente
cuadriláteros según condiciones dadas,
escribiendo formalmente los pasos y
argumentando
los procedimientos
utilizados en la construcción, y
Construye
geométricamente
cuadriláteros según condiciones dadas,
escribiendo formalmente los pasos y
argumentando
los procedimientos
utilizados en la construcción, y
No reconoce cuadriláteros inscriptibles
ni circunscriptibles.
Reconoce cuadriláteros inscriptibles y
circunscriptibles argumentando según
los teoremas respectivos.
12
Reconoce cuadriláteros inscriptibles y
circunscriptibles argumentando según los
teoremas respectivos, y
.
4
x 1,5
No deducen propiedades o deducen
propiedades de forma incorrecta. (Por
ej: las diagonales de cualquier
paralelogramo son perpendiculares).
Deducen propiedades para los distintos
tipos de cuadriláteros, sin ser capaces
de enunciarlas como teoremas.
Deducen propiedades para los distintos
tipos de cuadriláteros enunciándolas
como teoremas, pero no son capaces
de demostrarlas.
62
Resuelve problemas geométricos que
involucran cuadriláteros inscriptibles y
circunscriptibles.
Demuestran propiedades para los
distintos tipos de cuadriláteros.
12
63
5
x 1,5
No deducen fórmulas para calcular el
área de una superficie delimitada por
un triángulo ni por un paralelogramo.
No resuelven problemas de cálculo
de áreas.
No deducen la fórmula para determinar
el área de un paralelogramo y un
triángulo.
Resuelven problemas donde se deben
utilizar las fórmulas de área de un
paralelogramo y triángulo.
Deducen la fórmula para determinar el
área de un paralelogramo, un triángulo
y un trapecio, y las aplican para
resolver problemas.
Deducen la fórmula para determinar el
área de un paralelogramo, un triángulo y
un trapecio, y las aplican para resolver
problemas, y
Demuestran la fórmula que permite
calcular el área de un triángulo
equilátero en función de la longitud del
lado.
Explican
las
demostraciones
de
teoremas que utilizan áreas de triángulos
y cuadriláteros (ejemplo: teorema de
Pitágoras y teorema de Ceva)
Total Puntos
63
12
56
VII. PUNTUACION DE LOS PASOS/TRABAJOS PARA LA EVALUACION:
Puntaje de las Evaluaciones Claves
Evaluación clave 1 (estudio del triángulo)
Estándar 6/Competencia 1
Paso 1
8
puntos
Paso 2
12
puntos
Paso 3
8
puntos
Paso 4
8
puntos
_______________________________
TOTAL
36
puntos
Evaluación clave 2 (estudio de los cuadriláteros)
Estándar 6/Competencia 1
Paso 1
8
puntos
Paso 2
12
puntos
Paso 3
12
puntos
Paso 4
12
puntos
Paso 5
12
puntos
_______________________________
TOTAL
56
puntos
64
Asignatura:
Variaciones Proporcionales
Autor(a)/Universidad:
Alicia Zamorano/Universidad del Bío-Bío
Horas presenciales por semana:
6 (4 teóricas y 2 prácticas)
Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 4
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con
sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con
autonomía para tomar decisiones informadas.
Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le
permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza.
En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que
potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes.
Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la
educación que ofrece su institución escolar
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados con el curso.
El curso de Variaciones Proporcionales está diseñado para lograr con especial énfasis los
estándares y competencias del perfil que a continuación se indican
Estándar 14
Estudia la organización matemática en torno a la proporcionalidad que se inserta en la
necesidad de describir mediante un único modelo los diferentes tipos de relaciones de
proporcionalidad (segundo
nivel de algebrización) justificando la forma actual de la
organización matemática escolar en torno a la proporcionalidad de magnitudes.
De esta organización matemática en torno a la función lineal, se desprenden las tres
relaciones proporcionales que aparecen en la matemática escolar, como son los conceptos de
razón, proporción y magnitudes proporcionales, con sus definiciones, propiedades, diferentes
representaciones, aplicaciones y técnicas de resolución.
A su vez, utiliza los contenidos matemáticos anteriores en función de las necesidades de
aprendizaje de los contenidos del segundo ciclo básico establecidos por el marco curricular en
cuanto a la organización, planificación y evaluación de actividades contextualizadas y
pertinentes para los estudiantes de este grupo, para así lograr un aprendizaje significativo en
todos ellos.
Competencia 1, Eje 2: Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del
sector de aprendizaje que es responsable de enseñar.
65
Competencia 4, Eje 2: Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa
para monitorear el avance y logro de los educandos.
El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:
Estándar 1
Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las cantidades
discretas, y los distingue de sus formas de representación.
Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del orden y de las
operaciones con números naturales y enteros a partir de propiedades evidentes de los números
y de sus sistemas de representación.
Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas, haciendo uso
eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de las operaciones, el valor absoluto, las
ecuaciones, las inecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el
modelo que construya de la situación.
Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo, aditivas, multiplicativas,
de divisibilidad y restos ligadas a contextos de los programas oficiales de segundo ciclo de
distintos sectores curriculares, en los que se utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en
general propiedades de los números naturales o enteros.
Estándar 3
Comprende los significados asociados a las fracciones y el concepto de número
racional como elemento de un conjunto cuociente, distinguiendo sus diferencias y
similitudes. Reconoce los números decimales como fracciones cuyo denominador es
una potencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollos decimales finitos y
periódicos como una forma de representación de los números racionales, alternativa a
las fracciones, que facilita los cálculos de las operaciones aritméticas. Comprende la
existencia de cantidades inconmensurables, e identifica los números irracionales con las
expresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos. Reconoce en las distintas
formas de representación de los números una complejidad conceptual
que se
constituye en un obstáculo didáctico.
Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones en los números decimales,
racionales e irracionales, y las visualiza bajo las distintas formas de representación de
estas categorías de números.
Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de la modelación de
situaciones referidas a diferencias y razones entre medidas, mediciones y particiones, repartos
y fraccionamientos, equivalencia de fraccionamientos, cuocientes y restos, tasas y variaciones
proporcionales, probabilidades, medidas grandes y pequeñas, redondeos, aproximaciones,
estimaciones, uso de calculadora y algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo;
para lo cual utiliza el sistema de los números racionales y diferentes registros de
representación, incluyendo expresiones fraccionarias, decimales finitas, infinitas periódicas y no
periódicas, y potencias con exponente entero.
Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas a distintas disciplinas, en el
marco de los programas de estudio de segundo ciclo básico, usando fracciones, decimales y
porcentajes.
Estándar 9
Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidad de trazos, y los utiliza
para fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos. Aplica estos teoremas para
determinar relaciones de semejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar
los teoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas y angulares en la circunferencia.
66
Comprende y aplica las razones trigonométricas para resolver problemas. Construye
homotecias directas e inversas de figuras. Valora uso de la semejanza de figuras en el arte y la
arquitectura.
Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometría proporcional y semejanza en los
planes de estudio de enseñanza básica y media, y es capaz de organizar el proceso de
aprendizaje de estos contenidos para el nivel de Educación General Básica.
II. Aprendizajes esperados
Conceptual
 Analiza con detalle el concepto de razón como un par ordenado de cantidades de
magnitudes, a través de sus distintas utilizaciones, representaciones y conjunto numérico al
que pertenecen.
 Comprende la organización matemática en torno a la proporcionalidad a partir del modelo
funcional que describe en un único modelo las tres relaciones de proporcionalidad clásicas:
proporcionalidad directa, inversa y compuesta.
 Demuestra el teorema fundamental de las proporciones y lo utiliza para reconocer que
algunas razones forman una proporción
 Comprende que la regla de tres de una técnica eficaz para la resolución de problemas de
proporcionalidad directa y compuesta, pero que ésta “esconde” la caracterización de los
tipos de proporcionalidad.
Procedimental
 Resuelve problemas relacionados con la razón porcentual, entendiendo esta como una
aplicación de la proporcionalidad directa, a través de un cociente constante.
 Modela y resuelve problemas de proporcionalidad compuesta, entendiendo esta como una
conjunción entre situaciones de proporcionalidad directa y/o inversa y una forma económica
de resolución de problemas donde estas estén relacionadas
 Usa las propiedades de las proporciones para resolver problemas geométricos relativos a
segmentos proporcionales, semejanza de triángulos, etc. y así relacionar la aritmética y el
álgebra con la geometría que aprenderá el estudiante de enseñanza básica, en la
enseñanza media.
 Utiliza el teorema fundamental de las proporciones para clasificar las distintas proporciones
que se forman al cambiar el orden de los términos y las utiliza para la resolución de
problemas.
Actitudinal
 Aprecia la organización matemática en torno a la proporcionalidad, comprendiendo su
necesidad para la consolidación matemática de los conceptos asociados a ella.
III. Lecturas Requeridas:
A) Lecturas obligatorias
 Bolea, P., Bosch, M., Gascón, J., (2001), La transposición didáctica de organizaciones
matemáticas en proceso de algebrización. Recherches en Didactique des mathématiques,
Vol. 21, nº3, pp. 247-304
 Deulofeu, J., Azcárate C., ( ) Funciones y Gráficas, Editorial Síntesis, Madrid
 Fiol, M. L., Fortuny, J. M., (1990) Proporcionalidad Directa. La forma y el número, Editorial
Síntesis, Madrid
 Grupo Beta, (1997), Proporcionalidad geométrica y semejanza, Editorial Síntesis, Madrid
B) Lecturas complementarias
 Ayres, F., (2001), Matemáticas Financieras, Mc Graw-Hill, México
67
 Boyer, C. B. (1986), Historia de la matemática. Alianza, Madrid.
 Wisniewski, P., Gutiérrez, A., (2004), Introducción a las matemáticas universitarias,
Colección Schaum, Mc Graw Hill.

IV. Otros recursos:
http://matti.usu.edu/nlvm/nav/frames_asid_160_g_1_t_1.html
http://math.rice.edu/~lanius/proportions/index.html
Graphmatica
http://www8.pair.com/ksoft/espanol/grmat16e.zip
http://www.eduteka.org/matecuapoli.php3
http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad4aa.htm
http://descartes.cnice.mecd.es/
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique
las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y
competencias del perfil de egreso)
1. Estudia con detalle el concepto de razón como un par ordenado de cantidades de
magnitudes, a través de sus distintas utilizaciones, representaciones y conjunto numérico al
que pertenecen
Estándar 14-1-3/ Competencia 1
El (la) profesor(a) da a los estudiantes distintas formas de comparar cantidades, llegando a la
comparación por cociente y conociendo su amplio rango de aplicaciones en contextos
cotidianos. Se formaliza la noción de par ordenado, generalizando sus propiedades numéricas
y algebraicas.
2. Caracterización algebraica de la proporcionalidad directa e inversa.
Estándar 14-1-3 / Competencia 1
El estudiante construye tablas con datos de situaciones propuestas por el profesor, donde
estén presentes la proporcionalidad directa e inversa. Generaliza a partir de los datos y escribe
la relación algebraica entre los datos, escribiendo las características de las proporciones
encontradas
3. Resolución de problemas de proporcionalidad compuesta
Estándar 14-1-3 / Competencia 1-4-8
El (la) profesor(a) propone a los estudiantes resolver problemas de proporcionalidad
compuesta, descomponiendo en proporcionalidad directa e inversa. Realiza tabla con los datos
de los problemas y obtenidos a través de la resolución y luego se grafican con algún software
matemático.
4. Relación entre la aritmética y el álgebra con la geometría
Estándar 14-9 / Competencia 1
68
Se le proponen desafíos numéricos, donde tienen que generalizar los datos obtenidos, en
contexto geométricos, como son la relación entre la medida de los lados de un cuadrado y/o
rectángulo con su perímetro y área. Se complican los problemas multiplicando los lados (el
factor puede ser un número natural y fraccionario) por un número dado y conjeturando que
pasa con el perímetro y área. Escriben algebraicamente las relaciones obtenidas.
Pauta para la evaluación clave
EVALUACIÓN CLAVE 1
1. Estándar 14-1-4/ Competencia 1
2. Justificación (¿Por qué tiene que saber esto un/una profesor(a) de segundo ciclo?)
Un(a) profesor(a) de 2º ciclo debe ser capaz de comprender los conceptos de razón y de
variación proporcional: directa, inversa o compuesta, sus propiedades, aplicaciones
contextualizadas o matematizadas y diferentes representaciones ya sea mediante la
construcción de tablas o de gráficos, utilizando software, para así entender la potencia de la
matemática como una herramienta que crea modelos de situaciones contextualizadas,
generalizando los resultados que permiten utilizarlos en contextos similares.
3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben hacer antes de la evaluación):
Los estudiantes deben:
- Conocer y reconocer los números en diferentes contextos de utilización de razones y
proporcionalidad con sus respectivas propiedades.
- Manejar la operatoria básica (adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación) de
los diferentes sistemas numéricos para la resolución de diversos problemas.
- Manipular a nivel de usuario el computador para la utilización de algún software matemático.
4. Descripción breve de la evaluación
Los estudiantes realizarán un proyecto fuera del aula. Este proyecto deberán realizarlo en
forma grupal (no más de 4 estudiantes) y consistirá en la recopilación de datos para conocer y
saber cómo se calcula el I.P.C. (índice de precios al consumidor), cuál es su influencia en el
mercado económico nacional, regional y local y relacionar la matemática estudiada con
aspectos de la cotidianeidad que rodean a las personas. Luego deberán realizar un informe
escrito explicando detalladamente todo el trabajo anterior.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
Buscarán en Internet información acerca de lo que es el I.P.C. ,para que se le utiliza, donde se
utiliza, su incidencia en la economía nacional
Paso 2:
Concurrirán a la institución adecuada (cámara de comercio, secretaría de economía y/o algún
economista) para obtener de fuentes directas cómo se calcula el I.P.C. y cual(es) es(son) la(s)
incidencia(s) de éste en la economía nacional, regional y local.
Paso 3:
Presentan un avance del trabajo realizado ya sea para realizar consultas o para verificar que el
avance del trabajo investigativo está encaminado correctamente.
69
Paso 4:
Elaboración de un informe escrito con los pasos anteriores y las conclusiones obtenidas tanto
en forma grupal como personal del desarrollo del proyecto, en los ámbitos disciplinares,
personales y profesionales.
6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:
Puntos
1. Utilización contextual de concepto
de razón y proporcionalidad
(Estándar 14 / Competencia 1)
10
(rúbrica)
2. Análisis de la situación
(Estándar 14 / Competencia 1)
20
(rúbrica)
3. Reporte grupal
(Estándar 14 / Competencia 1)
20
(rúbrica)
4. Reporte personal
(Estándar 14 / Competencia 1)
30
(rúbrica)
5. Coevaluación
(Competencia 4)
Total de puntos
_20__
100
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos, habilidades o actitudes (textos, sitios de la red y otros)
 Internet y sitios web coherentes con el tema a investigar
 Pauta de cómo serán evaluados con los indicadores de elaboración y presentación del
informe
 Tiempo coherente para el desarrollo del proyecto, tanto dentro del aula (para responder
consultas) como fuera de ella para recopilar información y elaboración del informe.
70
Rúbrica de evaluación:
EVALUACIÓN CLAVE 1
Insatisfactorio
0 puntos
Paso 1
No
busca
la
Buscarán
en Internet información
información acerca de lo pedida en internet
que es el I.P.C. para que
se le utiliza, donde se
utiliza, su incidencia en la
economía nacional
Paso 2:
Concurrirán
a
la
institución
adecuada
(cámara de comercio,
secretaría de economía,
instituciones financieras
y/o algún economista)
para obtener de fuentes
directas cómo se calcula
el I.P.C. y cual(es)
es(son) la(s) incidencia(s)
de este en la economía
nacional, regional y local.
(multiplicar por 2)
Paso 3:
Presentan un avance del
trabajo realizado ya sea
para realizar consultas o
para verificar que el
avance
del
trabajo
investigativo
está
Básico
1-5 puntos
Busca la información
en Internet, pero
solo encuentra lo
que es el IPC o
donde se utiliza o
para que se utiliza
Competente
5-8 puntos
Busca información
en Internet, el tema
buscado y extraen
toda la información
pertinente.
Destacado
Puntos
9-10 puntos
Busca información en Internet,
en
las
páginas
ad-hoc, 10
haciendo referencia a los
organismos
estatales
y
privados donde el tema es de
fundamental importancia.
No asisten a la Buscan
la
institución
en información,
pero
busca
de
la sólo en una o dos
información
instituciones
solicitada
relacionadas con el
tema
del
I.P.C..
Obtienen
fuentes
directas, pero con
una
visión
parcializada de la
importancia de su
cálculo y de su
incidencia
en
la
economía.
Recopilan
la
información
necesaria de todas
las
fuentes
propuestas,
acercándose
completamente a la
importancia
del
I.P.C.
en
la
economía
local,
regional y nacional.
Recopilan
la
información
necesaria de todas las fuentes 20
propuestas,
acercándose
completamente a la importancia
del I.P.C. en la economía local,
regional y nacional y además
concluyen en forma personal la
importancia de este indicador
para su vida personal.
No presentan un El avance del trabajo
avance
del demuestra
las
trabajo
insuficiencias
del
trabajo investigativo
y/o presentación y/o
rigurosidad
El avance del trabajo
es presentado en los
tiempos propuestos,
con la información
pedida y una buena
presentación
El avance del trabajo es 20
presentado en los tiempos
propuestos, con la información
pedida
y
una
buena
presentación profesional. Se
complementa lo pedido con una
71
encaminado
correctamente.
(multiplicar por 2)
Paso 4:
Elaboración de un informe
escrito con los pasos
anteriores
y
las
conclusiones obtenidas a
tanto en forma grupal
como
personal
del
desarrollo del proyecto,
en
los
ámbitos
disciplinares, personales y
profesionales.
(multiplicar por 3)
Total Puntos
No elaboran el
informe escrito, o
solo con alguno
de
los
pasos
anteriores,
sin
conclusiones
individuales
ni
grupales
profesional.
profesional.
visión grupal y personal del
trabajo realizado hasta ahora.
Elaboran un informe
escrito, presentado
de
los
pasos
anteriores,
pero
realizar un análisis
profundo
de
las
consecuencias
económicas
del
I.P.C, tanto a nivel
local, regional y/o
nacional.
Elaboran el informe
escrito, presentando
todos
los
datos
pedidos, con una
adecuada reflexión
de la información
recabada,
tanto
personal
como
grupalmente,
evidenciando
un
buen
trabajo
colaborativo
y
conceptual.
Elaboran el informe escrito, 30
presentando todos los datos
pedidos, con una adecuada
reflexión de la información
recabada, tanto personal como
grupalmente, evidenciando un
buen trabajo colaborativo y
conceptual. Además incluyen
una reflexión para su futura
labor como profesores y como
este trabajo les permitió
concretar su profesionalidad.
72
73
Asignatura:
Aritmética con Naturales y Enteros
Autor(a)/Universidad:
Raimundo Olfos /P.U. Católica de Valparaiso,
Horas presencial por semana: 4 horas teóricas, 2 horas prácticas
Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas.
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida
formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar
decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las
competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En
colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el
desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de
cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su
institución escolar
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionado al curso.
El siguiente estándar y las siguientes competencias tienen un énfasis principal en este curso:
Estándar 2:
Comprende los conceptos de número natural y entero, como entes formales cuyas propiedades están
dadas por los axiomas y las proposiciones que se deducen de ellos.
Comprende la estructura deductiva de los sistemas de números naturales y enteros; reconoce las
propiedades de estos sistemas y es capaz de explorar y deducir algunas propiedades en el marco de la
teoría de números y de la estructura de anillo de los números enteros.
Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y
uso de los múltiplos, los divisores la descomposición en factores primos, la divisibilidad, las potencias y
productos como iteraciones, la representación de grandes y pequeños números, y la estimación y el
redondeo de lo, como también, a los números enteros, sus operaciones, orden y valor absoluto,
atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de
los programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes..
Competencia 1, Eje 2:
Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje
educación matemática que es responsable de enseñar.
Competencia 3, Eje 2:
Planifica secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de los contenidos y
el proceso de aprendizaje, considerando en sus actividades y en la evaluación de estas, los
procesos cognoscitivos.
73
74
El siguiente estándar y la siguiente competencia tienen un énfasis secundario en este curso:
Estándar 1:
Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las cantidades discretas, y
los distingue de sus formas de representación.
Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del orden y de las
operaciones con números naturales y enteros a partir de propiedades evidentes de los números y de
sus sistemas de representación.
Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas, haciendo uso eficiente
del orden, las operaciones, las propiedades de las operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las
inecuaciones, y herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo que construya de
la situación.
Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo, aditivas, multiplicativas, de
divisibilidad y restos ligadas a contextos de los programas oficiales de segundo ciclo de distintos
sectores curriculares, en los que se utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en general
propiedades de los números naturales o enteros.
Competencia 2.Eje 2:
Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que
enseña y utiliza este conocimiento para planificar su enseñanza.
Competencia 6, Eje 2:
Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes para presentar ideas y
conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña.
Competencia 9, Eje 2:
Conoce los principios didácticos que le permiten una gestión eficiente y efectiva en el aula para
optimizar el tiempo dedicado al aprendizaje.
II. Aprendizajes (claves para el logro de los estándares/competencias)
Conceptuales







Describe las nociones de correspondencia biunívoca y función sucesor y reconoce los axiomas de
Peano como propiedades verificables con cantidades discretas.
Explica la construcción inductiva de los naturales y su relación con las propiedades del orden, de
la adición y de la multiplicación.
Caracteriza los números naturales a partir de su descomposición en factores, pudiendo describir y
demostrar algunos aspectos del algoritmo de Euclides y del teorema fundamental de la aritmética.
Define el orden y las operaciones con números naturales a partir de los axiomas de Peano y las
propiedades que se deducen de ellos.
Distingue las situaciones relativas a conteo y cantidad, que dan origen a los números naturales, de
su definición formal, los invariantes asociados y sus sistemas de representación.
Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso de los números naturales en el
segundo ciclo básico, en particular los epistemológicos que se visualizan en el desarrollo histórico
de los números, y planifica actividades para la superación de estos por parte de los alumnos.
Define los números enteros como clases de equivalencia entre pares de naturales y define las
operaciones con números enteros
74
75




Reconoce en los opuestos una propiedad en Z no válida en N, que permite dar solución a las
ecuaciones aditivas.
Aplica la definición del valor absoluto y su representación gráfica.
Distingue las situaciones relativas a ganancias, perdidas, descuentos, aumentos, descensos y
orden de magnitud.que dan origen a los números enteros, de su definición formal, los invariantes
asociados y sus sistemas de representación.
Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso de los números enteros en el
segundo ciclo básico en particular los epistemológicos que se visualizan en el desarrollo histórico
de los números,.
Procedimentales
 Demuestra propiedades de los naturales usando técnicas de inducción, lógica inferencial,
cuantificadores, razonamiento deductivo y conceptos de teoría de conjuntos.
 Prueba que el orden es una relación de orden total en N.
 Conjetura y refuta o demuestra propiedades del orden, la adición, la multiplicación, los múltiplos, los
divisores, la divisibilidad, el MCM y el MCD.
 Organiza secuencias de enseñanza y materiales para el estudio de los múltiplos, los divisores y la
descomposición en factores primos atendiendo a los programas de estudio del segundo ciclo
básico y la disponibilidad de recursos computacionales.
 Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión
y uso de la divisibilidad, las potencias y productos como iteraciones, la representación de grandes
y pequeños números, y la estimación y el redondeo, atendiendo a los obstáculos didácticos
asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del
segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.
 Diseña actividades y secuencias de evaluación referidas a la comprensión y uso de la divisibilidad,
las potencias y productos como iteraciones, la representación de grandes y pequeños números, y
la estimación y el redondeo, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos,
a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los enfoques
cognoscitivos actuales de los aprendizajes.
 Prueba que Z es un conjunto ordenado y el orden es total
 Deduce que ( Z,+,*) es un anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero.
 Planifica actividades para la superación de obstáculos didácticos asociados a la comprensión y
uso de los números enteros en el segundo ciclo básico por parte de los alumnos.
 Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza y materiales para el estudio
de los números enteros, sus operaciones, orden y valor absoluto, atendiendo a los obstáculos
didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales
del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.
 Diseña actividades y secuencias de evaluación para el estudio de los números enteros, sus
operaciones, orden y valor absoluto, atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos
conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales del segundo ciclo y a los
enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.
 Selecciona con criterio pedagógico problemas
que se resuelven usando ecuaciones e
inecuaciones aditivas y multiplicativas en Z, justificando los procedimientos por medio de
propiedades
Actitudinales

Valora los sistemas numéricos N y Z como teorías útiles para modelar situaciones referidas a
cantidades positivas y negativas.
III. Lecturas Requeridas:
75
76
Lecturas Obligatorias:
Campbell, S., & Zazkis, R. (2002). Toward number theory as a conceptual field. In Campbell, S., &
Zazkis, R. (Eds.) Learning and teaching number theory: Research in cognition and instruction (pp. 1-14).
Journal of Mathematical Behavior Monograph. Westport, CT: Ablex Publishing.
Chuaqui, R. (1980). ¿Qué son los Números? El método axiomático. Universitaria. Santiago
Gentile, E. (1985). Aritmética Elemental. OEA. Washington.
Kamii, Constante (1989). Reinventando la Aritmética II. Ed. Visor Distribuciones, Madrid.
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto año básico. Santiago, Chile
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto año básico. Santiago, Chile
MINEDUC,(1998). Planes y programas de estudio para séptimo año básico. Santiago, Chile
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo año básico. Santiago, Chile
Zazkis, R. y Campbell, S. (1996) Divisibility and Multiplicative Structure of Natural Numbers: Preservice
Teachers’ Understanding. En Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 27. Nº 5 pp 540-563
Textos Complementarios
Bravo, R. (1971). Fundamentos de los Sistemas Numéricos. Interamericana. Primera Edición, Ciudad de
México.
Boyer, C.B. (1986) Historia de la matemática. Alianza Editorial, Madrid, (3ª impresión 2003).
Burton, D. (1967). Introduction to Modern Abstract Álgebra. Addison Wesley Pub. Co.
Castro, E., Rico, L. y Castro, E. (1995). Estructuras Aritméticas Elementales y su Modelización. Una
Empresa Docente. Bogotá.
Courant, R y Robbins, H. (1996). What is mathematics ? Oxford University Press.
NCTM (1989). Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática.
Niven, I. y Zuckerman, H. (1969) Introducción a la Teoría de los Números. Limusa. México.
Parent, D. P. (1984) Exercises in Number Theory. Springer-Verlag, New York.
Rico, L. (1998) Conocimiento Numérico y Formación del Profesorado. En Revista de Educación de
la Universidad de Granada. Vol. 11 Granada.
Scheinermann, E. (2001). Matemáticas discretas. Thompson Learning
Trejo, C. (1968) El Concepto de Numero. Serie de Matemáticas. Monografía Nº 7. OEA Washington,
D.C.
IV. Otros recursos
Cid, E., Godino, J.D. y Batanero, C. (2003) Sistemas numéricos y su didáctica para maestros.
Universidad de Granada. . En http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/
76
77
V. Trabajos requeridos al alumno para lograr estándares y competencias del
perfil
1. Modelación y deducciones en los naturales
Estándar 2
El estudiante elabora un informe, en conformidad a los siguientes requerimientos
 Dadas situaciones referidas a ordinales y cardinales, el alumno identifica las propiedades
comunes, tales como la existencia de un primer elemento, y la existencia y unicidad de los
sucesores. Tras la institucionalización por parte del profesor, el estudiante comparte verbalmente
con sus pares las nociones de correspondencia biunívoca y función sucesor. Y luego las describe
por escrito
 Tras analizar situaciones de iteración, como la recurrencia en la programación computacional y los
fractales, discute y explica por escrito la construcción inductiva de los naturales
 Tras estudiar las propiedades iniciales de los naturales como conjunto inductivo, elabora al menos
dos demostraciones referidas al orden, la adición o la multiplicación en N y explica el significado
del axioma de inducción.
2. Análisis de conjeturas y elaboración de demostraciones
Estándar 2
El estudiante entrega un informe atendiendo a las siguientes solicitudes:
 Tratada la descomposición de los naturales en factores, el estudiante propone y prueba
conjeturas, siendo conducido a encontrar propiedades relativas a la descomposición en factores,
el algoritmo de Euclides y el teorema fundamental de la aritmética.
 A partir del análisis de los números naturales (o enteros) y la deducción de algunas propiedades, el
estudiante es desafiado a conjeturar, refutar, verificar y discutir demostraciones sobre propiedades
del orden, la adición, la multiplicación, los múltiplos, los divisores, la divisibilidad, el MCM y el MCD.
3. Análisis del anillo (Z,+,*) como modelo y teoría.
Estándar 2
El estudiante entrega un informe atendiendo a las siguientes requerimientos:
 Tras reconocer los números enteros como modelo de situaciones referidas a “traslaciones” y a
“cantidades negativas y positivas”, el estudiante identifica la construcción axiomático deductiva de
Z y sus operaciones a partir de N. Demuestra las propiedades algebraicas del anillo.
 El estudiante analiza la veracidad de conjeturas acerca del valor absoluto, muestra situaciones
referidas a las conjeturas y demuestra o refuta según corresponde.
4. Simulación de tareas recursivas en el computador Competencia 2.9
El estudiante expone ante sus compañeros, atendiendo al siguiente requerimiento:
 El estudiante indaga sobre el uso de un lenguaje (LOGO, Visual Basic) y lo utiliza para
simular tareas recursivas, las cuales comparte con sus compañeros ( Podría ser también
en pseudo-lenguaje, sin computador).
Pauta para la Evaluación Clave
Se contemplan dos evaluaciones claves: una prueba sobre conjeturas y demostraciones, y un
informe referido a planificaciones de clases.
77
78
Evaluación clave 1. Prueba: Conjeturas, refutaciones y demostraciones en N y Z.
1. Estándar 2/ Competencia 1, Eje 2
2. Justificación:
El profesor de matemáticas de segundo ciclo básico debe comprender en qué consiste el trabajo
matemático, por ello debe ser capaz de formular desafíos y argumentar su veracidad, para así favorecer
el desarrollo de estas habilidades en sus alumnos.
3. Pre-requisitos:
El profesor debe comprender las propiedades básicas de los números naturales y enteros, y de sus
operaciones. Además, debe comprender las exigencias lógicas de los procesos deductivos.
4. Descripción breve de la evaluación:
Los profesores en formación son sometidos a una prueba o evaluación escrita en la que deben
enfrentarse a conjeturas y hacer demostraciones o refutaciones acerca de los números naturales
y enteros, sus operaciones y propiedades, en un tiempo delimitado.
5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.
Paso 1: Algoritmo de Euclides y Teorema Fundamental de la Aritmética
Estándar 2.
 Demuestran algunos lemas o parte de la demostración del algoritmo de Euclides o del Teorema
fundamental de la aritmética, justificando los pasos correspondientes.
Paso 2: Propiedades de los números naturales y sus operaciones
Estándar 2.
 Analizan conjeturas sobre propiedades del orden, la adición, la multiplicación, los múltiplos, los
divisores, la divisibilidad, el MCM y el MCD y proveen contraejemplos para refutar las
inapropiadas.
 Analizan una demostración por inducción con errores acerca de la cancelación, asociatividad o
conmutatividad de la suma, señalen los errores y corrigen la demostración
Paso 3: Propiedades de los números enteros y sus operaciones
Estándar 2.
 Prueban o dan contraejemplos de conjeturas relativas al orden o al valor absoluto en Z.
Paso 4: Propiedades de la estructura algebraica de los números enteros
Estándar 2.
 Demuestran la asociatividad o conmutatividad en el anillo (Z,+,*) a partir de su validez en los
naturales.

