II 22 >>>Consideremos lo siguiente

SECUENCIA 22
MATEMÁTICAS
MOSAICOS Y RECUBRIMIENTOS
SESIÓN 1. RECUBRIMIENTOS DEL PLANO
Actividad: Recubrimiento del plano con polígonos
regulares1
>>>Consideremos lo siguiente
Seguramente has observado pisos que están recubiertos por polígonos
regulares. Sin embargo, combinando éstos forman otros que no son regulares. ¿A
qué se debe esto?
Utiliza los polígonos regulares recortables de tu libro de Matemática II y cubre el
plano con ellos. Anota en tu cuaderno el procedimiento que seguiste.
Ahora, abre una hoja nueva de geometría dinámica y reproduce la figura anterior
siguiendo las indicaciones:
1) Primero traza el cuadro del centro.
2) Utiliza la herramienta SIMETRÍA AXIAL para construir los cuadrados que parten de
los lados del cuadrado central.
3) Con el mismo comando y usando ahora estos últimos cuadrados como base,
trazar los cuadrados que coinciden con los vértices del cuadrado central.
4) Construye nuevos cuadrados utilizando dicho comando.
5) Verifica la figura arrastrando cualquier vértice del cuadrado inicial.
>>>Manos a la obra
Si se ubican en cualquier vértice del cuadrado central del ejercicio anterior,
¿cuántos cuadrados concurren en dicho vértice? ____________________________
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SECUENCIA 22
MATEMÁTICAS
¿Cuánto mide el ángulo de cada cuadrado en ese vértice? _____________________
Entonces, ¿cuál es el resultado de la suma de los ángulos de los cuadrados que
concurren en el vértice donde se ubican? __________________________________
Veamos lo que ocurriría si el polígono regular elegido fuera un triángulo equilátero.
En este dibujo, el triángulo equilátero de en medio fue el principio de toda la figura.
Primero se trazaron todos los triángulos sin rellenar y posteriormente se les asignó
en la pantalla un color para distinguirlos.
Reproduzcan la figura anterior en un archivo nuevo de geometría dinámica y
agreguen más triángulos equiláteros.
Verifiquen su construcción arrastrando cualquier vértice del triángulo inicial.
Ahora elijan un vértice de un triángulo equilátero que esté rodeado de triángulos
equiláteros de diferentes colores.
1. ¿Cuántos triángulos equiláteros concurren allí? __________________________
2. ¿Cuánto mide el ángulo interior de cualquier triángulo equilátero? ____________
3. ¿Cuál es el resultado de la suma de los ángulos interiores de los triángulos
equiláteros que concurren en el vértice elegido? __________________________
4. Por ello, alrededor del vértice elegido los triángulos equiláteros llenan
completamente al plano sin encimarse.
Hasta ahora, parece que cualquier polígono regular que se elija cubrirá el plano
alrededor de un punto sin encimarse, pero veamos que sucede si elegimos un
pentágono regular.
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SECUENCIA 22
MATEMÁTICAS
A
En el dibujo, el pentágono regular inicial fue el de abajo, donde un vértice es el
punto A. Alrededor de A se construyeron pentágonos regulares utilizando el
comando SIMETRÍA AXIAL y como consecuencia el cuarto pentágono regular se
encimó sobre el primero.
¿Expliquen por qué? ___________________________________________________
____________________________________________________________________
Construyan polígonos regulares de seis, siete, ocho, nueve y diez lados,
respectivamente. ¿Con cuáles se cubre completamente el plano alrededor de un
vértice sin que los polígonos se encimen? __________________________________
____________________________________________________________________
Describan lo ocurrido para cada caso: _____________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
>>>A lo que llegamos
De los polígonos regulares, sólo el triángulo, el cuadrado y el hexágono sirven
para cubrir el plano, pues es posible acomodar los ángulos de estas figuras
alrededor de cada vértice para que formen un ángulo de 360°. Para estos polígonos,
el resultado de la división de 360° entre la medida de uno de sus ángulos internos es
un número entero.
Por tal motivo, llenan completamente la parte del plano alrededor del vértice elegido
Los ángulos internos de los demás polígonos regulares no se pueden colocar de tal
manera que formen un ángulo de 360°. Pues el resultado de la división de 360° entre
la medida de uno de sus ángulos internos no es número entero.
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SECUENCIA 22
MATEMÁTICAS
>>>Lo que aprendimos
Elije un polígono regular y recubre una hoja de papel blanca; colorea de
distintas formas cada polígono para que construyas diferentes diseños y monta junto
con tus compañeros una exposición con lo que obtengas. Por ejemplo, los siguientes
diseños se construyeron a partir de recubrir el plano con triángulos equiláteros y lo
que los hace diferentes es la coloración. Haz también el ejercicio en una hoja nueva
de geometría dinámica y muestra tu composición a los demás compañeros.
Las actividades propuestas en esta sesión están tomadas de: SEP-ILCE (2000). “Recubrimiento del
plano con polígonos regulares, en Geometría Dinámica (pp. 106-107). Enseñanza de las Matemáticas
con Tecnología EMAT. México: SEP.
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