circuitos2

TEMARIO
Unidad
Temas
Subtemas
1.1 Propiedad de la onda senoidal
1.2 Análisis de circuito en estado estable
I
Análisis de Redes de C.A en Estado
Estable
1.3 Numeros Complejos
1.4 Excitación compleja
1.5 Fasores
1.6 Relación voltaje - corriente en R , L y C
1.7 Concepto de impedancia y abmitancia
2.1 Análisis de Nodo
II
Análisis en el Dominio de la
Frecuencia.
2.2 Análisis de Malla
2.3 Principio de Superposición
2.4 Teorema de Thevenin
2.5 Teorema de Norton. .
3.1 Introducción.
3.2 Parámetros de Admitancia ( y ).
III
Redes de Dos Puertos.
3.3 Parámetros de Impedancia ( z ).
3.4 Parámetros Híbridos ( h ).
3.5 Parámetros de Transmisión ( t ).
4.1 Autoinduccion.
IV
Circuitos Acoplados
Magneticamente.
4.2 Regla de los Puntos para Bobinas con
Acoplamiento Magnético.
4.3 Coeficiente de Acoplamiento Magnético.
4.4 Análisis de Circuitos con Acoplamiento
Magnético.
5.1 Determinación de los Valores Eficaz para
voltaje y Corriente Senoidales.
V
Potencia Electrica.
5.2 Definición de Potencia
Aparente,Reactiva,Real,Promedio y
Instantánea.
5.3 Factor de Potencia.
5.4 Potencia compleja
6.1 Circuitos Trifasicos
6.2 Conexión Estrella - Estrella.
6.3 Conexión Estrella - Delta.
VI
Circuitos Polifásicos.
6.4 Conexión Delta - Estrella.
6.5 Conexión Delta - Delta..
Practicas
Lista de practicas del Laboratorio
de Análisis de Circuitos Electricos II
VII
Evaluación
Evaluación de las unidades
presentadas en el tutorial
VIII
1.1 Propiedad de la onda senoidal
Se considera la función forzada para una fuente de corriente y voltaje.
Vm es la amplitud de la senoide.
Vf = Vm sen t
(1)
if = Im sen t
(2)
 es la frecuencia en radianes.
La senoide es una función periódica definida por la propiedad siguiente:
x(t + T) = x(t)
Para toda t,
T es el periodo de oscilación
Donde :
La frecuencia () está en ciclos por segundos, comúnmente llamados Hertz (Hz)
La frecuencia angular (en radianes ) de la función senoidal es :
(rad/s)
Si el voltaje senoidal tiene asociado un desfasamiento , en radianes, el voltaje de la fuente es :
Vf = Vm sen (t +)
(3)
La ecuaciòn esta representada por la siguiente figura:
El, angulo  puede expresarse en grados por ejemplo:
Vf = Vm sen (4t + 30º)
O en radianes :
Vf = Vm sen (4t +
)
Si un circuito tiene un voltaje a través de un elemento
V = Vm sen t
Y por el elemento fluye una corriente.
i = Im sen (t + )
En la siguiente figura se muestra la relación del voltaje (v) y la corriente (i)
Se dice que la corriente se adelanta al voltaje por  radianes.
1.2 Análisis de circuito en estado estable
Consideremos el siguiente circuito
La función forzante es
Vf = Vm cos t
(1)
La ecuación descriptiva es:
(2)
se supone que
if = A cos t + B sen t (3)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) tenemos
L (-A sen t + B cos t ) + R (A cos t + B sen t ) = Vm cos t
Igualando coeficientes de términos semejantes tenemos:
RA + LB = Vm
-LA + RB = 0
Depejando A y B tenemos:
Sustituyendo A y B en la ecuación (3) la respuesta forzada es:
Por la formula de trigonometría
Y
pueden escribirse como
Entonces la respuesta forzada (de estado estable ) es de la forma
i = Im cos (t + )
Donde
y
1.3 Números Complejos
Número, Complejo, expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es ·.
Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica
de las llamadas cuerpo en matemáticas. En física e ingeniería los números complejos se utilizan
para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. El número i aparece explícitamente
en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo. El
análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha
aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión.
