Material de Apoyo F.A.U. UNIDAD TEMÁTICA 5

ESTRUCTURAS I
F.A.U.
AÑO 2006
Material de
Apoyo
UNIDAD TEMÁTICA 5
Titular: Ing. Carlos A. Buffone.
Adjunto: Ing. M. Cristina Meza de Bianucci.
Jefe de Trabajos Prácticos: Arq. Miguel Monfardini.
Jefe de Trabajos Prácticos: Ing. Gustavo Balangero.
Auxiliar de Primera Categoría: Arq. Graciela Ereño de Varela.
Auxiliar de Primera Categoría: Ing. Ana María Guinea.
Hojas Nº 1 a 10
ESFUERZOS TANGENCIALES EN PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN.
CONCEPTOS. TENSIONES TANGENCIALES. RETICULADO IDEAL DE
MORSCH. ESFUERZOS EN LA ARMADURA DE CORTE. GRADO DE
COBERTURA. TENSIONES DE CÁLCULO EN LAS TRES ZONAS SEGÚN
REGLAMENTO CIRSOC. REDUCCIÓN POR ANCHO DE APOYO. CÁLCULO
DE ESTRIBOS Y BARRAS DOBLADAS.
Al plantearnos una viga simplemente apoyada con armadura distribuida constante y analizar
las solicitaciones, establecemos los diagramas de momentos flectores y los de esfuerzos de corte.
Podemos determinar las zonas donde se
presentan los máximos esfuerzos y sus magnitudes a
través de ellos podremos dimensionar la viga a
flexión (sección y armaduras) tal como lo
analizamos en los capítulos anteriores y verificar al
corte, haciendo uso de las armaduras existentes por
flexión.
Analizaremos el esfuerzo de corte considerando una viga simplemente apoyada cortada en
rebanadas y veremos que cada una de ellas actuará en forma reactiva respecto de la siguiente
ubicada a la derecha (tal como lo indica la figura), y serán las reacciones opuestas a las cargas,
resbalando una con respecto a otra y descendiendo un valor "ΔV". Este sería el esfuerzo de corte.
1
Siguiendo con el análisis, vemos que en el caso de la viga que estamos analizando, los valores
"ΔV" disminuyen desde el borde hacia el centro donde se hacen nulo, lo cual nos lleva a concluir
que en este caso el esfuerzo de corte es máximo en los apoyos y nulo en el centro de la viga,
coincidente con el valor máximo de momento flector.
Observando los cubos esquematizados en los cortes vemos que se deforman tomando forma de
paralelogramo, para lo cual una diagonal del cubo se acorta y otra se alarga.
Ahora, si analizamos la misma viga, paro en lugar de cortarla en rebanadas verticales, la
cortamos en forma horizontal, asimilamos cada sector a vigas superpuestas que al deformarse, se
deslizan entre sí.
En éste caso vemos también que las deformaciones de los cubos analizados se deforman más
en los extremos cerca de los apoyos y menos hacia el centro donde se hacen nulos, manteniendo el
cubo su forma original.
Extraemos los cubos para analizar estrictamente el fenómeno: las tensiones de corte
verticales, que actúan en las caras opuestas de
cada cubo, generan un par de fuerzas formando
una cupla que trata de hacer girar el cubo, para
impedirlo y mantener el equilibrio, se origina otra
cupla reactiva formada por un par de tensiones
horizontales "τH", que son las tensiones horizontales
rasantes o de resbalamiento, siendo "τH" igual "τv" en magnitud.
Además, en cada cara los "τH" y "τv" tiene igual magnitud,
por estar las caras muy próximas.
Hallando las resultantes de las tensiones τH y τv que concurren a cada uno de los vértices del
cubo tendremos las diagonales del cubo: una traccionada y la otra comprimida, tal como lo vimos
en la viga rebanada vertical y horizontalmente, éstas resultantes son las tensiones principales de
tracción y compresión.
Podemos ver el fenómeno en forma análoga (analizando internamente en la viga de
hormigón armado las trayectorias de las isostáticas de tensiones de compresión y tracción cuando el
hormigón no está fisurado (según figura 4)
Vemos que las isostáticas de tracción se cortan a 90º con las isostáticas de compresión, y que
en ambos casos al llegar a la zona del eje neutro, lo cortan a 45º, conformando así las direcciones
de máxima solicitación de las tensiones principales de tracción y compresión.
Además vemos que a medida que se alejan del eje neutro, la inclinación de las isostáticas o
direcciones principales van variando hasta hacerse horizontales en la parte central, o sea normales a
la sección, concentrándose en la parte superior las de compresión y en la inferior las de tracción,
recordando que allí el momento flector es máximo y el corte nulo.
2
Dijimos que las tensiones principales (en la dirección de las diagonales) son resultantes de
las tensiones tangenciales τH y τv.
Para conocer el valor de estas tensiones, analizamos dos secciones muy próximas de
una viga, cuya separación es dx.
El momento flector en la sección "b" se incrementará con respecto al momento flector en la
sección "a", un valor "dM".
La fuerza de tracción varía de "z" a "z + dz" entre la sección "a" y "b", y la resultante de
compresión del valor "Db" en la sección "a" se incrementa a "Db + dDb" en la sección "b".
3
Si cortáramos la viga por el eje neutro y tomamos la porción de viga entre "a" y "b" por
debajo y analizamos sólo la parte traccionada, para que permanezca en equilibrio, en el plano del
eje neutro aparecerá una fuerza que represente a la sección comprimida eliminada, que será igual a
la tensión unitaria de corte "τ" por el valor de la sección donde está aplicada (bo x dx).
La ecuación de equilibrio será:
z  dz  z  0
ecuaciónde equilibrio
z    dx  bo  z  dz
1
llam o: H    dx  bo  dz
dM  M 2  M 1
M 2   z  dz  z
M1  z  z
reem plazando en dM :
dz  dM
z
2

