Benemérita Universidad Autónoma de Puebla TESIS

Benemérita
Universidad Autónoma de
Puebla
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
"Convergencia puntual, uniforme y mconvergencia en el espacio de funciones"
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
PRESENTA:
Fernando Hernández Díaz
Directora de Tesis:
M. C. Ma. Gpe. Raggi Cárdenas
PUEBLA, PUE.
DICIEMBRE 2008
Dedicatoria
Esta tesis la dedico:
A DIOS por haberme permitido tener unos padres que me apoyan incondicionalmente.
A mis padres ROSALINA Y SALATIEL que como dije antes, por su apoyo a
cada momento que lo necesito moral y econmico.o
A mis hermanos Chary all donde ests, Omar, Lupe, Zalatiel, Alejandro, Andy,aa
Arturo, Hans, Chave y Velita, gracias por su apoyo y confianza en mı.
A mi abue Rosa de quien nunca falta un sabio consejo para mi, y a mis otros abuelitos
Delfino, Petra y Ruperto que aunque ya no estn ac, s me ven desde donde estn.aaea
A ustedes que me dieron prueba de f y amor gracias VGJFCIASMRMMJMMM...e
1
Agradecimientos
Esta tesis ha sido realizada bajo la direccin de la M. C. Ma. Gpe. Raggi Crde-oa
nas, en apoyo siempre incondicional del Dr. J. Alberto Escamilla Reyna. Mi ms sin-a
cero agradecimiento, nunca olvidar su apoyo y sus conocimientos que me compartieron.e
G R A C I A S...
Gracias a mi jurado:
Presidente DR. FRANCISCO JAVIER MENDOZA TORRES.
Secretario DRA. PATRICIA DOMINGUEZ SOTO.
Vocal DR. AGUST CONTRERAS CARRETO.IN
Suplente DR. JUAN ALBERTO ESCAMILLA REYNA.
Por sus observaciones y sugerencias para la mejora de este trabajo.
Gracias a cada uno de los maestros catedrticos de esta Facultad Ciencias FaısicoMatemticas que participaron en mi desarrollo profesional.a
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Índice General
Introducción
1. Convergencia Puntual en Conjuntos Acotados
1.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o
1.2. Convergencia Puntual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Comportamiento de la convergencia puntual con respecto a principales
Operaciones del análisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a
1.4. Comportamiento de la convergencia puntual respecto a las operaciones
Algebraicas de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
5
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9
2. Convergencia Uniforme en Conjuntos Acotados
2.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o
2.2. Definación, ejemplos y equivalencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o
2.3. Caracterizaciones de la Convergencia Uniforme. . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Condicen Uniforme de Bolzano-Caucha. . . . . . . . . . . . . .o
2.3.2. Condicen de Dini para Sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . .o
2.4. Comportamiento de la convergencia uniforme con respecto a principales
Operaciones del análisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a
2.5. Comportamiento de la convergencia uniforme con respecto a la operaciónMes algebraicas de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Convergencia Puntual y Uniforme de una Serie de Funciones. . . . . . .
2.6.1. Criterio M de Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Otros Criterios de Convergencia Uniforme para Series. . . . . . .
2.6.3. Comportamiento de la convergencia uniforme con respecto a prionCopales operaciones del análisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a
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11
11
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3. m-Convergencia
3.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o
3.2. M-convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusiones
3
49
49
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Introducción
El objetivo de este trabajo de tesis es estudiar la relación que existe entre algunos
Tipos de convergencia en el espacio de funciones defimidas en subconjuntos A de R (en
Este caso A son intervalos cerrados, infinitos o toda la recta real), con valores reales,
Respecto a:
(a) las operaciones algebraicas de este espacio;
(b) principales operaciones del análisis
Especieficemente, estudiar la relación entre la convergencia puntual, la convergencia uní-o
Forme y la m-convergencia con las operaciones de suma, producto por un escalar y proDucto de funciones, también la relación entre estas convergencias con la continuidad, o
Diferenciación e integración de funciones.
El trabajo consta de tres capítulos. En el primer capítulo, presentamos la definiceno
De convergencia puntual de una sucesión de funciones, ejemplos y el comportamiento
De esta convergencia con respecto a las operaciones algebraicas y con respecto a la conTenuidad, diferenciación e integración. En el segundo capooıtulo, se presenta la definiceno
De convergencia uniforme, ejemplos, su relación con la convergencia puntual y la relaciono
De la convergencia uniforme con respecto a las operaciones algebraicas y con respecto a
La continuidad, diferenciación e integración. En el capooıtulo tres, presentamos la definiceno
De la m-convergencia, ejemplos, su relación con la convergencia uniforme, la relación de lao
M-convergencia con respecto a las operaciones algebraicas, la continuidad, diferenciacin, o
Y la integral impropia de Reman.
La convergencia puntual y la convergencia uniforme en intervalos cerrados y acotados
Se estudian en los cursos de análisis de las licenciaturas en matemáticas. Sin embargo, a
Usualmente, no se estudia la relación entre estas convergencias en intervalos no acotados
Y las operaciones del análisis. Es por esto que incluimos, en esta tesis, la m-convergencia,
La cual implica la convergencia uniforme y tiene un buen comportamiento con respecto
A la integracin.o
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Capítulo 1
Convergencia Puntual en Conjuntos
Acotados
1.1.
Introducción
El objetivo de este capítulo es estudiar la “convergencia puntual” de sucesiones de
Funciones reales defimidas en subconjuntos de R. Analizaremos el comportamiento de
Esta convergencia con respecto a las operaciones algebraicas (suma, producto por un
Escalar y producto de funciones) en el espacio de las funciones real valuadas cuyo doMinio es un subconjunto de R. También veremos que esta convergencia no tiene una buena
Comportamiento con respecto a las operaciones del análisis, tales como: continuidad, a
Diferenciación e integración (ver [1], [2], [3]).o