Propiedades
En un número complejo a + bi, a se conoce como la parte real y b como la parte imaginaria. El
número complejo -2 + 3i tiene parte real -2 y parte imaginaria 3. La adición de números
complejos se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado. Por ejemplo, para
sumar 1 + 4i y 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuación las partes imaginarias 4 y
-2, dando el número complejo 3 + 2i. La regla general para la adición es
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
La multiplicación de números complejos se basa en que i · i = -1, y en asumir que esta operación
es distributiva respecto de la adición. Esto genera la siguiente regla para la multiplicación:
(a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Utilizando esta regla se tiene, por ejemplo, que
(1 + 4i)·(2 - 2i) = 10 + 6i
Si z = a + bi es un número complejo cualquiera, el complejo conjugado de z es
y el valor absoluto o módulo de z es
Así, el conjugado de 1 + 4i es 1 - 4i y su módulo es
Una relación fundamental entre el valor absoluto y el complejo conjugado es que
El plano complejo
De la misma manera que los números reales se pueden representar como puntos de una línea,
los números complejos se pueden representar como puntos de un plano. El número complejo
a + bi es aquel punto del plano con coordenada x igual a la parte real a, y coordenada y igual a la
parte imaginaria b.
Los complejos 1 + 4i y 2 - 2i aparecen en la figura 1 y corresponden a los puntos (1,4) y (2,-2) del
plano.
En 1806, el matemático francés Jean-Robert Argand representó geométricamente los números
complejos como puntos del plano, por lo que la figura 1 es conocida como diagrama de Argand.
Si un número complejo se considera como un vector que une el origen y el punto
correspondiente, la adición de números complejos es igual a la suma corriente de vectores. La
figura 1 muestra el número complejo 3 + 2i obtenido al sumar los vectores 1 + 4i y 2 - 2i.
Figura (1)
Dado que los puntos del plano se pueden definir en función de sus coordenadas polares r y q
todo número complejo z se puede escribir de la forma
z = r (cos q + i sen q)
donde r es el módulo de z o distancia del punto al origen y q es el argumento de z o ángulo entre
z y el eje de las x. Si z = r (cos q + i sen q) y w = s (cos f + i sen f) son dos números complejos en
forma polar, entonces el producto (en forma polar) viene dado por
zw = rs (cos(q + f) + isen(q + f))
Este cálculo tiene una sencilla interpretación geométrica que se muestra en la figura 2.
Figura (2)
Soluciones complejas
Existen muchas ecuaciones polinómicas que no tienen soluciones reales, como
x2 + 1 = 0
Sin embargo, si se permite que x sea compleja, la ecuación tiene como soluciones x = ±i, donde i
y -i son las raíces del polinomio x2 + 1. La ecuación
x2 - 2x + 2 = 0
tiene como soluciones x = 1 ± i. El gran logro de Gauss fue demostrar que todo polinomio no
trivial (es decir, que tiene al menos una raíz distinta de cero) con coeficientes complejos tiene al
menos una raíz compleja. De aquí se deduce que todo polinomio complejo de grado n tiene
exactamente n raíces, no necesariamente distintas. Por tanto, todo polinomio complejo de grado
n se puede escribir como producto de n factores lineales complejos
1.4 Excitación compleja
La excitación puede ser un voltaje o una corriente sinusoidal.
Consideremos la entrada como una fuente de voltaje , y la salida como una corriente a través de
algún elemento.
En general sabemos que si
Vg = Vm cos (t + )
(1)
Entonces la respuesta forzada es de la forma
i = Im cos (t + )
(2)
como se muestra en la figura (1).
Para calcular i la exitaciòn compleja es
V1 = Vm ej(t + ) (3)
Encontramos la respuesta compleja i1 como se muestra en la siguiente figura (2).
La respuesta real de la figura (1) es :
i = Re i1
(4)
Podemos escribir la excitación como :
V1 = Vm ej  ejt
(5)
Lo cual es una constante que se multiplica por ejt, entonces la solución por tanteo es:
i1 = A ejt
Comparando la ecuaciòn (2) con (4), tenemos :
Im cos (t + ) = Re  A ejt
La cual requiere
A = Im ejt
Y por tanto
i1 = Im ej ejt
(6)
1.5 Fasores
Una corriente o un voltaje senoidal a una frecuencia dada , se caracteriza por su amplitud y su
ángulo de fase.
