EL MODELO EXPONENCIAL

EL MODELO EXPONENCIAL
El modelo Exponencial corresponde a una variable aleatoria continua.
X se define la variable exponencial como el tiempo, recorrido, volumen, requerido para
la aparición de una sola ocurrencia de un proceso de poisson.
La función de Densidad de la variable exponencial viene dado por:
fx  .e. x
Nótese que la función depende de ƛ que es el promedio de Poisson por unidad de la
variable continua; ya veremos en la aplicación que lo importante es colocar el promedio
ƛ según la frecuencia de unidad continua. Por eso siempre se llevará a 1 minuto, 1 hora,
1 kilómetro, 1 metro, etc. Esto lo veremos en los ejercicios.
Gráficamente la función tiene esta forma
Se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro
Figura: Función de densidad, f, de una
Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,
,
.
.
luego la función de distribución es:
Ahora bien como pueden ver la Distribución de probabilidad exponencial proviene de
una variable continua y por ende el cálculo de probabilidades viene por medio de
integración; pero unas buenas noticias para todos, a continuación se muestran las
respuestas a las tres posibles probabilidades que nos pueden ocurrir:
RESPUESTA A LAS PROBABILIDADES.
P( X  a)  e.a
P( X  a)  1  e .a
P(a  X  b)  e.a  eb
EJEMPLOS DEL USO DE LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL (CASOS TIPO
EXAMEN)
EJEMPLO No.1
1. En una central telefónica de un centro de atención inmediata, suena el teléfono,
en promedio 5 llamadas cada 2 minutos. Se pide lo siguiente:
A) Calcular la probabilidad de que pasen más de 5 minutos para que el
teléfono suene por primera vez.
RESPUESTA
PRIMER PASO: Defina la variable
X: es el tiempo en minutos para que ocurra la PRIMERA LLAMADA.
SEGUNDO PASO: REVISAR Y AJUSTAR EL PROMEDIO ƛ A LA
FRECUENCIA DE TIEMPO.
Hay que llevar el promedio ƛ a 1 minuto
Si el promedio es 5 llamadas en 2 minutos ¿en cuánto será en un solo minuto?
Aplicamos una regla de tres:
5 llamadas ------------- 2 minutos
ƛ= 5x1/2= 2,5---------- 1 minuto
TERCER PASO: Planteamiento de la probabilidad
Calcular la probabilidad de que pasen más de 5 minutos para que el teléfono suene
por primera vez; esto es:
P(X > 5) y la respuesta es la siguiente:
P( X  5)  e2,5.(5)  0,000004
B) Calcular la probabilidad de que la primera llamada se reciba antes de 1
hora.
PRIMER PASO: Defina la variable
X: es el tiempo en horas para que ocurra la PRIMERA LLAMADA
SEGUNDO PASO: REVISAR Y AJUSTAR EL PROMEDIO ƛ A LA
FRECUENCIA DE TIEMPO.
Hay que llevar el promedio ƛ a 1 hora
En este caso el cambio está en el ƛ que debe pasar a 1 hora; en este caso la regla
de tres sería:
5 llamadas ----------------- 2 minutos
ƛ= 5x60/2= 150---------- 60 minutos (1 hora)
TERCER PASO: Planteamiento de la probabilidad
Calcular la probabilidad de que la primera falla ocurra antes de la primera hora; esto
es:
P( X  1)  1  e150.1  1  0  1
EJEMPLO No.2
Una cierta maquinaria falla en promedio dos veces cada 8 horas, se pide calcular
las siguientes probabilidades:
A) calcular la probabilidad de que la primera falla ocurra entre los 5 y 10
minutos
PRIMER PASO: Defina la variable
X: es el tiempo en minutos para que ocurra la PRIMERA FALLA
SEGUNDO PASO: REVISAR Y AJUSTAR EL PROMEDIO ƛ A LA
FRECUENCIA DE TIEMPO.
Hay que llevar el promedio ƛ a 1 minuto
En este caso el cambio está en el ƛ que debe pasar a 1 minutos; en este caso la
regla de tres sería:
2 fallas ---------------------- 480 minutos (8horas por 60 minutos = 480 minutos)
ƛ= 2x1/480 =0,0042---------- 1 minuto
TERCER PASO: Planteamiento de la probabilidad
Calcular la probabilidad de que la primera falla ocurra entre los 5 y 10 minutos; esto
es:
P(5 <X <10) y la respuesta es la siguiente:
P(5  X  10)  e0,0042.5  e0,0042.10  e0,021  e0,042  0,02035
B) Calcular la probabilidad de que la maquina falle por primera vez antes de la
3era hora
PRIMER PASO: Defina la variable
X: es el tiempo en horas para que ocurra la PRIMERA FALLA
SEGUNDO PASO: REVISAR Y AJUSTAR EL PROMEDIO ƛ A LA
FRECUENCIA DE TIEMPO.
Hay que llevar el promedio ƛ a 1 hora
En este caso el cambio está en el ƛ que debe pasar a 1 hora; en este caso la regla
de tres sería:
2 fallas ------------------------ 8 horas
ƛ= 2x1/8 =0,25----------------- 1 hora
TERCER PASO: Planteamiento de la probabilidad
Calcular la probabilidad de que la maquina falle por primera vez antes de la 3era
hora; esto es:
P( X  3)  1  e0,25.3  1  0,47237 0,0,52763