UNIDAD I MODELOS MATEMÁTICOS (O FUNCIONES) OBJETIVO TERMINAL

UNIDAD I MODELOS MATEMÁTICOS (O FUNCIONES)
OBJETIVO TERMINAL
Identificar los diferentes tipos de modelos matemáticos vistos y poder determinar su dominio.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
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Entender el significado de modelo matemático, determinar su dominio y evaluar el modelo para
diferentes valores de la variable independiente.
Determinar el dominio de los diferentes tipos de modelos matemáticos vistos.
Graficar modelos lineales y cuadráticos, en coordenadas rectangulares.
Identificar a partir de una gráfica intervalos de crecimiento e intervalos de decrecimiento de
modelos matemáticos.
Entender el concepto de continuidad y discontinuidad de modelos matemáticos.
Identificar a partir de una gráfica continuidad y discontinuidad de modelos matemáticos.
Identificar a partir del conocimiento del dominio de un modelo puntos de discontinuidad e
intervalos de continuidad.
Elaborar gráficas de funciones lineales, cuadráticas, racionales, irracionales, exponenciales y
logarítmicas y a partir de esta gráfica identificar crecimiento, decrecimiento, continuidad,
discontinuidades, puntos de corte con los ejes, máximos y mínimos relativos.
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DEFINICION MODELO MATEMATICO:
Un modelo matemático es un conjunto sobre el que se han definido relaciones entre
variables que satisfacen las proposiciones derivadas del conjunto.
El modelo matemático define un valor numérico que depende de otra variable.
Ejemplo:
y= 5x+3
Esta expresión nos define que para cierto valor de x obtendremos un valor para la variable
y, donde y luego es una función de la variable x y se expresa y = f (x)
Entonces si tomáramos un valor de x=2, tenemos:
y=f(2)= 5*(2)+3
y=f(2)= 10+3 = 13
y=13
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
El dominio de una función está formado el conjunto de todos aquellos valores de x
(números reales) para los que se puede calcular un valor real de y. Si para un valor de x el
valor de y no existe, equivale a decir que ese valor de x no pertenece al conjunto de la
proposición.
Ejemplo:
y= f ( x) 
9
x
Observe que si el denominador fuese cero, no existe un valor real para y, esto es si x=0, y no se
puede calcular. (La división por cero no existe).
El dominio en este caso es el conjunto de todos los números reales excluyendo en cero.
1. MODELO LINEAL:
Es un modelo de la forma:
y  f ( x)  mx  b
Donde m y b son constantes y representan: m la pendiente y b el intercepto o punto
de la línea recta con el eje y.
2
de corte
Ejemplos:
f ( x)  2 x  1 Donde: m  2  b  1
f ( x)  5  3x Donde: m  3  b  5
3
3
f ( x)  x  5 Donde: m   b  5
7
7
DOMINIO:
El dominio de todo modelo o función lineal esta formado por todos los números reales, es
decir para determinar su dominio no hay que efectuar ningún procedimiento matemático.
Ejemplo: Determine el dominio de las siguientes funciones.
 f ( x)  5 x  3 . Dominio x  lR