Deducen algunas propiedades del anillo Z, con uno y sin divisores de cero.
6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Antes de la prueba estudiarán demostraciones a partir de guías de trabajo, tendrán
tiempo para consultas y dispondrán de ejemplos detallados de demostraciones. Durante
la prueba no podrán tener material de consulta y será resuelta individualmente.
78
79
Rúbricas de evaluación
Criterio
Prueba,
justificando, un
lema o parte del
algoritmo de
Euclides o del
Teorema
fundamental de
la aritmética
Elabora
contraejemplos
para refutar
conjeturas que
no son teoremas
Insuficiente
0
Básico
3
Competente
6
Destacado
8
Ptos
No es capaz de
estructurar la
demostración
Reconstruye la
demostración,
pero comete
errores lógicos
que la invalidan.
No justificando
correctamente
Elabora la
demostración,
pero comete
algunas faltas
formales
o errores de
justificación
Construye la
demostración
completa y sin
errores, y
justifica
adecuadamente.
Confunde las
propiedades de
N con
proposiciones
falsas
Identifica menos
del 60% de las
conjeturas que
no son
propiedades en
los naturales
Identifica sobre
el 60%, pero no
todas las
conjeturas
inconducentes a
teoremas.
Distingue todas
las conjeturas
que son teorema
de las que no lo
son, proveyendo
los
contraejemplos.
No comprende
la demostración
inductiva
No es capaz de
identificar
adecuadamente
los errores de la
demostración
Identifica los
errores de la
demostración,
pero no los
corrige
adecuadamente
Identifica los
errores de la
demostración, y
los corrige
adecuadamente
8
No provee
contraejemplos
ni demuestra
Distingue menos
del 60% de los
teoremas
Construye
contraejemplos y
demuestra
correctamente
todas las
conjeturas
8
Demuestra la
asociatividad o
conmutatividad
en Z a partir de
N
No provee una
demostración o
sólo provee un
esbozo.
Provee una
demostración
incompleta o
bien con
errores lógicos.
Distingue al
60% de los
teoremas y
provee
contraejemplos,
a las conjeturas
inadecuadas.
Provee una
demostración
completa, con
errores leves,
formales
Deduce alguna
propiedad en el
anillo Z sin
divisores de cero
TOTAL DE
PUNTOS
No elabora una
demostración
Elabora una
demostración
con errores
lógicos
Elabora
demostración
con errores
formales
Elabora una
demostración
completa, sin
errores
Identifica errores
en una
demostración
inductiva en N
(cancelación,
asociativa,
conmutativa) y
los corrige.
Analiza conjeturas sobre el
orden o el valor
absoluto en Z
Provee una
demostración
completa, sin
errores.
8
4
4
8
40
Evaluación clave 2. Planificación de actividades de aprendizaje.
1. Estándar 2, Competencias 2, 3 y 6/Eje 2.
79
80
2. Justificación:
Es prioritaria la coherencia entre la matemática pura y la matemática escolar, de modo que la
asignatura no pierda su esencia. El profesor debe articular el saber puro con el saber a
enseñar, y nada mejor que hacerlo en el mismo momento que se aprende. Esta evaluación se
inspira en la reflexión sobre ¿Qué es lo importante sobre los números que debe ser enseñado
en el segundo ciclo básico?.
3. Pre-requisitos:
El profesor debe conocer los programas de estudio y los saberes previos de los alumnos que podrían
poner en juego para llegar al nuevo conocimiento. Estos saberes incluyen elementos de lógica, como el
modus ponens, la sustitución, el modus tallens y la equivalencia entre una proposición y su
contrarecíproca.
4. Descripción breve de la evaluación:
Los profesores elaboran una secuencia de actividades y de evaluación en torno a un tema de la
matemática escolar, de modo que conserve lo esencial del conocimiento matemático puro que le
precede. Esta planificación de clases se referirá a los números naturales o enteros, dispondrá de
7 días para prepararla, una vez que haya consultado las orientaciones didácticas de los
programas de estudio, revisado textos escolares, y analizado los obstáculos didácticos
asociados al tema según lo establece la literatura.
5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.
Paso 1: Delimitación del tema a tratar y de la evaluación asociada.
estándar 2, comp.2.
 Una vez trabajado en clases la descomposición en factores primos, la divisibilidad, las potencias y
productos como iteraciones, y el anillo Z, el estudiante analiza actividades de aprendizaje sobre
estos conceptos en los programas de estudio y textos escolares del segundo ciclo básico.
Paso 2: Análisis del tema en los Programas y textos de estudio.
estándar 2, comp..6.
 Analiza el tema teniendo en consideración el saber matemático presente en los conceptos tratados
en los programas de estudio oficiales..
Paso 3: Análisis de los obstáculos didácticos asociados al tema.
estándar 2.
 Analiza las actividades teniendo en consideración los obstáculos didácticos asociados a los
conceptos tratados y las orientaciones didácticas entregadas por los programas de estudio.
Paso 4: Elaboración de secuencia de actividades de aprendizaje.
estándar 2, comp.3.
 Planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen la comprensión y uso de
tales conceptos atendiendo a los antecedentes anteriores, a los enfoques cognoscitivos actuales
de los aprendizajes, y a la disponibilidad de recursos computacionales.
6.
Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):


Programas de estudio del 2º Ciclo Básico.
Textos escolares de 2º Ciclo Básico.
Rúbricas
80
81
Criterio
Insuficiente
0
Básico
3
Competente
6
Destacado
8
Las actividades
son coherentes
con los
aprendizajes
seleccionados
del los
Programas
Las actividades
mantienen en
esencia el saber
matemático
contenido en los
aprendizajes
esperados
No formula
actividades que
pongan en juego
conocimientos
previos
Actividades que
ponen en juego
saberes, pero
que no
conducen a los
aprendizajes
seleccionados
Las actividades
no se relacionan
con los saberes
matemáticos
asociados a los
aprendizajes
esperados
Actividades
relacionadas con
los aprendizajes
esperados pero
no a partir de
saberes previos.
8
Las actividades
tienen en
consideración
los obstáculos
didácticos sobre
el tema y son
coherentes con
las sugerencias
didácticas de
los Programas.
La secuencia de
actividades es
consistente con
los enfoques
cognitivos
actuales sobre
aprendizaje en
matemática
Y contempla el
uso adecuado
de tecnología.
TOTAL DE
PUNTOS
No propone
actividades de
aprendizaje, en
que los alumnos
pongan en juego
saberes para
construir o
consolidar
nuevos saberes.
Las actividades
no se ajustan a
las sugerencias
del programa ni
tienen en cuenta
los obstáculos
didácticos
asociados al
tema.
Actividades que
ponen en juego
conocimientos
previos y
apuntan a los
aprendizajes
esperados
Las actividades
se relacionan
claramente con
los saberes
matemáticos
asociados a los
aprendizajes
esperados
Las actividades
se ajustan a las
sugerencias del
programa y
tienen en cuenta
los obstáculos
didácticos
asociados al
tema.
Las actividades
no atienden los
principios
básicos sobre el
aprendizaje
Las actividades
se limitan a
atender
principios de
aprendizaje
conductistas.
Las actividades
son consistentes
con los enfoques
cognitivos
actuales sobre
aprendizaje en
matemática
Y contemplan el
uso adecuado
de tecnología.
8
No formula
actividades
relacionadas con
los aprendizajes
esperados.
Las actividades
se relacionan
parcialmente
con los saberes
matemáticos
asociados a los
aprendizajes
esperados.
Las actividades
se ajustan a las
sugerencias del
programa o bien
tienen en cuenta
los obstáculos
didácticos
asociados al
tema, pero no
ambas.
Las actividades
tienen en cuenta
principios socio
cognitivos
actuales acerca
del aprendizaje
de la
matemática
Ptos
8
8
32
VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:
Puntos:
1. Informe escrito Modelación y deducciones en N
(Estándar 2, comp.. 2,1)
6
2. Informe escrito Conjeturas y demostraciones en N (Estándar 2, comp.. 2,1)
8
3. Informe escrito El anillo (Z,+,*) modelo y teoría
(Estándar 2, comp.. 2,1)
8
4. Exposición simulación recursiva computacional
(Competencia 2.9))
6
5. Prueba individual
(Evaluación clave1, Estándar 2, comp. 2,1) 40
6. Planeamiento de la enseñanza
(Evaluación Clave2, Comps 2.2, 2,3 y 2,6) 32
Total de puntos:
100
81
82
Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica: Respuesta a un Desafío
(UCV 0402)
Asignatura:
Didáctica de la Geometría.
Autor(a) / Universidad:
María del Valle y Andrés Ortiz/Universidad de Concepción
Horas presenciales por semana:
6
Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 4
Nuestra Visión Profesor Especialista para el Segundo Ciclo Básico
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida
formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para tomar
decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las
competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En
colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el
desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de
cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su
institución escolar
I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso:
La asignatura de “didáctica de la geometría” tiene como misión que los futuros profesores de 2° ciclo
que se desempeñarán en el subsector Educación Matemática se apropien de los saberes que permiten
promover aprendizajes en la disciplina, en que los procesos de mediación liderados por el profesor,
adquieren una importancia fundamental al interior del aula. En los estándares que se listan a
continuación, se han destacado aquellos contenidos en los que se centrará la asignatura.
Estándar 6: Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de
punto, recta, trazo, rayo. Comprende el significado de distintas figuras geométricas tales como ángulo,
polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas delimitan;
distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través de su
construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus propiedades y
relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y
demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas y
unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia de figuras en el
plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos para determinar si dos figuras son congruentes,
como también para construir tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes
manifestaciones del arte y la arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la
realidad de la humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.
Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos de enseñanza hacia procesos de
conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma comprensiva la
clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y compás en
construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidas geométricamente
o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de
enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes en el marco de los
programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca del aprendizaje.
82
83
Estándar 7: Comprende los conceptos referidos a rectas y planos paralelos y perpendiculares en el
espacio que permitan deducir y demostrar las propiedades involucradas en ellos; como también
comprende el concepto de ángulo diedro. Comprende, aplica y fundamenta las diferentes clasificaciones
de cuerpos en el espacio, y determina propiedades y relaciones en ellas. Reconoce y clasifica los
cuerpos poliedros, identificando sus elementos principales. Es capaz, además, de fundamentar y aplicar
el Principio de Cavalieri en la determinación de fórmulas de volumen de cuerpos geométricos. Calcula
volúmenes y áreas de superficie, y aplica estos conocimientos a situaciones concretas, y resuelve
problemas relacionados con figuras en el espacio. Organiza el proceso de aprendizaje de cuerpos
geométricos a través de una mediación efectiva que considera planificaciones con una alta consistencia
interna, involucradas en la conceptualización de los objetos geométricos, la deducción de propiedades y
relaciones, y la aplicación de éstas en la resolución de problemas. Además, es capaz de justificar la
organización de los contenidos geométricos en los planes de estudio de la enseñanza básica, y
comprende la vinculación que ésta tiene con los contenidos vistos en enseñanza media.
El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:
Estándar 8: Comprende las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de
transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial. Reconoce transformaciones
isométricas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y los elementos
que la generaron. Aplica transformaciones y usa simetrías para analizar y resolver problemas
geométricos, así como para ilustrar propiedades de figuras geométricas. Además, está en condiciones
de organizar, planificar, diseñar actividades de aprendizaje basadas en la resolución de problemas para
los contenidos presentes en el marco de los planes y programas vigentes en Matemática y de generar
instancias evaluativas acerca de estos aprendizajes.
Estándar 9: Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidad de trazos, y los
utiliza para fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos. Aplica estos teoremas para
determinar relaciones de semejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar los
teoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas y angulares en la circunferencia. Comprende
y aplica las razones trigonométricas para resolver problemas. Construye homotecias directas e inversas
de figuras. Valora uso de la semejanza de figuras en el arte y la arquitectura.
Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometría proporcional y semejanza en los planes
de estudio de enseñanza básica y media, y es capaz de organizar el proceso de aprendizaje de estos
contenidos para el nivel de Educación General Básica.
Considerando que los 4 estándares mencionados, en lo que a didáctica se refiere, centran su interés en
“organizar los contenidos disciplinarios con propósitos de su enseñanza para el aprendizaje”, para todos
y cada uno de ellos es necesario desarrollar las siguientes competencias, que emanan del perfil, eje 2:

Competencia 2
Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que
enseña, estableciendo relaciones con el primer ciclo y la enseñanza media, utilizando este
conocimiento para planificar su enseñanza

Competencia 3
Utiliza los resultados de las investigaciones en su especialidad y de las ciencias
de la educación para planificar secuencias de enseñanza y evaluación que
contemplan la lógica de los contenidos y el proceso de aprendizaje.
83
84

Competencia 4
Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para monitorear el avance y
logro de las metas de aprendizaje;

Competencia 5
Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los educandos y ajustar sus
planificaciones y estrategias didácticas;

Competencia 6
Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes y
significativas para presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del
nivel que enseña

Competencia 7
Planifica la enseñanza en colaboración con otros profesionales para organizar
experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los estudiantes
integrar el conocimiento, destrezas y métodos de investigación de diversos
sectores de aprendizaje;

Competencia 9
Conoce los principios didácticos que le permiten una gestión eficiente y efectiva
en el aula para optimizar el tiempo dedicado al aprendizaje.

Competencia 10
Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo y manteniendo normas
consistentes y consensuadas de disciplina en el aula que potencian el desarrollo social de los
educandos para la vida en una sociedad democrática; y
II. Aprendizajes esperados (aprendizajes claves para el logro de los estándares y las competencias):
Conocimiento
 Reconoce que existen diferentes acercamientos teóricos que pueden perfilar una forma de instalar
conocimiento.
 Reconoce que el proceso de “reducción didáctica” tiene una fundamentación teórica proveniente del
ámbito psicológico, curricular, evaluativo, entre otros.
 Caracteriza una forma de instalar el conocimiento geométrico en niños y/o preadolescentes de
enseñanza general básica, de modo tal se desarrollen habilidades fundantes del intelecto, tales
como la habilidad para resolver problemas, la capacidad argumentativa, la creatividad, la autonomía
personal para la toma de decisiones, entre otras.
 Analiza los conceptos geométricos erróneos que dificultan el aprendizaje de otros contenidos,
diseña y planifica estrategias de intervención para remediar esta situación;
 Analiza los conocimientos y aprendizajes previos que permitan instalar un conocimiento geométrico
específico.
Procedimentales

Establece criterios de secuencialidad en distintos contenidos de geometría presentes en los planes y
programas de 5° a 3° medio;
84
85








Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad de razonamiento geométrico en los
estudiantes, utilizando un software geométrico que permita experimentar y recopilar información
conducente a la elaboración de conjeturas acerca de propiedades de elementos y relaciones
conceptuales de los objetos bidimensionales orientadas explícitamente a la resolución de
problemas;
Diseña y construye actividades de aprendizaje que permitan al alumno de 2do. ciclo, relacionar
conceptos, plantear fundamentadamente procedimientos y conjeturas referidas a algún tipo de
transformación isométrica, apoyándose en un software geométrico o en construcciones geométricas;
Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad de razonamiento geométrico en los
estudiantes, utilizando un software geométrico o construcciones geométricas, que permitan
experimentar y recopilar información conducente a la elaboración de conjeturas acerca de las
condiciones que deben cumplirse para que dos figuras sean semejantes;
Diseña unidades temáticas y planificaciones de clases en geometría, proponiendo en cada uno de
éstos diferentes actividades de aprendizaje; para ello utiliza a lo menos, dos modelos de
planificación;
Ejecuta procesos de simulación de clases basados en enfoques cognoscitivistas acerca de los
procesos de aprendizaje.
Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la utilidad de lo
aprendido respecto a transformaciones isométricas, sus pautas de corrección y, si corresponde, la
rúbrica y escala de calificación;
Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la utilidad de lo
aprendido respecto a figuras planas y cuerpos geométricos.
Analiza textos escolares de matemática para 2do. ciclo y evalúa la pertinencia de las actividades
propuestas, relacionadas con geometría proporcional.
Actitudinales
 Reconoce y valora la generación de procesos interactivos que motiven a los estudiantes a aprender
matemática haciendo uso de una adecuada expresión verbal oral.
 Reconoce y valora el trabajo independiente de carácter responsable, honesto y comprometido.
 Valora el aporta que la matemática hace al desarrollo de la capacidad del pensamiento de carácter
elaborativo.
III Lecturas sugeridas:
Obligatorios
 Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuna, J.: (1991). Invitación a la Didáctica de la Geometría. V.12. Madrid.
España.
 Chamorro M. del C. et alli: (2003). Didáctica de las Matemáticas. Prentice Hall. Madrid. España.
 Chamorro M. del C.: (1991). El Aprendizaje Significativo en el área de las Matemáticas. Alambra
Longman. Madrid. España.
 Baquero, R. Et alli: (1998). Debates Constructivistas. AIQUE. Capital Federal. Argentina.
 Brunner, J. J:(2000), Evaluación de la calidad en el Nuevo contexto Latinoamericano. www.e.2000
 Delval, J.: (1992). Aprender a Aprender II. La construcción del conocimiento. Alambra Longman.
Madrid. España.
 De Pujadas (1991) Calidad de la Educación. Los nuevos educadores. CPU Santiago. Chile.
 Dowerty, G.: (1997) Desarrollo de sistemas de calidad en la educación. Editorial La Muralla. Madrid.
Capítulo 4:"La idea de la calidad, opinión sobre la educación".
 Gordon, T.: (1994). Maestros Eficaz y Técnicamente preparados. Ed. Diana. México
 MINEDUC: (1999). Perfeccionamiento Docente para la implementación de los nuevos Planes y
programas de Estudio. Santiago. Chile.
 MINEDUC: (2001). Reforma en el 2001: balances y prioridades. Santiago. Chile.
85
86




Novak, J. y Gowin, D.: (1988). Aprendiendo a aprender. Martínez Roca Ed. Madrid. España.
Notario, A. Et allí: (1997). Mapas Conceptuales. Narcea Edición. Madrid. España.
Sander, B. : (1996). Administración de la Educación y Relevancia Cultural en América Latina. Capítulo
11 en "Gestión Educativa: América Latina. Editorial Troquel. Bs.As.
Wertsch, James: (1995). Vigotsky y la Formación Social de la Mente. Cognición y desarrollo humano.
PAIDOS. Barcelona. España.
Complementario
 Aguerrondo, I: (1993). La calidad de la educación: ejes para su definición y evaluación". En Revista
Interamericana de Desarrollo Educativo. OEA. Año XXXVII, No 116. Washington. EE.UU
 Bishop, Alan: (1988). Enculturación Matemática. La educación matemática desde una perspectiva
cultural. PAIDOS. Barcelona. España.
 Burke M. et alli: (2001) “Navigating through Algebra in Grades 9-12”. National Council of teachers of
Mathematics. Reston .Virginia. USA
 Carrasco, J. y otros.: (1995).Técnicas y recursos para Motivar a los alumnos. Ed. RIALP. 2ª Ed.
Madrid.
 Cobb, Paul: (1996). “Emergent and Sociocultural Views of mathematical activity”. En “Theories of
Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey
 Riveros, M.; Zanocco, P.: (2002). Resolver Problemas matemáticos: una tarea de profesores y
alumnos. Ed. PUC de Chile. Santiago de Chile.
 Secada W.G. y otros.: (1995). Equidad y Enseñanza de las Matemáticas. Nuevas tendencias. Ed.
Morata, S.L. Madrid. España.
 Vergnaud Gèrard : (1996). The Theory of Conceptual Fields. En “Theories of Mathematical Learning”.
Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey.
 Voigt Jörg: (1996). Negotiation of Mathematical meaning in Classroom processes: social interactions
and learning mathematics. En “Theories of Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates,
Publishers. Mahwah, New Jersey.
 Yackel, Erna: (1996) Social Interaction and Individual Cognition. “Theories of Mathematical Learning”.
Awrence Eribaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey.
IV Otros Recursos:












www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub=
http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php
Software GeoGebra (disponible gratuitamente en www.geogebra.org/)
http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice
MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”, MINEDUC, 2da ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”, MINEDUC, 2da ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”, MINEDUC, 2da ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo año básico”, MINEDUC,
2da ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo año básico”, MINEDUC, 2da
ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”, MINEDUC, 2da ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año medio”, MINEDUC, 2da ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Tercer año medio”, MINEDUC, 2da ed.
86
87
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las
principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y competencias del
perfil de egreso)
Trabajo 1: Aspectos Teóricos del Aprendizaje relacionados con el conocimiento geométrico
Estándar 6-9 / Competencias 1-2-3
Elabora un informe escrito el que posteriormente debe defender oralmente (utilizar PowerPoint) el que
debe abordar las siguientes problemáticas:
1. Utilizando la construcción del conocimiento y desde el punto de vista Vigostkiano diseñe e
proceso de aprendizaje que permita instalar el concepto de congruencia de figuras planas o el
concepto de medida de una superficie. Agregue a la fundamentación una ejemplificación
coherente con el enfoque teórico mencionado.
2. Ejemplifica un proceso de “reducción didáctica del concepto “polígonos semejantes” que sea
coherente con una forma de instalar conocimiento geométrico que desarrolle en los niños y pre
adolescentes habilidades fundantes del intelecto tales como: habilidad para resolver problemas,
capacidad argumentativa, creatividad, autonomía en toma de decisiones, entre otros.
Trabajo 2: Secuencialidad en los contenidos geométricos Estándar 6-7-8-9 / Competencias 1-2.
Utilizando los planes y programas oficiales del subsector matemáticas de 5° a 3° medio, seleccione uno
de los siguientes temas:
 Ángulos-triángulos-cuadriláteros;
 Congruencia de figuras planas – Transformaciones isométricas;
 Semejanza de figuras planas;
y elabore una secuencia de contenido explicitando la complejidad según el nivel.
Trabajo 3: Análisis de errores conceptuales y sus implicancias en la instalación de nuevos
conceptos geométricos.
Estándar 6-7-8-9 / Competencias 2-3-6-7-
Analiza unidades de geometría presentes en los textos escolares de matemática de 5° básico a 1°
medio. En base al análisis anterior, selecciona un contenido matemático que presenta errores
conceptuales y/o actividades de aprendizaje que no respetan las orientaciones didácticas de los planes
y programas oficiales del subsector matemática; diseña y planifica estrategias para intervenir
didácticamente en la reparación de dichos errores.
1. Presentar un informe el que debe considerar los siguientes aspectos, incluido los formales. Este
informe debe:
a. Señalar el libro, curso y contenido geométrico seleccionado, justificando su elección.
b. Señalar el(los) aprendizaje(s) esperado(s) (AE) para el contenido mínimo obligatorio
(CMO) que incluye al seleccionado.
c. Señalar los conceptos y habilidades previas que deberían cautelarse para instalar el
adecuadamente el concepto geométrico seleccionado.
d. Explicitar fundamentadamente del error conceptual y/o actividad de aprendizaje no
coherente con las orientaciones didácticas actuales en el sector matemática.
87
88
e. Explicitar detalladamente la estrategia de intervención para modificar dicho error
conceptual, señalando claramente las actividades de aprendizaje las cuáles deben incluir
recursos TIC’s; como también los procesos evaluativos involucrados en dicha estrategia.
2. Presentar oralmente los resultados del informe.
Trabajo 4: Diseño de Procesos Evaluativos.
Estándar 6-7-8-9 / Competencias 2-3-4-5-6
A partir de la observación de videos de clases de geometría de un curso determinado, elabora un
informe escrito que aparte de los aspectos formales propios de cualquier informe, incluya:





El contenido geométrico presente en la(s) clase(s) observada(s).
Las condiciones de infraestructura, motivacionales, de horario y de interacción.
La planificación de la Unidad Temática que incluye el contenido de una de las clases
observadas.
Un conjunto de instrumentos de evaluación, tanto de carácter cuantitativo como cualitativo, que
se correspondan con el proceso de aprendizaje vivenciado por los alumnos a los cuales estará
dirigida la acción docente.
Diseñar las revisiones que corresponda a cada uno de los aspectos relevantes del aprendizaje
esperado, utilizando estrategias diferentes a las utilizadas en la planificación original, de modo
que sus alumnos puedan readecuar sus interpretaciones y significados que han asignado a las
experiencias de aprendizaje vivenciadas en el aula.
TRABAJO 5: Análisis de Textos Escolares y Planes y Programas de Estudio Oficiales
6 / Competencia 2 (12 PUNTOS)
Estándar
En grupo, analizan los planes de estudio de 4to básico a 1ro medio, presentando un informe que
contenga la siguiente información:
 Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) en los que estén involucrados los temas referidos a
triángulos, en donde cada uno de ellos se debe relacionar con el Objetivo Fundamental Vertical
(OFV) y los Aprendizajes Esperados (AE) del curso respectivo.
 Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) en los que estén involucrados los temas referidos a
cuadriláteros, en donde cada uno de ellos se debe relacionar con el Objetivo Fundamental
Vertical (OFV) y los Aprendizajes Esperados (AE) del curso respectivo.
 La consistencia conceptual y el grado de complejidad presente en Textos Escolares utilizados en
las escuelas y liceos, y su pertinencia con los CMO y Aprendizajes Esperados de los Planes y
Programas de Estudio oficiales.
VI. Evaluaciones Clave
EVALUACIÓN 1
1. Estándar 6-7 / Competencias 2-3-4-5-6
2. Justificación:
Es importante que el profesor de 2° ciclo aplique los lineamientos establecidos en el Marco Curricular
que sustentan la Reforma Educacional Chilena, pues estos serán los que orienten la planificación de los
88
89
procesos de aprendizaje para así utilizar métodos y situaciones de aprendizajes apropiadas, como
también la selección y diseño de materiales.
3. Pre-requisitos:
Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:


Comprender el rol de las Teorías de Aprendizaje (Constructivismo) en la forma de aspectar el proceso
de aprendizaje.
Reconocer que el proceso de planificación es fundamental para anticipar los posibles eventos de la
clase.
4. Descripción breve de la evaluación:
El profesor en formación deberá discutir las teorías de aprendizaje enmarcadas en el paradigma
cognoscitivo -específicamente en el constructivismo- para demostrar su competencia en diseñar procesos
de planificación de unidades temáticas, en la comprensión y utilización del Marco Curricular, y en el
diseño de situaciones de aprendizajes adecuadas.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1: Planificar una Unidad Temática referida a Pirámide y Triángulo
A partir del contenido Pirámide-Triángulo y considerando el número de horas semanales disponibles se
iniciará el proceso de planificación, especificando:
 Los conceptos y habilidades requeridas como aprendizajes previamente alcanzados;
 La secuenciación del contenido matemático de acuerdo a los AE presentes en los planes y
programas de estudio;
 Las actividades de aprendizaje que se utilizarán para el logro de los aprendizajes esperados;
 Señalar los recursos que se utilizarán para el logro de los AE;
 Mencionar los instrumentos de evaluación tanto de carácter cualitativo y cuantitativo que
permitirán.
Paso 2: Planificar una clase de 90’ centrada en la construcción de triángulos bajo condiciones dadas
A partir del contenido “construcción de triángulos bajo condiciones dadas”:





Establecer como conceptos previos: construcción geométrica, trazo, ángulo, recta, medida de un
trazo, medida de un ángulo, triángulo, altura y bisectriz en un triángulo, circunferencia y arco de
circunferencia, sistema de unidades de medidas de longitud;
Establecer como condición ser capaz de ejecutar las siguientes acciones: describir arcos de
circunferencias, copiar trazos y ángulos, escribir formalmente la construcción geométrica,
construcción geométrica y/o mecánica de la altura y la bisectriz según sea el caso.
Identificar el contenido matemático de la clase y desagregarlo secuencialmente de acuerdo al
aprendizaje esperado.
Generar e implementar las actividades de aprendizaje.
Generar los instrumentos de evaluación que se requerirán para establecer los niveles de logro.
89
90
Paso 3: Planificar una Unidad Temática referida a Prisma y Cuadrilátero
A partir del contenido Prisma-Cuadrilátero y considerando el número de horas semanales disponibles se
iniciará el proceso de planificación, especificando:
 Los conceptos y habilidades requeridas como aprendizajes previamente alcanzados;
 La secuenciación del contenido matemático de acuerdo a los AE presentes en los planes y
programas de estudio;
 Las actividades de aprendizaje que se utilizarán para el logro de los aprendizajes esperados;
 Señalar los recursos que se utilizarán para el logro de los AE
 Mencionar los instrumentos de evaluación tanto de carácter cualitativo y cuantitativo que
permitirán.
Paso 4: Planificar una clase de 90’ centrada en la caracterización y clasificación de paralelógramos
A partir del contenido “caracterización y clasificación de paralelogramos”:





Establecer como conceptos previos: cuadrilátero, diagonal de un cuadrilátero, eje de simetría.
Establecer como condición ser capaz de ejecutar las siguientes acciones: trazado de paralelas y
perpendiculares, medir ángulos.
Identificar el contenido matemático de la clase y desagregarlo secuencialmente de acuerdo al
aprendizaje esperado.
Generar e implementar las actividades de aprendizaje.
Generar los instrumentos de evaluación que se requerirán para establecer los niveles de logro.
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos,
habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):
 Textos de geometría, textos de evaluación, textos de didáctica de la matemática, textos de
psicología educativa.
 Publicaciones MINEDUC.
 http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub=
 http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php
 http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice
 Software GeoGebra (disponible gratuitamente en http://www.geogebra.org/ )
 Material de trazado geométrico.
 Notebook y multimedia.
90
91
Rúbrica de evaluación
Paso
Insatisfactorio
(0 puntos)
Básico
(3 puntos)
Competente
(6 puntos)
Destacado
(8 puntos)
Puntos
1
Sólo realiza una secuenciación de
contenido.
Sólo reconoce el contenido
presente en cada uno de los
aprendizajes esperados.
La planificación elaborada presenta un
proceso evaluativo no coherente con el
enfoque metodológico esperado, pero
si presenta coherencia entre las
actividades de aprendizaje diseñadas y
los logros de aprendizaje
La planificación elaborada muestra
coherencia
interna
entre
los
aprendizajes
esperados,
las
actividades
de
aprendizajes
diseñadas, el proceso de evaluación
considerado.
8
2
No logra establecer los conceptos
previos necesarios para construir
triángulos bajo condiciones dadas.
Establece los conceptos previos
necesarios
para
construir
triángulos bajo condiciones dadas
e
identifica
el
contenido
matemático de la clase y lo
desagrega secuencialmente de
acuerdo al aprendizaje esperado.
Genera e implementa actividades de
aprendizaje referidas a construcción de
triángulos bajo condiciones dadas,
considerando los conocimientos y
habilidades previas de los alumnos,
como también la secuencia lógica del
contenido.
La planificación elaborada muestra
coherencia
interna
entre
los
aprendizajes
esperados,
las
actividades
de
aprendizajes
diseñadas, el proceso de evaluación
considerado.
8
3
Sólo realiza una secuenciación de
contenido.
Sólo reconoce el contenido
presente en cada uno de los
aprendizajes esperados.
La planificación elaborada presenta un
proceso evaluativo no coherente con el
enfoque metodológico esperado, pero
si presenta coherencia entre las
actividades de aprendizaje diseñadas y
los logros de aprendizaje
La planificación elaborada muestra
coherencia
interna
entre
los
aprendizajes
esperados,
las
actividades
de
aprendizajes
diseñadas, el proceso de evaluación
considerado.
8
4
No logra establecer los conceptos
previos
necesarios
para
caracterizar
y
clasificar
paralelógramos.
Establece los conceptos previos
necesarios para caracterizar y
clasificar
paralelógramos
e
identifica el contenido matemático
de la clase y lo desagrega
secuencialmente de acuerdo al
aprendizaje esperado.
Genera e implementa actividades de
aprendizaje referidas a caracterización
y clasificación de paralelógramos,
considerando los conocimientos y
habilidades previas de los alumnos,
como también la secuencia lógica del
contenido.
La planificación elaborada muestra
coherencia
interna
entre
los
aprendizajes
esperados,
las
actividades
de
aprendizajes
diseñadas, el proceso de evaluación
considerado.
8
TOTAL DE PUNTOS
32
91
92
EVALUACIÓN 2
1. Estándar 8 / Competencias 2-3-4-5-6-7-9-10
2. Justificación:
La formación inicial docente considera el desarrollo de habilidades docentes básicas tales como
gestionar convenientemente una clase, adecuar los tiempos a los requerimientos del Plan de Estudio,
promoción de aprendizajes efectivos a partir de la selección de actividades pertinentes, selección de
materiales consistentes con los logros de aprendizaje a promover, entre otros. Al simular situaciones
de clases, los futuros profesores desarrollarán y fortalecerán habilidades docentes relacionadas con la
motivación que deben generar en sus alumnos hacia el aprendizaje, con el control del tiempo
asignados a los momentos de la clase y cómo gestionar los sucesos de la clase de modo que resulte
un encuentro en que profesor y alumno reconozcan y valoren las tareas realizadas y los conocimientos
adquiridos.
3. Pre-requisitos:
A partir de experiencias previas relacionadas con la infraestructura de las Instituciones Escolares, la
distribución del mobiliario, el uso de la voz hablada y a partir, también, de los conocimientos adquiridos
con relación al hacer docente en aula, los futuros profesores preparan sus clases simuladas y
valorarán esta actividad como un hito importante en su Formación Profesional.
4. Descripción breve de la evaluación:
Evaluación que pretende fortalecer el desarrollo de habilidades docentes básicas y fundamentales para
el desempeño profesional lo que se logrará a partir de la filmación de las simulaciones.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1: Elaborar una planificación de clases referida a Transformaciones Isométricas en el plano
euclidiano.
A partir del contenido “transformaciones isométricas”:





Establecer como conceptos previos: movimientos que impliquen intuitivamente las ideas de
trasladar y rotar, polígonos, rectas paralelas y perpendiculares, construcción geométrica y
mecánica, circunferencia y arco de circunferencia;
Establecer como condición ser capaz de ejecutar las siguientes acciones: describir arcos de
circunferencias, copiar trazos y ángulos, construcción mecánica de rectas paralelas y
perpendiculares.
Identificar el contenido matemático de la clase y desagregarlo secuencialmente de acuerdo al
aprendizaje esperado.
Generar e implementar las actividades de aprendizaje.
Generar los instrumentos de evaluación que se requerirán para establecer los niveles de logro.
92
93
Paso 2: Preparación de los Recursos Didácticos para llevar a cabo la(s) clase(s)
Teniendo presente los recursos que se mencionan en la planificación:



Establecer los criterios de pertinencia que permiten controlar la concordancia entre el
aprendizaje esperado y la pertinencia del material a partir del cual se promueve este logro.
Cautelar que la naturaleza del material a utilizar se corresponda con el nivel de desarrollo
cognitivos de los estudiantes que lo utilizarán en términos de estructura y lenguaje, a lo menos.
Prever que el material esté disponible en cantidad suficiente para ser utilizado en forma efectiva
por el grupo curso (a lo más un material para dos estudiantes).
Paso 3: Preparar los elementos de evaluación que sean pertinentes al hacer de la(s) clase(s), según
corresponda (preguntas orales, actividades a desarrollar u otros).