Un fasor es un numero complejo que representa la magnitud y la fase de una senoidal. Se puede
escribir en forma exponencial, polar o rectangular.
Un voltaje senoidal general se expresa como
V(t) = Vm cos (t + )
La expresamos en forma esponencial y polar
V = Vm ej= Vm 
La definiciòn se puede ver por la formula de Euler, de
Vm cos (t + ) = Re (Vm ejejt)
Supongamos que tenemos
V(t) = 10 cos (4t + 30º) V
La representación fasorial es entonces
V = 10 30º v
Puesto que Vm = 10 y  = 30º. Y  = 4 rad/s
Del mismo modo podemos encontrara la corriente fasorial.
Tenemos
i(t) = Im cos (t +)
La expresamos en forma exponencial y polar
I = Im ej= Im 
Supongamos que tenemos
I(t) = 2 cos (6t + 15º) A
La representación fasorial de la corriente es:
I = 2 15º A
Puesto que  = 6 rad/s,  = 15º y Im = 2A
1.6 Relación voltaje - corriente en R , L y C
Considerando la relación voltaje – corriente en el resistor
v = Ri
(1)
donde
v(t) = Vm cos (t + )
(2)
I(t) = Im cos (t + )
Si aplicamos el voltaje complejo Vm ej(t + ) , la corriente compleja es Imej(t + ) la cual sustituida en
la ecuación (1) queda :
jt
Dividiendo ambos miembros entre e
Vm ej(t + ) = RImej(t + )
tenemos
Vm ej = RImej
(3)
Puesto que Vm ej e RImej son los fasores V e I respectivamente entonces tenemos que
V = RI
Las relaciones voltajes –corrientes del resistor se muestran en la figura siguiente.
En el caso del inductor , sustituyendo la corriente y el voltaje complejo en la relación del dominio
del tiempo ,
se obtiene la relación compleja
Dividiendo ambos miembros entre ejt e identificando los fasores , obtenemos la relación fasorial.
V = jLI
Las relaciones voltaje – corriente en el inductor se muestran en la siguiente figura.
En el caso del capacitor. Sustituyendo la corriente y el voltaje complejo en relación del dominio del
tiempo
se obtiene la relación compleja
Dividiendo ambos miembros entre ejt e identificando los fasores , obtenemos la relación fasorial
I = jCV
Las relaciones voltaje – corriente en el capacitor se muestran en la siguiente figura.
1.7 Concepto de impedancia y abmitancia
La impedancia de un elemento la podemos definir como la razón del voltaje fasorial a la corriente
fasorial y se representa por la letra Z.
Por la ley de ohm podemos definir que :
Z=V/I
Como
V = Vm  e I = Vm
Entonces tenemos :
Z = Vm / I = Vm / Im
Los elementos R , L y C :
Para R sabemos que :
V = RI
por lo tanto
Z=R
Para L sabemos que :
V = jwLI
por lo tanto
Z = jwL
Para C sabemos que :
V = I / jwC
por lo tanto
Z = 1 / jwC .
La unidad de la impedancia es el ohm ().
El reciproco de la impedancia se llama admitancia y se representa por Y donde :
Y=1/Z
La abmitancia es análoga a la conductancia en los circuitos resistivos su unidad es el siemens () :
Para R
Y = 1/ R
Para L
Y = 1 / jwL
Para C
Y = jwC
2.1 Análisis de Nodo
Nodo : es un punto de un circuito común a dos o más elementos del mismo.
Si el nodo se une con tres o más elementos, tal nodo se llama nodo principal o conjunción.
A continuación se dan algunos pasos a seguir para el análisis.
1.
2.
convertir la fuente independiente a la forma fasorial
Seleccione los nodos y el nodo de referencia y designar los voltajes de nodo en el dominio
del tiempo, Vn, y el voltaje fasorial correspondiente Vn.
3. Si el circuito solo contiene fuentes independientes de corriente , proseguir el paso 5; de no ser
asi seguir el paso 4.
