ejercicios resueltos gravitación

EJERCICIOS PARA ENTREGAR
TEMA 3. MOVIMIENTO CIRCULAR
1.- Un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm. Halla su velocidad angular, la velocidad lineal y
la aceleración centrípeta de:
a) Un punto de su periferia.
b) Un punto situado a 10 cm del centro.
c) ¿Cuánto tiempo tardará el disco en girar 780º?
d) ¿Y en efectuar 15 revoluciones?
La velocidad angular no depende de la distancia que separa al punto considerado del centro del
disco. Todos los puntos de un mismo radio del disco describen el mismo ángulo en el mismo
tiempo.
Pasamos la longitud del radio y la velocidad angular a unidades del sistema internacional:
R=0,2 m
revol 1 min 2 rad
  33,3


 3,5 rad/s
1 min 60 s 1 revol
a)
v    R  3,5 rad/s  0,2 s = 0,7 m/s
aC 
V 2 0, 72

 2,5 m/s 2
R
0, 2
b)
v    R  3,5 rad/s  0,1 m = 0,35 m/s
V 2 0,352
aC 

 1, 23 m/s 2
R
0,1
c) Calculamos las vueltas que da el disco dividiendo los 780º entre 360º que describe en cada
vuelta:
n º vueltas 
780º
 2,17 vueltas
360º
Podemos calcular el tiempo mediante una regla de tres o multiplicando por el factor de
conversión que quite vueltas y ponga minutos:
1 minuto
 0, 065min  3,9 s
33,3 vueltas
d) Multiplicamos por el mismo factor de conversión que en el apartado anterior:
1 min
tiempo = 15 revol 
 0, 45 min  27 s
33.3 revol
tiempo = 2,17 vueltas 
2.- Calcular la velocidad angular de cada una de las manecillas del reloj.
La manecilla que marca las horas describe 360º (2 radianes) en 12 horas:
2
2 rad


 1, 45 104 rad/s
T 12 h  60 min  60 s
h
min
La manecilla que marca los minutos describe 360º en 1 hora:
2
2 rad

 1,74 103 rad/s
T 1 h  60 min  60 s
h
min
La manecilla que marca los segundos describe una vuelta en 60 segundos:
2
2 rad


 0,105 rad/s
T 1 min  60 s
min

3.- Las ruedas de un automóvil tienen 60 cm de diámetro. Calcular con qué velocidad angular
giran cuando el automóvil se desplaza a 72 km/h.
R=60/2=30 cm = 0,3 m
v = 72
km 1000 m 1 h


 20 m/s
h 1 km 3600 s
v =  R
; =
v 20 m/s

 66, 7 rad/s
R 0,3 m
4.- Un automóvil que va a 20 m/s recorre el perímetro de una pista circular en un minuto.
a) Determinar el radio de la misma.
b) ¿Tiene aceleración el automóvil? En caso afirmativo, determina su módulo, su dirección y su
sentido.
a) Calculamos la velocidad angular y hallamos el radio a partir de la ecuación que relaciona la
velodidad angular y la lineal:
2 2 rad
=

 0,105 rad/s
T
60 s
v
20 m/s
v =  R ; R =
=
 191 m
 0,105 rad/s
b) Si, tiene aceleración centrípeta aunque el módulo de su velocidad sea constante, ya que
describe un movimiento circular. Su dirección es la de la recta que une al punto donde se
encuentra el móvil con el centro de la circunferencia; su sentido, hacia el centro de la
circunferencia y su módulo:
V 2 (20 m/s)2
aC 

 2,1 m/s2
R
191 m
5.- Un automóvil recorre con velocidad constante una circunferencia de 50 cm de radio con una
frecuencia de 10 Hz. Determina:
a) El período.
b) La velocidad angular y lineal.
c) Su aceleración.
1
1

 0,1 s
f 10 Hz
2
2

 62,8 rad/s
b)  =
T 0,1 s
a) T =
;
v=.R  62,8 rad/s  0,5 m  31, 4 m/s
c) a C 
V 2 (31, 4 m/s) 2