Generar un instrumento de observación que permita llevar un registro de las acciones de
construcción llevadas a cabo por los alumnos. Expresar los resultados de la observación en
términos cuantitativos de modo de generar una calificación.
Generar un instrumento de evaluación que permita evaluar la capacidad de trabajo en grupo de
sus estudiantes. Expresar los resultados de la observación en términos cuantitativos de modo
de generar una calificación.
Generar una prueba sumativa y expresar sus resultados con una calificación.
Paso 4: Ejecutar la simulación
A partir de una presentación personal con tenida formal, la evaluación de la ejecución de la simulación
considerará la filmación de esta y se centrará en los siguientes aspectos:






Gestión de la clase centrada en los momentos posibles de distinguir en ella
Desplazamiento al interior de la sala.
Interacción docente efectiva con los estudiantes, orientada hacia el aprendizaje de ellos.
Promoción del trabajo independiente de los estudiantes, utilizando la contextualización y la
resolución de problemas como ejes centrales de su intervención.
Reconoce el momento en que se hace necesario verificar los grados de avance en el logro del
aprendizaje esperado para optimizar el proceso.
Manejo en forma eficiente de las situaciones de conflicto que se generan dentro de la clase.
Paso 5: Evaluar y autoevaluar su desempeño para optimizarlo si fuese necesario
Utilizar pautas de autoevaluación, pautas de evaluación por pares. Promover discusiones de carácter
didáctico para fortalecer conductas docentes básicas
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos,
habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):
 Textos de geometría, textos de evaluación, textos de didáctica de la matemática, textos de
psicología educativa.
 Publicaciones MINEDUC.
 http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub=
 http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php
 http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice
 Software GeoGebra (disponible gratuitamente en http://www.geogebra.org/ )
 Material de trazado geométrico.
 Notebook y multimedia.
93
94
Rúbrica de evaluación
Paso
Insatisfactorio
(0 puntos)
Básico
(3 puntos)
Competente
(6 puntos)
Destacado
(8 puntos)
1
No logra establecer los conceptos
previos
necesarios
para
transformaciones isométricas.
Establece los conceptos previos
necesarios
para
transformaciones
isométricas e identifica el contenido
matemático de la clase y lo desagrega
secuencialmente
de
acuerdo
al
aprendizaje esperado.
Genera e implementa actividades de
aprendizaje
referidas
a
transformaciones
isométricas,
considerando los conocimientos y
habilidades previas de los alumnos,
como también la secuencia lógica del
contenido.
La planificación elaborada muestra
coherencia interna entre los aprendizajes
esperados,
las
actividades
de
aprendizajes diseñadas, el proceso de
evaluación considerado.
Genera actividades de aprendizaje con
sus correspondientes recursos que son
pertinentes con los aprendizajes
esperados y se corresponden con la
secuencia de contenidos.
Genera actividades de aprendizaje que
responden al nivel de desarrollo
cognitivos de los estudiantes, con sus
correspondientes recursos que son
pertinentes con los aprendizajes
esperados y se corresponden con la
secuencia de contenidos.
No logra diferenciar la naturaleza de
los procesos evaluativos a desarrollar
en relación a la naturaleza del
contenido en cuestión y los logros de
aprendizaje.
Logra
diferenciar
los
elementos
teóricos que están presentes en los
procesos evaluativos cualitativos y
cuantitativos; sin embargo, no logra
generar instrumentos de evaluación
pertinentes a ambos enfoques
Logra
diferenciar
los
elementos
teóricos que están presentes en los
procesos evaluativos cualitativos y
cuantitativos; sin embargo, no logra
generar instrumentos de evaluación de
naturaleza cualitativa.
Genera actividades de aprendizaje que
incluyen el uso de TIC’s y responden al
nivel de desarrollo cognitivos de los
estudiantes, con sus correspondientes
recursos que son pertinentes con los
aprendizajes
esperados
y
se
corresponden con la secuencia de
contenidos.
Genera
procesos
evaluativos
de
naturaleza cualitativa y cuantitativa,
generando además los instrumentos de
evaluación respectivos.
En el desarrollo de la clase no es
posible establecer coherencia entre el
propósito de ésta y las actividades,
perdiéndose el control del tiempo
asignado a la clase y la capacidad de
gestionarla en forma eficiente.
Se observan dificultades en la
orientación
del
aprendizaje
al
trastocarse las secuencias, dado que la
interacción docente-alumno no está
bien planteada.
Existe coherencia entre el tiempo
asignado y las secuencias planeadas
tanto para el contenido como para las
actividades y la verificación de lo
aprendido.
Utiliza pautas de autoevaluación y de
evaluación por pares pero es incapaz
de
generar
discusiones
que
promuevan
los
aprendizajes
esperados.
Utiliza pautas de autoevaluación y de
evaluación por pares pero no utiliza la
información
obtenida
en
forma
conveniente para fortalecer los logros
de aprendizaje u optimizarlos, si fuera
el caso.
Se hace necesario fortalecer el uso de
pautas de autoevaluación y de
evaluación por pares con el fin de que
las discusiones que promueva permitan
optimizar el proceso de aprendizaje.
2
3
4
5
No se observa pertinencia entre las
actividades
propuestas
y
el
aprendizaje esperado.
Se observa total coherencia entre lo
planeado y los procesos de la clase a
partir de una gestión efectiva de la
misma representada por el control del
grupo, del tiempo y de las secuencias
planeadas tanto para el contenido como
para las actividades y la verificación de lo
aprendido.
Se observa habilidad en el uso de pautas
de autoevaluación y de evaluación por
pares a partir de las cuales se es capaz
de generar discusiones que fortalecen
los aprendizajes esperados.
Total Puntos
94
Pun
tos
8
8
8
8
8
32
95
VII. PUNTUACION DE LOS PASOS/TRABAJOS PARA LA EVALUACION:
Puntaje de las Evaluaciones Claves
Evaluación clave 1 (planificación de clases y unidades temáticas)
Estándar 6-7/Competencias 2-3-6
Paso 1:
8 puntos
Paso 2
8 puntos
Paso 3
8 puntos
Paso 4
8 puntos
_______________________________
TOTAL
32 puntos
Evaluación clave 2 (simulación de clases)
Estándar 8/Competencia 2-3-4-5-6-7-9-10
Paso 1:
8 puntos
Paso 2:
8 puntos
Paso 3:
8 puntos
Paso 4:
8 puntos
Paso 5:
8 puntos
_______________________________
TOTAL
40 puntos
95
96
Proyecto MECESUP Profesores Especialistas para la Educación Básica:
Respuesta a un Desafío (UCV 0402)
Asignatura:
Geometría Proporcional
Autor(a)/Universidad:
Andrés Ortiz/Universidad de Concepción.
Horas presenciales por semana:
5 horas
Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con sólida
formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con autonomía para
tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para
desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su
enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de
aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes
preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de
la calidad de la educación que ofrece su institución escolar
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso.
El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer y las evaluaciones, han sido
alineadas con los estándares y competencias del perfil de egreso para la formación inicial de
profesores del segundo ciclo básico. Los siguientes estándares y competencias del perfil tienen
un énfasis principal en este curso:
Estándar 9
Comprende los conceptos de semejanza de figuras y proporcionalidad de trazos, y los utiliza
para fundamentar los teoremas de semejanza de triángulos. Aplica estos teoremas para
determinar relaciones de semejanza de polígonos, para resolver problemas y para demostrar los
teoremas de Euclides y los referidos a relaciones métricas y angulares en la circunferencia.
Comprende y aplica las razones trigonométricas para resolver problemas. Construye homotecias
directas e inversas de figuras. Valora uso de la semejanza de figuras en el arte y la arquitectura.
Conoce la ubicación de los contenidos asociados a geometría proporcional y semejanza en los
planes de estudio de enseñanza básica y media, y es capaz de organizar el proceso de
aprendizaje de estos contenidos para el nivel de Educación General Básica.
Competencia 1, eje 2:
Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que es
responsable de enseñar.
El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este curso:
Estándar 6
96
97
Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de punto,
recta, trazo, rayo. Comprende el significado de distintas figuras geométricas tales como ángulo,
polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que ellas
delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a través
de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus
propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular,
medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros;
reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el
concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de
triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir
tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la
arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la
humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.
Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos de enseñanza hacia
procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma
comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y
compás en construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras construidas
geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas.
Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas
presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca
del aprendizaje.
Competencia 2, eje 2:
Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que
enseña, estableciendo relaciones con el primer ciclo y la enseñanza media, utilizando este
conocimiento para planificar su enseñanza
Competencia 6, eje 2:
Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes y significativas para
presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña
II. Aprendizajes esperados
estándares/competencias)
(los
aprendizajes
claves
para
el
logro
de
los
Conocimiento






Utiliza el concepto de proporcionalidad de trazos en la formulación del teorema de Thales
Aplica el concepto de semejanza para identificar figuras semejantes. Fundamenta con ello
la lectura de planos y mapas.
Utiliza los teoremas de semejanza de triángulos en la deducción de los teoremas de
Euclides y de las relaciones métricas y angulares en la circunferencia.
Reconoce a las razones trigonométricas como constantes de proporcionalidad
involucradas en triángulos rectángulos semejantes.
Demuestra y aplica los teoremas de semejanza de triángulos, los teoremas de Euclides y
las relaciones métricas y angulares en la circunferencia.
Identifica los contenidos de enseñanza básica y media relacionados con la semejanza de
figuras estableciendo una secuencialidad en ellas.
97
98
Procedimentales




Construye geométricamente la división interior y exterior de un trazo, así como la media,
tercera y cuarta proporcional geométrica. Explicita y fundamenta sus construcciones.
Utiliza el concepto de semejanza de figuras planas para construir figuras semejantes y
homotecias aplicadas a figuras. Fundamenta con ello la lectura de planos y mapas.
Resuelve problemas, tanto geométricos como cotidianos, usando los teoremas de
geometría proporcional.
Analiza textos escolares de matemática para 2do ciclo y evalúa la pertinencia de las
actividades propuestas, relacionadas con la geometría proporcional.
Actitudes

Valora la presencia de la razón áurea en el arte, arquitectura y naturaleza.
III. Lecturas Requeridas:
Obligatorias
 Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometría elemental”, Ediciones Universidad
Católica de Chile.
 Cano, O (1963) “Geometría”.
 Clemens, S; O’Daffer, P; Cooney, T (1998) “Geometría”, Pearson / Addison Wesley.
 Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria.
 Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley.
 Pogorélov, A. V. (1974) “Geometría elemental”, Editorial Mir.
Complementarias
 Coxeter, H. S. M (1989) “Introduction to geometry”, John Wiley & Sons.
IV. Otros recursos:











http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&sub=
http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php
Software GeoGebra (disponible gratuitamente en http://www.geogebra.org/ )
http://paraisomat.ii.uned.es/paraiso/cabri.php?id=indice
MINEDUC (2003) “Programas de estudio NB2, Cuarto año básico”, MINEDUC, 2da ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año básico”, MINEDUC, 2da
ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año básico”, MINEDUC, 2da
ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Séptimo año básico”,
MINEDUC, 2da ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática, Octavo año básico”,
MINEDUC, 2da ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Primer año medio”, MINEDUC, 2da
ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Segundo año medio”, MINEDUC,
2da ed.
98
99

MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Tercer año medio”, MINEDUC, 2da
ed.
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias.
TRABAJO 1: Construcción de figuras semejantes
Estándar9-6/Competencia1
(8 PUNTOS)
Elaboran un informe escrito en el que desarrollan las siguientes actividades:
 Para un trazo dado, construir otro que esté en la razón 2 : 3 .
 En un trazo dado construir la división interior y exterior para la razón 5 : 3
 Construyen geométricamente la cuarta proporcional geométrica de tres trazos dados.
 Dado un cuadrilátero, construir uno semejante, según la razón 2 : 7 .
 Establecer la relación de la semejanza de figuras con la lectura de planos y mapas.
Ejemplifique.
TRABAJO 2: Elaboración de un mapa conceptual.
Estándar9-6/Competencia1
(8 PUNTOS)
Individualmente los profesores en formación, elaborarán un mapa conceptual que relacione entre
otros los conceptos de triángulos semejantes, trazos proporcionales, figuras semejantes, cuarta
proporcional geométrica.
TRABAJO 3: Relaciones métricas y angulares en la circunferencia
Estándar9-6/Competencia1-6
(8 PUNTOS)
Elabora un informe en el que desarrolla las siguientes actividades:
 Construye en GeoGebra (freeware en español) figuras que permitan visualizar los
siguientes teoremas:
o Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia.
o Teorema del ángulo semi inscrito en una circunferencia.
o Teorema de las cuerdas.
o Teorema de la tangente
 Demuestra los teoremas anteriores.
 Resuelve un listado problemas en los que estén involucrados teoremas sobre
circunferencia.
TRABAJO 4: Razones trigonométricas
Estándar9/Competencia1
(8 PUNTOS)
Resuelve un listado de problemas (geométricos y de aplicación) haciendo uso de razones
trigonométricas, con apoyo de tablas o de calculadora.
TRABAJO 5: Geometría
proporcional
en
Estándar9/Competencia 7
el
arte,
arquitectura
(4 PUNTOS)
y
naturaleza
En parejas o ternas, exploran la red buscando información sobre la presencia de la razón áurea
en el arte, arquitectura o naturaleza. Diseñan una presentación en PowerPoint para presentar a
sus compañeros uno de los sitios, fundamentando el por qué lo seleccionaron, y el uso que le
darían en el trabajo con jóvenes en cuanto a recurso computacional para la enseñanza. Además,
99
100
diseñan en un software adecuado una figura que les permita ilustrar geométricamente algún
aspecto de interés asociado a la razón áurea. Elaboran un informe con el resultado de sus
investigaciones.
TRABAJO 6: Análisis de Textos Escolares con Planes y Programas Oficiales de Matemática
Estándar9/Competencia2
(4 PUNTOS)
En grupo, analizan los planes de estudio de 4to básico a 3ro medio, identificando aquellos
contenidos mínimos obligatorios (CMO) en los que estén involucradas figuras semejantes,
relacionándolos con los aprendizajes esperados. Utilizan textos escolares que incluyan conceptos
de figuras semejantes, analizando la consistencia conceptual y grado de complejidad utilizados en
ellos y se pertinencia con los CMO y aprendizajes esperados de los planes y Programas. Realizan
un informe que contenga el análisis realizado.
VI. EVALUACIONES CLAVES
EVALUACIÓN 1
1. Estándar 9-6 / Competencia 1
2. Justificación:
Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de reconocer en los programas de estudio aquellos
contenidos referidos o relacionados con la semejanza de figuras planas, pues debe comprender el
marco curricular nacional y la forma en la que éste se estructura y articula. Lo anterior justifica que
el o la docente, comprenda con profundidad adecuada la matemática que le corresponde
enseñar: en particular, aquella que se relacione directamente con el tema de proporcionalidad.
3. Pre-requisitos:
Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:
 Comprender y reconocer los conceptos de rectas perpendiculares y paralelas, ángulo,
triángulo.
 Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos de medida
determinada, triángulos con determinadas características y trazos de medida dada. Copiar
ángulos.
 Comprender y aplicar los conceptos de razón y proporción.
4. Descripción breve de la evaluación:
Los profesores en formación deducirán y aplicarán el teorema de Thales y los criterios de
semejanza., demostrando estos últimos.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
Los profesores en formación, en parejas o ternas, identifican en una colección de triángulos,
aquellos que tienen la misma forma. Deducen las relaciones (igualdad en medidas de ángulos
interiores y proporcionalidad de lados) que se producen en estos triángulos utilizando distintos
instrumentos de construcción y/o medición. Establecen, con apoyo bibliográfico, el concepto de
triángulos semejantes.
100
101
Paso 2:
Individualmente los profesores en formación, construyen triángulos semejantes a otros, explicitan
sus procedimientos y los utilizan para construir polígonos semejantes a otros. Aplican relaciones
de proporcionalidad para construir geométricamente la cuarta proporcional geométrica de tres
trazos dados.
Paso 3:
Individualmente el profesor en formación, dado un triángulo determina la mínima información para
construir uno semejante a otro. Sistematiza sus afirmaciones, establece los teoremas de
semejanza y los demuestra.
Paso 4:
El profesor en formación demuestra los teoremas de Euclides utilizando los teoremas de
semejanza de triángulos. Resuelve un listado de problemas en los que estos teoremas
están involucrados.
6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:
Puntos
1. Identificación de triángulos semejantes (Estándar 9/Comp. 1)
8
2. Construcción de triángulos semejantes (Estándar 9-6/Comp. 1)
8
3. Determinación de información mínima para construir un triángulo semejante
a otro (Estándar 9-6/Comp. 1)
12
4. Demotración del teorema de Euclides (Estándar 9/Comp. 1)
12
_____________
Total de puntos
40
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos,
habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):


Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador).
Textos escolares de Matemática y literatura especializada.
101
102
Rúbrica de evaluación
Paso
1
(1x)
2
(1x)
3
(1,5x)
4
(1,5x)
Insatisfactorio
(0)
Identifica pares de
triángulos que no tienen
la misma forma, o no
fundamenta su elección.
No construyen
geométricamente ni
triángulos semejantes, ni
polígonos semejantes, ni
la cuarta proporcional
geométrica.
No logran identificar la
información mínima
necesaria para construir
un par de triángulos
semejantes.
No demuestra los
teoremas de Euclides.
No resuelve, o lo hace
incorrectamente los
problemas
Básico
(3)
Fundamenta la elección de
pares de triángulos con la
misma forma a través de la
congruencia de los ángulos
interiores correspondientes.
Construyen geométricamente
triángulos semejantes sin
explicitar ni fundamentar sus
procedimientos.
No construyen
geométricamente polígonos
semejantes.
Establecen proporcionalidad
en los lados e identifican la
cuarta proporcional
geométrica, pero no son
capaces de construirla.
Determinan información
necesaria, pero redundante,
para construir un par de
triángulos semejantes.
Describen sus procedimientos
En la demostración del
teorema de Euclides, identifica
triángulos semejantes, pero no
utiliza proporciones.
Resuelve problemas de
aplicación directa del teorema
de Euclides.
Competente
(6)
Fundamenta la elección de
pares de triángulos con la
misma forma a través de la
congruencia de los ángulos
interiores correspondientes y
deduce la relación de igualdad
de los cuocientes entre las
longitudes de los lados
correspondientes.
Construyen geométricamente
triángulos semejantes
explicitando y fundamentando
sus procedimientos
Destacado
(8)
Fundamenta la elección de pares
de triángulos con la misma forma
a través de la congruencia de
ángulos interiores
correspondientes y
proporcionalidad de las longitudes
de los lados correspondientes.
Construyen geométricamente
polígonos semejantes sin
explicitar ni fundamentar sus
procedimientos.
Construyen geométricamente
polígonos semejantes explicitando
y fundamentando sus
procedimientos
Construyen la cuarta
proporcional sin describir la
construcción en lenguaje
geométrico
Determinan información mínima
necesaria para construir un par
de triángulos semejantes.
Describen sus procedimientos y
enuncian sus resultados.
Justifican sus afirmaciones en
lenguaje no formal.
Demuestra el teorema de
Euclides, y resuelve problemas
geométricos de mediana
complejidad.
Construyen la cuarta proporcional
y describen la construcción en
lenguaje geométrico.
Puntos
8
Construyen geométricamente
triángulos semejantes explicitando
y fundamentando sus
procedimientos
Determinan información mínima
necesaria para construir un par de
triángulos semejantes deduciendo
los teoremas de semejanza para
triángulos y demostrándolos.
8
12
Demuestra el teorema de
Euclides, y resuelve problemas
geométricos de alta dificultad.
12
TOTAL PUNTOS
102
40
103
EVALUACIÓN 2
1. Estándar 9-6 / Competencia 1-6
2. Justificación:
Un(a) profesor(a) de 2do ciclo debe ser capaz de comprender el origen, enunciar y demostrar las
propiedades métricas en el triángulo rectángulo y en la circunferencia, por cuanto estos
contenidos son parte del currículo escolar, y porque robustece la formación de la disciplina que
enseña, dándole así al profesor una visión de la matemática desarrollada a partir del 2do ciclo.
Así mismo, debe comprender de qué forma los conocimientos de la matemática escolar están
presentes en la realidad social y natural del hombre.
3. Pre-requisitos:
Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:
 Comprender y reconocer los conceptos de triángulo, polígono, circunferencia y los
elementos secundarios de éstos.
 Comprende las relaciones angulares en un triángulo.
 Comprende y aplica los criterios de semejanza de triángulos.
 Construir geométricamente rectas perpendiculares y paralelas, ángulos de determinadas
medidas, y triángulos con determinadas características.
 Comprende y aplica los conceptos de razón y proporción.
4. Descripción breve de la evaluación:
Los profesores en formación deducirán y demostrarán las relaciones métricas, para luego
aplicarlas en la resolución de problemas, tanto geométricos como cotidianos. Además,
investigarán sobre la presencia de la razón áurea, explorando en la red ejemplos y sitios
de aprendizaje.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
En parejas o en grupos de 3, resuelven puzzles o tangramas que les permitan identificar
relaciones métricas relacionadas con los teoremas de Euclides. Enuncian sus resultados e
identifican los elementos del triángulo rectángulo involucrados en estas relaciones. A
continuación, descomponen el triángulo rectángulo en triángulos semejantes, y haciendo uso de
los criterios de semejanza, demuestran los teoremas de Euclides.
Paso 2:
Desarrollan una guía de aprendizaje en la que deducen las relaciones angulares en una
circunferencia, y demuestran sus afirmaciones.
Paso 3:
A partir del trabajo realizado en el paso anterior, consideran los segmentos utilizados y
reconocen triángulos semejantes presentes en la circunferencia, dibujando los trazos necesarios
para ello, de ser necesario. Identifican relaciones métricas en la circunferencia y las demuestran.
103
104
Paso 4:
Individualmente, resuelven una guía de problemas geométricos referidos a polígonos y
circunferencias, usando las relaciones determinadas en los pasos anteriores y fundamentando
sus afirmaciones.
6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:
1. Resuelven tangrama y establecen relaciones entre los elementos del
triángulo.
2. Desarrollo de guía de aprendizaje.
3. Establecer relaciones métricas
4. Resolución de problemas
Total de puntos
Puntos
8
8
12
12
__________
40
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos,
habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):



Instrumentos de construcción geométrica.
Software de geometría dinámica.
Internet y sitios Web.
104
105
Rúbrica de evaluación
Paso
1
(1x)
2
(1x)
3
(1,5x)
Insatisfactorio
(0)
No resuelven
correctamente
el tangrama.
Descomponen
el triángulo
rectángulo en
dos triángulos
no semejantes.
No logran
establecer las
relaciones
angulares en la
circunferencia.
No logran
establecer las
relaciones
métricas en la
circunferencia, o
la establece sin
hacer uso del
concepto de
proporcionalida
d
Básico
(3)
Resuelven el
tangrama, pero no
identifican los
elementos secundarios
del triángulo que
permiten establecer la
relación en función de
ellos. Descomponen el
triángulo rectángulo en
dos triángulos no
semejantes.
Establecen algunas
relaciones angulares,
pero no logra
demostrarlas.
Establecen algunas
relaciones métricas
haciendo uso del
concepto de
proporcionalidad, pero
no las demuestra
Competente
(6)
Destacado
(8)
Resuelven el tangrama, y
establecen la relación
entre los elementos del
triángulo. Enuncian sus
resultados en lenguaje no
formal. Descomponen el
triángulo rectángulo en
triángulos semejantes y
establecen las relaciones
de proporcionalidad.
Resuelven el tangrama, y
establecen la relación
entre los elementos del
triángulo. Enuncian sus
resultados en lenguaje
formal. Descomponen el
triángulo rectángulo en
triángulos semejantes y
demuestran sus
afirmaciones anteriores.
Establece relaciones
angulares en la
circunferencia, pero no las
demuestra, o su
demostración es
incompleta.
Establece las relaciones
métricas haciendo uso del
concepto de
proporcionalidad, pero no
las demuestra, o lo hace
de forma incompleta.
Establece y demuestra las
relaciones angulares en la
circunferencia.
105
Establece las relaciones
métricas haciendo uso del
concepto de
proporcionalidad, y
demuestra sus
afirmaciones.
Puntos
8
8
12
106
4
(1,5x)
No logran
identificar datos
y preguntas, o
bien, hipótesis y
tesis, a partir de
los enunciados.
No resuelven
los problemas.
Resuelven los
problemas por
métodos poco
eficientes. No respetan
una estrategia de
resolución de
problemas ni utilizan
un lenguaje
matemático ni una
escritura ordenada.
Resuelven los problemas
aplicando las relaciones
métricas, pero tienen
dificultades en escribir sus
procedimientos, ya sea un
uso inadecuado de la
escritura matemática o de
la falta de una estrategia
de resolución de
problemas.
Resuelven los problemas
aplicando y justificando
con propiedades
adecuadas y pertinentes.
Respetan una estrategia
de resolución de
problemas y la escritura
formal propia de la
disciplina.
TOTAL PUNTOS
106
12
40
VII. PUNTUACION DE LOS PASOS/TRABAJOS PARA LA EVALUACION:
Puntaje de las Evaluaciones Claves
Evaluación clave 1 (estudio del triángulo)
Estándar 6/Competencia 1
Paso 1
8
puntos
Paso 2
8
puntos
Paso 3
12
puntos
Paso 4
12
puntos
_______________________________
TOTAL
40
puntos
Evaluación clave 2 (estudio de los cuadriláteros)
Estándar 6/Competencia 1-6
Paso 1
8
puntos
Paso 2
8
puntos
Paso 3
12
puntos
Paso 4
12
puntos
_______________________________
TOTAL
40
puntos
107
Asignatura:
Introducción a la Geometría
Autor(a)/Universidad:
Ximena Cruz, Universidad de Tarapacá
Horas presencial por semana:
4 hrs.
Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con
sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con
autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la
investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los
procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se
compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y
moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional
asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar.
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I.
Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados al curso.
Estándar 6
Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de
punto, recta, trazo, rayo. Comprende el concepto de distintas figuras geométricas tales como
ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que
ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a
través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus
propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular,
medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros;
reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el
concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de
triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir
tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la
arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la
humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.
Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos de enseñanza hacia
procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir en forma
comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la necesidad de usar regla y
compás en construcciones geométricas, para deducir propiedades a partir de figuras
construidas geométricamente o en software de geometría dinámica, y para deducir propiedades
métricas. Diseña planificaciones de enseñanza que sean coherentes con las orientaciones
didácticas presentes en el marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos
actuales acerca del aprendizaje.
Competencia 1, Eje 2
Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que
es responsable de enseñar.
108
Competencia 3, Eje 2
Utiliza los resultados de las investigaciones en su especialidad y de las ciencias de educación
para planificar secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de los
contenidos y el proceso de aprendizaje.
Competencia 6, Eje 2
Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes y significativas para
presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que enseña.
El siguiente estándar y competencia tiene un énfasis secundario en este curso:
Estándar 8
Comprende las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de
transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial. Reconoce
transformaciones isométricas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos,
identificando su tipo y los elementos que la generaron. Aplica transformaciones y usa
simetrías para analizar y resolver problemas geométricos, así como para ilustrar
propiedades de figuras geométricas. Además, está en condiciones de organizar,
planificar, diseñar actividades de aprendizaje basada en la resolución de problemas
para los contenidos presentes en el marco de los planes y programas vigentes en
Matemática y de generar instancias evaluativas de estos aprendizajes.
Competencia 8, Eje 2
Conoce los principios didácticos que le permiten una gestión eficiente y efectiva en el
aula para optimizar el tiempo dedicado al aprendizaje
II. Aprendizajes esperados (los aprendizajes claves para el logro de los
estándares/competencias)
Conocimiento
 Identifica y explica la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones
básicas de punto, recta, rayo, trazo, plano y espacio; situándose para trabajar en el plano
(dos dimensiones)
 Reconoce objetos geométricos como rectas paralelas, rectas perpendiculares, simetral de
un trazo, ángulo, bisectriz de un ángulo.
 Clasifica ángulos según su medida e identifica parejas de ángulos entre paralelas cortadas
por una transversal.
 Conoce el concepto de triángulo y sus distintos elementos primarios y secundarios.
 Clasifica triángulos según la medida de sus lados y/o según la medida de sus ángulos
interiores.
 Deduce las propiedades de los triángulos utilizando material concreto y/o software
computacional.
 Reconoce y explica las diferentes características que definen a los cuadriláteros, polígonos y
circunferencia como también los distintos criterios de clasificación de ellas.
109
 Reconoce la circunferencia como el Lugar Geométrico de un conjunto de puntos que
satisfacen determinada condición.
 Deduce fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas de regiones planas, comprendiendo
el significado de área, relacionándolo con la medida de la superficie y el de perímetro con la
adición de las longitudes de todos los lados de la figura o del contorno que delimita la
superficie.
 Aplica las propiedades de las figuras en la resolución de ejercicios geométricos.
Procedimentales

Construye utilizando regla y compás: rectas paralelas, rectas perpendiculares, simetral de
un trazo, copia de ángulos, bisectriz de un ángulo, triángulos, elementos secundarios del
triángulo (alturas, transversales, etc.) y lugares geométricos.
 Construye los puntos singulares de un triángulo, utilizando un software geométrico e
identificando la posición que ocupa de acuerdo al tipo de triángulo que se trate.
 Construye con regla y compás diferentes cuadriláteros y polígonos, conocidos algunos de
sus elementos y considerando sus características; describiendo, además, los procesos de
construcción.
 Calcula la medida de ángulos, trazos y superficies, en situaciones problemáticas utilizando
unidades de medida adecuadas.
Actitudes
 Valora la geometría euclidiana como una poderosa herramienta para favorecer el desarrollo
del pensamiento lógico deductivo
 Aprecia los aportes de la geometría euclidiana en la descripción de elementos de la
naturaleza y de su entorno próximo.
 Reflexiona sobre sus aprendizajes listando indicadores de autoevaluación.
III. Lecturas Requeridas
Bibliografía Básica:
 Carreño, Ximena; Cruz, Ximena. Geometría. Arrayán. Santiago, Chile. 2004. capítulos 1
y3
 Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Materiales para construir la Geometría. Colección
Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 11. Síntesis. Madrid. 1991.
 MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto año básico.
Santiago, Chile
 MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto año básico. Santiago,
Chile
 MINEDUC,(1998). Planes y programas de estudio para séptimo año básico.
Santiago, Chile
 MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo año básico.
Santiago, Chile
Bibliografía Complementaria
 Riveros, Marta; Zanocco, Pierina y otros. Resolver Problemas Matemáticos: una
tarea de profesores y alumnos. Ediciones Pontificia Universidad Católica de Chile.
Santiago Chile. 2002
 Gómez Chacón, M. Inés. Matemática Emocional. Narcea. Madrid. 2000.
110