4. Si el circuito solo contiene una fuente de voltaje. Seleccionar uno de los tres casos siguientes
y el método asociado:
CASO
a) La fuente de voltaje conecta al nodo q con el
nodo de referencia.
b)La fuente de voltaje se halla entre dos nodos.
c) La fuente de voltaje en serie con una
impedancia esta entre el nodo d y tierra con su
terminal positiva en el nodo d.
5.
6.
7.
8.
9.
MÉTODO
Hacer Va = Vf y proseguir.
Crear un supernodo incluyendo ambos nodos.
Remplazar la fuente de vootaje y la impedancia
en serie por una combinación en paralelo de una
admitancia Y1 = 1/ Z1 y una corriente I1 = Vf Y1
entrando al nodo d.
Usando la frecuencia w de las fuentes , hallar la impedancia de cada elemento del circuito.
Hallar la admitancia equivalente Yn , de cada rama en un nodo dado.
Escribir la LKC en cada nodo.
Despejar el voltaje del nodo deseado Va usando la regla de Cramer o la de su conveniencia .
Convertir el voltaje fasorial Va de nuevo a la forma del dominio tiempo.
2.2 Análisis de Malla
Para aplicar este método se eligen, en primero, lazos cerrados o mallas. Asignándole una corriente
eléctrica. Estos lazos o mallas se llaman corrientes cíclicas de Maxwell o corrientes de malla.
A continuación se mencionan algunos pasos a seguir.
1.
2.
Convertir las fuentes independientes a la forma fasorial.
Seleccionar las corrientes de malla y designarlas en el dominio del tiempo, i n , asi como las
corrientes fosoriales correspondientes, In.
3. Si el circuito contiene fuentes independientes de voltaje, pasar al paso 5; de lo contrario seguir
el paso 4.
4.
Si el circuito contiene una fuente de corriente , elegir uno de los siguientes dos casos y el
método asociado.
CASO
La fuente de corriente aparece como un
elemento en una sola malla, n.
b) Una fuente de corriente es común a dos
mallas
a)
MÉTODO
Iguala la de malla In a la fuente de corriente,
tomando en cuenta la dirección de esta.
Crear una supermalla como la periferia de las
dos mallas. En el paso 5 escribir una ecuación
de la LKV alrededor de la periferia de la
supermalla . Plantear también la ecuación
restrictiva debida a la fuente de corriente.
5.
Usando la frecuencia conocida de las fuentes w, hallar la impedancia de cada elemento del
circuito.
6. Utilizar la LKV en cada malla.
7. Despejar la corriente de malla deseada In utilizando la regla de Cramer.
8. Convertir la corriente fasorial In de nuevo a la forma del dominio del tiempo
2.3 Principio de Superposición
El principio de superposición es utilizado si un circuito tienen dos o más fuentes actuando a
diferentes frecuencias.
El circuito tendrá un conjunto de valores de impedancia a una frecuencia y un conjunto diferente a
otro valor de frecuencia.
Se puede determinar la respuesta fasorial en cada frecuencia.
Después se puede hallar la respuesta en el tiempo correspondiente a cada respuesta fasorial y se
suman.
La superposición en el caso de fuentes que operan a 2 o más frecuencias se aplican sólo a
respuestas en el tiempo. No se puede suponer las respuestas fasoriales
A continuación se detallan algunos pasos.
1. Convierta las fuentes independientes a la forma fasorial.
2. Convertir el circuito a la forma fasorial indicando la impedancia de cada elemento.
3. Se elimina una de las fuentes ya sea la fuente de corriente remplazándola por un circuito
abierto ó la fuente es de voltaje remplazar por un corto circuito.
4. Se realiza el análisis que mas le convenga (malla, nodo) para determinar Ix
5. Se procede a utilizar el paso 3 y paso 4 para determinar la otra corriente Iy
6. Teniendo las dos corrientes se procede a hacer la suma para determinar la corriente total del
circuito Itotal.
2.4 Teorema de Thevenin
Este teorema se utiliza para obtener un circuito equivalente.
Procedimiento :
1)
2)
3)
Identificar una parte separada del circuito total.
Determinar el voltaje de Thevenin VT = Vcab , el voltaje del circuito abierto en las terminales.