  dx  bo 
 dM
z  dx  bo
Reemplazamos (2) en (1)

dM
z
(3)
Si analizamos una viga con una carga concentrada aplicada en su tramo y dibujamos el
diagrama de esfuerzo de corte “Q”, se tiene:
RA  P  Q (constante)
2
QA  QB
Tomamos momento respecto a dos secciones “a” y “b”:
Ma  RA  x
Ma  Q  x
Mb  RA  x  RA  dx
Mb  Q  x  Q  dx
dM  Ma  Mb  Q  dx
 Q  dM
dx
(4)
Reemplazamos (4) en (3):

Q
z  bo
Tensión de corte
Esta expresión nos da el valor de la tensión tangencial a la altura del eje neutro donde es
máximo.
4
Si analizamos la viga veremos que la sección es constante, lo que implica que "z
x
bo" no
varía, por lo que se determina que "Q" y "τ" son directamente proporcionales o tendrán la misma
variación por lo cual ambos diagramas son semejantes, con la diferencia que tienen distintas
escalas puesto que "Q" representa esfuerzos y su unidad es en "Kg", pudiéndose conocer su valor
en cada punto de la viga y "τ" representa tensiones y la unidad es "kg / cm2".
La resultante de las tensiones tangenciales "τ" es el esfuerzo de corte "Q"
Q    z  bo
Al aumentar las cargas sobre la viga en ella se producen fisuras pasando del Estado I al II,
las mismas se clasifican en dos grupos, las producidas por flexión, ubicadas en la zona media de la
viga y las producidas por corte en las cercanías de los apoyos.
En el caso de solicitaciones de corte, el cambio de Estado de I a II genera modificaciones en
los esfuerzos internos. La viga maciza y continua en Estado I se transforma en discontinua y con
fisuras en Estado II, ya que las fisuras no le quitan capacidad soporte, pero modifica su esquema
interno resistente, materializándose la viga como un reticulado.
El hormigón entre fisuras actúa a la compresión, llamándose bielas de compresión y son los
diagonales que absorben las tensiones principales de compresión; y las diagonales de tracción son
materializadas por las armaduras: barras dobladas (que cosen las fisuras) y los estribos.
5
Basándonos en esto, se estudia la viga asimilando su comportamiento al de un reticulado
según la teoría enunciada por Morsch a principio de siglo:
Según la figura, vemos que todo el cordón superior está comprimido al igual que una viga de
hormigón armado.
Las barras de cordón inferior están traccionadas, asimilándola a la armadura de la viga de
hormigón armado y las diagonales están alternativamente comprimidas y traccionadas,
asimilándose las primeras a bielas comprimidas de hormigón y las segundas a las barras dobladas.
Para determinar el valor de las solicitaciones diagonales de tracción practicamos un corte
paralelo a una biela comprimida, la parte izquierda de la viga deberá estar equilibrada por las tres
fuerzas que actúan en cada uno de las barras cortadas: Db, Td y Zs.
Siendo el esfuerzo de corte "Q" igual en magnitud a la resultante de todas las fuerzas
situadas a la izquierda, el polígono cerrado de fuerzas será:
Aplicando trigonometría: Td = Q / sen β
Para obtener el valor de la biela traccionada por unidad de longitud la dividimos por "a",
siendo a = a1 + a2
Q
1
a  sen
Por trigonometría:
a1  z  cot g 
a 2  z  cot g 
Tn 
 a1  a 2  z  cot g   cot g   ; si reemplazoen (1)
Tn 
Q
z  cot g   cot g    sen 
siendo :  
Q
 Q    bo  z
z  bo
τ  bo
Tn 
cot g β  cot g α   sen β
(2)
reemplazoen (2)
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Para obtener la armadura inclinada por unidad de longitud dividimos el valor "Tn" de la
biela traccionada por la tensión admisible del acero.
Asn 
Tn
  bo