Gorgorió, N.; Deulofeu, J.; Bishop, A (coords.) Matemática y Educación. N° 154. Grao.
Barcelona. 2002.
Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Invitación a la Didáctica de la Geometría.
Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 12. Síntesis. Madrid. 1991.
Arenas, F; Masjuan, G; Villanueva, F (1997) “Geometría elemental”, Ediciones Universidad
Católica de Chile.
Cano, O (1963) “Geometría”.
Mercado Schüller, C (1983) “Geometría”, Editorial Universitaria.
Moise, E; Downs, F (1996) “Geometría Moderna”, Addison Wesley.
IV. Otros recursos:



http://clic.xtec.net/db/act_ca.jsp?id=1308
http://www.vitanet.cl/busqueda/buscar.php?materia=GEOMETRIA
http://www.educaguia.com/Servicios/software/matematicas%20de%20primaria_.htm
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las
principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y
competencias del perfil de egreso)
1.
Construcción, caracterización y clasificación de triángulo, cuadriláteros y
circunferencias Estándar 6 / Competencia 1
(Trabajo individual)
Elabora un trabajo de construcción con regla y compás y/o utilizando algún software
interactivo de triángulos, cuadriláteros y circunferencias, caracteriza cada figura y las
clasifica de acuerdo a algún criterio preestablecido. Describe los procesos de
construcción.
2.
Construcción de polígonos inscritos y circunscritos en una circunferencia
Estándar 6 / Competencia 1
(Trabajo individual)
Construye diversos polígonos y verifica argumentadamente la posibilidad de inscribirlos
o circunscribirlos a una circunferencia. Describe los procesos de construcción.
3.
Resolución problemas de Geometría__________Estándar 6 / Competencia 1
(Trabajo grupal)
Resuelven problemas aplicando conceptos de perímetros y áreas y los relacionan con
medidas de longitud y superficies.
Realizan un trabajo de investigación grupal para descubrir aplicaciones de los
conceptos geométricos de figuras, áreas y perímetros en la vida del hombre, como
manifestaciones del arte o de la arquitectura y su presencia en la naturaleza. Hacen una
exposición de sus hallazgos y conclusiones.
4. Geometría Plana en los Planes y Programas Estándar 6 / Competencia 3, 6
(Trabajo grupal)
Los alumnos, en grupo hacen una lectura comprensiva de los Planes y Programas de 5°
básico a 1° medio e identifican los Objetivos Fundamentales Transversales y Verticales
que dicen relación con Geometría Plana y que deben lograr los estudiantes en cada año
escolar. Exponen su trabajo, elijen uno de esos OFT / OFV detectados y muestran el
111
diseño de una actividad de aprendizaje, que sea coherente con las orientaciones
didácticas del marco curricular de los programas revisados.
Aplican esta actividad de aprendizaje a sus compañeros considerando todos los
momentos de una clase: inicio, motivación, desarrollo, evaluación de lo aprendido y
cierre.
5.
Investigación de software de geometría plana disponible en la Internet
Estándar 6 / Competencia 6
(Trabajo grupal)
Los alumnos, en equipo, realizan una exploración en la Red Internet buscando software para el
aprendizaje de los contenidos geométricos vistos. Eligen un sotware o un medio de la web 2
(blog, wiki, etc.), diseñan una actividad en él y lo exponen a sus compañeros señalando las
razones de su elección y abriendo un debate.
Pauta para la Evaluación Clave
1. Estándar 6 / Competencia 1 y 6
2. Justificación (¿Por qué tiene que saber/hacer esto un/una profesor de segundo ciclo?):
La geometría plana es una excelente área del conocimiento para desarrollar en los alumnos la
ubicación espacial. Al mismo tiempo aprenden a aplicar el pensamiento lógico para resolver
problemas. Les apropia de características como rigurosidad de pensamiento y minuciocidad en
el trabajo de construcción, condiciones que deberán desarrollar en sus alumnos. El
conocimiento de las figuras geométricas y sus propiedades les permite apreciar el arte desde la
perspectiva de las formas. Aprende a evaluar
3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben saber hacer antes de la
evaluación):
Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:
Construir figuras, clasificarlas, describir el proceso de construcción y hacer un análisis de las
condiciones necesarias para la construcción.
Aplicar las características de las figuras y los conceptos geométricos a la solución de ejercicios.
Explorar en la Red de Internet para seleccionar Obras de arte que presenten figuras
geométricas en su composición.
Distinguir los distintos momentos de una clase y alguna forma de evaluar el aprendizaje
logrado.
4. Descripción breve de la evaluación:
Primera parte: Grupo de cinco
Los profesores en formación, agrupados de cinco personas, realizarán un trabajo de
construcciones de triángulos, cuadriláteros y circunferencia con regla y compás, describiendo
acabadamente cada paso de cada construcción y haciendo un análisis de los casos en que la
112
construcción es posible y cuando no lo es. Emitirán un informe escrito grupal y un reporte
personal.
Segunda parte: individual
Los profesores en formación, individualmente resolverán 20 ejercicios propuestos por el
profesor aplicando los conceptos y propiedades de figuras, perímetros y áreas.
Tercera parte: Grupo de dos y coevaluación de todos sus compañeros
Los profesores en formación, en grupos de dos, explorarán en la Red de Internet buscando
obras de arte o arquitectónicas que ofrezcan la presencia de figuras geométricas. Elegirán una
para exponerla a sus compañeros en un power point, editado por tres alumnos voluntarios. La
evaluación de esta parte se realizará a través de una coevaluación
Cuarta parte: individual. Autoevaluación
Al concluir el proceso de la evaluación clave y como última parte de él, el profesor(a) entregará
a cada alumno(a) una pauta de autoevaluación detallada para que el alumno observe las
prácticas que desarrolló en distintos ámbitos como aportes al debate, formalidades de
cumplimiento y horarios, calidad de sus producciones, etc. y los aprendizajes logrados durante
el proceso. Coherente con ello el alumno se asignará un puntaje de 1 a 10 puntos, que el
profesor no podrá intervenir
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
El profesor(a) buscará una estrategia para formar grupos de cinco personas para trabajar en
equipo e indicará las exigencias del trabajo requerido: Un informe escrito que contenga a lo
menos cinco construcciones, tres deben ser de figuras distintas (triángulo, cuadrilátero y
circunferencia). El informe debe contener: carátula, introducción, construcciones, y conclusión.
Cada construcción debe ser realizada con regla y compás, describiendo paso a paso y
rigurosamente el proceso realizado y consignando el análisis de otras posibles soluciones.
Cada alumno(a) debe realizar en forma individual un reporte en el que identifique qué
distinciones nuevas aprendió, qué es capaz de realizar con estas nuevas distinciones y qué
estado de ánimo le produjo la realización de esta actividad.
Paso 2:
Conformados los equipos de trabajo, los profesores en formación diseñarán las construcciones
que realizarán, discutirán las formas de realizarlo y se distribuirán el trabajo. Dispondrán de dos
clases de 90 min. para desarrollar esta parte de la evaluación.
Paso 3:
Los profesores en formación responderán una prueba de desarrollo de 10 preguntas en que
aplicarán las propiedades y conceptos geométricos aprendidos. Todas las respuestas deben
ser justificadas. Contarán con una clase de 90 min. para responderla.
Paso 4:
Una vez corregidas las pruebas, los alumnos(as) reconocerán y analizarán sus aciertos y sus
errores realizando las correcciones pertinentes. Dispondrán de una clase de 90 min.
Paso 5:
El profesor(a) dará las indicaciones para que los alumnos(as), contando con un computador por
cada dos personas, realicen una investigación en internet y elijan una obra de arte (pintura,
escultura o arquitectura) para presentar a sus compañeros. La presentación deberá contar con
113
una breve descripción de la obra (autor, año, lugar donde se encuentra, etc.), Con todas las
obras elegidas, un grupo de tres alumnos voluntarios, editará un power point y el profesor las
presentará en una clase. Cada pareja de alumnos irá explicando porqué su elección desde el
criterio de la integración de figuras geométricas. Los compañeros realizarán una coevaluación
de acuerdo a una pauta predeterminada, la que asignará puntaje a observaciones como:
cantidad de formas presentes en la obra, integración de las formas, presencia o ausencia y
calidad del reporte que identifica la obra y calidad de la expresión (comunicación) que sus
electores hacen de la presentación.
Paso 6:
El profesor preparará una pauta de auto evaluación que consigne indicadores para los diversos
aprendizajes esperados, tanto de prácticas individuales y sociales del alumno como de los
aprendizajes de geometría logrados. Esto con el objeto de que el alumno aprenda a mirar sus
prácticas (sus maneras de hacer y aprender) y pueda empezar a diseñarlas.
6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación: (del curso)
Puntos:
1. Informe escrito de las construcciones (grupal)
( Estándar 6/Competencia 1)
30
2. Reporte personal
( Estándar 6/Competencia 6 )
20
3. Prueba escrita (individual)
( Estándar 6)
30
4. Coevaluación
(Estándar 6,Competencia 1)
10
5. Autoevaluación
(Competencia 8)
10__
Total puntos
100
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos,
habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):




Para realizar el informe grupal, cada grupo dispondrá de una pauta elaborada por el
profesor y negociada con los alumnos
El alumno debe proveerse de regla, compás y papel para su informe
Para el reporte personal la guía serán tres preguntas elaboradas por el profesor: ¿Qué
nuevas distinciones obtuvo o qué aprendió con este trabajo? ¿Qué es capaz de hacer
con ello? y ¿Qué estado de ánimo le produjo el trabajo?
Una prueba con 10 reactivos que den cuenta de los aprendizajes esperados.
114



Un computador por cada dos alumnos con conección a internet
Una pauta de Coevaluación para consignar las observaciones a sus compañeros en la
clase de presentación de las obras de arte, arquitectura o escultura seleccionadas
Una pauta de autoevaluación
115
Rúbrica de evaluación
Evaluación Clave
Elaboración de un
informe en grupo de
cinco personas, que
de cuenta de las
construcciones,
rigurosamente, de
cinco figuras usando
regla y compás,
describiendo los paso
de cada construcción
y haciendo un análisis
de los casos en que la
construcción es
posible y cuando no lo
es
Insatisfactorio
0 puntos
Básico
3 puntos
Construye menos de
tres figuras distintas
Construye las cinco
figuras solicitadas.
No describe los pasos
del proceso
Describe parcialmente
el proceso de
construcción
No realiza el análisis
No realiza el análisis
No cumple con la
forma solicitada para
el informe
Cumple con parte de
la formalidad exigida
Competente
6 puntos
Construye las cinco
figuras solicitadas
Describe completo el
proceso pero sin la
rigurosidad del
lenguaje de la
geometría
Realiza parcialmente
el análisis
Cumple la formalidad
exigida
116
Destacado
8 puntos
Construye las cinco
figuras solicitadas con
exactitud y limpieza
Describe el proceso
completo y en forma
rigurosa
Realiza el análisis
completo en todas las
construcciones
Cumple la formalidad
exigida con calidad en
la presentación y
redacción.
Puntos
Reporte personal
respondiendo las
preguntas: ¿Qué
aprendió con este
trabajo? ¿Qué es
capaz de hacer con
ello? y ¿Qué estado
de ánimo le produjo el
trabajo?
No responde ninguna
de las tres preguntas
Responde una o dos
preguntas
Responde las tres
preguntas sin dar
argumentación a sus
afirmaciones en todas
ellas
117
Responde y
argumenta las tres
preguntas
Reconoce y aplica
las características
de las figuras para
resolver ejercicios
(3)*
Responde
Responde
Responde
Responde
correctamente 0 de correctamente 1 de correctamente 2 de correctamente 3 de
3 preguntas
3 preguntas
3 preguntas
3 preguntas
Identifica pares de
figuras congruentes
identificando sus
elementos
homólogos(2)*
Responde
Responde
Responde
Responde
correctamente 0 de correctamente 1 de correctamente 2 de correctamente 2 de
2 preguntas
2 preguntas
2 preguntas
2 preguntas y
justifica sus
respuestas
Identifica figuras
equivalente y
resuelve problemas
usando el concepto
de equivalencia (2)*
Resuelve problemas
utilizando concepto
de perímetro y área
de figuras (2)*
Resuelve ejercicios
aplicando
propiedades de
figuras (1)*
Responde
Responde
Responde
correctamente 0 de correctamente 1 de correctamente 2 de Responde
2 preguntas
2 preguntas
2 preguntas
correctamente 2 de
2 preguntas y
justifica sus
respuestas
Responde
Responde
Responde
correctamente 0 de correctamente 1 de correctamente 2 de
2 preguntas
2 preguntas
2 preguntas
Responde
correctamente 2 de
2 preguntas y
justifica sus
Responde
Responde
Responde
respuestas
correctamente 0 de parcialmente 1 de 1 correctamente 1 de
1 preguntas
preguntas
1 preguntas
Responde
118
correctamente 1 de 1
preguntas y justifica su
respuesta
Exploran en internet,
identifican y eligen
una obra de arte,
arquitectura o
escultura, donde se
evidencie la
presencia de formas
geométricas
conocidas, justifican
No
exploran
internet
No eligen obra
en Exploran en Internet
No registran sus
visitas
Eligen una obra
No justifican su
elección
Elaboran
parcialmente la
historia de la obra
Exploran, registran
sus visitas y eligen
una obra
Justifican
su
elección en forma
básica
Elaboran la historia
de la obra con todos
los datos solicitados
119
Exploran, registran
sus visitas y eligen
una obra
Justifican su
elección con tres o
más argumentos
Elaboran la historia
de la obra con todos
los datos solicitados
su elección y
elaboran una
pequeña historia de
la obra
y contextualizada
para el mundo actual
PUNTOS TOTAL

Este número representa el número de reactivos o preguntas de la prueba que dará cuenta del logro de ese aprendizaje esperado.
120
Asignatura:
Cuerpos Geométricos
Autor(a)/Universidad:
Ximena Cruz/ Universidad de Tarapacá
Horas presencial por semana:
3 teóricas y 2 prácticas
Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 8 horas.
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con
sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con
autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la
investigación para desarrollar las competencias que le permiten responsabilizarse de los
procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se
compromete con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y
moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación profesional
asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece su institución escolar
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I.
Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados al curso.
El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) del eje 2 del perfil tiene(n) un énfasis principal en
este curso:
Estándar 7:
Comprende los conceptos referidos a rectas y planos paralelos y perpendiculares en el espacio
que permitan deducir y demostrar las propiedades involucradas en ellos; como también
comprende el concepto de ángulo diedro. Comprende, aplica y fundamenta las diferentes
clasificaciones de cuerpos en el espacio, y determina propiedades y relaciones en ellas.
Reconoce y clasifica los cuerpos poliedros, identificando sus elementos principales. Es capaz,
además, de fundamentar y aplicar el Principio de Cavalieri en la determinación de fórmulas de
volumen de cuerpos geométricos. Calcula volúmenes y áreas de superficie, y aplica estos
conocimientos a situaciones concretas, y resuelve problemas relacionados con figuras en el
espacio.
Organiza el proceso de enseñanza de cuerpos geométricos, planificando adecuadamente las
secuencias y actividades de aprendizaje y evaluativos involucradas en la conceptualización de
los objetos geométricos, la deducción de propiedades y relaciones, y la aplicación de éstas en
la resolución de problemas.
Es capaz de justificar la organización de los contenidos geométricos en los planes de estudio
de la enseñanza básica, y comprende la vinculación que ésta tiene con los contenidos vistos en
enseñanza media.
Competencia 1
121
Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de aprendizaje que
es responsable de enseñar.
Competencia 2
Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector curricular que
enseña y utiliza este conocimiento para planificar su enseñanza.
Competencia 4
Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para monitorear el avance
y logro de las metas de aprendizaje.
El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) del eje 2 del perfil tiene(n) un énfasis secundario
en este curso:
Estándar 6
Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas de
punto, recta, trazo, rayo. Comprende el significado de distintas figuras geométricas tales como
ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y las regiones que
ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de caracterizar dichas figuras a
través de su construcción geométrica, avanzando hacia la deducción y demostración de sus
propiedades y relaciones. Comprende los conceptos de medida de longitud, medida angular,
medida de superficie y demuestra propiedades que permitan calcular áreas y perímetros;
reconociendo los distintos sistemas y unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el
concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de
triángulos para determinar si dos figuras son congruentes, como también para construir
tesselaciones y así vincular el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la
arquitectura, valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la
humanidad y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.
Competencia 10
Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo y manteniendo normas
consistentes y consensuadas de disciplina en el aula que potencian el desarrollo social de los
educandos para la vida en una sociedad democrática.
II. Aprendizajes esperados
Conceptuales
 Comprende los conceptos de rectas y planos en el espacio, así como sus posiciones
relativas, paralelismo, perpendicularidad e intersecciones. Comprende el concepto de ángulo
diedro y triedro, sus elementos y características.
 Conoce, caracteriza y clasifica los poliedros regulares, y comprende y utiliza la relación
existente entre el número de caras, el número de vértices y el número de aristas de un
cuerpo geométrico denominada Fórmula de Euler.
 Deduce, demuestra y utiliza fórmulas adecuadas para calcular área y volumen de cuerpos
geométricos, en resolución de problemas en diversos contextos
122
 Reconoce las características de cuerpos geométricos clasificándolos según criterios como:
redondos y no redondos, superficies laterales curvas o paralelas, número de superficies
basales, paralelismo de las superficies basales, etc.
 Modela objetos de entorno su con cuerpos geométricos conocidos. Conoce, relaciona,
selecciona y utiliza unidades de medida adecuadas para áreas y volumen para resolver
problemas de la vida cotidiana.
 Identifica los conocimientos previos referidos a figuras planas que permiten instalar un
conocimiento específico de la geometría del espacio.
Procedimentales
 Establece un criterio de secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría referidos
a cuerpos geométricos señalados en los Planes y Programas de 5° a 8° año de educación
general básica.
 Reconoce y analiza conceptos erróneos respecto de cuerpos geométricos que dificultan el
aprendizaje de otros contenidos geométricos, y diseña y planifica estrategias de intervención
para remediar esta situación.
 Construye diferentes cuerpos geométricos diseñando su malla y evidenciando sus
características.
 Diseña actividades de aprendizaje que propicien la capacidad de razonamiento geométrico
en los estudiantes, utilizando un software geométrico que permitan experimentar y recopilar
información conducente a la elaboración de conjeturas.
 Diseña planificaciones de clases referidas a cuerpos geométricos considerando los
momentos de ella.

Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la aplicación y la utilidad
de lo aprendido respecto a cuerpos geométricos.
Actitudinales

Valora el aprendizaje sobre cuerpos geométricos como una herramienta para el desarrollo
de la ubicación espacial en los niños.

Se da cuenta de las formas geométricas presentes en distintas manifestaciones artísticas.

Valora que en la geometría del espacio muchos objetos de la naturaleza se pueden
modelar a través de cuerpos geométricos
II.


Lecturas Requeridas:
A) Lecturas obligatorias
Carreño, Ximena; Cruz, Ximena. Geometría. Arrayán. Santiago, Chile. 2004.
Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Materiales para construir la Geometría. Colección
Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 11. Síntesis. Madrid. 1991.
123








Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Invitación a la Didáctica de la Geometría.
Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 12. Síntesis. Madrid. 1991.
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto año básico.
Santiago, Chile
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto año básico. Santiago,
Chile
MINEDUC,(1998). Planes y programas de estudio para séptimo año básico.
Santiago, Chile
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo año básico.
Santiago, Chile
B) Lecturas complementarias
Riveros, Marta y otros. Resolver Problemas Matemáticos: una tarea de profesores
y alumnos. Ediciones Pontificia Universidad Católica de Chile. Santiago Chile. 2002
Gómez Chacón, M. Inés. Matemática Emocional. Narcea. Madrid. 2000.
Gorgorió, N.; Deulofeu, J.; Bishop, A (coords.) Matemática y Educación. N° 154. Grao.
Barcelona. 2002.
IV. Otros recursos:
http://nogal.mentor.mec.es/~lbag0000/html/cuerpos_geometricos.htm
http://www.amejor.com/mates/poliedros/descripcion.htm
http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Departamentos/DMatem/2000/SEPTIEMBREEULER.html
http://www.fuenterrebollo.com/Matematicos/areas-volumenes.html
http://www.educarioja.org/educarioja/pizarradigital/repositorio_pd/Cuerpos%20Geometricos.ppt
http://www.santillana.cl/futuro/figuras.htm
http://www.kokone.com.mx/tareas/figuras/home.html
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique las
principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y
competencias del perfil de egreso)
1. Identifica y caracteriza Cuerpos Geométricos
Estándar 7 /Competencia 1
En forma individual cada alumno investiga en los diversos medios sugeridos por el
profesor u otros e identifica los distintos cuerpos geométricos y los relaciona con
objetos reales, naturales o tecnológicos. Los caracteriza (caras, aristas, diagonales,
altura, apotema, etc.) y agrupa de acuerdo a distintos criterios (redondos, poliedros;
rectos, oblicuos; regulares, irregulares; etc.) Elabora un mapa conceptual del concepto
Cuerpo Geométrico.
2. Construye Cuerpos Geométricos y Elabora una Pauta de evaluación de los trabajos
Estándar 7 / Competencia 4
124
Cada alumno Identifica las redes de los distintos cuerpos geométricos y construye a lo
menos cinco de ellos. En forma grupal, y previo a la construcción, elaboran en conjunto
con el profesor, una pauta de evaluación del trabajo de construcción. De acuerdo a la
pauta elaborada, las construcciones son coevaluadas por grupos de dos alumnos. (cada
pareja evalúa el trabajo de dos alumnos)
3.
Producen una Exposición con charlas para alumnos de básica de la comunidad
circundante
Estándar 7 / Competencia 10
Todo el curso, generando comisiones, diseñan, organizan y realizan una exposición de
los trabajos de construcción realizados. Durante la exposición realizan una charla para
alumnos de 5° a 8° básico sobre los cuerpos geométricos, sus características, su
presencia en la naturaleza y su utilización en creaciones humanas (construcciones
milenarias y actuales, tiendas de campaña, cúpulas, invernaderos, etc.).
4. Investiga la vinculación de los Cuerpos Geométricos con otras áreas del curriculum
en los niveles de 5° a 8° Básico
______Estándar 7 / Competencia 2
En grupos de cuatro, los alumnos revisan los planes y programas de 5° básico a 1°
medio, establecen la presencia y secuencia de los contenidos sobre cuerpos
geométricos y su posible vinculación con los otros sectores de aprendizaje. Cada grupo
emite un informe escrito proponiendo un plan para enseñarlo.
5. Resuelve problemas considerando volúmenes de cuerpos y áreas de figuras Estándar
7 / Competencia 1
Los alumnos, en forma individual o grupal resuelven una guía de ejercicios y problemas
propuestos por el profesor que den cuenta de su comprensión (analizan, sintetizan o
hacen una interpretación personal de lo aprendido y valoran o emiten juicios sobre lo
aprendido) del contenido y de su aplicación a la resolución de problemas, especialmente
de capacidades, superficies y modelos. (espacios arquitectónicos, empaques y
contenidos, descripciones atómicas y moleculares, etc.)
Pauta para la Evaluación Clave
1. Estándar 7 / Competencia 1 y 4
2. Justificación (¿Por qué tiene que saber/hacer esto un/una profesor de segundo ciclo?):
La geometría de los cuerpos geométricos y su construcción permite que el estudiante
desarrolle una interpretación del espacio tridimensional, la generación de formas y relaciones,
el diseño de diferentes tipos de mallas de distintas rigideces y capacidad de cobertura,
representaciones de cuerpos o combinaciones de cuerpos y su relación área / volumen. Es útil
además para evidenciar el fenómeno de la conservación del contenido bajo distintas formas,
etc. Por otro lado, la comprensión de las formas espaciales colabora en la construcción e
interpretación de modelos de redes cristalinas, modelos atómicos y moleculares, modelos
víricos y otros.
125
La postergación sistemática de la geometría tridimensional en el curriculum realizado por los
profesores, hasta ahora, ha producido una pérdida de conocimiento social de interpretación del
medio natural, el cual debemos recuperar y proponemos hacerlo a través del desarrollo en
profundidad de este programa.
3. Pre-requisitos:(lo que los estudiantes deben saber y deben saber hacer antes de la
evaluación):
Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces de:
 Distinguir las distintas formas geométricas planas
 Conocer y aplicar los teoremas básicos de triángulos y polígonos
 Medir, recortar y pegar en forma rigurosa y limpia
 Diseñar las redes de los distintos cuerpos geométricos
 Construir los distintos cuerpos geométricos
 Interpretar las propiedades de los cuerpos geométricos y aplicarlas al diseño o recreación
de problemas de aplicación.
4. Descripción breve de la evaluación:
Los profesores en formación, en grupo de tres diseñarán las redes y construirán cinco cuerpos
geométricos, elegirán uno y expondrán a sus compañeros todas sus características y posibles
aplicaciones en la vida natural y social. Cada grupo debe elaborar o recrear dos problemas de
aplicación de algún cuerpo geométrico. El grupo producirá un informe escrito adjunto a los
cuerpos construidos. Cada integrante del grupo realizará un reporte personal de no más de una
plana señalando qué aprendió (qué nuevas distinciones adquirió) con este trabajo, qué es
capaz de realizar con dichas distinciones y qué estado de ánimo le produjo la actividad.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
El profesor negociará con los alumnos una estrategia para formar los grupos de trabajo y
entregará por escrito una pauta con las indicaciones para realizar el trabajo de diseño,
construcción, exposición y aplicación de los cuerpos geométricos.
Paso 2:
Los estudiantes, en grupo deliberan sobre los aprendizajes esperados que deben evidenciar en
esta evaluación, sobre las actividades que pueden desarrollar para lograr lo solicitado, sobre la
forma cómo van a constituir su equipo de trabajo, sobre las responsabilidades que adquirirá
cada uno, sobre los tiempos disponibles para lograr el producto comprometido, etc. y dejarán
por escrito un acta con las promesas que tiene cada uno, a quién le debe responder y en qué
tiempo. Para los pasos 1 y 2 los alumnos contarán con una sesión de 90 min.
Paso 3:
Los estudiantes, constituidos en equipo, traerán a la sesión todos los materiales (redes
dibujadas, tijeras, regla, pegamento, etc.) preparados para la construcción de los cuerpos y los
construirán. Elegirán o inventarán dos problemas de aplicación para ser presentados a sus
compañeros. Dispondrán para ello de una sesión de 90 min.
Paso 4:
126
Cada grupo presentará a sus compañeros uno de los cuerpos construidos por ellos exponiendo
sus características y propiedades, y explicará uno de los problemas elegido o inventado. Dicha
presentación será coevaluada por los compañeros con una pauta previamente elaborada y
negociada entre los alumnos y el profesor. Cada grupo dispondrá de 30 min. máximo para
hacer su exposición. Se medirá, entre otros indicadores, organización de la exposición y
capacidad de síntesis. Todos los alumnos del grupo deben intervenir en la exposición y la
coevaluación será personal para cada uno.
Paso 5:
Cada alumno, en forma individual realizará un reporte de lo que aprendió con este trabajo, lo
que puede realizar con las nuevas distinciones adquiridas y del estado de ánimo que la
actividad le produjo.
127
6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:
Puntos
30
(rúbrica)
1. Cuerpos geométricos
(Estándar 7 / Competencia 1)
2. Problemas de aplicación
(Estándar 7 / Competencia 4)
20
(rúbrica)
3. Exposición de su trabajo
(Estándar 7 / Competencia 1)
30
(rúbrica)
4. Reporte personal
(Estándar 7 / Competencia 1)
10
(rúbrica)
5. Coevaluación
(Competencia 4)
Total de puntos
_10__
100
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus conocimientos,
habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):





Pauta con las indicaciones para realizar el trabajo y los aprendizajes esperados
Apuntes de clases
Materiales traídos por los alumnos, incluido textos si así lo estiman
Pauta de coevaluación
Data, computador, pizarra para la exposición.
128
Rúbrica de evaluación
Evaluación clave
No logra estándar
0 pts.
Construcción de cinco
cuerpos geométricos
y emisión de Informe
Construye uno o dos
cuerpos
No expone sus
propiedades ni
características
No muestra
aplicaciones
Se evidencian errores
en el informe
Creación o recreación
de dos problemas de
aplicación, mostrando
enunciado, solución y
análisis
Presenta los dos
problemas sin
relación a cuerpos
geométricos, presenta
un solo problema o no
presenta problemas.
No presenta las
soluciones
Logra estándar
parcialmente
4 pts.
Logra estándar
superficialmente
6 pts.
Construye más de
dos cuerpos o
ninguno de ellos
irregular
Expone en forma
incompleta sus
características y
propiedades
No muestra
aplicaciones
El informe aparece
incompleto
Construye los cinco
cuerpos, pero ellos
sólo se refieren a
poliedros simples
(prisma o pirámide
recta regular)
Sus características y
propiedades están
completas y correctas
El informe está
completo pero
superficial
Presenta los dos
problemas muy
simples (aplicaciones
directas).
Presenta las
soluciones
Presenta un problema
interesante (que
relaciona más de tres
conceptos en a lo
menos dos áreas del
saber).
Presenta un problema
que contienen sólo
aplicaciones directas.
129
Logra estándar con
profundidad
8 pts.
Construye los cinco
cuerpos considerando
distintos tipos (regular,
irregular, prisma,
pirámide, recto,
oblicuo, prisma
triangular
descompuesto en tres
pirámides de igual
volumen, etc.)
Sus características y
propiedades están
completas, correctas y
relacionadas
El informe está
completo y agrega
valor con apreciaciones
personales y relaciona
los distintos conceptos
Presenta los dos
problemas
relacionando más de
dos conceptos y a lo
menos dos áreas del
saber en cada uno.
Presenta diversas
alternativas de solución
y un análisis de ellas.
Puntos
Presenta las
soluciones
Exposición del trabajo
a sus compañeros
Las ideas son poco
claras, su lenguaje es
pobre, no sabe
responder preguntas
relacionadas con su
presentación
Las ideas
presentadas son
claras y precisas,
pero son aisladas.
Responde algunas
preguntas
relacionadas con su
presentación
Presenta ideas claras,
precisas,
relacionadas
Responde a todas las
preguntas que se le
hagan relacionadas
con su presentación
Presenta un cuerpo
geométrico complejo,
sus ideas son claras y
precisas. Las
propiedades y
características del
cuerpo se exponen
integradas y aplicadas.
Reporte personal
No responde ninguna
de las tres preguntas
Responde una o dos
preguntas
Responde las tres
preguntas sin
argumentar sus
afirmaciones
Responde y argumenta
las tres preguntas
PUNTOS TOTAL
130
Asignatura:
Autor(a)/Universidad:
Estadística Básica.
Salim Elal Olivero y Manuel Barahona Droguett
Universidad de Atacama
Horas presenciales por semanas: 4 horas
Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 4 horas
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Enseñanza Básica.
El profesor especialista para el segundo ciclo de Enseñanza Básica es un
profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria en, al menos, un sector del
aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica
reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten
responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con
la familia y comunidad se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el
desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en
acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la
educación que ofrece su institución escolar.
ALINEACION CON ESTANDARES Y COMPETENCIAS.
I.
Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionados con el curso.
El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer, y las evaluaciones, han
sido alineadas con los estándares y competencias del perfil de egreso para la formación inicial de
profesores del segundo ciclo básico.
(A) Los siguientes estándares tienen un énfasis principal en este curso.
Estándar 10 Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticas requeridas para recopilar,
organizar, representar, analizar e interpretar conjuntos de datos a partir del planteamiento,
discusión y resolución de problemas extraídos de la vida real, teniendo en vista la organización
de su enseñanza.
(B) Las siguientes competencias del perfil de egreso tienen un énfasis principal en
este curso.
Competencia 1, Eje 2. Comprende con amplitud y profundidad las disciplinas del sector de
aprendizaje que es responsable de enseñar.
Competencia 4, Eje 2 Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa
para monitorea el avance y logro de las metas de aprendizaje.
131
Competencia 5, Eje 2. Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los
educandos y ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas.
Competencia 6, Eje 2. Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes y
significativas para presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel que
enseña.
(C) Los siguientes estándares tienen un énfasis secundario en el perfil de egreso.
Estándar 1. Comprende los números naturales como abstracción de las cantidades discretas
y los distingue de sus representaciones disponiendo así de modelos para interpretar
situaciones y resolver problemas reales de orden y conteo, aditivos y multiplicativos, de
divisibilidad y restos.
Estándar 4. Comprende la modelación de situaciones referidas a cuocientes, razones, tasas,
proporciones, probabilidades, repartos y fraccionamientos, por medio del sistema de números
racionales y sus registros de representación para aplicarla en la resolución de problemas
asociados a fenómenos naturales y sociales, teniendo en vista la organización de su
enseñanza.
(D) Las siguientes competencias del perfil de egreso tienen un énfasis secundario.
Competencia 6, Eje 2. Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizajes pertinentes
y significativos para presentar ideas y conceptos disciplinarios los estudiantes del nivel que
enseña.
II APRENDIZAJES ESPERADOS
Son los aprendizajes claves para el logro de los estándares/competencias.
Conceptual


Conozca el desarrollo histórico de la estadística y explique el por qué la necesidad de la
sociedad, en su conjunto, de recolectar datos e información en el contexto de su evolución
y perfeccionamiento.
Comente las características del quehacer estadístico en el mundo moderno y relacione
dichas características en disciplinas tales como negocios, economía, demografía,
ingeniería, salud, seguros, educación, medicina, psicología y otras.
132


Identifique tipos de variables: sean estas cualitativas, tanto ordinales como nominales, o
bien cuantitativas, las cuales pueden ser continuas y discretas, tomadas en contextos de la
vida diaria.
Comprenda las técnicas para agrupar datos en tablas de distribución de frecuencias y la
posterior descripción y análisis del comportamiento de dichos datos.
Procedimental


Recopile información de situaciones de la vida diaria y planteé problemas que para ser
resueltos requieran de una recolección y análisis de datos.
Organice conjuntos de datos presentándolos a través de tablas de distribución de
frecuencias o bien por medio de gráficos.
Actitudinal


