ECUACIÓN DE UNA RECTA

ECUACIÓN DE UNA RECTA.
Una línea recta se puede entender como un conjunto de puntos alineados en una única
dirección.
Uno de los postulados de la geometría Euclidiana dice "para determinar una recta solo es
necesario dos puntos del plano.
El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se
denomina Ecuación de la Recta.
Ecuación principal de una recta.
Se llama ecuación principal de una recta a una expresión de forma:
Y= mx +n
En que m representa la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición y es el número en que la recta corta al
eje de las coordenadas.
Comentario!
Hasta ahora se ha trabajado con la ecuación lineal en dos variables buscando algunas
de sus soluciones, trazando su gráfica, buscando los interceptos, buscando la
pendiente.
Cabe preguntarse por el proceso inverso: si me dan las soluciones, si me dan la gráfica,
si me dan los interceptos, si me dan la pendiente; ¿ se podrá conseguir la ecuación
lineal ?
Esto significa que se te dará información para tu conseguir la ecuación y = mx + b que
cumple con esas condiciones dadas.
EJEMPLO 1 - Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b =
10.
Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usa la información que te dan:
m = 3 y b = 10 y sustituye en la ecuación
y = 3x + 10.
La ecuación que te pide el ejercicio es y = 3x + 10.
EJEMPLO 2 - Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente
m = - 5.
Tienes que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.
Usa la información que te dan: m = - 5 y sustituye en la ecuación:
y = - 5x + b
Ahora tienes que buscar la b; usa el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo
tanto, ese punto es una solución de la ecuación que estas buscando. Sustituye esos
valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estas buscando: 2 = - 5 ( 1 ) + b
Despeja la variable b en: 2 = - 5 ( 1 ) + b
2=-5+b
2+5=b
b=7
Sustituye el valor de b en la ecuación que estas buscando: y = - 5x + 7
La ecuación es y = - 5x + 7.
Debes conocer los siguientes enunciados:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente
Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas .
Ejemplo:
Si una recta tiene pendiente m = - 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene
pendiente m = - 3.
Si una recta tiene pendiente m = - 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene
pendiente .
Sí en una ecuación de esta forma: ax + by + c = 0, damos valores a x e y que cumplan la
ecuación, y representamos estos puntos en una gráfica, veremos que la gráfica es una
recta.
Si despejamos la 'y', la ecuación se convierte en: y = mx + n, m representa la pendiente
de la recta (la pendiente es el cociente entre lo que sube o baja entre dos puntos de la
recta y la distancia horizontal entre ellos, dicho matemáticamente es la tangente del
ángulo que forma la recta con otra recta horizontal) y n es el punto del eje y por donde
pasa la recta.
Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n =
0 la recta pasa por el origen.
Es muy frecuente encontrar fórmulas para hallar la ecuación de la recta que pasa por un
punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos
puntos. Tengo una buena noticia para los que tienen mala memoria: NO SON
NECESARIAS.
Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el
punto (1,3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación general y nos
quedaría: 3 = 2·1 + n, y despejando n, queda n = 1. Por lo tanto la ecuación de esa recta
será: y = 2x + 1.
Como se ve es muy fácil. A algunos profesores también les parece muy fácil y para
hacerlo más difícil en vez de decir la pendiente dicen el ángulo que forma la recta con el
eje x o con la horizontal. Es igual de fácil, la pendiente es la tangente de ese ángulo.
Otros profesores (que pretenden que nos equivoquemos, ya saben que hay profesores
de todo tipo) dicen el ángulo que forma la recta con el eje 'y' o con la vertical, en este
caso el ángulo que tenemos que utilizar es el complementario (90 - ángulo).
Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1,3) y (2,5), sólo tenemos que sustituir estos
valores en la ecuación general y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas: 3 =
m·1 + n, 5 = m·2 + n.
PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical
que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las (x),
y la vertical, eje de las ordenadas o de las (y); el punto donde se cortan recibe el nombre
de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los
cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las x y uno de las y,
respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con
base en sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y) n. Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el
siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia
la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de
origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las
unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y
de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.
Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se
encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la
izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean
positivas o negativas, respectivamente.
Ejes : son líneas de referencia para hacer gráficos. Generalmente, uno de los ejes es
una línea horizontal llamado eje de abscisa y la otra una línea vertical llamado eje de
ordenadas. Los ejes horizontales y verticales son perpendiculares el uno al otro.
Eje de la Ordenadas: es la línea numerada que se usa para registrar o leer los valores y
de puntos de un gráfico. El eje de ordenadas es usualmente el eje vertical.
Eje de las abscisas: es la línea numerada que se usa para registrar o leer el valor de x de
puntos en un gráfico. El eje de la abscisa es usualmente el eje horizontal.
Perpendicularidad
Saber si dos rectas son perpendiculares es muy fácil: Sólo tenemos que calcular sus
pendientes, m y m', y multiplicarlas, si el resultado es -1, las rectas son perpendiculares.
Ángulo de dos rectas que se cortan
La forma más fácil es calcular los ángulos que forman cada una de las rectas con el eje x
(esto es muy fácil: sólo tenemos que ver la pendiente de la recta y recordar que la
pendiente es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x) y restarlos.
Distancia de un punto a una recta
Los malos profesores te hacen estudiar fórmulas, los buenos te enseñan a razonar.
Seguramente tendrás una fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta. No
la necesitas si sabes pensar:
La distancia de un punto a una recta es la medida sobre una recta perpendicular a la
anterior y que pase por el punto (lógicamente).
Como nos darán la ecuación de la recta, sabremos la pendiente de la recta (sea m esta
pendiente), entonces la pendiente de las rectas perpendiculares a esta tendrán pendiente
-1/m. Como además esa recta tiene que pasar por el punto que nos dicen, nos será muy
fácil calcular la ecuación de esa recta.
Ya tenemos entonces las ecuaciones de las dos rectas. Si resolvemos el sistema de
ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas, obtendremos el punto en el
que se cortan las rectas.
Ya tenemos entonces las coordenadas de dos puntos (uno el punto original y otro sobre
la recta, este punto es el mas cercano al primero), y entonces si hacemos un dibujo de
los dos puntos y ponemos las coordenadas de los puntos sabremos calcular la
distancia.
Nombres de las distintas formas de expresar la ecuación de una recta.
Supongamos que tenemos la ecuación de una recta y haciendo las modificaciones
oportunas, la ponemos en esta forma: y = mx + n. Esta forma se llama forma explícita. En
este caso m es la pendiente de la recta.
Si la ponemos en esta forma: y - y0 = m(x - x0), decimos que está en forma puntopendiente. En este caso m es la pendiente de la recta y x0, y0 las coordenadas de un
punto cualquiera de la recta.
Si la ponemos en esta forma: x/a + y/b = 1 decimos que está en la forma canónica o
sementaría. En este caso, a es la distancia desde el origen de coordenadas al punto
donde la recta corta al eje X y b es la distancia desde el origen de coordenadas al punto
donde la recta corta al eje Y.
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