(a) Determinar ZT desactivando todas las fuentes independientes y reduciendo el circuito a
una impedancia equivalente.
b)Si el circuito tiene una o mas fuentes dependientes entonces, o se cortocircuitan las
terminales y se determina Icoc, la corriente de corto circuito, donde ZT = Vcab / Icoc ó
c) se desactivan las fuentes independientes , se conecta una fuente de voltaje o de corriente
en las terminales y se determinan tanto V como I , de donde ZT = V / I.
2.5 Teorema de Norton. .
Este teorema igual que el de Thevenin se utiliza para determinar circuitos equivalentes.
Procedimiento:
1.
2.
Identificar una parte separada del circuito total.
La corriente de Norton IN es la corriente por un corto circuito en las terminales , asi que I N =
Icoc.
3. Determinar ZT
a) Desactivando todas las fuentes independientes y reduciendo el circuito a una impedancia
equivalente, o
b) Si el circuito tiene una o mas fuentes dependientes, determinar el voltaje de circuito abierto
en las terminales , Vcab, de forma que
Zt = Vcab / Icoc.
3.1 Introducción.
Un par de terminales por los cuales una señal puede entrar de una red se llama puerta, y una red
que tenga solamente un par de dichas terminales se llama red compuerta o sencillamente una
puerta. Cuando hay presentes mas de un par de terminales la red se conoce como red multipuerta.
Una red general conteniendo dos pares de terminales, designando quizás uno de ellos por
terminales de entrada y otro por terminales de salida, es un bloque constructivo muy importante en
sistemas electrónicos, sistemas de comunicación, sistemas de control automático, sistemas en los
cuales una señal de transmisión y distribución o en otros sistemas en los cuales una señal eléctrica
o energía eléctrica entra por las terminales de entrada, sufre la acción de la red y sale por las
terminales
de
salida.
Los métodos generales de análisis se han desarrollado para redes con dos puertos; ponen de
manifiesto las relaciones entre corrientes y voltajes en las terminales de la red y suprime la
naturaleza especifica de las corrientes y voltajes del interior
3.2 Parámetros de Admitancia ( y ).
De acuerdo al diagrama eléctrico que se muestra se pueden encontrar los sistemas de ecuaciones
que representan a los parámetros de admitancia .
Por superposición tenemos:
1.-Analizando I1 con V1
I' = y11V1
Analizando con V2
I1" = y12V2
Sumando corrientes parciales tenemos
I1 = I1' + I1"
I1 = y11V1 + y12V2
2.- analizando I2 con V1 tenemos
I2' = y21V1
Analizando con V2
(1)
I2" = y22V2
Sumando corrientes parciales
I2= I2' + I2"
I2 = y21V1 + y22V2.
(2)
Tenemos entonces el siguiente sistema de ecuaciones que representa a los parámetros de
admitancia (y)
I1 = y11V1 + y12V2
(1)
I2 = y21V1 + y22V2.
(2)
si V2= 0
I1 = y11V1 + y12(0)
I2 = y21V1 + y22(0)
entonces
I1 = y11V1
I2 = y21V1
y11= I1÷ V1
[Admitancia en corto circuito]
y21 = I2÷ V1
[admitancia de transferencia directa]
si V1 = 0
I1 = y11(0) + y12V2
I2 = y21 (0) + y22V2 I1 = y12V2
I2 = y22V2
y12 = I1÷V2
[admitancia de transferencia inversa]
y22 = I2÷ V2
[admitancia de salida en corto circuito]
3.3 Parámetros de Impedancia ( z ).
Tenemos el sistema de ecuaciones que representa a las impedancias
V1 = Z11I1 + Z12I2
V2 = Z21 + Z22 I2
Cuando I2=0 tenemos
Z11= V1÷I1
[Impedancia de entrada a circuito abierto]
Z21= V2÷I1
[Impedancia de transferencia inversa]
Cuando I1 =0 tenemos
Z12 = V1÷I2
[Impedancia de transferencia inversa]
Z22= V2÷I2
[Impedancia de salida a circuito abierto]
Método para obtener los parámetros Z de un circuito
_______________________________________________________________________
PASO 1.- Para hallar Z11 y Z21 conectar una fuente de voltaje V1 a las terminales de entrada y abrir
el circuito en las terminales de salida.