Aprecie la importancia de manejar las medidas de tendencia central y las medidas de
dispersión para caracterizar un conjunto de datos.
Acceda a software estadístico adecuado para la presentación y análisis de datos.
III LECTURAS REQUERIDAS.
TEXTOS OBLIGATORIOS:
[1] J.P. Guilford – Benjamín Fruchter, Estadística Aplicada a la Psicología y la Educación, Mc
Graw Hill, Mexico, 1984 Capítulos 1 al 6
[2] Guillermo Briones, Análisis e Interpretación de datos, Formación de Docentes en
Investigación Educativa, SECAB, Santa Fé de Bogota, Colombia, 1992.Capitulo 1
3 Leonidas Espina M. Estadística Elemental Imprenta Universitaria S.A, Santiago Chile 1998 .
Capítulos 1 al 6
[4] Maria José Fernández et al, 225 Problemas de Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales,
Editorial Síntesis, Madrid, España, 1992.Capítulos 1 y 2
[5] Milton Smith, Estadística Simplificada Para Psicólogos y Educadores, El Manual Moderno,
S.A, Mexico, 1971.Capítulos 1 al 6
6 Murray R.Spiegel, Estadística Serie de compendios Schaum’s, Mexico 1995, Capitulo 1 al 4
LECTURAS COMPLEMENTARIAS
7 Rodrigo Bamón, Patricio González, Jorge Soto, Matemática Activa Segundo Año Medio,
Editorial Mare Nostrum y Teduca Editora, Santiago, Chile, 2005
[8] Rodrigo Bamón, Patricio González, Carmen Medina, Jorge Soto, Matemática Activa Tercer
Año Medio, Editorial Universitaria, Editorial Mare Nostrum, Santiago, Chile, 2005.
[9] Jorge Soto Andrade, Patricio González, Matemática Texto Para el Estudiante, Cuarto Año
Medio, Editorial Mare Nostrum y Teduca S. L, Santiago Chile, 2005.
[10] Educación Matemática, Programas de Estudio de quinto, sexto, séptimo y octavo año
básico, Ministerio de Educación, República de Chile, 1999.
133
IV OTROS RECURSOS.
[1] Software: Excel
[2] Software: Statistic.
[3] statgrafic
V Trabajos del alumno y su relación con el logro de Estándares y Competencias.
(indique las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los
estándares y competencias del perfil de egreso)
1. Mostrar resumidamente la información. Estándar 10, 1, 4/ Competencias 6
Construya un conjunto de datos y represéntelos mediante diferentes tipos de gráficos. Verifique
los resultados utilizando un software estadístico apropiado.
2. Cálculo de indicadores de tendencia central. Estándar 10, 1, 4/Competencias 6
Calcule las medidas de tendencia central, basado en un conjunto de datos, y determine cual
de estas representa mejor a la dicha información, atendiendo a su distribución. Verifique los
resultados utilizando un software estadístico
3. Comparación de datos. Estándar 11, 1, 4 / Competencia 6
.
Datos bivariados. Análisis de la información bivariada. Atendiendo a la naturaleza de la
información (cuantitativa y cualitativa) estudiar la Correlación existente entre variables en
estudio.
Pauta para la evaluación clave
EVALUACIÓN CLAVE 1
1. Estándar 10 / Competencias 6
2. Justificación: (¿por qué tiene que saber/hacer esto un/profesor de 2º ciclo?.)
Organización y análisis de la información
En un mundo que nos bombardea constantemente con información de tipo cuantitativo
y cualitativo, de resultados de encuestas, tales como variaciones esperadas en los índices
económicos, de salud, de la educación y de otros ámbitos de la sociedad, de una lista
interminable de información entregada mediante gráficos, cifras y datos, que nos muestra
una realidad sumergida en la incertidumbre, el profesor tiene que saber organizar dicha
información y dimensionar la realidad que dicha información nos quiere mostrar.
134
3. Pre-requisitos: (Lo que los estudiantes deben saber y saber hacer: antes de la
evaluación)
(a) Conocer el conjunto de los números reales, sus propiedades y las
Operaciones que se pueden realizar con dicho conjunto.
(b) Graficar en el Sistema Cartesiano de Coordenadas.
4. Descripción breve de la evaluación.
Aplicar las técnicas propias de la estadística, a un conjunto de datos, con el fin
comprender mejor la información que dichos datos nos muestran.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle.
Paso 1. Recolecte y construya una base de datos relativo a un problema dado y
analice el tipo de datos que se ha recopilado, el que puede ser cualitativo o cuantitativo.
Paso 2. Agrupe y organice la información de acuerdo al tipo de datos de que se trate,
esto es, si fuesen datos de naturaleza cuantitativa o cualitativa, presentándolos de acuerdo
a las técnicas estadísticas enseñadas. Utilice un software especializado si fuese necesario.
Paso 3. Analice los datos utilizando para ellos indicadores estadísticos apropiados que
permitan caracterizar la información de acuerdo al problema planteado.
Paso 4. Explique claramente el planteamiento del problema y la solución hallada de
manera que pueda observarse que ha entendido, aprendido y aplicado correctamente las
técnicas de la estadística y utilice en su exposición herramientas tales como computador,
software, power point, y otros que considere pertinente.
6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación
PUNTOS
PASO 1. Construcción de la base de datos
PASO 2. Organización y presentación de la Información
PASO 3. Caracterización de la Información, basandose
en estadísticos de tendencia central y de dispersión
10
30
PASO 4. Exposición, utilizando herramientas adecuadas
20
Total de puntos
40
100
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar
conocimientos, habilidades o actitudes (textos, sitios de la red, otros):
sus
1. Uso de reglas, escuadras, compás, transportador, calculadoras manuales,
papel milimetrado.
2. Uso de Calculadora manual, Tecnología mas avanzada como Power point
y Software estadístico
3.
Textos y Apuntes
Rúbrica de evaluación
135
Evaluación clave
Recolecte y construya
una base de datos
relativo al problema y
analiza el tipo de
datos que ha
recopilado, el que
puede ser cualitativo
o cuantitativo.
Insatisfactorio
El estudiante no logra
explicar el problema
dentro de un contexto,
no identifica variables y
no recolecta datos.
Básico
El estudiante
logra
explicar el problema
dentro de un contexto,
identifica
variables,
recolecta datos pero no
distingue la naturaleza
de los datos.
Competente
El estudiante entiende el
problema
correctamente,
construye una base de
datos y distingue el tipo
de datos,
Agrupe y organice la
información de
acuerdo al tipo de
datos de que se trate,
esto es, si fuesen
datos de naturaleza
cuantitativa o
cualitativa,
presentándolos de
acuerdo a las
técnicas estadísticas
aprendidas.
No agrupa y no organiza
la información ya que
no
reconoce
las
variables y no recoge
datos.
Agrupa y organiza la
información
de
acuerdo
a
la
identificación de los
datos dados por él.
Agrupa y organiza la
información
correctamente
de
acuerdo a las técnicas
estadísticas.
Analice los datos
utilizando para ello
indicadores
estadísticos
apropiados que
permitan caracterizar
la información de
acuerdo al problema
planteado.
Destacado
El
estudiante
logra explicar
el
problema
dentro de un
contexto,
identifica
variables
y
distingue
la
naturaleza
de
los
datos
entregando mas
información
acerca de ellos.
Agrupa y organiza la
información
correctamente
de
No analiza los datos al Analiza los datos Analiza
los
datos acuerdo a las técnicas
no contar con la base de incorrectamente
correctamente utilizando estadísticas aprendidas y
datos.
estadísticos las corrobora mediante
causa de la incorrecta los
un software estadístico .
identificación de la apropiados.
variable.
Explique claramente No explica
el planteamiento del
problema
y
la
solución alcanzada de
manera que pueda
observarse que ha
entendido, aprendido
y
aplicado
correctamente
las
técnicas
de
la
estadística y utilice en
su
exposición
herramientas
tales
como
computador,
software, power point,
y otros que considere
pertinente.
Intenta
dar
una Explica claramente el
pero
no
explicación
que problema,
Analiza
los
datos
arrastra los errores utiliza las Tics.
correctamente utilizando
cometidos a causa de
los
estadísticos
la
incorrecta
apropiados y corrobora
identificación de la
sus resultados con un
variable.
software.
Explica claramente el
problema utilizando los
estadísticos apropiados
y emplea Tics en su
exposición.
136
Asignatura:
Autor(a)/Universidad:
Transformaciones Isométricas
Andrés Ortiz, Universidad de Concepción
Ximena Cruz, Universidad de Tarapacá
Horas presenciales por semana:
4 hrs.
Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6hrs
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional con
sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje, con
autonomía para tomar decisiones informadas.
Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le
permiten responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza.
En colaboración con la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que
potencien el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes.
Participa en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la
educación que ofrece su institución escolar
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionado al curso.
El curso de Transformaciones Isométricas está diseñado para lograr con especial énfasis los
estándares y competencias del perfil que a continuación se indican:
Estándar 8:
Comprende las características que son propias de cada uno de los distintos tipos de
transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría puntual y axial. Reconoce
transformaciones isométricas en variados contextos, tanto cotidianos como artísticos,
identificando su tipo y los elementos que la generaron. Aplica transformaciones y usa simetrías
para analizar y resolver problemas geométricos, así como para ilustrar propiedades de figuras
geométricas. Además, está en condiciones de organizar, planificar, diseñar actividades de
aprendizaje basada en la resolución de problemas para los contenidos presentes en el marco
de los planes y programas vigentes en Matemática y de generar instancias evaluativas de estos
aprendizajes.
Competencia 1, Eje 2
Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector
de aprendizaje que es responsable de enseñar.
Competencia 2, Eje 2
137
Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el
sector curricular que enseña y utiliza este conocimiento para planificar su
enseñanza.
Competencia 7, Eje 2
Crea experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten a los
estudiantes integrar el conocimiento, destrezas y métodos de investigación
de diversos sectores de aprendizaje.
El (los) siguiente estándar(es)/competencia(s) tiene(n) un énfasis secundario en este
curso:
Estándar 6
Comprende la estructura axiomática de la geometría euclidiana y las nociones básicas
de punto, recta, trazo, rayo. Comprende el concepto de distintas figuras geométricas
tales como ángulo, polígono (centrado en el triángulo y el cuadrilátero), circunferencia y
las regiones que ellas delimitan; distinguiendo las distintas formas de clasificar y de
caracterizar dichas figuras a través de su construcción geométrica, avanzando hacia la
deducción y demostración de sus propiedades y relaciones. Comprende los conceptos
de medida de longitud, medida angular, medida de superficie y demuestra propiedades
que permitan calcular áreas y perímetros; reconociendo los distintos sistemas y
unidades de medida en cada uno de ellos. Comprende el concepto de congruencia de
figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de triángulos para determinar si
dos figuras son congruentes, como también para construir tesselaciones y así vincular
el estudio de la geometría a diferentes manifestaciones del arte y la arquitectura,
valorando a la Geometría como una disciplina muy ligada a la realidad de la humanidad
y sus civilizaciones en distintas culturas y épocas.
Organiza, planifica y diseña actividades que direccionen los procesos de enseñanza
hacia procesos de conceptualización de los distintos objetos geométricos para inducir
en forma comprensiva la clasificación de figuras en los niños, para generar la
necesidad de usar regla y compás en construcciones geométricas, para deducir
propiedades a partir de figuras construidas geométricamente o en software de
geometría dinámica, y para deducir propiedades métricas. Diseña planificaciones de
enseñanza que sean coherentes con las orientaciones didácticas presentes en el
marco de los programas oficiales y con enfoques cognoscitivos actuales acerca del
aprendizaje.
Competencia 10, Eje 2
Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo y manteniendo normas
consistentes y consensuadas de disciplina en el aula que potencian el desarrollo social de los
educandos para la vida en una sociedad democrática.
II. Aprendizajes esperados (los aprendizajes claves para el logro de los
estándares / competencias)
138
Conceptual
 Reconoce y comprende las traslaciones, simetrías puntuales, simetrías axiales y rotaciones
de figuras.
Procedimental
 Utiliza simetrías en triángulos y cuadriláteros para clasificarlos, ilustrar propiedades, y
resolver problemas en diversos contextos.
 Construye traslaciones, simetrías puntuales, simetrías axiales y rotaciones de figuras,
usando regla y compás y software de construcciones geométricas.
 Establece una secuencialidad entre los distintos contenidos de geometría referidos o
asociados a transformaciones isométricas señalados en los Planes y Programas de 5°
básico a 1° medio.
Actitudinal
 Valora la importancia de la presencia de las transformaciones isométricas en el arte y
arquitectura, identificando el tipo de transformación presente en determinadas obras.
III. Lecturas Requeridas:
A) Lecturas obligatorias





B)





Jaime Pastor, A.; Gutiérrez Rodríguez, A; (1996) "El grupo de las isometrías en el
plano", Editorial Síntesis. ISBN: 8477383464. - 1ª Ed. Síntesis.
Carreño, Ximena; Cruz, Ximena. Geometría. Arrayán. Santiago, Chile. 2004.
Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Materiales para construir la Geometría. Colección
Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 11. Síntesis. Madrid. 1991.
Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Invitación a la Didáctica de la Geometría.
Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje. N°s 12. Síntesis. Madrid. 1991.
Alsina, C.; Burgués, C.; Fortuny, J. Simetría Dinámica. Colección Matemáticas: Cultura
y Aprendizaje. N°s 13. Síntesis. Madrid. 1991.
Lecturas complementarias
http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/archivos1/textospdf/Jai93.pdf
http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/archivos1/textospdf/Gut90a.pdf
Gómez Chacón, M. Inés. Matemática Emocional. Narcea. Madrid. 2000.
Gorgorió, N.; Deulofeu, J.; Bishop, A (coords.) Matemática y Educación. N° 154. Grao.
Barcelona. 2002.
Riveros, Marta; Zanocco, Pierina y otros. Resolver Problemas Matemáticos: una
tarea de profesores y alumnos. Ediciones Pontificia Universidad Católica de Chile.
Santiago Chile. 2002
139
IV. Otros recursos:





http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/demates12/opciones/Mundo%20Po
liedros/Poliedros%20y%20Teselaciones/Tesselmania%20Demo.htm
http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/teselacion/Otras_teselaciones.htm
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/programa (ver Unidad 3)
http://www.dmat.udec.cl/~ivcifuentes/
http://www.geometriadinamica.cl/
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique
las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y
competencias del perfil de egreso)
1. Construcciones de transformaciones isométricas Estándar 8-6 /Competencia
1
Construye traslaciones, simetrías y rotaciones utilizando regla y compás indicando las
características que las distinguen.
2. Utilizar las simetrías para clasificar triángulos y cuadriláteros
/Competencia1
Estándar
8
–
6
Construye simetrías axiales en diferentes triángulos y cuadriláteros utilizando diferentes
ejes de simetría, y reconoce que en algunos casos la simetría genera una figura coincide
con la figura original, mencionando en forma explícita las condiciones que se deben dar
con el cuadrilátero y el eje para que se cumpla dicha condición.
3.
Transformaciones Isométrica en el Arte y la Arquitectura
Estándar 8
/Competencias7-10
Elaboran y exponen grupalmente un informe de investigación acerca de los grupos de
simetrías y su vinculación y presencia en las obras de arte más importantes del medio
oriente como también en algunas obras arquitectónicas
4. Tesselaciones y Uso de TIC’s
Estándar 8 / Competencia 7
En forma individual cada alumno elabora una presentación en power point que contenga
tres digitalizaciones de pinturas de M. Escher en las cuales se logre establecer como las
transformaciones isométricas contribuyen a la construcción de dichas obras de arte.
Para ello, dentro de la misma presentación debe incluir links con archivos sharware
especializados en tesselaciones (ej. tesselmania) y también con sitios web que
muestren como a partir de una o más transformaciones isométricas se pueden construir
tesselaciones y en particular algunas pinturas de M. Escher
5. Transformaciones Isométricas y su vinculación con el Marco Curricular Vigente
Estándar 8 / Competencia 2
Analiza los Planes y Programas y los Textos de Enseñanza de circulación nacional de 3°
básico a 1° medio y señala en qué niveles se analizan los contenidos de transformaciones
isométricas sus grados de complejidad de acuerdo al nivel y establece una secuencialidad en
ellos. El análisis debe considerar el aspecto conceptual de cada una de las transformaciones
isométricas presentes tanto en el Marco Curricular como en los textos de Enseñanza.
140
Pauta para la Evaluación Clave
EVALUACION CLAVE 1
1. Estándar 8 / Competencia 1-7
2. Justificación (¿Por qué tiene que saber/hacer esto un/una profesor de segundo ciclo?):
Un(a) profesor(a) de 2° ciclo debe ser capaz de comprender las características que son propias
de cada uno de los distintos tipos de transformaciones isométricas: traslación, rotación, simetría
puntual y axial; construirlas con regla y compás, y con software geométrico; y reconocerlas en
variados contextos, tanto cotidianos como artísticos, identificando su tipo y los elementos que la
generaron.
3. Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben saber hacer antes de la
evaluación):
Los estudiantes deben:
 Comprender y reconocer los conceptos de rectas perpendiculares y paralelas, punto
medio, ángulo, triángulo.
 saber hacer construcciones geométricas: rectas perpendiculares y paralelas; simetral de
un trazo
 saber a nivel de usuarios el manejo de algún software geométrico
4. Descripción breve de la evaluación:
Realizarán construcciones con regla y compás, y construcciones utilizando software geométrico
de diferentes tipos de transformaciones geométricas reconociendo en cada una de ellas las
características que las distinguen y diferencian. Además reconocerán dichas transformaciones
en diferentes contextos del ámbito geométrico y artístico.
5. Pasos de la Evaluación (Describa los pasos de la evaluación en detalle)
Paso 1:
Dadas 4 figuras en hojas blancas no cuadriculadas, los estudiantes individualmente construirán
con regla y compás según distintas condiciones, una traslación, una simetría axial, una simetría
puntual y una rotación.
Paso 2:
Dado un set de pares de figuras, deberán reconocer, trabajando individualmente, en cuáles de
ellas hay una transformación isométrica y de qué tipo es, fundamentando la elección indicando
claramente el vector y su magnitud en el caso de la traslación, el punto de simetría en el caso
de la simetría puntual, el eje de simetría en el caso de la simetría axial, el punto de giro y
medida angular en el caso de la rotación.
Paso 3:
Trabajando en parejas frente a un computador con una guía de aprendizaje resuelven
situaciones problemáticas de construcción de transformaciones isométricas utilizando un
software geométrico y reconocen atributos propios de las traslaciones, rotaciones y simetrías
utilizando el software
141
Paso 4:
Dada la imagen de una pintura de M. Escher que contenga transformaciones isométricas los
alumnos reconocerán al menos dos tipo de ella caracterizándolas completamente.
6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan
conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):
mostrar
sus
 Instrumentos de construcción y medición (regla, compás y transportador)
 Internet y algunos Sitios web
142
Rúbrica de evaluación
EVALUACIÓN
CLAVE 1
Construcción, en hojas blancas,
de una traslación, una simetría
axial, una simetría puntual y una
rotación; cada una con una
descripción
del
proceso
e
identificación de los elementos
básicos
En un set de pares de figuras, los
alumnos reconocen en cuáles de
ellas hay una transformación
isométrica y de qué tipo es,
fundamentando
la
elección
indicando claramente el vector y
su magnitud en el caso de la
traslación, el punto de simetría en
el caso de la simetría puntual, el
eje de simetría en el caso de la
simetría axial, el punto de giro y
medida angular en el caso de la
rotación.
Insatisfactorio
0 puntos
Básico
3 puntos
Construye 1 o 2
transformaciones
sin descripción del
proceso ni
identificación de los
elementos básicos
Construye las 4
transformaciones
sin descripción del
proceso ni
identificación de los
elementos básicos
Construye las 4
transformaciones
describiendo el
proceso, pero sin
identificar los
elementos básicos
Construye las 4
transformaciones
describiendo el
proceso e
identificando los
elementos básicos
en cada una
Reconoce 1 o 2
transformaciones
sin fundamentar ni
indicar los
elementos
solicitados
Reconoce cuatro
transformaciones
sin fundamentar ni
indicar sus
elementos
Reconoce las cuatro
transformaciones,
fundamenta su
elección, pero no
indica los elementos
solicitados
Reconoce las cuatro
transformaciones,
fundamenta su
elección e indica los
elementos
solicitados
Construye dos tipos
de transformaciones
distintas
Construye tres tipos
de transformaciones
distintas
Construye cuatro
tipos de
transformaciones
distintas
Cada pareja construye cuatro
Construye sólo un
transformaciones isométricas, una
tipo de
de cada tipo, utilizando un transformaciones
software geométrico
Competente
6 puntos
Destacado
8 puntos
Puntos
143
En pinturas de M. Escher, los
alumnos reconocerán al menos
No identifica
dos tipos de transformaciones,
transformaciones
identificándolas con todos sus
elementos
Identifica una
transformación,
pero no la
caracteriza
Identifica dos
transformaciones
sin caracterizarlas
Identifica dos
transformaciones y
las caracteriza.
144
EVALUACION CLAVE 2
1.
Estándar 8-6 / Competencia
1-2
2.
Justificación (¿Por qué tiene que saber/hacer esto un/una profesor de segundo ciclo?):
Un(a) profesor(a) de 2° ciclo debe ser capaz de usar simetrías para analizar y resolver
problemas geométricos, así como para reconocer el tipo de triángulo o cuadrilátero de acuerdo
al número de ejes de simetrías presentes. Además, debe estar en condiciones de reconocer en
los planes y programas de 4° básico a 1° medio los contenidos referidos a transformaciones
isométricas, relacionarlos con los aprendizajes esperados y crear indicadores de logro de
dichos aprendizajes. Esto último es una manera de que el alumno se adueñe de los
conocimientos, los aprehenda y desarrolle la capacidad de preguntar al mismo tiempo que de
responder.
3.
Pre-requisitos: (lo que los estudiantes deben saber y deben saber hacer antes de la
evaluación):
Los estudiantes deben:
 Comprender y reconocer los conceptos de triángulo, cuadriláteros y sus clasificaciones
y propiedades.
 Saber hacer construcciones geométricas: rectas perpendiculares y paralelas; simetral
de un trazo, elementos secundarios del triángulo.
 Ubicar en los Planes y Programas de estudio los contenidos referidos a
Transformaciones Isométricas y relacionarlos con los aprendizajes esperados.
 Crear indicadores de logro para evaluar aprendizajes de transformaciones isométricas.
4.
Descripción breve de la evaluación:
Realiza construcciones geométricas de simetrías utilizándolas para la comprensión del tipo de
clasificación de triángulos y cuadriláteros centrada en ejes de simetría. Además analiza los
planes y programas en los tópicos referidos a transformaciones isométricas, los relaciona con
los aprendizajes esperados y crean indicadores de logro para su evaluación.
5.
Pasos de la Evaluación (Describa los pasos de la evaluación en detalle)
Paso 1:
Trabajando individualmente construye la simetría axial en 4 triángulos: uno equilátero, uno
isósceles, uno isósceles rectángulo y otro escaleno utilizando diferentes ejes de simetría
reconociendo que en algunos de esos triángulo la simetría genera una figura semejante con el
triángulo original, mencionando en forma explícita las condiciones que se deben dar con el
triángulo y el eje para que se cumpla dicha condición y además estableciendo la clasificación
de acuerdo a los ejes de simetría.
Paso 2:
Trabajando individualmente construye la simetría axial en 5 cuadriláteros: un cuadrado, un
romboide, un rectángulo, un trapecio isósceles y un cuadrilátero cualquiera utilizando diferentes
ejes de simetría reconociendo que en algunos de esos cuadriláteros la simetría genera una
figura coincidente con el cuadrilátero original, mencionando en forma explícita las condiciones
que se deben dar con la figura de 4 lados y el eje para que se cumpla dicha condición y
además estableciendo la clasificación de acuerdo a los ejes de simetría.
145
Paso 3:
En grupos de dos o tres, los alumnos desarrollan un mapa conceptual que relacione los
siguientes conceptos: ejes de simetría, tipo de cuadriláteros, paralelogramos, trapecios.
Paso 4:
En grupos de dos o tres, los alumnos desarrollan un mapa conceptual que relacione los
siguientes conceptos: ejes de simetría, tipo de triángulos.
Paso 5:
En grupos de dos o tres, los alumnos analizan los planes y programas de 3° básico a 1° medio
para reconocer los contenidos referidos a transformaciones isométricas presentes, los
relacionan con los aprendizajes esperados y elaboran indicadores de logros para evaluarlos
6.
Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):
 Libros de Texto de Enseñanza
 Planes y programas del subsector Educación Matemática (3° a 8°) y Matemática
(1° medio)
 Instrumentos de construcción y medición.
146
Rúbrica de evaluación
EVALUACIÓN
CLAVE 2
Construye simetría axial
en cuatro triángulos:
equilátero, isósceles,
rectángulo isósceles y
escaleno. Reconoce que
en alguno de ellos el eje
de simetría generan dos
triángulos semejante al
original. Establece
clasificación de acuerdo a
la cantidad de ejes de
simetría
Construye simetría axial
en cinco cuadriláteros:
cuadrado, romboide,
trapecio isósceles y
cuadrilátero cualquiera.
Reconoce condiciones
para que la simetría
genere figuras
semejantes al cuadrilátero
original. Clasifica los
cuadriláteros respecto al
número de ejes de
simetría
Desarrolla dos mapas
conceptuales, uno que
relaciona los conceptos
ejes de simetría, tipos de
cuadriláteros,
Insatisfactorio
0 puntos
Básico
3 puntos
Competente
6 puntos
Destacado
8 puntos
No construye
simetrías
Construye las cuatro
simetrías pero no
clasifica ni reconoce
condiciones para la
semejanza
Construye las cuatro
simetrías, clasifica
los triángulos pero no
reconoce
condiciones de
semejanza
Construye las cuatro
simetrías, clasifica
los triángulos y
reconoce
condiciones de
semejanza
No construye
simetrías
Construye las cinco
simetrías pero no
clasifica ni reconoce
condiciones para la
semejanza
Construye las cinco
simetrías, clasifica
los cuadriláteros pero
no reconoce
condiciones de
semejanza
Construye las cuatro
simetrías, clasifica
los cuadriláteros y
reconoce
condiciones de
semejanza
No desarrolla ningún
mapa conceptual
coherentemente
Desarrolla un mapa
conceptual simple
Desarrolla los dos
mapas conceptuales
simples
Desarrolla los dos
mapas conceptuales
haciendo relaciones
complejas
Puntos
147
paralelogramos y
trapecios, y el otro que
relaciona los conceptos
ejes de simetría y tipos de
triángulos
Analiza los Planes y
Programas de 3° básico a
1° medio identificando los
contenidos y aprendizajes
esperados referidos a
transformaciones
isométricas, los relaciona
y crea indicadores de
logro para cada uno de
los aprendizajes
esperados
No analiza los Planes
y Programas o no
identifica los
contenidos ni
aprendizajes
esperados referidos
a transformaciones
isométricas
Reconoce e identifica
en los Planes y
Programas, los
contenidos y
aprendizajes
esperados referidos
a transformaciones
isométricas
Relaciona los
contenidos referidos
a transformaciones
isométricas con los
aprendizajes
esperados
Relaciona los
contenidos referidos
a transformaciones
isométricas con los
aprendizajes
esperados y crea un
indicador de logro
para cada
aprendizaje esperado
148
VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:
Puntos:
1. Evaluación clave 1
32
(Estándar 8 / Competencia 1 – 7)
2 Evaluación clave 2
32
(Estándar 8 – 6 / Competencia 1 – 2)
Total
Asignatura:
Autor(a) / Universidad:
64 puntos
Didáctica de los sistemas numéricos.
Raimundo Olfos / P. U. Católica de
Valparaiso
149
Horas presenciales por semana: 2 horas teóricas, 2 horas prácticas
Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 4 horas
Nuestra Visión Profesor Especialista para el Segundo Ciclo Básico
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un
profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un
sector de aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas.
Ejerce una práctica reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las
competencias que le permiten responsabilizarse de los procesos y resultados
de su enseñanza. En colaboración con la familia y comunidad, se compromete
con el logro de aprendizajes que potencien el desarrollo psicosocial, intelectual
y moral de estudiantes preadolescentes. Participa en acciones de cooperación
profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la educación que ofrece
su institución escolar
I. Estándares y Competencias del perfil de egreso, relacionados al curso:
Los siguientes estándares y las siguientes competencias tienen un énfasis principal
en este curso:
Estándar 1:
Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las
cantidades discretas, y los distingue de sus formas de representación.
Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del
orden y de las operaciones con números naturales y enteros a partir de
propiedades evidentes de los números y de sus sistemas de representación.
Resuelve problemas referidos a cantidades discretas y magnitudes negativas,
haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, las propiedades de las
operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, y
herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo que
construya de la situación.
Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo, aditivas,
multiplicativas, de divisibilidad y restos ligadas a contextos de los programas
oficiales de segundo ciclo de distintos sectores curriculares, en los que se
utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en general propiedades de los
números naturales o enteros.
Estándar 3:
Comprende los significados asociados a las fracciones y el concepto de número
racional como elemento de un conjunto cuociente, distinguiendo sus diferencias y
similitudes. Reconoce los números decimales como aquellos racionales que se expresan
por fracciones cuyo denominador es una potencia de diez. Reconoce las expresiones o
desarrollos decimales finitos y periódicos como una forma de representación de los
números racionales, alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos de las
operaciones aritméticas. Comprende la existencia de cantidades inconmensurables, e
identifica los números irracionales con las expresiones o desarrollos decimales infinitos
150
no periódicos. Reconoce en las distintas formas de representación de los números una
complejidad conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.
Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones, incluyendo potencias y raíces,
en los números decimales, racionales e irracionales, y las visualiza bajo las distintas
formas de representación, incluyendo esquemas y gráficos, de estas categorías de
números. Fundamenta los procedimientos de cálculo a partir de las formas de
representación de los números. Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y
sociales a partir de la modelación de situaciones referidas a diferencias y razones entre
medidas, mediciones y particiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia de
fraccionamientos, cuocientes y restos, pendientes, escalas, semejanza, porcentajes,
tasas y variaciones proporcionales, probabilidades, medidas grandes y pequeñas,
redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de calculadora y algoritmos operatorios,
y uso de estrategias de cálculo; para lo cual utiliza números irracionales, el sistema de
los números racionales y diferentes registros de representación, incluyendo expresiones
fraccionarias, decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, y potencias con
exponente entero.
Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas a distintas
disciplinas, en el marco de los programas de estudio de segundo ciclo básico,
usando fracciones, decimales y porcentajes.
Competencia 2, Eje 2:
Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector
curricular que enseña y utiliza este conocimiento para planificar su enseñanza.
Competencia 3, Eje 2:
Planifica secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de
los contenidos y el proceso de aprendizaje, considerando en sus actividades y
en la evaluación de estas, los procesos cognoscitivos.
Competencia 6, Eje 2:
Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje pertinentes para
presentar ideas y conceptos disciplinarios a sus estudiantes en el nivel que
enseña.
Competencia 7, Eje 2:
Planifica la enseñanza en colaboración con otros profesionales para
organizar experiencias de aprendizaje interdisciplinarias que permiten
a los estudiantes integrar el conocimiento, destrezas y métodos de
investigación de diversos sectores de aprendizaje.
Competencia 10, Eje 2:
Conoce los principios didácticos que le permiten una gestión eficiente y efectiva
en el aula para optimizar el tiempo dedicado al aprendizaje..
Los siguientes estándares y las siguientes competencias tienen un énfasis
secundario en este curso:
Estándar 2:
Comprende los conceptos de número natural y entero, como entes formales
cuyas propiedades están dadas por los axiomas y las proposiciones que se
deducen de ellos.
151
Comprende la estructura deductiva de los sistemas de números naturales y
enteros; reconoce las propiedades de estos sistemas y es capaz de explorar y
deducir algunas propiedades en el marco de la teoría de números y de la
estructura de anillo de los números enteros.
Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que
favorecen la comprensión y uso de los múltiplos, los divisores la
descomposición en factores primos, la divisibilidad, las potencias y productos
como iteraciones, la representación de grandes y pequeños números, y la
estimación y el redondeo de lo, como también, a los números enteros, sus
operaciones, orden y valor absoluto, atendiendo a los obstáculos didácticos
asociados a estos conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas
oficiales del segundo ciclo y a los enfoques cognoscitivos actuales de los
aprendizajes.
Estándar 4:
Comprende el concepto de número racional, como ente formal cuyas
propiedades están dadas por su definición constructiva y las proposiciones que
se deducen de ellos.
Comprende la estructura deductiva del sistema de los números racionales,
reconoce sus propiedades como cuerpo ordenado y es capaz de explorar y
deducir algunas propiedades en el marco de la estructura del cuerpo cuociente
construido desde el anillo de los números enteros.
Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que
favorecen la comprensión y utilización de los números irracionales y del cuerpo
ordenado de los racionales, en situaciones referidas a fracciones de medidas,
particiones, reparto, ubicación en la recta, equivalencia de fracciones,
expresiones decimales infinitas periódicas y no periódicas, redondeos,
aproximaciones, estimaciones, operaciones entre racionales, cálculos con
algoritmos estándares, uso de estrategias de cálculo, uso de calculadora,
lectura y escritura de números racionales, divisores, restos, potencias, medidas
grandes y pequeñas, exponentes enteros incluyendo negativos; atendiendo a
los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones
didácticas de los programas oficiales de cuarto básico a primero medio, y a los
enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.
Estándar 5:
Comprende de manera intuitiva los números reales como
partir de los desarrollos decimales infinitos y el modelo de
herramientas conceptuales y procedimentales para la
interpretación de fenómenos referidos a
magnitudes
organización de su enseñanza.
completación de los racionales, a
la recta numérica, disponiendo de
resolución de problemas y la
continuas, teniendo en vista la
Comprende los números complejos como producto cartesiano de los reales en
el plano, a partir del cual se define una operatoria útil, de tipo vectorial que
permite resolver situaciones problemas.
Competencia 1, Eje 2:
152
Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de
aprendizaje educación matemática que es responsable de enseñar.
Competencia 4, Eje 2:
Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa para
monitorear el avance y logro de las metas de aprendizaje.
Competencia 5, Eje 2:
Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los educandos y
ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas
Competencia 10, Eje 2:
Promueve un ambiente propicio para el aprendizaje, estableciendo y
manteniendo normas consistentes y consensuadas de disciplina en el aula que
potencian el desarrollo social de los educandos para la vida en una sociedad
democrática
II. Aprendizajes esperados (aprendizajes claves para el logro de los
estándares y las competencias):
Conceptuales