9
2
x  . Dominio x  lR
5
11
f ( x)  x Dominio x  lR
f ( x) 
GRÁFICA: Para graficar un modelo lineal es suficiente con conocer las coordenadas de dos
puntos sobre la recta, los paso a seguir son:
1. Se seleccionan dos valores de x arbitrariamente
2. Cada valor de x seleccionado se reemplaza en el modelo para obtener la respectiva
3. Las parejas obtenidas se ubican en el plano cartesiano.
4. Unimos los dos puntos obtenidos mediante una línea recta.
y.
Teorema:
i) Si la pendiente es positiva la recta es creciente, la inclinación es a la derecha
ii) Si la pendiente en negativa la recta es decreciente, la inclinación es a la izquierda
Ejemplos: Grafique cada una de las siguientes modelos lineales:
1.
y  f ( x)  3 x  5 .
x (los que nosotros queramos) por ejemplo x = 0 y x = 4,
estos valores obtenemos la respectiva y reemplazando en la función.
Seleccionamos dos valores de
con
Para x  0, y  f (0)  3(0)  5  5 .
Este punto tiene coordenadas (0, -5).
Para x  4, y  f (4)  3(4)  5  12  5  7 .
Este punto tiene coordenadas (4,7).
Haciendo una tabla de valores queda.
X
Y
0
-5
4
7
Ubicamos estos dos puntos en el plano cartesiano y los unimos mediante una línea recta. La
gráfica se muestra en la figura 1.2.
3
FIGURA 1.2 Gráfica de y  f ( x)  3x  5
Ejercicio:
Graficar la recta y  f ( x)  4 x  10 , para ello evalúe la función en x=2 y x=5
Sí x  2
y  f (2)  4(2)  10  8  10  2 .
Sí x  5 y  f (5)  4(5)  10  20  10  10 .
X
Y
2
2
5
-10
La gráfica se muestra en la figura 1.3
4
FIGURA 1.3 Gráfica de y  f ( x)  4 x  10
3.
y  g ( x)  2
Podemos ver que para cualquier valor de
en la figura 1.4
Si x = - 8, y = 2
Si x = 8, y = 2
x,
X
Y
la
y siempre tendrá el mismo valor.
-8
2
8
2
FIGURA 1.4 Gráfica de y  g ( x)  2
5
La gráfica se ve
ECUACION DE LA LINEA RECTA - ANALISIS GRAFICO
ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA A PARTIR DE UN PUNTO Y LA PENDIENTE
y  yconocida  mx  xconocida 
Ejemplo
Hallar al ecuación de la recta que tiene un Punto (x,y) conocido = (2,-2) y Pendiente m = 7
y  (2)  7( x  2)
y  7 x  14  2
y  7 x  16
ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA A PARTIR DE DOS PUNTOS
Ejemplo
Hallar al ecuación de la recta que tiene un Punto 1 (x1 , y1) conocido = (2 , 8) y
un punto 2 (x2 , y2) = (4 , 14)
Primero hayamos la pendiente
m
y 2  y1 14  8 6

 3
x 2  x1 4  2 2
Tomando cualquiera de los puntos conocidos tenemos
6
Para (2 , 8)
y - 8= 3 ( x – 2 )
y=3x-6+8
y=3x + 2
Si tomamos el otro puntos (4 , 14)
y - 14=3 ( x – 4 )
y = 3x – 12 + 14
y=3x + 2
ECUACIÓN DE LA RECTA PERPENDICULAR A UNA RECTA DADA
Para hallar la ecuación de un recta perpendicular a una recta dada, necesitamos conocer la
pendiente y un punto en la recta original.
Paso 1: Calcular la pendiente de la recta perpendicular, esta se halla teneiendo en cuenta que esta
es igual al inverso negativo de la pendiente de la recta original.
mperpendicular =

1
m
original
Paso 2. Con el punto conocido y la pendiente de la perpendicular hallamos la ecuación de la recta
solicitada
y  yconocida  mPerpendicular *  x  xconocida 
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta perpendicular a la recta y  f ( x)  3x  5 . En el punto
(3,4)
Luego: De la recta tomamos la pendiente moriginal = 3
mperpendicular =

1
3
Ahora hallamos la ecuación con el punto ( 3 , 4 )
y–4=

y–4=

1
3
x
(x - 3)

3
3 3
7
y=

x
3
+1+4
Ecuación de la recta perpendicular y=f(x)=

x
3
+5
Ejercicios:
1. Sea: f ( x ) 
a.
b.
c.
d.
x2
Halle:
9  x2
f (0)
f (3)
f ( 2)
f 3
f  4
e.
f. ¿Para qué valores de
x la función f no esta definida?
g ( x)  5  2x  x 2 Halle:
a. g ( 2)
b. g (0)
c. g (3)
2. Sea
d. ¿Para qué valores de x la función g no esta definida?
3. Sea
a.
b.
c.
h( x)  x  5 Halle:
h(1)
h(9)
h( 21)
h(0)
d.
e. ¿Para qué valores de x la función h no esta definida?
4 .Hallar la ecuación de la recta a partir de los puntos
(3 , 16) y ( 6 , 31 )
4.1. Hallar las coordenadas del punto para x=4
4.2. Hallar la ecuación de la recta perpendicular en el punto anteriormente encontrado.
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