 1971,9 m/s 2
R
0,5 m
6.- Un satélite artificial, cuya masa es 100 kg, gira alrededor de la Tierra dando una vuelta
completa cada 90 minutos. Suponiendo su órbita circular, que el radio de la Tierra es 6360 km y
que la altura del satélite sobre la superficie es de 280 km, determinar:
a) Su velocidad lineal.
b) Su aceleración centrípeta.
c) La fuerza gravitatoria a que lo somete la Tierra.
El radio de la órbita del satélite será igual al radio de la Tierra más la altura a la que se encuentra
sobre la superficie.
R = 6360 km + 280 km = 6640 km = 6640000 m
a) El satélite recorre la longitud de una circunferencia (2 R) en 90 minutos con movimiento
uniforme (módulo de la velocidad constante):
e 2    6640000 m
v= 
 7722 m/s
60 s
t
90 m 
1m
b)
aC 
V 2 (7722 m/s) 2

 8,98 m/s 2
R
6640000 m
d) La fuerza gravitatoria con que la Tierra atrae al satélite es la que hace que este describa un
movimiento circular, es decir, es la responsable de la aceleración centrípeta (FC=m.aC):
F = m  a = 100 kg  8,98 m/s2  898 N
7.- a) ¿Cuánto pesa en Marte un meteorito de 2 kg?
b) ¿Con qué fuerza atrae el meteorito anterior a Marte?
Datos: G=6,67.10-11 N.m2.kg-2; Masa Marte = 6,6.1023 kg; Radio Marte=3380 km.
23
Mm
11 6,6 10 kg  2 kg
a) F=G  2  6,67 10 
 7,7 N
R
(3380000 m)2
b) El meteorito atrae a Marte con la misma fuerza con que Marte atrae al meteorito (Principio
de acción y reacción): F= 7,7 N.
8.- Sabiendo que la masa de la Luna es de 7,38.1022 kg y el radio lunar es de 1700 km,
determinar la aceleración de la gravedad en la superficie de nuestro satélite. La escalerilla del
módulo lunar fue diseñada para resistir una carga máxima de 400 N, ¿podrá utilizarla
confiadamente un astronauta que pesó 1200 N (con su equipo) en la Tierra?
El peso de un cuerpo se puede expresar como el producto de su masa por la aceleración de la
gravedad:
P=m.g
Pero el peso es la fuerza de atracción entre dos cuerpos por tener masa:
Mm
R2
Si igualamos ambas expresiones y simplificamos la masa del cuerpo “m”, nos queda:
22
M
kg
11 7,38 10
g=G  2  6,67 10 
 1,7 m/s 2
2
R
(1700000 m)
Si el astronauta y su equipo pesan en la Tierra 1200 N tendrán una masa igual a:
P
1200 N
PT = m  g T ; m= T 
 120 kg
g T 10 m/s2
El peso en la Luna del astronauta y su equipo será:
PL = m  gL =120 kg 1,7 m/s2  204, 4 N
El astronauta y su equipo pesan en la Luna 204,4 N; podrá bajar confiado porque la escalerilla
del módulo lunar pueda aguantar hasta una fuerza de 400 N.
P=G 
9.-La Tierra, cuya masa es 5,98.1022 kg, gira alrededor del Sol en una órbita que se puede
suponer circular a una velocidad lineal de 29,78 km/s, dando una vuelta completa en 365,3 días.
a) ¿Cuál es el radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol?
b) ¿Cuál es la masa del Sol?
Dato: G=6,67.10-11N.m2.kg-2
a) La Tierra recorre una circunferencia de longitud 2 R en un tiempo de 365,3 días, con
rapidez constante:
e 2   R
vT
v= 
; R=
t
T
2 
Pasamos los días a segundos y la velocidad a m/s y sustituimos:
v  T 29780 m/s  (365,5  24  60  60) s
R=

 1, 49 1011 m
2 
2 
b) La masa del Sol la podemos despejar de la ecuación de la ley de Gravitación Universal de
Newton:
Mm
F R2
F=G  2
; M=
R
mG
Conocemos todos los datos menos la fuerza con que el Sol atrae a la Tierra. Esta fuerza es la
fuerza centrípeta responsable del movimiento circular de la Tierra alrededor del Sol:
V2
(29780 m/s)2
24
FC  m  a C  m 
 5,98 10 kg 
 3,56 1022 N
11
R
1,49 10 m
Sustituimos en la ecuación de arriba:
F R2
3,56 1022 N  (1,49 1011m)2
M=

 1,98 1030 kg
2
Nm
mG
5,98 1024 kg  6,67 10-11
kg 2