Relaciona el aprendizaje de los números en el segundo ciclo básico con
el desarrollo de la habilidad para resolver problemas, la capacidad
argumentativa y la autonomía personal para la toma de decisiones, entre
otras.
Identifica diferencias entre el saber matemático de los sistemas numéricos
y el saber escolar referido a los números.
Reconoce y analiza conceptos erróneos respecto a los números que
dificultan el aprendizaje de nuevos contenidos, y diseña y planifica
estrategias de intervención para remediar esta situación;
Analiza los conocimientos y aprendizajes previos que permiten instalar
un conocimiento específico de los números, sus operaciones y
propiedades.
Reconoce que el trabajo en aula exige la elaboración de un objeto de
enseñaza considerando un contenido matemático, condiciones para su
enseñanza y el nivel cognitivo y social del alumnado.
Describe el rol del análisis a priori, de la experimentación del análisis a
posteriori, y confrontación de los análisis, con respecto a las actividades
de aula.
Identifica las características de las situaciones a-didácticas y el rol de las
mismas en el proceso de aprendizaje.
Caracteriza la actividad de institucionalización como la tarea indelegable
del profesor que consiste en redactar los conocimientos obtenidos a
partir de las actividades de aula y que los alumnos deberán retener y
apropiarse.
Identifica criterios, focos y preguntas relevantes para el análisis de
textos escolares y sitios WEB educativos.
Reconoce en el análisis de textos la importancia de preguntas como ¿Cuál
es el sentido matemático de los problemas en cuestión?, ¿Tienen los
153







problemas una importancia extra-matemática: en una dimensión utilitaria, o
en relación con los objetivos transversales tratados en el curso?
Caracteriza las modalidades de “trabajo en equipo orientado”, apoyado
por el profesor en los procesos y en la elaboración de productos, y el
“trabajo autónomo de equipos”, en el cual los alumnos se hace
responsables de la producción.
Caracteriza la modalidad de trabajo “taller”, en el cual se privilegia la
metodología del debate.
Describe la metodología del debate como la fase final de un trabajo en
equipos, durante la cual éstos exhiben las estrategias que han utilizado
para realizar la tarea pedida.
Describe la metodología de trabajo en binomio como una estrategia de
análisis compartido entre pares de alumnos de situaciones problemas.
Caracteriza las situaciones a-didácticas y didácticas de Brousseau con
sus fases de acción, formulación y validación, como también la
pertinencia de ellas para favorecer el aprendizaje de nuevos conceptos
en los alumnos.
Muestra ejemplos de formas de uso de los computadores en la
enseñanza, como por ejemplo el uso del software SWP en la resolución
de ecuaciones e inecuaciones o bien el uso de Applet disponibles en
Internet para el trabajo con las fracciones.
Muestra el uso de las calculadoras para trabajar en el aula problemas
con cambio de monedas o para confirmar estimaciones.
Procedimentales








Elabora una mini ingeniería didáctica que incluye un análisis a priori de
las actividades, experimentación en el aula, procesamiento de los
resultados en protocolos, análisis a posteriori de los resultados, y
confrontación de los análisis.
Diseña planificaciones de clases referidas a los números racionales y
enteros.
Establece una secuencia entre los distintos contenidos de los números
racionales, decimales y enteros señaladas en los Planes y Programas
de 5° básico a 8º Año.
Construye una situación didáctica que muestra las ventajas del sistema
decimal como sistema de representación sobre otros sistemas: dígitos,
base y valor de posición.
Elabora una situación de aprendizaje sobre medición de tiempo y la
vigencia del sistema binario.
Construye una situación referida al crecimiento y decrecimiento
exponencial, en la cual se usa calculadora y se identifica la variación de
la razón de cambio.
Construye situaciones que facilitan la distinción entre múltiplos y
divisores, la descomposición en factores primos y los criterios de
divisibilidad para 2, 3, 5, 9, y 10.
Prepara una situación a-didáctica referida a la escritura de los números
en instrumentos bancarios y comerciales y discute desde un punto de
vista didáctico el uso de recortes de periódicos.
154














Construye una actividad de institucionalización referida a la
descomposición de un número en factores, evidenciando que todo
número tiene descomposición única.
Elabora situaciones que exigen a los alumnos validación y demostración
de propiedades aceptando las verificaciones heurísticas en los niveles
de 5º y 6º básico, y validaciones a partir de propiedades desde séptimo
básico.
Diseña y construye actividades de aprendizaje que permitan al alumno
de básica relacionar conceptos, plantear procedimientos y conjeturas
referidas a los racionales.
Diseña actividades de aprendizaje que favorecen el razonamiento
numérico, la elaboración de conjeturas acerca de las propiedades de los
números y sus relaciones conceptuales y la resolución de problemas.
Discute la pertinencia y relevancia del uso de analogías como los
amigos de mis enemigos son mis enemigos, multiplicar por -1
corresponde a un giro en 180°, condonar una deuda equivale a dar
dinero, para facilitar la comprensión matemática.
Analiza en textos escolares el lenguaje que aparece en relación a las
fracciones: el concepto de fracción, de número racional, de razón y de
fraccionamiento, Distinción entre una fracción y el valor de la misma.
Discute sobre el significado de “número decimal” en los textos escolares
y programas de estudio, distinguiendo el número decimal como
elemento de un sistema numérico del decimal con coma, como un
desarrollo en el sistema de numeración decimal.
Propone el mejoramiento de un texto a partir de una colección de críticas
constatadas, por medio de la proposición de actividades con el fin de
remediar la debilidad focalizada, probándola en clases con alumnos.
Analiza textos escolares de matemática para segundo. ciclo y evalúa la
pertinencia de las actividades propuestas, relacionadas con los
números.
Elabora un ensayo sobre la forma de enseñar a hacer cálculos de
adición y sustracción de números decimales.
Organiza y pone a prueba una actividad de debate como fase final de un
trabajo con alumnos en aula; planteando cuatro fases principales
durante la sesión: lectura del problema, trabajo grupal en la que se
construye un afiche, debate del mismo y síntesis del profesor.
Elabora un informe de experimentación con binomios en actividades que
extiendan el sistema de numeración a decimos, centésimos y milésimo
en situaciones que permitan leer, escribir e interpretar números
decimales, establecer equivalencias, y estudiar familias de números
decimales.
Prepara una actividad de taller en el laboratorio de computación con el
software SWP para la resolución de ecuaciones e inecuaciones, usando
las propiedades de la desigualdad.
Diseña pruebas escritas que estén orientadas a la comprensión, la
aplicación y la utilidad de lo aprendido respecto a los números
racionales, irracionales y enteros, sus pautas de corrección y, si
corresponde, la rúbrica y escala de calificación;
Actitudinales
155




Desarrolla su autoestima y la confianza en su trabajo para organizar una
actividad pedagógica que propicie aprendizajes de buena calidad, en
conformidad al marco para la buena enseñanza.
Aprecia el aporte de la matemática escolar en la consecución de los
Objetivos Fundamentales Transversales, especialmente aquellos
referidos a desarrollar el pensamiento reflexivo, una actitud ética en
relación a la protección del medio ambiente, género y al respeto a la
diversidad.
Valora los aportes de Euclides, Eudoxio y Peano en la construcción de
los principales sistemas numéricos.
Valora la importancia de los sistemas numéricos y sistemas de
numeración en la enseñanza básica y media.
III Lecturas sugeridas:
Lecturas obligatorias :










Brousseau, G. (1986): “Fondements et methods de la Didactique des
Mathématiques”, Vol. 7, N° 2, Ed RDM, Francia.
Chamorro M. del C. et alli: (2003). Didáctica de las Matemáticas.
Prentice Hall. Madrid. España.
Eggen, P. & Kauchak, D. (1999): “Estrategias docentes: Enseñanza
de contenidos curriculares y desarrollo de habilidades de
pensamiento”, Ed. F.C.E., Buenos Aires, Argentina.
Guzmán, I. (2000) Apuntes curso “Didáctica de las Matemáticas”
Programa de Magíster en Enseñanza de las Ciencias Mención
Didáctica de la Matemática, Universidad Católica de Valparaíso.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Quinto año
básico”, MINEDUC, 2da ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Matemática, Sexto año
básico”, MINEDUC, 2da ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática,
Séptimo año básico”, 2da ed.
MINEDUC (2004) “Programas de estudio Educación Matemática,
Octavo año básico”, 2da ed.
Vergnaud Gèrard
: (1996) The theory of Conceptual Fields. En
“Theories of Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates,
Publishers. Mahwah, New Jersey.
Voigt Jörg: (1996). Negotiation of Mathematical meaning in
Classroom processes: social interactions and learning mathematics.
En “Theories of Mathematical Learning”. Awrence Eribaum
Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey.
Textos Complementarios

Bishop, Alan: (1988). Enculturación Matemática. La educación
matemática desde una perspectiva cultural. PAIDOS. Barcelona.
España
156











Cobb, P. (1996). “Emergent and Sociocultural Views of mathematical
activity”. En “Theories of Mathematical Learning”. Awrence Eribaum
Associates, Publishers. Mahwah, New Yersey.
Chamorro M. del C.: (1991). El Aprendizaje Significativo en el área
de las Matemáticas. Alambra Longman. Madrid. España
Chevallard, Y. (1991) : “La transposition Didactique”, Ed La Pensée
Sauvage, Francia
Gálvez, G. y Figueroa, A. (2000):”Para multiplicar y dividir”.
Cuaderno del alumno. Programa de las 900 escuelas. Ministerio de
Educación. Santiago de Chile.
Gálvez, G. y Navarro, S. (1989): “Proporcionemos instrumentos para
el trabajo en el aula”. OREAL/UNESCO.
Guzmán, I. (2000) Apuntes curso “Transposición Didáctica”
programa Magíster en Enseñanza de las Ciencias Mención Didáctica
de la Matemática, Universidad Católica de Valparaíso.
Meirieu, PH. (1991) : “Rapport entre projet personnel de l` eleve et
l`apprentissage”. En: Bulletin de l`ACOF, Nº 330, (pp. 73-80).
Notario, A. Et allí: (1997). Mapas Conceptuales. Narcea. /ma.
Edición. Madrid. España.
Olfos, R. (2002) Axiomática y Fenomenología de los números. Ed.
Vicerrectoría Académica. Universidad de La Serena.
Riveros, M.; Zanocco, P.: (2002). Resolver Problemas matemáticos:
una tarea de profesores y alumnos. Ed. P.U.C. de Chile. Santiago de
Chile
Yackel, Erna: (1996) Social Interaction and Individual Cognition.
“Theories of Mathematical Learning”. Awrence Eribaum Associates,
Publishers. Mahwah, New Jersey.
IV Otros Recursos:

http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de estándares y competencias. (Indique
las principales actividades que el curso requerirá del alumno para lograr los estándares y
competencias del perfil de egreso)
1. Análisis de la secuencia de actividades que introduce un concepto en
un texto
Competencia 2
Elabora un informe, en conformidad a los siguientes requerimientos
 Elige un texto escolar de matemáticas de segundo ciclo básico y en él tres
a cuatro páginas referidas a la introducción de un concepto. Identifica los
aprendizajes esperados del programa oficial, vinculados al concepto
elegido.
 Identifica la meta de aprendizaje de las actividades del texto que someterá
al análisis y establece las preguntas que guiarán el análisis de las páginas
del texto.
157

Responde a las preguntas planteadas, incorpora evidencias que avalan su
interpretación ante las preguntas y emite una conclusión con respecto a la
calidad del texto.
La evaluación del trabajo se centrará en la calidad de las preguntas
planteadas y la concordancia entre las respuestas a esas preguntas y las
evidencias que avalan sus respuestas.

Pauta para la Evaluación Clave
Se contemplan dos evaluaciones claves: Un informe referido a la construcción de una
situación problema y una planificación de una secuencia de enseñanza.
Evaluación clave 1.
1. Estándar 1 y 3 , Competencia 2, 3 y 6 /Eje 2
2. Justificación:
La enseñanza de la matemática en Chile se caracteriza por actividades de aprendizaje
repetitivas, bajo las cuales los alumnos adquieren destrezas reducidas para resolver problemas
de manera algorítmica. Los profesores no disponen de modelos de actividades abiertas o de
situaciones que pongan en juego los saberes de los alumnos para llegar a una situación de
conflicto desafiante que requieran superar para llegar a un nuevo conocimiento. Se espera que
los alumnos, profesores en formación, ganen destreza en la elaboración de estas actividades
desafiantes y que se acreciente un banco de datos con actividades de esta naturaleza.
3. Pre-requisitos:
El profesor debe reconocer los conceptos más importantes que debe dominar
un alumno de segundo ciclo básico en relación a los números. Además, debe
identificar la relación entre estos saberes y los conocimientos que demanda
poner en juego para su aprendizaje.
4. Descripción breve de la evaluación:
Esta evaluación se aplica a un informe que describe una situación problema, el proceso de
validación de la situación y las condiciones para su aplicación.
5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.
Paso 1: Formulación del Problema y análisis preliminar


Competencia 3 y 6.
El profesor en formación debe formular un problema que esté a nivel de
alumnos de Enseñanza Básica, pero a la vez les ofrezca un desafío de
modo que se interesen por abordarlo, aunque no puedan resolverlo por
completo. .
El profesor debe realizar un análisis preliminar en términos de los
conocimientos a desarrollar. El problema tendrá por objeto favorecer el
desarrollo de un nuevo conocimiento, poniendo en juego conocimientos
previos hasta llegar a un momento en que no es posible solucionarlo con
los saberes anteriores y surja la necesidad de crear un nuevo
conocimiento con esta intencionalidad. El análisis preliminar identifica de
esta manera los saberes en juego, el obstáculo presente en el problema
y las características del nuevo saber ideado.
158
Paso 2: Experimentación del problema

Competencia 3 y 6
Incluye un análisis a priori que consistirá en identificar las posibles
respuestas esperadas de los alumnos y un informe de la puesta en
escena del problema con un grupo curso o un grupo de alumnos del
nivel.
Paso 3: Análisis a posteriori. Informe de caminos seguidos por los alumnos
Competencia 3 y 6



Se elabora un informe que contenga:
Un análisis de las respuestas de los alumnos al problema en términos de
la matemática presente en las soluciones.
La codificación de los comportamientos de los alumnos ante el problema
Un análisis de los resultados de la aplicación del problemas
Paso 4: Contrastación de los análisis y conclusiones




Competencia 3 y 6.
Se elabora un informe final donde se presente:
Una contrastación de los análisis a priori y a posteriori.
Un juicio acerca del nivel de logros del objetivo para el cual se planteó
el problema.
Los alcances en torno al problema derivados de la experimentación.
Recomendaciones para la modificación o adaptación del problema para
una circunstancia de aplicación similar.
6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):
 Los alumnos dispondrán de ejemplos de situaciones problemas en la
Web. Además dispondrán de las rúbricas de evaluación, lo que les
permitirá orientar el avance de su trabajo.
Rúbricas
Criterio
Insuficiente
Básico
Competente Destacado Ptos
0
3
6
8
Características
del problema y
del análisis
preliminar
El problema
pone en juego
los saberes
previos, pero no
conduce al
aprendizaje
esperado.
El problema
pone en juego
los saberes
previos, pero no
presenta un
desafío. a los
alumnos
Análisis a priori y
puesta en
escena del
problema
No identifica con
claridad los
posibles
caminos a tomar
por los alumnos.
Los alumnos no
se involucran en
el problema
Identifican las
posibles vías,
pero no
especifica el
camino que
conduce al
obstáculo en
juego. Algunos
alumnos se
involucran
Análisis a
posteriori
La codificación
no da
información, ya
que los alumnos
no se involucran
Algunos
alumnos se
involucran, pero
la codificación
no favorece la
El problema
pone en juego
conocimientos
previos y
propone un
desafío para
alcanzar un
nuevo
conocimiento
Identifica las
posibles vías y
en particular la
que conduce al
obstáculo
previsto. La
mayor parte de
los alumnos se
involucra, pero
poco salvan el
obstáculo
Se codifica la
información
obteniéndose
resultados
dispersos a
El problema
pone en juego
conocimientos
previos, propone
un desafío para
alcanzar un
nuevo
conocimiento
8
Identifica las
posibles vías,
incluyendo la
que conduce al
obstáculo. La
mayor parte de
los alumnos se
involucra y salva
el obstáculo,
mostrando
aprendizaje.
Codifica la
información,
ajustándose
claramente al
modelo
8
4
159
Contraste
análisis a priori y
a posteriori
en la actividad
propuesta
recolección de
información
partir de la
misma.
No presenta
adecuadamente
el contraste
entre el análisis
a priori y a
posteriori, lo cual
limita todo
intento de
ofrecer
comentarios o
sugerencias.
Presenta el
contraste,
aunque de
manera difusa.
No provee
sugerencias
claras para
mejorar la
situación pese a
sus evidentes
limitaciones.
Expresa con
claridad el
contraste, da
evidencias de
las limitaciones
de la situación y
sugerencias
para mejorar
propuesto y
verificándose
aprendizajes
Expresa con
claridad el
contraste, da
evidencias de
los aciertos y
provee
sugerencias
para el buen
funcionamiento
en contextos
similares.
8
Evaluación clave 2.
o Estándar 1 y 3 , Competencia 3, 6 y 7.
2. Justificación:
La planificación de secuencias de enseñanza es una actividad clave para
mejorar la calidad de la enseñanza y aumentar las probabilidades de éxito
de los nuevos docentes en el sistema escolar. La planificación de clases
ayuda al profesor a controlar la actividad de aula y generar una actividad
verdaderamente de interés y utilidad para los alumnos. La improvisación
debido al poco tiempo que dedican los docentes a la planificación y falta de
hábitos para ello lleva a clases sin n norte fijo en las cuales poco se logra en
atención a los aprendizajes de calidad que se espera que alcancen los
alumnos en el sistema educativo. La planificación no es una actividad
genérica, cada tema es peculiar y exige del docente una preparación
puntual. En particular, para la enseñanza de los números el docente debe
planificar las clases atendiendo a distintas categorías de aprendizaje, desde
los más rutinarios como memorización de las tablas hasta los más
complejos que permiten al alumno diferenciar un número irracional de su
representación.
3. Pre-requisitos:
Antes de realizar esta evaluación, los profesores en formación son capaces
de: distinguir aprendizajes matemáticos rutinarios, como los algoritmos de
operación,
de aprendizajes complejos como el reconocimiento de los
sistemas de numeración y de los sistemas numéricos con sus propiedades y
usos como modelo en contexto.
4. Descripción breve de la evaluación:
El informe de la planificación de una secuencia de enseñanza incluye tres
informes preliminares; estos se refieren a: la unidad del programa a tratar,
las propuestas de dos textos sobre el tema, y los conocimientos previos de
los alumnos para los cuales se propone la planificación. La planificación debe
contener los aprendizajes esperados, la descripción detallada de las
actividades de aprendizaje con los recursos a utilizar en marcos de tiempo
preasignados, los recursos complementarios para los alumnos con mayor
dificultad y más aventajados, las actividades de evaluación que permiten
160
identificar los logros de aprendizajes de los alumnos con sus respectivas
especificaciones o rúbricas para el evaluador.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle
Paso 1:
Informes preliminares acerca del tratamiento en los programas de estudio y
en dos textos escolares de los contenidos a tratar en la unidad a planificar.
 La primera sub-etapa será elegir los temas a tratar y los
correspondientes aprendizajes esperados,
 Luego se emite un informe que identifica las tareas propuestas a los
alumnos, tanto en los programas como en dos textos para el logro de
los aprendizajes esperados en la unidad.
 Se incluye en el informe los márgenes temporales en los que se ubican
estos aprendizajes según los programas y las actividades de
evaluación propuestas en el programa y los textos para verificar los
logros de aprendizaje.
Paso 2:
Informe preliminar acerca de los conocimientos previos que se esperaría que
pongan en juego los alumnos durante la implementación de la secuencia de
aprendizaje:
 Antecedentes institucionales, en términos de las características
socioculturales del establecimiento: características de los hogares de
los alumnos, establecimiento de origen,
 Procedimientos de selección
e historial de deserción en el
establecimiento, antecedentes sobre rendimiento en pruebas
nacionales como SIMCE y PSU.
 Opinión del profesor acerca del curso, registros en el libro de clases
con respecto a rendimiento e interés por aprender
 Descripción de los conocimientos previos que los alumnos podrán en
juego, a partir del análisis de un par de cuadernos de alumnos del
grupo curso, para el cual se supone se elabora la planificación.
Paso 3:
Planificación de la unidad propiamente tal:
 Identificación de los aprendizajes que los alumnos debieran lograr
durante la unidad.
 Identificación breve de las actividades a proponer a los alumnos y de
las explicaciones acerca de cómo estas actividades favorecen el logro
de los aprendizajes esperados.
 Descripción breve del rol del profesor y de los alumnos durante las
distintas fases del proceso y de los tiempos asignados a las distintas
fases.
 Análisis crítico de las actividades propuestas en términos de los
conocimientos previos que se ponen en juego durante las distintas
fases del proceso, caracterización de las actividades en términos del
nivel de dificultad y rol que estas juegan, como actividades de
familiarización con el contenido, de desafío para la resolución de un
problema nuevo que no es posible resolver fácilmente con los
161