s cot g  cot g   sen  s
La analogía de Morsch establece un ángulo α = 45º para las bielas comprimidas, y para los
esfuerzos de tracción un β cualquiera, normalmente entre 45º y 90º.
Para α = β = 45º (barras dobladas)
Asn 
  bo
s  

2
  1  1
2 

  bo
2  s
Para obtener la armadura inclinada total Asd deberá multiplicarse éste valor por la longitud
"x" del diagrama de "τ" dividido dos por ser triangular.
Asd 
  bo  x
2 * 2 * s
Para β = 90º (estribos)
Estribos de 2 ramas
Verticales.
Ase 
  bo separación
  bo sep.    bo sep.
s  sen 90ºcot g 45º cot g 90º  s 1 1  0
s

(3)
Habitualmente se toma estribos de 2 ramas verticales, por lo que Ase = 2 as
Despejando de (3) tenemos que la tensión absorbida por los estribos será:
e 
2  as  s
bo  separación
Además de que normalmente se absorben los esfuerzos de tracción con barras dobladas y
estribos en forma conjunta.
Los numerosos ensayos y experiencias posteriores al estudio realizado por Morsch han
demostrado que en general, las bielas comprimidas se encuentran trabajando en ángulos menores
de 45º, es decir que los esfuerzos "z" de tracción resultan menores a los establecidos por la teoría
de Morsch que considera α = 45º. Tomando como válidas estas consideraciones, la norma establece
factores de reducción "η" a las tensiones tangenciales para ajustarse a la realidad cuando estos
valores no son muy grandes. β está dado por diseño, normalmente las barras se doblan a 45º.
7
Esquemáticamente se expresa lo dicho:
La reducción "η" llamada grado de cobertura está dada por la relación entre la sección
reducida cuando α < 45º y la sección necesaria para α = 45º determinada por Morsch.

Asd   45º 
 1 ; comocotg45º 1
Asd   45º 
Analizando esta expresión, se comprueba que al reducir el ángulo de la biela comprimida, se
reduce también η, por lo cual η ≤ 1 (factor de reducción).
De igual manera que para obtener el esfuerzo "Td" podemos calcular el valor del esfuerzo
"D" de la biela de compresión, cortando las barras en el reticulado, con un corte paralelo a las
bielas traccionadas.
D
Q
  bo  z