PASO 2.- Hallar I1 y V2 y después Z11= V1÷I1 y Z21= V2÷I1.
PASO 3.- Para determinar Z22 y Z12 conectar una fuente de voltaje V2 en las terminales de salida y
abrir el circuito en las terminales de entrada.
PASO 4.- Hallar I2 y V1 y después Z22 = V2 ÷ I2 y Z12= V1 ÷ I2
._______________________________________________________________________
NOTA: Z12 = Z21 solo cuando no hay fuentes dependientes dentro de la red de dos puertos.
3.4 Parámetros Híbridos ( h ).
El sistema de ecuaciones que representa a los paràmetros hibridos es:
V1 = h11 I1 + h12 V2;
I2 = h21 I1 + h22 V2;
Cuando V2 = 0;
h11 = V1 ÷ I1 ;
h21 = I2 ÷ I1 ;
Cuando I1 = 0;
h12 = V1 ÷ V2;
h22 = I2 ÷ V2;
Los paràmetros h11, h12, h21 y h22 representan, respectivamente, la impedancia de entrada en
corto circuito, la ganancia inversa de voltaje en circuito abierto , la ganancia directa de corriente en
corto circuito y la admitancia de salida en circuito abierto
3.5 Parámetros de Transmisión ( t ).
Los paràmetros de transmisiòn se expresan como:
V1 = A V2 - B I2 ;
I1 = C V2 - D I2 ;
Los paràmetros detransmisiòn se utilizan para describir la transmisiòn por cable, por fibra y
porlinea.
Los parametros A,B,C yD representan , respectivamente, la razon de voltaje en circuito
abierto,impedancia de transferencia negativa en corto circuito,admitancia detransferencia en
circuito abierto y la razón de corriente negativa en cortocircuito.
Los paràmetros de transmisiòn suelen llamarse parámetros ABCD.
A continuación se muestra una tabla de conversiones de los parametros vistos :
4.1 Autoinduccion.
Si la corriente que circula por una bobina de un circuito varia con el transcurso del tiempo, también
lo hace el flujo magnético que abraza induciéndole en el una fem suponiendo que la permeabilidad
magnética es constante, el voltaje inducido es proporcional a la variación de dicha corriente.
Sabemos que
VL = L
(1)
L = es el coeficiente de autoinducción del elemento.
En una bobina de N espiras o vueltas la f.e.m inducida la ecuación viene dada por:
VL=N
(2)
N d = es el flujo de acoplamiento .
Sustituyendo VL tenemos:
L
=N
L=N
Donde
L=N
4.2 Regla de los Puntos para Bobinas con Acoplamiento Magnético.
La polaridad relativa en el caso de tensiones de inducción mutua se puede determinar partiendo
del esquema del núcleo en que se vean los sentidos del devanado, pero éste no es un método
práctico.
Para simplificar la representación esquemática de circuitos con acoplo magnético se señalan las
terminales con puntos,
En cada bobina se marca un punto en las terminales que tienen la misma polaridad instantánea,
considerando solamente la inducción mutua. Por tanto, para aplicar esta notación hay que saber a
que terminal de las bobinas se asigna el punto. Hay que determinar además, el signo asociado con
la tensión en la inducción mutua cuando se escriben las ecuaciones en las corrientes de malla.
Para asignar los puntos a un par de bobinas acopladas se eligen un sentido para la corriente en
una de ellas y se coloca un punto en el terminal por el que la corriente entra en el arrollamiento.
Aplicando la regla de la mano derecha se determina el flujo correspondiente, Figura 1 (1a). Ahora,
en la segunda bobina , según la ley de Lenz, el flujo ha de oponerse al creado por la variación de
corriente (1b). Utilizando nuevamente la regla de mano derecha, sé determina el sentido de la
corriente natural colocando el otro punto en el terminal por el que dicha corriente sale del
arrollamiento. El diagrama queda como lo indica la figura(1c).
(a)
(b)
(c)
Para determinar el signo de la tensión de inducción mutua en las ecuaciones en la corrientes de
malla se utiliza la regla de los puntos.


1.
Si las dos corrientes supuestas entran o salen de las bobinas por las terminales con
punto, los signos de los términos en M son los mismo que los términos en L.