esquemas disponibles hasta el momento por el alumno, actividades de
reforzamiento que buscan consolidar los conocimientos nuevos de los
alumnos.
Inclusión de actividades diferenciadas para alumnos con dificultad y
para alumnos aventajados.
Paso 4:
Verificación de la calidad de l planificación:
 Inclusión de actividades de evaluación o auto-evaluación que
corroboran el nivel de aprendizaje alcanzado por los alumnos
 Especificación de los indicadores de logro, en términos de rúbricas o
porcentajes de respuestas correctas a preguntas simples.
 Juicio con respecto a la importancia relativa de los aprendizajes
esperados en el contexto de los objetivos fundamentales del programa
y al nivel cognitivo asociado a las tareas y aprendizajes involucrados
en la unidad de aprendizaje propuesta.
6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar
sus conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red,
otros):
 Los alumnos dispondrán de material de apoyo con respecto a los
elementos que debe tener una planificación, de ejemplos de
planificaciones en el sitio Web del curso, de los programas de estudio
y de variados textos escolares en biblioteca para avanzar en sus
trabajos..
 Los alumnos dispondrán de indicaciones escritas para la elaboración
de la unidad y de los criterios que se usarán para la evaluación de
sus producciones.
Rúbricas
Criterio
Aprendizajes
esperados en
los programas
y textos
Insuficiente
0
.A lo más
identifica los
aprendizajes
esperados y
las tareas
asociadas en
el programas
y un texto,
pero no los
vincula con el
tiempo
requerido
para
lograrlas, ni
describe las
actividades
que permiten
evaluar los
aprendizajes
Básico
3
Competente
6
Identifica los
aprendizajes
esperados y
las tareas del
programa y de
dos textos para
conseguirlos
Identifica los
aprendizajes
esperados y
las tareas del
programa y de dos
textos para
conseguirlos
No realiza
vínculos entre
ellas, ni
desprende del
programa el
tiempo para las
fases de la
unidad.
Desprende del
programa los
márgenes
temporales para la
consecución de los
aprendizajes
Describe
acertadament
Describe las
e actividades
actividades
de evaluación
de
del programa
evaluación
y de los textos
del programa
para verificar
y de los
Destacado
8
Identifica
claramente los
aprendizajes
esperados y
las tareas del
programa y de
dos textos para
conseguirlos
Ptos
8
Especifica
acertadamente
los márgenes de
tiempo
requeridos
conforme a los
programas y las
actividades de
evaluación
propuestas por
los programas y
textos para la
consecución de
los aprendizajes
en juego.
162
esperados.
Características
de los alumno y
del medio
Aprendizajes
esperados y
actividades
propuestas en
la secuencia de
enseñanza
No
caracteriza
los aspectos
sociocultural
es, del
alumno, ni el
compromiso
del colegio
por el
aprendizaje
del alumno
No Identifica
los
aprendizajes o
las actividades
a desarrollar,
No es claro
el rol de las
actividades.
No son
claros los
roles del
profesor y
del alumno
textos pero
no las
justifica.
No caracteriza
con claridad
los aspectos
socioculturale
s, del alumno,
o bien el
compromiso
del colegio
por el
aprendizaje
del alumno
Identifica
aprendizajes y
actividades,
pero no los
relaciona
adecuadamen
te.
Identifica el
rol de
las
actividades.
pero
no
profundiza en
la
descripción.,
Indicadores y
niveles
cognitivos
exigidos por las
actividades de
evaluación
No propone
evaluaciones o
bien no son
claras las
actividades de
evaluación
propuestas.
Caracteriza
aspectos
socioculturale
s, del alumno.
Identifica el
compromiso
del colegio
por el
aprendizaje
del alumno
Caracteriza
aspectos
sociocultural
es,
académicos
y psicoafectivos del
alumno.
Identifica
exigencia y
compromiso
del colegio
por el
aprendizaje
del alumno
Identifica los
Identifica
aprendizajes y aprendizajes
las actividades a desarrollar,
asociadas a
las
esos
actividades y
aprendizajes. sus
relaciones.
Identifica el rol
de
las Caracteriza
actividades. Y cada
describe
al actividad (su
menos
una ubicación, su
propiedad
de función, su
cada una. .
relevancia).
Describe los
roles del
profesor y del
alumno
Describe
claramente
el rol del
profesor y
del alumno
Incluye
actividades de
evaluación.
relativamente
claras.
Presenta
evaluación e
indicadores
adecuados a los
aprendizajes.
Presenta
evaluación e
indicadores
adecuados a los
aprendizajes
esperados.
Pero la
especificación de
los indicadores
está ausente o
bien no es
Pero no hace
distinciones con
respecto a qué es
lo más importante.
No describe
claramente
los roles del
profesor y
del alumno
Evaluación de
los
aprendizajes.
los logros de
aprendizaje
8
16
8
Clarifica el nivel
cognitivo
asociado a las
distintas tareas.
163
adecuada.
VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:
Puntos:
1. Informe “Análisis de secuencia de actividades que introduce un concepto en
un texto
16
2. Informe: Elabora y valida un: problema abierto (Evaluación clave 1, Competencias 3, 7
y 10. Estándar 1 y 3)
28
3. Informe “Planificación secuencia de enseñanza” Evaluación clave 2, Competencias 3,
6 y 7. Estándar 1 y 3)
40
4. Informe “Actividad de evaluación de un aprendizaje
16
Total de puntos:
100
Estadística y Probabilidad.
Salim Elal Olivero, Manuel Barahona Droguett
Universidad de Atacama
Horas presenciales por semanas: 5
Horas requeridas del alumno por semana fuera del aula: 10
Asignatura:
Autores:
.
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Enseñanza Básica
El profesor especialista para el segundo ciclo de Enseñanza Básica es un
profesional con sólida formación pedagógica y disciplinaria en, al menos, un sector del
aprendizaje, con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica
reflexiva y utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten
responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración
con la familia y comunidad se compromete con el logro de aprendizajes que potencien
el desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa
en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la
educación que ofrece su institución escolar.
ALINEACION CON ESTANDARES Y COMPETENCIAS.
I.
Estándares y Competencias del Perfil de Egreso relacionados al
curso.
El curso, sus expectativas de logro, lo que se le pide al alumno hacer, y
las evaluaciones, han sido alineadas con los estándares y competencias
del perfil de egreso para la formación inicial de profesores del segundo
ciclo básico.
(A) Los siguientes estándares tienen un énfasis principal en este
curso.
164
Estándar 10 Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticas requeridas para
recopilar, organizar, representar, analizar e interpretar conjuntos de datos a partir del
planteamiento, discusión y resolución de problemas extraídos de la vida real, teniendo
en vista la organización de su enseñanza.
Estándar 11 Comprende y aplica conceptos y técnicas estadísticas tales como
tablas, diagramas, regresiones y correlaciones, requeridas para determinar y describir
las relaciones existentes entre dos variables. Planifica estrategias pedagógicas
teniendo en cuenta el tipo de variables, el tipo de gráfico y el indicador apropiado en el
análisis de la información.
Estándar 12 A partir del análisis de situaciones significativas comprende el concepto
de probabilidad y la importancia de su aplicación en la predicción y planifica
estrategias pedagógicas teniendo en cuenta el concepto de azar.
(B) Las siguientes competencias del perfil de egreso, Eje 2, tienen un
énfasis principal.
Competencia 1. Comprende con amplitud y profundidad las disciplinas del sector de
aprendizaje que es responsable de enseñar.
Competencia 4. Comprende el amplio rango de procedimientos evaluativos y los usa
para monitorea el avance y logro las metas de aprendizaje.
Competencia 5. Utiliza los resultados de las evaluaciones para retroalimentar a los
educandos y ajustar sus planificaciones y estrategias didácticas.
Competencia 6. Selecciona y diseña recursos y situaciones de aprendizaje
pertinentes para presentar ideas y conceptos disciplinarios a los estudiantes del nivel
que enseña.
(C) Los siguientes estándares tienen un énfasis secundario en el perfil
de egreso.
Estandar 1 Comprende los números naturales como abstracción de las cantidades
discretas y los distingue de sus representaciones disponiendo así de modelos para
interpretar situaciones y resolver problemas reales de orden y conteo, aditivos y
multiplicativos, de divisibilidad y restos.
Estandar 4 Comprende la modelación de situaciones referidas a cuocientes, razones,
tasas, proporciones, probabilidades, repartos y fraccionamientos, por medio del
sistema de números racionales y sus registros de representación para aplicarla en la
resolución de problemas asociados a fenómenos naturales y sociales, teniendo en
vista la organización de su enseñanza.
II APRENDIZAJES ESPERADOS
165
Son los aprendizajes claves para el logro de
estándares/competencias.
Conceptual
1. Conozca el desarrollo histórico de la estadística y explique el porqué la necesidad
de la sociedad en su conjunto de recolectar datos e información en el contexto de su
evolución y perfeccionamiento.
2. Identifique y comente las características del quehacer estadístico en el mundo
moderno y relacione dichas características en disciplinas tales como negocios,
economía, demografía, ingeniería, salud, seguros, educación, medicina, psicología, y
otras.
3. Identifique tipos de variables: sean estas cualitativas, tanto ordinales como
nominales, o bien cuantitativas, que sean continuas o discretas, tomadas en contextos
de la vida diaria.
4. Clasifique y compare conjuntos de datos correspondientes a fenómenos que
comprometen a dos variables, presentándolos por medio de tablas bivariadas o por
medio de gráficos tales como los diagramas de dispersión y otros.
5. Analice el posible grado de relación que puedan presentar dos variables en un
determinado problema y seleccione el estadístico adecuado para describir el
comportamiento de dichas variables y obtener conclusiones a partir del grado de
asociación que presenten dichas variables
6. Interprete el concepto de probabilidad asociándolo a los conceptos de “resultados
posibles” y “resultados favorables”
7. Observe fenómenos de la naturaleza y de su entorno social y cultural y reconozca
aquellos que puedan explicarse utilizando el concepto de probabilidad, mostrando, al
mismo tiempo, las limitaciones de dicho concepto.
Procedimental.
8. Recoja información de situaciones de la vida real y planteé problemas que, para
ser resueltos, requieran de una recolección y análisis de datos.
9. Organice conjuntos de datos representándolos en tablas de distribución de
frecuencias u otros tipos de gráficos, y observe el comportamiento de dichos datos.
10. Maneje software estadísticos adecuados para representar y realizar
experimentos con datos obtenidos de situaciones de la vida real
11. Realice experimentos aleatorios con dados, cartas, y otros juegos de azar y
construya los espacios muestrales asociados a dichos fenómenos.
12. Planifique una clase, a partir de situaciones de la vida real que deje en evidencia
el tipo de variable y el tipo de gráfico asociado a dicha situación y otra en la cual dado
un conjunto de datos seleccione el mejor indicador de tendencia central.
166
Actitudinal
13. Reconozca las diferencias entre fenómenos aleatorios y fenómenos
determinísticos y sea consciente de la importancia de dichos conceptos en el
desarrollo de la estadística en particular, y de la matemática en general.
14. Aprecie y valore el conocimiento de las técnicas estadísticas, mediante las
cuales es posible inferir resultados que nos ayudan a reaccionar frente a la realidad de
nuestro entorno.
15. Valore la importancia de manejar las medidas de tendencia central y las medidas
de dispersión para caracterizar un conjunto de datos en el proceso de evaluación de
sus estudiantes.
16. Se de cuenta en que actividades de su vida diaria usted tienen un
comportamiento aleatorio.
III.
LECTURAS REQUERIDAS.
Lectura Obligatoria
[1] J.P. Guilford – Benjamín Fruchter, Estadística Aplicada a la Psicología y la
Educación, Mc Graw Hill, Mexico, 1984
[2] Milton Smith, Estadística Simplificada Para Psicólogos y Educadores, El Manuel
Moderno, S.A, Mexico, 1971.
[3] Guillermo Briones, Análisis e Interpretación de datos, Formación de Docentes en
Investigación Educativa, SECAB, Santa Fé de Bogota, Colombia, 1992.
[4] Celeste Mc Collough, Análisis Estadístico Para la Educación y las Ciencias
Sociales, Mc Graw Hill, Mexico, 1986.
[5] Maria José Fernández et al, 225 Problemas de Estadística Aplicada a las Ciencias
Sociales, Editorial Síntesis, Madrid, España, 1992.
LECTURA COMPLEMENTARIA
[6] Rodrigo Bamón, Patricio González, Jorge Soto, Matemática Activa Segundo Año
Medio, Editorial Mare Nostrum y Teduca Editora, Santiago, Chile, 2005
[7] Rodrigo Bamón, Patricio González, Carmen Medina, Jorge Soto, Matemática Activa
Tercer Año Medio, Editorial Universitaria, Editorial Mare Nostrum, Santiago, Chile,
2005.
[8] Jorge Soto Andrade, Patricio González, Matemática Texto Para el Estudiante,
Cuarto Año Medio, Editorial Mare Nostrum y Teduca S. L, Santiago Chile, 2005.
[9] Educación Matemática, Programas de Estudio de quinto, sexto, séptimo y octavo
año básico, Ministerio de Educación, República de Chile, 1999.
.
IV.
OTROS RECURSOS.
[1] Software: Excel
167
[2] Software: Statgrafic
[3] Software: Statistic
V. Trabajos del alumno y su relación con el logro de Estándares y
Competencias. (Indique las principales actividades que el curso requerirá del
alumno para lograr los estándares y competencias del perfil de egreso)
1. Mostrar resumidamente la información. Estándar 10, 1, /Competencias 1
Construye un conjunto de datos, preséntelo en una tabla de distribución de frecuencia
y represéntelos gráficamente. Verifique los resultados utilizando un software
estadístico apropiado.
2. Calculo de indicadores de tendencia central. Estándar 10, 1/Competencia 1
Calcule las medidas de tendencia central, basado en un conjunto de datos dados, y
determine cual de estos representa mejor a la información, atendiendo a la distribución
de estos. Verifique los resultados utilizando un software estadístico apropiado.
3. Comparación de datos. Estándar 10, 11, 4 / Competencia 1
Dado un conjunto de datos bivariados estudie el grado de relación existente entre
estos. Represente dicha información en una nube de puntos. Verifique los resultados
utilizando un software estadístico apropiado.
4. Definición de probabilidad. Estandar 11, 1, 4 / Competencias 1, 6
Estudie experimentalmente el concepto de probabilidad mediante algún juego de azar
asociándolo a resultados favorables o desfavorables e infiera la definición clásica de
de probabilidad.
5. Planificación de una clase. Estandar 10, 11, 4 / Competencia 1, 4, 5, 6
Planifique una clase, a partir de situaciones de la vida real que deje en evidencia el
tipo de variable y el tipo de gráfico asociado a dicha situación y otra en la cual dado
un conjunto de datos seleccione el mejor indicador de tendencia central. Utilice un
software apropiado.
Pauta para la evaluación clave
EVALUACIÓN CLAVE 1
1. Estándar 10, 11, 1 / Competencias 1
2. Justificación: (¿por qué tiene que saber/hacer esto un/profesor de 2º
ciclo)
168
Organización y análisis de la información.
En un mundo que nos bombardea constantemente con información de tipo
cuantitativo y cualitativo, de resultados de encuestas tales como, variaciones
esperadas en los índices económicos de salud, de la educación y de otros ámbitos
de la sociedad, de una lista interminable de información entregada mediante
gráficos, cifras y datos, que nos muestra una realidad sumergida en la
incertidumbre, el profesor tiene que saber organizar dicha información y
dimensionar la realidad que dicha información nos quiere mostrar.
3. Pre-requisitos: (Lo que los estudiantes deben saber y saber hacer, antes de la
evaluación)
(a) Conocer el conjunto de los números reales, sus propiedades y las
operaciones que se pueden realizar con dicho conjunto.
(b) Graficar en el sistema el sistema cartesiano de coordenadas.
4. Descripción breve de la evaluación.
Aplicar las técnicas propias de la estadística, a un conjunto de datos, con el fin
de comprender mejor la información que dichos datos nos muestran.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle.
Paso 1. Recolecte y construya una base de datos relativo a un problema
dado y analice el tipo de datos que ha recopilado, el que puede ser cualitativo o
cuantitativo.
Paso 2. Agrupe y organice la información de acuerdo al tipo de datos de que
se trate, esto es, si fuesen datos de naturaleza cuantitativa o cualitativa,
presentándolos de acuerdo a las técnicas estadísticas enseñadas. Utilice un
software especializado si fuese necesario.
Paso 3. Analice los datos utilizando para ellos indicadores estadísticos
apropiados que permitan caracterizar la información de acuerdo al problema
planteado.
Paso 4. Explique claramente el planteamiento del problema y la solución
hallada de manera que pueda observarse que ha entendido, aprendido y aplicado
correctamente las técnicas de la estadística y utilice en su exposición herramientas
tales como computador, software, power point, y otros que considere pertinente
6. Puntuación de los pasos /trabajos para la evaluación
Paso 1.
Paso 2.
Paso 3.
Paso 4.
Construcción de la base de datos
Organización y presentación de la información
Caracterización de la información, basándose
en Estadísticos de tendencia central y de dispersión
Exposición, utilizando herramientas adecuadas
PUNTOS
10
30
40
20
169
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos, habilidades o actitudes(textos, sitios de la red,otros):
1
papel
Uso de reglas, escuadras compás transportador, calculadoras manuales,
milimetrado.
2. Uso de calculadora manual, tecnología mas avanzada como Power Point y
Software estadístico.
3. Textos y apuntes
8. Rúbrica de evaluación
Evaluación clave
Recolecte y
construya una base
de datos relativo al
problema y analice el
tipo de datos que ha
recopilado, el que
puede ser cualitativo
o cuantitativo.
Insatisfactorio
El estudiante no
logra explicar el
problema dentro de
un
contexto,
no
identifica variables y
no recolecta datos.
Básico
El estudiante logra
explicar el problema
dentro
de
un
contexto, identifica
variables, recolecta
datos
pero
no
distingue
la
naturaleza de los
datos
Competente
El
estudiante
entiende el problema
correctamente,
construye una base
de datos y distingue
el tipo de datos,
Destacado
El estudiante logra
explicar el problema
dentro
de
un
contexto, identifica
variables y distingue
la naturaleza de los
datos
entregando
mas
información
acerca de ellos
Agrupe y organice la
información de
acuerdo al tipo de
datos de que se
trate, esto es, si
fuesen datos de
naturaleza
cuantitativa o
cualitativa,
presentándolos de
acuerdo a las
técnicas estadísticas
aprendidas.
No agrupa y no
organiza
la
información ya que
no
reconoce
la
variable.
Agrupa y organiza la
información
de
acuerdo
a
la
identificación de los
datos dados por el .
Agrupa y organiza la
información
correctamente
de
acuerdo
a
las
técnicas estadísticas
Agrupa y organiza la
información
correctamente
de
acuerdo
a
las
técnicas estadísticas
aprendidas y las
corrobora mediante
un
software
estadístico.
Analice los datos
utilizando para ello
indicadores
estadísticos
apropiados que
permitan caracterizar
la información de
acuerdo al problema
planteado.
No analiza los datos
al no contar con la
base de datos.
Analiza los datos
incorrectamente
a
causa
de
la
incorrecta
identificación de la
variable.
Analiza los datos
correctamente
utilizando
los
estadísticos
apropiados.
Analiza los datos
correctamente
utilizando
los
estadísticos
apropiados
y
corrobora
sus
resultados con un
software.
Explique claramente
el planteamiento del
problema
y
la
solución alcanzada
de
manera
que
pueda
observarse
que ha entendido,
aprendido y aplicado
correctamente
las
técnicas
de
la
estadística y utilice
en su exposición
herramientas tales
como computador,
software,
power
point, y otros que
considere pertinente.
No explica
Intenta
dar
una
explicación
que
arrastra los errores
cometidos a causa
de
la
incorrecta
identificación de la
variable.
Explica claramente
el problema, pero no
utiliza las Tics.
Explica claramente
el
problema
utilizando
los
estadísticos
apropiados y emplea
Tics
en
su
exposición.
170
EVALUACIÓN CLAVE 2
1. Estándar 10, 4 / Competencias 1, 6
2. Justificación: (¿por qué tiene que saber/hacer esto un/profesor de 2º ciclo)
Medición del azar
La mayoría de los fenómenos de la naturaleza contienen variables sujetas al
azar, es decir, que pueden ser explicadas mediante el concepto de probabilidad.
Sin embargo, el azar puede ser controlado y explicado a su vez mediante ciertas
leyes, en particular mediante las leyes de los grandes números. El profesor tiene
que ser capaz de contextualizar y comprender dichos fenómenos y analizar y
resolver problemas de naturaleza probabilística.
3. Pre-requisitos. (lo que los estudiantes deben saber y saber hacer: antes de la
evaluación)
a) Conocer el conjunto de los números reales, sus propiedades y las
operaciones que se pueden realizar con ellos.
b) Tener nociones básicas del concepto de conjunto.
c) Análisis combinatorio: Variaciones, permutaciones y combinaciones.
4. Descripción breve de la evaluación.
Analizar la naturaleza probabilística o deterministica de un experimento y
calcular la probabilidad de ocurrencia de sucesos asociados a dicho experimento.
5. Describa los pasos de la evaluación en detalle.
Paso 1. Explique claramente la naturaleza aleatoria o determinística de un
experimento, determinando la cardinalidad de un espacio muestral
asociado a
el.
Paso 2. Describa la cardinalidad del suceso y su probabilidad de ocurrencia en
dicho
experimento.
6. Puntuación de los Pasos/Trabajos para la evaluación:
PUNTOS
Paso 1. Determinar la aleatoriedad del fenómeno, distinguiendo
la cardinalidad de un espacio muestral asociado a él
40
Paso 2. Calculo de la probabilidad de un suceso asociado a dicho
60
171
experimento
7. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos y habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):
1.
Materiales concretos, como domino, cartas, monedas, dados, etc.
2.
Uso de calculadoras, textos y apuntes.
8. La rúbrica de evaluación
Evaluación clave
Insatisfactorio
Básico
Competente
Destacado
Explique claramente
la
naturaleza
aleatoria
o
determinística de un
experimento,
determinando
la
cardinalidad de un
espacio
muestral
asociado a el.
No logra explicar la
naturaleza aleatoria
o deterministica del
experimento
Logra explicar la
naturaleza aleatoria
o deterministica del
experimento, pero,
no determina
correctamente el
espacio muestral.
Logra explicar la
naturaleza aleatoria
o deterministica del
experimento. Logra
determinar
el
espacio muestral y
describe
correctamente
su
cardinalidad.
Logra explicar la
naturaleza aleatoria
o deterministica del
experimento.
Determina
correctamente
el
espacio muestral y
su cardinalidad y
conjetura
la
posibilidad de mas
de
un
espacio
muestral
asociado
en
experimentos
aleatorios.
Describa
la
cardinalidad
del
suceso
y
su
probabilidad
de
ocurrencia en dicho
experimento
No
describe
cardinalidad
No logra describir la
cardinalidad
correctamente
debido a que no
determinó
correctamente el
espacio muestral
Describe
correctamente
la
cardinalidad
del
suceso
y
su
probabilidad
de
ocurrencia en el
experimento..
Describe
correctamente
cardinalidad
suceso
y
probabilidad
ocurrencia
en
experimento.
la
la
del
su
de
el
Asignatura:
Nùmeros: sus usos y operaciones
Autor(a)/Universidad:
Raimundo Olfos /P.U. Católica de Valparaíso,
Horas presenciales por semana: 4 horas teóricas, 2 horas prácticas
Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas.
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional
con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje,
con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y
utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten
responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con
la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el
desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa
en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la
educación que ofrece su institución escolar
172
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I. Estándares del perfil de egreso relacionados al curso.
Los siguientes estándares y competencia tienen un énfasis principal en este curso:
Estándar 1:
Comprende los conceptos de número natural y entero, como abstracción de las
cantidades discretas, y los distingue de sus formas de representación.
Justifica procedimientos y estrategias de cálculo aritmético, y propiedades del
orden y de las operaciones con números naturales y enteros a partir de
propiedades evidentes de los números y de sus sistemas de representación.
Resuelve problemas referidos a cantidades y magnitudes discretas positivas o
negativas, haciendo uso eficiente del orden, las operaciones, las propiedades
de las operaciones, el valor absoluto, las ecuaciones, las inecuaciones, y
herramientas tecnológicas, según las condiciones dadas y el modelo que
construya de la situación.
Diseña desafíos y problemas referidos a situaciones de orden, conteo, aditivas,
multiplicativas, de divisibilidad y restos ligadas a contextos de los programas
oficiales de segundo ciclo de distintos sectores curriculares, en los que se
utilice operaciones, ecuaciones, inecuaciones y en general propiedades de los
números naturales o enteros.
Estándar 3:
Comprende los significados asociados a las fracciones y el concepto de
número racional como elemento de un conjunto cuociente, distinguiendo
sus diferencias y similitudes. Reconoce los números decimales como
aquellos racionales que se expresan por fracciones cuyo denominador
es una potencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollos
decimales finitos y periódicos como una forma de representación de los
números racionales, alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos
de las operaciones aritméticas. Comprende la existencia de cantidades
inconmensurables, e identifica los números irracionales con las
expresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos. Reconoce en
las distintas formas de representación de los números una complejidad
conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.
Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones, incluyendo
potencias y raíces, en los números decimales, racionales e irracionales, y
las visualiza bajo las distintas formas de representación, incluyendo
esquemas y gráficos, de estas categorías de números. Fundamenta los
173
procedimientos de cálculo a partir de las formas de representación de los
números.
Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de la
modelación de situaciones referidas a diferencias y razones entre medidas,
mediciones y particiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia de
fraccionamientos,
cuocientes y restos, pendientes, escalas, semejanza,
porcentajes, tasas y variaciones proporcionales, probabilidades, medidas
grandes y pequeñas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de
calculadora y algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo; para lo
cual utiliza números irracionales, el sistema de los números racionales y
diferentes registros de representación, incluyendo expresiones fraccionarias,
decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, y potencias con
exponente entero.
Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas a distintas
disciplinas, en el marco de los programas de estudio de segundo ciclo básico,
usando fracciones, decimales y porcentajes.
El siguiente estándar y las siguientes competencias tienen un énfasis
secundario en este curso:
Estándar 5
Comprende de manera intuitiva los números reales como completación de los
racionales, a partir de los desarrollos decimales infinitos y el modelo de la recta
numérica, disponiendo de herramientas conceptuales y procedimentales para
la resolución de problemas y la interpretación de fenómenos referidos a
magnitudes continuas, teniendo en vista la organización de su enseñanza.
Comprende los números complejos como producto cartesiano de los reales en
el plano, a partir del cual se define una operatoria útil, de tipo vectorial que le
permite resolver situaciones problemas.
Competencia 6 (Eje 2 del Perfil):
Evalúa, selecciona y diseña materiales, métodos y situaciones de aprendizaje
apropiadas, en cuanto a su precisión y utilidad para presentar ideas y conceptos en su
disciplina
II. Aprendizajes (claves para el logro de los estándares/competencias)
Conceptuales
 Distingue el objeto matemático número natural de los símbolos usados
para su representación, y de los conceptos de ordinal y cardinal.
 Relaciona los algoritmos de operación con sus estructuras, en particular
en el sistema indo-arábigo, y fundamenta los algoritmos de operación en
función de la base del sistema de numeración decimal.
174











Comprende el número entero como una magnitud vectorial discreta con
magnitud y dirección asociada al valor absoluto, y distingue el uso del
cero como valor absoluto (magnitud) y como valor relativo (posición).
Clasifica los problemas aditivos en problemas de transformación,
agregación y variación; y desarrolla estrategias para la resolución de los
mísmos.
Provee justificaciones a los algoritmos de suma y multiplicación en Z.
Describe situaciones referidas a parte todo, parte de la unidad, punto en
la recta, porcentaje, razón entre cantidades que se expresan por medio
del símbolo de fracción.
Comprende las fracciones propias e impropias como números que
representan cantidades que aluden a parte de una unidad.
Describe situaciones en que es indistinto el uso de fracciones
equivalentes y resulta apropiado usar el conjunto cuociente.
Fundamenta la conveniencia de introducir los números irracionales para
describir las magnitudes continuas
Diferencia los números decimales, que representan a las fracciones cuyo
denominador es una potencia de diez, de los desarrollos decimales que
representan cantidades racionales e irracionales.
Identifica la recta real como un modelo para representar los números
racionales e irracionales y ubica fracciones, decimales finitos e infinitos en
la recta.
Fundamenta los procedimientos de cálculo aritmético a partir de las
formas de representación de los números.
Identifica el plano como un modelo para representar los números
complejos, y ubica números complejos en el plano a partir de sus
coordenadas cartesianas o su módulo y argumento.
Procedimentales
 Verifica por medio de ejemplos propiedades como la asociatividad, y
explica la limitación de la verificación como argumento de prueba general.
 Prueba propiedades de divisibilidad basándose en las propiedades del
sistema de numeración decimal y provee argumentos sobre la validez
general de la propiedad.
 Muestra que los números con representación decimal finita admiten otra
infinita.
 Resuelve problemas referidos situaciones multiplicativas usando
ecuaciones, y calculadora o cálculo mental, según las condiciones dadas.
 Utiliza la descomposición prima de los números y el teorema fundamental
de la aritmética multiplicativo para resolver problemas multiplicativos.
 Genera situaciones problemas referidas a las nociones de divisibilidad,
cuociente y resto, las relaciona con el Algoritmo de Euclides y las
resuelve.
 Modela situaciones problemas del ámbito de su disciplina en que se
utilicen números enteros o naturales.
 Transforma fracciones a decimales y viceversa, y fundamenta sus
procedimientos.
 Compara, ordena e intercala fracciones y decimales entre sí.
175







Realiza multiplicaciones usando fracciones y expresión decimal de las
mismas. para facilitar los cálculos de las operaciones
Prueba la irracionalidad de raíz de dos, a partir del estudio de la
inconmensurabilidad de la longitud de la diagonal de un cuadrado con
respecto a la longitud base.
Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones, en los
números decimales, racionales e irracionales, distingue las que se
heredan de los números naturales o enteros, y las visualiza bajo las
distintas formas de representación, incluyendo esquemas y gráficos, de
estas categorías de números.
Resuelve problemas por medio de cuocientes, razones, tasas,
proporciones, probabilidades, repartos y fraccionamientos.
Utiliza en la resolución de problemas estrategias de redondeo,
aproximaciones, estimaciones, calculadora, ecuaciones, inecuaciones,
algoritmos operatorios y estrategias de cálculo basada en las propiedades
de las operaciones
Diseña, situaciones problemas asociadas a distintos sectores del currículo
de segundo ciclo básico, usando fracciones y decimales y porcentajes.
Representa en el plano cartesiano situaciones en que se usan números
complejos.
.
Actitudinales
 Reconoce el carácter pragmático de los sistemas de numeración y valora
su aporte a la cultura
 Reconoce que la complejidad conceptual presente en la noción de
número constituye un obstáculo didáctico para la enseñanza de los
números.
III. Lecturas Requeridas:
Lecturas obligatorias:
Castro, E., Rico, L. y Castro, E. (1995). Estructuras Aritméticas Elementales y su
Modelización. Una Empresa Docente. Bogotá.
Centeno, J. (1988) Números Decimales. ¿Por qué?, ¿Para qué?. Síntesis. Madrid.
Chuaqui, R. (1980). ¿Qué son los Números? El método axiomático. Universitaria.
Santiago
Dávila, M. (1992). El Reparto y las Fracciones. En Educación Matemática. Vol.4 Nº 1
Abril Pp 32-45. México
Lembke, L. Y Reys, B. (1994) The development of , and interaction between, intuitive
and school-thaught ideas about percent. En Journal for Research in Mathematics
Education. Vol. 25, Nº 3, 237-259. 1994.
Llinares, S. Y Sánchez, M.A. (1988). Fracciones. Síntesis. Madrid.
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto año básico.
Santiago, Chile
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto año básico.
Santiago, Chile
MINEDUC,(1998). Planes y programas de estudio para séptimo año básico.
176
Santiago, Chile
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo año básico.
Santiago, Chile
Lecturas complementarias:
Adler, I. (1969). Magic House of Numbers Signet, New York.
Boyer, C.B. (1986) Historia de la matemática. Alianza Editorial, Madrid, (3ª
impresión 2003).
Brumfiel, Ch., Eichole, R. y Shanks, M. (1962). Fundamental Concepts of Elementary
Mathematics. Addison Wesley, Massachusetts.
Campbell, S., & Zazkis, R. (2002). Toward number theory as a conceptual field. In
Campbell, S., & Zazkis, R. (Eds.) Learning and teaching number theory: Research in
cognition and instruction (pp. 1-14). Journal of Mathematical Behavior Monograph.
Westport, CT: Ablex Publishing.
Carpenter, T., Fenema, E. Y Romberg, T. (eds.) (1993). Racional Numbers, an
integration of research. N.Y. Erlbaum.
Pitkenthly, A. y Hunting, R. (1996). A review of recent research in the area of initial
fraction concepts. Educational Studies in Mathematics. (30), 1, pp. 5-38. Estados
Unidos.
Rico, L. (1998) Conocimiento Numérico y Formación del Profesorado. En Revista de
Educación de la Universidad de Granada. Vol. 11 Granada.
Zazkis, R. y Campbell, S. (1996) Divisibility and Multiplicative Structure of Natural
Numbers: Preservice Teachers’ Understaning. En Journal for Research in Mathematics
Education. Vol. 27. Nº 5 pp 540-563. Estados Unidos.
IV. Otros recursos:
Cid, E., Godino, J.D. y Batanero, C. (2003) Sistemas numéricos y su didáctica para
maestros. Universidad de Granada. En http://www.ugr.es/local/jgodino/edumatmaestros/
V. Trabajos requeridos al alumno para lograr estándares y
competencias del perfil
1.
Elaboración
Estándar 1

del
concepto
y
funcionamiento
del
número
natural
Habiendo organizado el profesor tareas para trabajos en grupo, los estudiantes
exploran y comparten con sus pares antecedentes sobre distintos sistemas de
numeración y proveen una clasificación de ellos. Luego, los estudiantes analizan
situaciones en que se usan los números naturales como identificadores,
ordinales y cardinales y discuten con sus pares acerca de las características
estructurales subyacentes a los números según el uso que se les da. Finalmente,
elaboran una definición de número, natural, en función de sus sistemas de
177
representación, las situaciones en que se utilizan y los invariantes operatorios
subyacentes.

Tras representar el profesor los naturales en un sistema como el binario, desafía
a los alumnos a indagar sobre la numeración y los algoritmos operatorios en
distintos sistemas de numeración, como el sexagesimal y el de base doce. Los
estudiantes son desafiados a elaborar justificaciones para los algoritmos de
operación, como por ejemplo el uso de reservas o ceros en el cuociente, el
corrimiento de cifras y el ordenamiento de los números en columnas alineadas a
la derecha para sumar. Se les solicita indagar y dar justificaciones sobre la forma
de multiplicar por los turcos y el uso de algoritmos alternativos para operar en
distintas bases, o bien en casos particulares como multiplicar por 25 en base 10
Los cursantes en grupos y coordinados con el profesor del curso presentan en
Ppoint a sus compañeros parte de este trabajo
2. Argumentación de los usos y técnicas usadas con fracciones y decimales
Estándar 3

A partir de desafíos propuestos por el profesor del curso, tales como
fundamentar la igualdad entre 1 y 0,999..., justificar el uso del MCM entre
denominadores para sumar fracciones, justificar la estrategia de multiplicar
cruzado para dividir fracciones, fundamentar las técnicas para transformar
decimales periódicos en fracciones, argumentar la equivalencia entre
calcular la mitad de la mitad de una cantidad multiplicada por 100 para
determinar el 25% de la misma, los estudiantes son inducidos a buscar
justificaciones a los algoritmos operatorios, a generar técnicas operatorias
basados en fundamentos propios y a encontrar propiedades de los
números usando configuraciones puntuales, cambios de registro y distintas
formas de representar los números.

Los estudiantes utilizan el MCM, el MCD, razones y distintas operaciones
con decimales y fracciones para resolver problemas, justificando las
operaciones y estrategias utilizadas.
Los cursantes en grupos y coordinados con el profesor del curso entregan un
informe breve de parte de este trabajo
3.Elaboración entre pares de problemas de distintas disciplinas, usando
distintos tipos de números: Estándares 1, 3, 5 y Competencia 6

El profesor solicita a los estudiantes que se agrupen entre cursantes de
distintas menciones. Los grupos elaboran y comparten problemas en
contextos apropiados para alumnos de segundo ciclo básico en los
cuales se usen distintos tipos de números: enteros, racionales y reales.

Luego relacionan esos problemas con los aprendizajes esperados en los
programas de estudio y textos escolares de segundo ciclo básico.
Los cursantes en grupos y coordinados por el profesor entregan informes
breves de parte de los productos alcanzados en la actividad.
VI. Evaluaciones Clave
178
EVALUACIÓN 1:
“Ensayo escrito y exposición oral acerca del significado y uso de los números”
1. Estándar 1
2. Justificación:
El estándar 1 exige al futuro profesor la comprensión de los conceptos de número
natural y entero, la comprensión de los procedimientos para operar con ellos y la
habilidad para utilizarlos para resolver situaciones problemas. Estos conocimientos
permitirán al profesor entender las dificultades que enfrentarán sus alumnos al
aprender el sentido y uso de estos números, y permitirán al profesor disponer de
herramientas conceptuales para facilitar a sus alumnos estos aprendizajes.
3. Pre-requisitos:
Para la elaboración del ensayo escrito y hacer la exposición oral, los estudiantes
deben:

Saber usar un procesador de textos como Word y un presentador como
PowerPoint.

Tener dominio de la aritmética en N y Z, incluyendo los algoritmos canónicos
para las cuatro operaciones, la prioridad de las operaciones, el uso de paréntesis
y entendimiento de las posiciones de las cifras en el sistema de numeración
decimal.
4. Descripción breve de la evaluación:

Ensayo escrito y exposición oral
Se solicita a los estudiantes que:


Entreguen un ensayo elaborado sobre su comprensión de los números
naturales como abstracción de las cantidades discretas y sus usos por medio
de sistemas de representación para modelar situaciones y resolver problemas
de orden y conteo, aditivos y multiplicativos, y de divisibilidad y restos.
Expongan al curso en un tiempo breve de 10 minutos y con apoyo de un
presentador, algunos conceptos desarrollados en el ensayo, a partir de una
selección previa concordada con el profesor.
5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.
Paso 1: Situaciones de uso de los números naturales
Los futuros profesores deben desarrollar con claridad situaciones distintas, en las que
los números por ejemplo se usen como cantidades o como ordinales, de modo que se
aprecie la potencialidad del modelo de los números y se diferencie de las situaciones
en que se utilice.
179
Paso 2: Formas de representación de los números naturales.
El análisis de las formas de representación de los números deben dejar en evidencia
las ventajas de los sistemas usados según las situaciones en juego. Por ejemplo en
una situación de orden (tomos de libros), que no requiere operar cantidades, es
suficiente un sistema de numeración como el romano, y en situaciones en que los
números se procesan con un lector óptico es apropiado un código de barras.
Paso 3: Acerca del concepto de número natural.
El ensayo debe identificar los principales invariantes de los números naturales,
independientes de su forma de representación y de las situaciones a las que se alude
con ellos en determinado momento.
Exposición oral.
La exposición debe centrarse en un aspecto, debe ser clara, concisa y de relevancia para
los compañeros de su curso. Por lo cual será previamente orientada y acotada en
acuerdo con el profesor.
6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):


Para el ensayo escrito dispondrán de referencias bibliográficas y una pauta de
evaluación, y
Para la exposición oral dispondrán además de un proyector y del tiempo
preestablecido
Rúbrica de Evaluación:
Criterio
Insuficiente
0
Básico
3
Logra
6
Destacado
8
Puntos
Uso de los
números
naturales en la
resolución de
problemas
No es capaz de
modelar
ni
resolver
problemas
de
orden conteo ni
aditivos, usando
números.
Comprende el
uso de los
números para
modelar y
resolver problemas de orden
conteo y
aditivos.
Modela
y
resuelve
correctamente
problemas
de
orden conteo y
aditivos, usando
números.
8
Distinción entre
el concepto de
número y su
representación
No es capaz de
proveer
ejemplos ni
explicaciones
que clarifiquen
la diferencia.
Modela
parcialmente
situaciones,
pero no es
capaz de
resolver
problemas de
orden conteo y
aditivos,
usando
números
Distingue
los
naturales de los
símbolos
usados
para
representar-los
Provee
ejemplos pero
no es capaz de
explicar la
diferencia.
Provee claras
explicaciones y
ejemplos que
clarifican la
diferencia.
8
Distinción del
concepto de
número de las
situaciones que
le dan sentido
en la realidad.
No es capaz de
proveer
ejemplos ni
explicaciones
que clarifiquen
la diferencia.
Provee
ejemplos pero
no es capaz de
explicar la
diferencia
Distingue los
naturales de las
nociones de
ordinal, cardinal
y cantidad
discreta.
Provee claras
explicaciones y
ejemplos que
clarifican la
diferencia.
8
Claridad para
exponer su
comprensión de
No muestra
comprensión del
concepto a
Presentación
poco clara
Presenta con
claridad el
concepto a
Presentación
clara, concisa y
buen apoyo
8
180
aspectos sobre
los números
naturales, sus
usos y
representación
tratar
tratar, aunque
no concisa o
con débil apoyo
multimedial.
EVALUACIÓN 2
“Resuelve y elabora problemas vinculados a distintas disciplinas, que
requieren usar números racionales o irracionales para su resolución y que
se ajustan a los contenidos de los programas de estudio de segundo ciclo
básico”
1. Estándar 3 y 5 / Competencia 6.
2. Justificación:
Esta evaluación es consistente con los estándares 3 y 5, que establecen que el
profesor de segundo ciclo básico comprenda los números racionales e irracionales y
utilice estos números desde una perspectiva interdisciplinaria para resolver y plantear
situaciones problemas, en el ámbito de los contenidos de los programas de segundo
ciclo básico.
En atención a la competencia 6, se aprovecha la participación de estudiantes de
distintas menciones, para compartir un enfoque interdisciplinario en la construcción de
desafíos y problemas matemáticos en diversos contextos para alumnos de segundo
ciclo básico.
La resolución de problemas es un objetivo de aprendizaje medular en la
educación escolar. Relaciona la actividad escolar con la vida cotidiana,
favorece el desarrollo de un pensamiento autónomo en los alumnos y ayuda a
los alumnos a una mejor participación social. En esta evaluación la modelación
de las situaciones problemas se realiza en el marco de distintas categorías de
números y de distintas representaciones usadas para éstos.
3. Pre-requisitos:
Para la elaboración y resolución de los problemas, los estudiantes deben:

Tener comprensión lectora, y habilidad para redactar.