sen
sen
y llegando a que :  b   o
tg
Habíamos visto que al disminuir el ángulo α, se reduce también la armadura inclinada Asd,
pero aumenta la solicitación en la biela comprimida. Por lo tanto podemos decir que la tensión
admisible al corte τadm se fija en función de la tensión de la biela (σb) comprimida. Además
σb se reduce hasta adoptar el mismo valor de τ para α = 45º.
Como conclusión podemos decir que para valores grandes de "τ" no es posible reducir el
ángulo "α" para disminuir la tensión "τ" y reducir la sección de acero, puesto que las tensiones de
cuando aumenta α la tensión tensión
hormigón pueden tomar valores muy elevados, superiores a los admisibles, o sea que no es posible
aceptar la reducción por el valor η ≤ 1, o sea para α = 45º y β = 45º → η = 1, corresponde a la
Zona 3.
Cuando los valores de "τ" son menores, la norma permite reducir el valor de "α" y por ende
reducir Asd. Esta reducción de "τ" se logra con el grado de cobertura
η
≤ 1, y corresponde a la
Zona 2. Y por último cuando "τ" es muy reducido, se permite reducir aún más la inclinación de
las bielas de compresión, y por ende el ángulo α, pudiendo absorberse el esfuerzo sólo con los
estribos, o sea que la biela traccionada toma β = 90º y estamos en la Zona 1.
La máxima reducción que se puede hacer en la Zona 2, es τred ≥ 0,40 x τ.
8

Reducción por ancho de apoyo: Si la viga apoya directamente sobre la columna, las tensiones
de tracción por corte en el apoyo se disminuyen por la propia compresión de la columna, que
impide la fisuración hasta una distancia aproximada a la mitad de la altura de la viga, más la
mitad del ancho de apoyo, por lo que se puede medir a partir de ésta sección la tensión de corte,
lo cual implica una reducción en el área del diagrama.
Las tensiones límites de corte para cada una de las zonas ya enunciadas están dadas por la
Norma en el siguiente cuadro en función a la tensión característica de cada hormigón y en base a
los valores de τo.
βcn
τo12
τo2
τo3
110
130
170
210
300
4
5
6,50
7,50
10
9
12
15
18
24
15
20
25
30
40
Zona 1: τo máx ≤ τo12
En éste caso no es necesaria la verificación al corte, pero debe disponerse de una armadura
mínima tal que absorba una tensión τ = 0,40 x τo.
De ésta armadura mínima, las normas establecen la colocación de estribos tal que cubran
τest
= 0,25 x τo.
Zona 2: τo12 < máx τo ≤ τo2
En ésta Zona es necesario verificar al corte.
Haciendo la primera reducción por ancho de poyo:
y la segunda reducción:
o 
Q
b z
  o m áxo 2
2
  o m áx o m áxo2   o m áx


o2
  0,40o
;
o m áx  o   x  r 
 x 
Esta tensión τ se absorbe con estribos y con barras dobladas.
9
τe se obtiene de tabla en función de bo, separación y diámetro de estribo adoptado.
τd = τ - τe
Td 
d  x1  bo
2
 
de la relación
 d
 x1  d  x
x
x1

2
d d  x  bo  d  x  bo
Td 
2 
2 
Este es el esfuerzo absorbido por las barras dobladas (Kg), se obtienen los valores en función
al diámetro y número de barras de tabla para comparar: Td < Td tabla.
Zona 3: τo2 < τo ≤ τo3
En ésta Zona es necesario verificar al corte, sin hacer la reducción por grado de cobertura η:
o 
Q
b z
;
o m áx  o   x  r   
 x 
Esta tensión τ se absorbe con estribos y con barras dobladas.
τe se obtiene de tabla en función de "bo", separación y diámetro de estribo adoptado.
τd = τ - τe
d 2  x  bo ; con el mismoanálisisde la Zona2
2 
Cuando τ > τo3
No Verifica, se redimensiona aumentando "h".
Td 
BIBLIOGRAFÍA:
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CIRSOC
Hormigón Armado para Arquitectos - Facultad de Arquitectura y Planeamiento de Rosario. - J. R. Salvay.
Manual de Cálculo de Estructuras de Hormigón Armado - Osvaldo J. Pozzi - Azzaro.
Vigas - Hormigón Armado - Ing. Jorge R. Bernal.
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