2.
Si una corriente entra por una terminal con punto y la otra sale por el otro terminal con
punto , los signos de los términos en M son opuestos a los de los términos L.
La figura (a) y (b) muestra cuándo los signos de los términos en M y en L son opuestos. En la
figura (c) y (d) se representan dos casos en los cuales dichos signos son iguales.
(a)
(b)
(c)
(d)
4.3 Coeficiente de Acoplamiento Magnético.
En la figura el acoplamiento magnético depende de la separación y orientación de los ejes de las
bobinas y de la permeabilidad magnética del medio .La fracción del flujo total abraza o acopla a las
dos bobinas a esto se le llama coeficiente de acoplamiento magnético k.
Por ser 12 1 y 21 2, el valor máximo de k es la unidad.
El coeficiente M se puede expresar en función de las autoinductores L 1 y L 2 de la siguiente forma
multiplicando (6) por (8),
(9)
y sustituyendo L1 = N11 / i1 y L2 = N22 / i2 en (9)
M2 = k2L1L2 y M = k
4.4 Análisis de Circuitos con Acoplamiento Magnético.
En la siguiente figura las bobinas se representan sobre un núcleo.
Puesto que cada circuito tiene una fuente de tensión, se eligen las corrientes de mallas i1 e i2 en la
misma dirección que las fuentes, con lo que las dos ecuaciones de malla, deducidas de la segunda
ley de Kirchhoff, son:
(1)
Las tensiones de inducción mutua pueden ser de una u otra polaridad, según el sentido del
devanado. Para determinar los signos correctos en la ecuación (1) anterior se aplica la regla de la
mano derecha a cada una de las bobinas: si los dedos envuelven la bobina en el sentido supuesto
para la corriente, el dedo pulgar señala el sentido del flujo. Por consiguiente, los sentidos positivos
de 1 y 2 son señalados en la figura. Si los flujos 1 y 2 debidos a las corrientes supuestas
positivas tienen el mismo sentido, es decir, se ayudan, los signos de las tensiones de inducción
mutua son iguales que las tensiones de autoinducciones. En la figura 1 y 2 se oponen
mutuamente. Por tanto, el sistema de ecuaciones anterior , con los signos correctos es
(2)
Suponiendo que las fuentes son senoidales , el sistema (2) en régimen permamente es
(R1 + jL1) I1 - jMI2 = V1
(3)
-jMI1 + ( R2 + jL2 ) I2 = V2
El sistema de ecuaciones de malla se tiene
Z11I1  Z12I2 = V1
(4)
Z21I1 + Z22I2 = V2
El acoplo de mallas es de tipo conductivo, ya que las corrientes pasan por una rama común. Las
mallas no están acopladas conductivamente, ya que las dos corriente no circulan por una
impedancia común. Sin embargo, las ecuaciones indican que existe un acoplamiento. A esto se le
llama acoplamiento mutuo o magnético.
5.1 Determinación de los Valores Eficaz para voltaje y Corriente Senoidales.
El valor rms de una corriente (voltaje) periódica es una constante de valor igual a la corriente
(voltaje) de cd que entregaria la misma potencia media a una resistencia R. Asi , si I rms es el valor
rms de i, la podemos escribir como.
de donde la corriente rms es
De manera semejante se puede mostrar que el voltaje rms es
rms = raíz media cuadrática
Supongase que disponemos de una corriente senoidal i = Im cos (    
Asi una corriente senoidal con amplitud Im entrega la misma potencia media a una resistencia R
que la suministra por una corriente de cd de valor
es independiente de la frecuencia
. vemos tambien que la corriente rms
    
 
La potencia seria
 
  
  

  
Puesto que P = RI2 rms vemos que el valor rms de una corriente senoidal compuesta por
frecuencias diferentes es
en forma semejante ,
5.2 Definición de Potencia Aparente,Reactiva,Real,Promedio y Instantánea.
Potencia Aparente .
Cuando V e I están fuera de fase debido a la presencia de una reactancia, el producto VI recibe el
nombre de potencia aparente. Su unidad es el voltamperio (VA) en lugar de watt, dado que esta se
reserva para la potencia real. se representa por la letra mayúscula S.