Tener dominio de la aritmética en Q y R.
4. Descripción breve de la evaluación:

Resolución y elaboración de problemas
Se solicita a los estudiantes que:
181


Resuelvan problemas propuestos en los que requieren interpretar la situación
haciendo uso de los números enteros, racionales o irracionales, sus
operaciones y propiedades.
Elaboren problemas que requieran el uso de números enteros, racionales o
irracionales, que hagan referencia a distintos sectores del currículo y que sean
pertinentes a los aprendizajes esperados para alumnos de segundo ciclo
básico. .
5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.
Paso 1: Plantear problemas a partir de los enunciados dados.
Los futuros profesores deben interpretar correctamente el sentido de las situaciones
propuestas, de modo que determinen el modelo aritmético requerido para resolver el
problemas.
Paso 2: Resolver el problema haciendo cálculos y aplicando propiedades de las
operaciones, e interpretando el resultado.
Una vez modelado el problema, el futuro profesor debe llevar adelante las operaciones
y usar las propiedades de los números. Llegando a un resultado, ha de contrastarlo
con la pregunta, para revisar si parece ser una respuesta ajustada.
Paso 3: Idear situaciones que hagan uso de los números reales y sus operaciones.
Las situaciones pueden dar cabida tanto a problemas abiertos como a problemas de
aplicación. Tales situaciones deben ser cercanas a la realidad de los estudiantes, de
modo que el enunciado no constituya un obstáculo para la comprensión del problema
por parte del alumno.
Estructurar las situaciones conforme al nivel de segundo ciclo básico..
La situación debe ajustarse desde una perspectiva interdisciplinaria a los programas
de segundo ciclo básico. De modo que sea pertinente y atractiva para los alumnos.
6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):


Para la resolución de problemas sólo dispondrán de papel y lápiz, y no
calculadora. Será un trabajo individual que deberán hacer dentro de un tiempo
limitado.
El trabajo de elaboración de situaciones problemas podrá hacerse en binomios
o pequeños grupos. Los alumnos dispondrán de los programas de estudio y de
un tiempo suficiente para reflexionar y mejorar sus producciones, en el
contexto de una tarea evaluada.
Rúbrica de Evaluación:
Insuficiente
0
Planteamiento del
problema sobre
cuocientes,
No es capaz de
modelar los
problemas que
Básico
3
Sólo es capaz de
modelar los
problemas simples,
Logra
6
Es capaz de
modelar los
problemas simples
Destacado
8
Plantea caminos
de
resolución
fáciles
de
182
Puntos
8
fraccionamientos,
repartos,
proporciones,
porcentajes, y
probabilidades
Resolución de los
problemas
se le proponen
relativos a números
enteros o con una
operación.
y complejos
entender
implementar
No es capaz de
resolver el
problema
Resuelve
totalmente los
problemas, pero
por caminos poco
eficientes
Elaboración de
situaciones
problemas, tanto
de aplicación como
de descubrimiento
o conceptualización
No es capaz de
proponer
situaciones
relacionadas con
el uso de
distintos tipos de
números
Resolución parcial
del problema.
Comete errores en
cálculos o en la
aplicación de
propiedades
Propone situaciones
poco coherentes,
que poca relación
tienen con los
números y con la
realidad
Ubicación de la
situación en el
contexto del nivel
del segundo ciclo
básico
No es capaz de
ubicar la
situación en el
ámbito de los
programas de
matemática del
segundo ciclo
básico.
Resuelve
correctamente
los
problemas
por medio de
caminos
eficientes.
Propone
situaciones
realistas
y
complejas,
incluso abiertas,
que
involucran
cambios
de
registro.
Se
incluyen
situaciones
abiertas
que
llevan
a
conceptos
nuevos,
y se
relacionan
con
los contenidos de
otros sectores del
ciclo.
Las situaciones se
refieren a contenidos
de los programas de
matemáticas del
segundo ciclo, pero
sólo a nivel de
aplicaciones.
Además, no se
relaciona con
contenidos de otros
sectores del ciclo.
Propone
situaciones
adecuadas, pero
simples en que se
usan algoritmos
convencionales y
no estrategias poco
convencionales
Las situaciones
aplican la
matemática de
segundo ciclo, no
llevan a descubrir
nociones. Aunque,
se relacionan con
contenidos de otros
sectores del nivel.
e
VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:
Puntos:
1. Presentación Ppoint “Concepto de Números”
12
2. Informe I “Justificación de técnicas operatorias”
8
3. Informe II “Elaboración de problemas”
8
4 Ensayo escrito y exposición oral
(Evaluación clave 1, Estándar 1)
32
5. Trabajo en binomio y prueba Individual
(Evaluación clave 2, Estándar 3 y 5)
40
Total de puntos:
100
Se exige un 60% para la aprobación del curso.
Asignatura:
Números racionales, reales y complejos
Autor(a)/Universidad:
Raimundo Olfos /P.U. Católica de Valparaíso,
Horas presencial por semana:
6 (4 teóricas, 2 prácticas)
Horas requeridas del alumno por semana afuera del aula: 6 horas.
183
8
16
8
Visión del Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica
El Profesor Especialista para el Segundo Ciclo de Educación Básica es un profesional
con sólida formación pedagógica y disciplinaria, en al menos un sector de aprendizaje,
con autonomía para tomar decisiones informadas. Ejerce una práctica reflexiva y
utiliza la investigación para desarrollar las competencias que le permiten
responsabilizarse de los procesos y resultados de su enseñanza. En colaboración con
la familia y comunidad, se compromete con el logro de aprendizajes que potencien el
desarrollo psicosocial, intelectual y moral de estudiantes preadolescentes. Participa
en acciones de cooperación profesional asociadas al mejoramiento de la calidad de la
educación que ofrece su institución escolar
ALINEACIÓN CON ESTÁNDARES Y COMPETENCIAS
I. Estándares y Competencias del perfil de egreso relacionado al curso.
Los siguientes estándares y competencias tienen un énfasis principal en este curso:
Estándar 4:
Comprende el concepto de número racional, como ente formal cuyas
propiedades están dadas por su definición constructiva y las proposiciones que
se deducen de ellos.
Comprende la estructura deductiva del sistema de los números racionales,
reconoce sus propiedades como cuerpo ordenado y es capaz de explorar y
deducir algunas propiedades en el marco de la estructura del cuerpo cuociente
construido desde el anillo de los números enteros.
Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que
favorecen la comprensión y utilización de los números irracionales y del cuerpo
ordenado de los racionales, en situaciones referidas a fracciones de medidas,
particiones, reparto, ubicación en la recta, equivalencia de fracciones,
expresiones decimales infinitas periódicas y no periódicas, redondeos,
aproximaciones, estimaciones, operaciones entre racionales, cálculos con
algoritmos estándares, uso de estrategias de cálculo, uso de calculadora,
lectura y escritura de números racionales, divisores, restos, potencias, medidas
grandes y pequeñas, exponentes enteros incluyendo negativos; atendiendo a
los obstáculos didácticos asociados a estos conceptos, a las orientaciones
didácticas de los programas oficiales de cuarto básico a primero medio, y a los
enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes.
Estándar 5:
184
Comprende de manera intuitiva los números reales como completación de los
racionales, a partir de los desarrollos decimales infinitos y el modelo de la recta
numérica, disponiendo de herramientas conceptuales y procedimentales para
la resolución de problemas y la interpretación de fenómenos referidos a
magnitudes continuas, teniendo en vista la organización de su enseñanza.
Comprende los números complejos como producto cartesiano de los reales en
el plano, a partir del cual se define una operatoria útil, de tipo vectorial que
permite resolver situaciones problemas.
Competencia 1, Eje 2:
Comprende con adecuada amplitud y profundidad las disciplinas del sector de
aprendizaje que es responsable de enseñar. (Matemática)
Competencia 3, Eje 2:
Planifica secuencias de enseñanza y evaluación que contemplan la lógica de
los contenidos y el proceso de aprendizaje, considerando en sus actividades y
en la evaluación de estas, los procesos cognoscitivos.
El siguiente estándar y las siguientes competencias tienen un énfasis
secundario en este curso:
Estándar 3:
Comprende los significados asociados a las fracciones y el concepto de
número racional como elemento de un conjunto cuociente, distinguiendo
sus diferencias y similitudes. Reconoce los números decimales como
aquellos racionales que se expresan por fracciones cuyo denominador
es una potencia de diez. Reconoce las expresiones o desarrollos
decimales finitos y periódicos como una forma de representación de los
números racionales, alternativa a las fracciones, que facilita los cálculos
de las operaciones aritméticas. Comprende la existencia de cantidades
inconmensurables, e identifica los números irracionales con las
expresiones o desarrollos decimales infinitos no periódicos. Reconoce en
las distintas formas de representación de los números una complejidad
conceptual que se constituye en un obstáculo didáctico.
Reconoce las propiedades del orden y de las operaciones, incluyendo
potencias y raíces, en los números decimales, racionales e irracionales, y
las visualiza bajo las distintas formas de representación, incluyendo
esquemas y gráficos, de estas categorías de números. Fundamenta los
procedimientos de cálculo a partir de las formas de representación de los
números.
Resuelve problemas asociados a fenómenos naturales y sociales a partir de la
modelación de situaciones referidas a diferencias y razones entre medidas,
mediciones y particiones, repartos y fraccionamientos, equivalencia de
fraccionamientos,
cuocientes y restos, pendientes, escalas, semejanza,
185
porcentajes, tasas y variaciones proporcionales, probabilidades, medidas
grandes y pequeñas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, uso de
calculadora y algoritmos operatorios, y uso de estrategias de cálculo; para lo
cual utiliza números irracionales, el sistema de los números racionales y
diferentes registros de representación, incluyendo expresiones fraccionarias,
decimales finitas, infinitas periódicas y no periódicas, y potencias con
exponente entero.
Diseña, selecciona y resuelve situaciones problemas asociadas a distintas
disciplinas, en el marco de los programas de estudio de segundo ciclo básico,
usando fracciones, decimales y porcentajes.
Competencia 2, Eje 2:
Comprende el marco curricular nacional y los mapas de progreso para el sector
curricular que enseña y utiliza este conocimiento para planificar su enseñanza.
Competencia 6, Eje 2:
Evalúa, selecciona y diseña materiales, métodos y situaciones de aprendizaje
aprendidas, en cuanto a su precisión y utilidad para presentar ideas y
conceptos en su disciplina.
II. Aprendizajes (claves para el logro de los estándares/competencias)
Indicadores de logro
Conceptuales:
 Describe el concepto de número racional, como ente formal cuyas
propiedades están dadas por su definición constructiva
 Explica la diferencia entre el número irracional como objeto matemático y
su representación.
 Construye los racionales como cuerpo cuociente y define el orden, la
suma y el producto en Q.
 Identifica las propiedades de Q como cuerpo cuociente, ordenado,
arquimediano, pero no completo, incluyendo propiedades de las
potencias.
 Identifica las propiedades de Q que no se verifican en Z.
 Define raíz de un número y su potencia,
 Explica la necesidad de definir los números irracionales para representar
situaciones referidas a magnitudes continuas.
 Explica el sentido de la definición de número irracional como un límite de
sucesiones de Cauchy, intervalos encajados o cortaduras.
 Caracteriza las situaciones en contextos cotidianos o de especialidad en
que se usa preferentemente los decimales en vez de las fracciones, y
viceversa.
 Identifica obstáculos didácticos asociados a la comprensión y uso de los
números racionales e irracionales en el segundo ciclo básico, en particular
los obstáculos epistemológicos que quedan en evidencia en el desarrollo
histórico de la noción de número real, y planifica actividades para la
superación de estos por parte de los alumnos
186



Define los números reales como completación de Q y los Identifica con
sucesiones de Cauchy, intervalos encajados o cortaduras que se
representan por medio de los desarrollos decimales infinitos y por puntos
en la recta numérica.
Utiliza el modelo de los números reales para resolver problemas y
representar fenómenos o situaciones referidos a magnitudes continuas,
teniendo en vista la organización de su enseñanza en el segundo ciclo
básico.
Identifica los números complejos como pares ordenados de números
reales, los representa en el plano, conoce su operatoria, sus propiedades
y usos como vectores que permiten resolver situaciones problemas.
Procedimentales:
 Explora y deduce algunas propiedades en el cuerpo ordenado (Q,+,*) a
partir de (Z,+,*).
 Demuestra algunas propiedades de Q que no se verifican en Z.
 Explora propiedades de las raíces y hace demostraciones a partir de las
propiedades de las potencias.
 Extiende y verifica o demuestra propiedades algebraicas de las
operaciones con números racionales al ámbito de los irracionales.
 Fundamenta los algoritmos de operación para las fracciones y los
decimales, los cambios de registro, el uso de estrategias de cálculo
mental y otras estrategias ad hoc.
 Resuelve problemas en contextos cotidianos sobre cuocientes, razones,
tasas, proporciones, probabilidades, repartos y fraccionamientos utilizando
distintas representaciones de los racionales, sus operaciones y
propiedades.
 Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza, entre
ellos algunas situaciones problemas que favorecen la comprensión y
utilización del cuerpo ordenado de los racionales, en situaciones referidas
a fracciones de medidas, particiones, reparto, equivalencia de fracciones,
operaciones entre racionales, cálculos con algoritmos estándares, uso de
estrategias de cálculo, uso de calculadora, lectura y escritura de números
racionales, divisores, restos, potencias, exponentes enteros incluyendo
negativos; atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos
conceptos y a las orientaciones didácticas de los programas oficiales de
cuarto básico a primero medio.
 Organiza, planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que
favorecen la comprensión y utilización de los racionales, en situaciones
referidas a ubicación en la recta, expresiones decimales infinitas
periódicas, redondeos, aproximaciones, estimaciones, medidas grandes y
pequeñas; atendiendo a los obstáculos didácticos asociados a estos
conceptos, a las orientaciones didácticas de los programas oficiales de
cuarto básico a primero medio, y a los enfoques cognoscitivos actuales de
los aprendizajes
 Organiza y diseña actividades que favorecen la comprensión y utilización
de los números irracionales, en situaciones referidas a fracciones de
medidas, ubicación en la recta, expresiones decimales infinitas no
periódicas, redondeos, aproximaciones, uso de estrategias de cálculo, uso
187
de calculadora, medidas grandes y pequeñas, atendiendo a los obstáculos
didácticos asociados a estos conceptos y a las orientaciones didácticas de
los programas oficiales de octavo básico y primero medio.
Actitudinales

Valora los números reales y los números complejos como modelos de las
cantidades continuas
III. Lecturas Requeridas:
Obligatoria:
Burton, D. (1967). Introduction to Modern Abstract Álgebra. Addison Wesley Pub.
Co.
Centeno, Julia (1997). Números decimales ¿Por qué?, ¿Para qué?. Serie
matemáticas: Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis.
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para quinto año básico.
Santiago, Chile
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para sexto año básico.
Santiago, Chile
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para séptimo año básico.
Santiago, Chile
MINEDUC, (1998). Planes y programas de estudio para octavo año básico.
Santiago, Chile
NCTM (1989). Estándares curriculares y de evaluación para la educación
matemática.
Complementaria
Adler, I. (1969). Magic House of Numbers Signet, New York.
Boyer, C.B. (1986) Historia de la matemática. Alianza Editorial, Madrid, (3ª
impresión 2003).
Brumfiel, Ch., Eichole, R. y Shanks, M. (1962). Fundamental Concepts of Elementary
Mathematics. Addison Wesley, Massachusetts.
Courant, R y Robbins, H. (1996). What is mathematics ? Oxford University Press.
Dávila, M. (1992). El Reparto y las Fracciones. En Educación Matemática. Vol.4 Nº 1
Abril Pp 32-45.
Llinares, S. Y Sánchez, M.A. (1988). Fracciones. Síntesis. Madrid.
Pitkenthly, A. y Hunting, R. (1996). A review of recent research in the area of initial
fraction concepts. Educational Studies in Mathematics. (30), 1, pp. 5-38.
Rico, L. (1998) Conocimiento Numérico y Formación del Profesorado. En Revista de
Educación de la Universidad de Granada. Vol. 11 Granada.
Rouche, N. (1993). De las Magnitudes a los Racionales. Documento Inédito. CIDE,
Santiago.
Dobrot, S (1964). Real Numbrers, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J
188
IV. Otros recursos:
Cid, E., Godino, J.D. y Batanero, C. (2003) Sistemas numéricos y su didáctica para
maestros. Universidad de Granada. En http://www.ugr.es/local/jgodino/edumatmaestros/
V. Trabajos requeridos al alumno para lograr estándares y
competencias del perfil
1. Modelación y deducciones en los Racionales
Estándar 4
El estudiante elabora un informe, en conformidad a los siguientes
requerimientos
 Dadas situaciones referidas a fraccionamientos y repartos, el alumno identifica
las propiedades comunes, tales como la subdivisión de los enteros y la existencia
de valores equivalentes. Tras la institucionalización por parte del profesor, el
estudiante comparte verbalmente con sus pares las nociones de fracción
equivalente y de clase de equivalencia. Y luego las describe por escrito
 Tras analizar situaciones de fraccionamiento y reparto, como la distribución
equitativa de objetos y la subdivisión de enteros a partir de un fraccionamiento,
discute y explica por escrito la construcción de los racionales como conjunto
cuociente.
 Tras estudiar las propiedades iniciales de los racionales como anillo cuociente,
elabora al menos dos demostraciones referidas al orden, la adición o la
multiplicación en Q y explica el significado de una partición asociada a una
relación de equivalencia.
IV. Otros recursos:
2. Análisis de conjeturas y elaboración de demostraciones
Estándar 4
El estudiante entrega un informe atendiendo a las siguientes solicitudes:
 Tratada la construcción del cuerpo ordenado arquimediano Q, el estudiante
propone y prueba conjeturas, siendo conducido a encontrar propiedades
relativas a la estructura de cuerpo de Q y de su orden.
 A partir del análisis de los números racionales y la deducción de algunas
propiedades, el estudiante es desafiado a conjeturar, refutar, verificar y discutir
demostraciones sobre propiedades del orden, la adición, la multiplicación y las
potencias en Q.
3. Análisis del cuerpo (R,+,*) como modelo.
Estándar 5
El estudiante entrega un informe atendiendo a los siguientes requerimientos:
 Tras reconocer los números reales como modelo de situaciones referidas a
“magnitudes continuas”, el estudiante identifica la recta numérica y los
desarrollos decimales como representaciones del modelo de los números reales.
 El estudiante verifica las propiedades algebraicas de los reales.
 El estudiante analiza la veracidad de conjeturas acerca del orden y la completitud
de los reales, muestra situaciones referidas a las conjeturas y demuestra o refuta
según corresponda.
189
4. Análisis del cuerpo (C,+) como modelo.
Estándar 5
El estudiante entrega un informe atendiendo a los siguientes requerimientos:
 Tras reconocer los números complejos como modelo de situaciones referidas a
“vectores en el plano”, el estudiante identifica el plano como una representación
del modelo de los números complejos.
 El estudiante verifica las propiedades algebraicas de los complejos
 El estudiante analiza la veracidad de conjeturas acerca de loa magnitud y de la
norma de un número complejo.
Pauta para la Evaluación Clave
Se contemplan dos evaluaciones claves: una prueba sobre conjeturas y demostraciones,
y un informe referido a planificaciones de clases.
Evaluación clave 1. Prueba: Conjeturas, refutaciones y demostraciones
en Q y R.
1. Estándares 4 y 5, Competencia 2.1
2. Justificación:
El profesor de matemáticas de segundo ciclo básico debe comprender en qué
consiste el trabajo matemático, por ello debe ser capaz de formular desafíos y
argumentar su veracidad, para así favorecer el desarrollo de estas habilidades
en sus alumnos.
3. Pre-requisitos:
El profesor debe comprender las propiedades básicas de los números
racionales y reales, y de sus operaciones. Además, debe comprender la forma
en que estas propiedades son deducidas.
4. Descripción breve de la evaluación:
Los profesores en formación son sometidos a una prueba o evaluación
escrita en la que deben enfrentarse a conjeturas y hacer demostraciones
o refutaciones acerca de los números racionales y reales, sus
operaciones y propiedades, en un tiempo delimitado.
5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.
Paso 1: Conjunto cuociente y Cuerpo Ordenado
estándar 4.
 Explica la construcción de los racionales y deducen algunas de sus
propiedades como cuerpo ordenado
Paso 2 : Concepto de número irracional y sus formas de representación.
estándar 4.
 Analiza una demostración de la existencia de números irracionales y justifican
cada uno de sus pasos.
190

Construye un esquema que distinga los números racionales, las fracciones, los
números decimales y las fracciones cuyo denominador son potencias de 10 o
fracciones equivalentes, los números reales y los desarrollos decimales.
Paso 3: Propiedades de los racionales, irracionales y sus operaciones. estándar 4.
 Señala las propiedades de Q que no se heredan de Z y de los
irracionales que no se heredan de Q.


Analiza conjeturas sobre las propiedades del orden, la adición, la multiplicación,
la potenciación y la radicación en los racionales e irracionales, y provee
contraejemplos para refutar las inapropiadas.
Prueba o da contraejemplos de conjeturas relativas al orden y la completitud
en R.
Paso 4: Contextos de aplicación de los números reales


estándar 5.
Identifica situaciones asociadas a los números irracionales que no
permiten una modelación eficiente por medio de los racionales.
Resuelve situaciones problemas por medio de la modelación con
números reales, sus operaciones y propiedades.
6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Antes de la prueba estudiarán las propiedades de los sistemas
numéricos en juego y de sus formas de representación; previamente
llevarán adelante tareas a partir de guías de trabajo y tendrán tiempo
para consultas, además, dispondrán de ejemplos detallados de
demostraciones. Durante la prueba no podrán tener material de consulta
y será resuelta individualmente.
Rúbricas
Criterio
Insuficiente
0
Básico
3
Competente
6
Destacado
8
Explica la
construcción de
Q y deduce las
propiedades de
cuerpo
ordenado que se
le soliciten.
No es capaz de
explicar la
construcción de
Q ni de deducir
propiedades
No es capaz de
justificar los
pasos de una
demostración
acerca de la
existencia de
irracionales
Explica algunos
aspectos
centrales de la
construcción de
Q y deduce sólo
algunas de las
propiedades
requeridas
Justifica la
mayoría de los
pasos de una
demostración
acerca de la
existencia de
irracionales
Explica lo
esencial de la
construcción de
Q y deduce
todas las
propiedades
requeridas.
Justifica los
pasos de una
demostración
acerca de la
existencia de
irracionales
Comete errores
al explicar la
construcción de
Q o bien comete
errores lógicos
que la invalidan
sus
deducciones.
Justifica sólo
los pasos
simples de una
demostración
acerca de la
existencia de
irracionales
Construye
esquema que
No logra
distinguir los
Distingue los
conjuntos pero
Distingue los
conjuntos y las
Justifica la
totalidad de los
pasos de una
demostración
acerca de la
existencia de
irracionales
.
Construye un
esquema claro
Ptos
8
4
8
191
distingue R, Q,
D y formas que
los representan.
conjuntos ni sus
formas para
representarlos
no las formas en
que se
representan.
formas que los
representan,
pero no da
explicaciones
imprecisas
Reconoce al
menos cuatro
propiedades de
los irracionales
que no son de Q
y de Q que no
son de Z.
que distingue R,
Q, D y las
formas que los
representan.
Reconoce
propiedades de
los irracionales
que no son de Q
y de Q que no
son de Z.
No reconoce
propiedades de
los irracionales
que no son de Q
y de Q que no
son de Z.
Reconoce sólo
un par de
propiedades de
los irracionales
que no son de Q
y de Q que no
son de Z.
Analiza
conjeturas,
prueba y da
contraejemplos
sobre el orden y
las operaciones
en los reales.
No es capaz de
elaborar, probar
o dar
contraejemplos
de conjeturas en
los reales.
Identifica
conjeturas, pero
no prueba ni da
contraejemplos
en los reales.
Ante conjeturas
falsas da
contraejemplos,
pero no
demuestra en el
caso de ser
verdaderas.
Analiza
conjeturas,
prueba las
verdaderas y da
contraejemplos
sobre las falsas.
Identifica
situaciones que
requieren una
modelación con
irracionales.
No identifica
situaciones que
requieren una
modelación con
irracionales.
Confunde
situaciones que
se pueden
modelar en Q o
con irracionales.
Identifica sólo
situaciones de
medición que
requieren una
modelación con
irracionales
Identifica al
menos tres
situaciones que
requieren los
irracionales para
ser bien
modeladas..
Resuelve
problemas de
situaciones
modeladas con
reales
No logra resolver
problemas de
situaciones
modeladas con
reales
No logra modelar
adecuadamente
las situaciones
planteadas
Modela las
situaciones, pero
comete errores al
resolver el
problema.
Modela y
resuelve
correctamente
los problemas.
Reconoce cinco
o màs
propiedades de
los irracionales
que no son de Q
y de Q que no
son de Z.
8
4
8
Evaluación clave 2 Planificación de actividades de aprendizaje.
1. Estándar 4, Competencias 2.3, 2,6 y 2,12
2. Justificación:
Es prioritaria la coherencia entre la matemática pura y la matemática escolar,
de modo que la asignatura no pierda su esencia. El profesor debe articular el
saber matemático puro con el saber matemático a enseñar, y nada mejor que
esa articulación se haga desde el momento en que se aprende. Esta
evaluación se inspira en la reflexión sobre ¿Qué es lo importante sobre los
números que debe ser enseñado en el segundo ciclo básico?.
3. Pre-requisitos:
El profesor debe conocer los programas de estudio, la operatoria aritmética en los
reales, elementos de lógica preposicional y debe reconocer los conocimientos que
requieren poner en juego los alumnos para alcanzar los aprendizajes sobre los
números en el segundo ciclo básico.
4. Descripción breve de la evaluación:
192
Los profesores elaboran una secuencia de actividades y de evaluación en torno
a un tema de la matemática escolar, de modo que conserve lo esencial del
conocimiento matemático puro que le precede. Esta planificación de clases se
referirá a los números racionales, dispondrá de 7 días para prepararla, una vez
que haya consultado las orientaciones didácticas de los programas de estudio,
la presentación de los textos escolares, y los obstáculos didácticos asociados al
tema según lo establece la literatura.
5. Descripción en detalle de los pasos de la evaluación.
Paso 1: Delimitación del tema y análisis de programas y textos
estándar 4,
comp.. 2.12.
 Una vez tratada en clases la construcción de los racionales y habiendo
trabajado demostraciones en torno a las propiedades del orden y las
operaciones en Q, el estudiante analiza actividades de aprendizaje sobre
estos conceptos en los programas de estudio y textos escolares del
segundo ciclo básico..
Paso 2: Análisis de la matemática presente en Programas y textos.
estándar 4, comp.. 2.6.
 Analiza el saber matemático presente en los conceptos según son
tratados en los programas de estudio oficiales.
Paso 3: Análisis de los obstáculos didácticos asociados al tema.
estándar 4.
 Analiza las actividades teniendo en consideración los obstáculos
didácticos asociados a los conceptos tratados y las orientaciones
didácticas entregadas por los programas de estudio.
Paso 4: Elaboración de secuencia de actividades de aprendizaje.
estándar
4, comp. 2.3.
 Planifica y diseña actividades y secuencias de enseñanza que favorecen
la comprensión y uso de tales conceptos atendiendo a los antecedentes
anteriores, a los enfoques cognoscitivos actuales de los aprendizajes, y a
la disponibilidad de recursos computacionales.
6. Recursos que dispondrán los estudiantes para que puedan mostrar sus
conocimientos, habilidades, o actitudes (textos, sitios de la red, otros):

Para mostrar el informe de las planificaciones dispondrán de proyector
de pantalla.
Rúbricas
Criterio
Las actividades
son coherentes
con los
aprendizajes
Insuficiente
0
Básico
3
Competente
6
Destacado
8
No formula
actividades que
pongan en juego
conocimientos
Actividades que
ponen en juego
saberes, pero
que no
Actividades
relacionadas con
los aprendizajes
esperados pero
Actividades que
ponen en juego
conocimientos
previos y
Ptos
8
193
seleccionados
del los
Programas
Las actividades
mantienen en
esencia el saber
matemático
contenido en los
aprendizajes
esperados
previos
Las actividades
tienen en
consideración
los obstáculos
didácticos sobre
el tema y son
coherentes con
las sugerencias
didácticas de
los Programas.
La secuencia de
actividades es
consistente con
los enfoques
cognitivos
actuales sobre
aprendizaje en
matemática
Y contempla el
uso adecuado
de tecnología.
No propone
actividades de
aprendizaje, en
que los alumnos
pongan en juego
saberes para
construir o
consolidar
nuevos saberes.
Las actividades
no se ajustan a
las sugerencias
del programa ni
tienen en cuenta
los obstáculos
didácticos
asociados al
tema.
Las actividades
no atienden los
principios
básicos sobre el
aprendizaje
Las actividades
se limitan a
atender
principios de
aprendizaje
conductistas.
No formula
actividades
relacionadas con
los aprendizajes
esperados.
conducen a los
aprendizajes
seleccionados
Las actividades
no se relacionan
con los saberes
matemáticos
asociados a los
aprendizajes
esperados
no a partir de
saberes previos.
Las actividades
se relacionan
parcialmente
con los saberes
matemáticos
asociados a los
aprendizajes
esperados.
Las actividades
se ajustan a las
sugerencias del
programa o bien
tienen en cuenta
los obstáculos
didácticos
asociados al
tema, pero no
ambas.
Las actividades
tienen en cuenta
principios socio
cognitivos
actuales acerca
del aprendizaje
de la
matemática
apuntan a los
aprendizajes
esperados
Las actividades
se relacionan
claramente con
los saberes
matemáticos
asociados a los
aprendizajes
esperados
Las actividades
se ajustan a las
sugerencias del
programa y
tienen en cuenta
los obstáculos
didácticos
asociados al
tema.
Las actividades
son consistentes
con los enfoques
cognitivos
actuales sobre
aprendizaje en
matemática
Y contemplan el
uso adecuado
de tecnología.
8
8
8
VI. Puntuación de los Trabajos para la evaluación:
Puntos:
1. Informe escrito Modelación y deducciones en Q
(Estándar 4, comp.. 2,1)
6
2. Informe escrito Conjeturas y demostraciones en Q
(Estándar 4, comp.. 2,1)
8
3. Informe escrito El cuerpo (R,+,*) Como modelo
(Estándar 5, comp.. 2,1)
8
4. Informe escrito El cuerpo (C,+,*) como modelo
(Estándar 5, comp.. 2,1)
8
5. Prueba individual
(Evaluación clave, Estándar 4, comp.. 2,1)
40
6. Planeamiento de la enseñanza
(Evaluación Clave, Comps 2.3, 2,6 y 2,12)
32
Total de puntos:
100
194
2. ¿Cuál es la secuencia recomendada de estos cursos?
Año I




Números: Sus Usos y Operaciones
Introducción a la Geometría
Geometría del Triángulo y del Cuadrilátero
Estadística Básica
Año II




Aritmética en IN y Z
Transformaciones Isométricas
Cuerpos Geométricos
Racionales, Reales y Complejos
Año III




Didáctica de los Sistemas Numéricos
Geometría Proporcional
Variaciones Proporcionales
Estadística y Probabilidades
Año IV
 Algebra y Funciones
 Didáctica de la Geometría
 Didáctica del Álgebra
3. Identifique principales fortalezas y debilidades de los siguientes procesos
implementados durante el proyecto

Elaboración de estándares (grupos disciplinarios) o Perfil y sus competencias
(grupo Perfil)
Fortalezas:
 La elaboración de los estándares se basó en el curriculum de
Educación Básica y a partir de ello se construyeron indicadores
 La integración del contenido disciplinar y el contenido
didáctico en los estándares
Debilidades:
 La rotativa de coordinadores del grupo retrasó la elaboración de los
estándares.
 La experta asignada al grupo de Matemática en marzo del 2006
generó un retroceso pues modificó la línea de desarrollo del proceso
seguido hasta ese momento

“Currículum mapping”
Fortalezas:
 Se propuso la construcción del currículum a partir de las
competencias del perfil y los indicadores de los estándares.
195


La adecuada asesoría de Janet McDaniel en “Currículum
Mapping”
Elaboración de programas de curso
Fortalezas:
 Constante diálogo y apertura a modificaciones de los
Programas por parte de todos los integrantes del Equipo
 Confianza en la capacidad profesional entre todos los
integrantes del Equipo para la elaboración de programas.
Debilidad:



Poco tiempo para elaborar, discutir y analizar en forma
presencial los programas de los cursos por lo integrantes del
grupo
Falta de recursos humanos para la elaboración de programas
Coordinación y trabajo colaborativo a nivel de grupo (disciplinario y
perfil)
Fortaleza:


Todos los integrantes del Equipo tuvieron la posibilidad de
expresar sus opiniones divergentes, aspecto que enriqueció la
discusión de la elaboración de estándares, indicadores y
programas.
La coordinación de Patricia Brizuela dió cabida a las opiniones
divergentes del Equipo incluyéndolas en los análisis y los
productos.
Debilidad:
 La rotativa de los coordinadores e integrantes del equipo de las
distintas universidades.

Conducción y organización del proyecto (Coordinación del consorcio y
equipo directivo)
Fortalezas:
 Seguimiento continuo al Equipo
 Las asesorías externas (excepto Marzo 2006)
 La solución oportuna a los problemas emergentes de distinta
naturaleza.
196
Debilidad:
 La subutilización de la Plataforma Web para la interacción al interior
del Consorcio y entre Consorcios.

Otros

Los altos grados de preocupación mostrados por cada una de las
Universidades que en su momento tuvieron que ser anfitriones del
Proyecto.
Fortaleza
197