S = VI
Potencia Reactiva .
Es el producto de VI sen  y se representa por la letra Q.
Su unidad es el (VA)
Q = VI sen 
Potencia Real
En circuitos de CA que contienen reactancia , la corriente I proporcionada por el generador puede
adelantarse o retrasarse con respecto al voltaje V.
En estos casos el producto de VI no es igual a la potencia real. Proporcionada por el generador,
dado que el voltaje puede tener un valor grande mientras que el de la corriente puede ser casi cero
o viceversa.
La potencia real puede calcularse por medio de la expresión I2 R, donde R es la componente
resistiva total del circuito, gracias a que la resistencia, el voltaje y la corriente tienen la misma fase.
Para hallar el valor de la potencia real como el producto VI , debe multiplicarse por el coseno del
ángulo de fase .
Potencia Real = I2 R = VI cos 
Donde VI están dados en unidades rms y las unidades de la potencia real en watts.
Potencia Promedio.
Puede calcularse integrando la función en un periodo completo y dividiendo este resultado entre el
periodo.
A continuación se presentan las ecuaciones para diferentes circuitos:
P = ½ Vm Im Cos (v - i)
P = ½ Vm Im Cos
P = ½ Vm Im Cos (90°)
Potencia Instantánea.
para un circuito con impedancia.
para un circuito con resistencia
para un circuito reactivo
Esta la podemos calcular como el producto del voltaje instantáneo a través del dispositivo y la
corriente instantánea a través de el.
El voltaje en estado estable y la corriente es:
V(t) = Vm cos t + v)
i(t) = Vm cos (t + i)
La potencia instantánea es :
P(t) = v(t) i(t)
P(t) = Vm cos t + v) Vm cos (t + i)
La potencia absorbida por una impedancia es:
5.3 Factor de Potencia.
La potencia promedio entegada por una corriente senoidal está relacionada con el valor efectivo de
la corriente.
Sabemos que la potencia promedio absorvida por una impedancia es:
si sustituimos
e
tenemos
P = Vrms Irms cos    
El producto de VI es la potencia aparente entonces:
fp = P / VI = cos 
  
     
5.4 Potencia compleja
Los tres lados S, P y Q del triángulo de potencias se deducen del producto VI* de la tensión por el
complejo conjugado de la intensidad.
El resultado de este producto es un numero complejo que se llama potencia compleja S.
Su parte real es la potencia activa P y su parte imaginaria es la potencia reactiva Q.
Sean V = Vej e I = Iej( +)
Entonces
S = VI* = Vej Ie-j( +) =Vie-j - jVI sen  = P-Q
El modulo S es la potencia aparente S = VI.
A continuación se presentan las ecuaciones para hallar los componentes del triángulo de potencia
Potencia activa P = VI cos  = RI2 = VR2 / R = Re [VI*]
Potencia reactiva Q = VI sen  = XI2 = Vx 2 / x = Im [VI*]
Potencia aparente S = VI = ZI2 = V2 / Z = modulo de VI*
Factor de potencia (f.p) = cos  = R / Z = P / S
6.1 Circuitos Trifásicos
6.2 Conexión Estrella - Estrella.
Características:
-Los voltajes de línea se relacionan con los voltajes de fase según las expresiones:
-Los voltajes de línea de primario y secundario guardan la siguiente relación:
Gráfica Explicativa:
6.3 Conexión Estrella - Delta.
Características:
-Los voltajes primarios de línea y de fase cumplen la relación:
-Las tensiones secundarias de línea y fase son iguales:
-La relación de tensiones de fase es:
-La relación entre los voltajes de línea del primario y secundario es:
Gráfica Explicativa:
6.4 Conexión Delta - Estrella.
Características:
-Los voltajes primarios de línea y de fase son iguales:
-Las tensiones secundarias cumplen la siguiente relación:
-La relación entre tensiones de fase es:
-La relación entre los voltajes de línea es:
Gráfica Explicativa:
6.5 Conexión Delta - Delta.
Características:
-Los voltajes de línea y de fase son iguales en el primario y en el secundario:
-Los voltajes de línea de primario y secundario guardan la siguiente relación:
Gráfica Explicativa: