Tema 9. - JMCSMate

Tema 9
ÁLGEBRA
ADIVINA LA EDAD DE TUS AMIGOS:
Pide a un amigo que a la edad que tiene le sume 90. Al resultado de esa suma le
tache el número de la centena y que dicho número (el de la centena) se lo sume a la
cantidad formada por decenas y unidades. Cuando sepas esta cantidad súmale 9. El
resultado serán los años de tu amigo.
¿De qué amigos no puedes saber la edad por este método?
ADIVINA POR QUÉ
Una persona de pequeña estatura trabaja en el piso 37 de un rascacielos. Todos los
días sube en el ascensor hasta el piso 32, subiendo por la escalera el resto de los pisos. Por
el contrario, al terminar su jornada laboral esta persona baja en el ascensor hasta el portal.
¿Por qué crees tú que no sube en el ascensor hasta el piso 37?
Si quieres manda las respuestas por correo electrónico pero indica quién eres para
poder contestarte.
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OBJETIVOS
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Traducir a lenguaje algebraico enunciados, propiedades o relaciones matemáticas.
Conocer, comprender y utilizar la nomenclatura relativa a las expresiones
algebraicas y sus elementos.
Operar con monomios.
Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Utilizar las ecuaciones para resolver problemas.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
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Expresa algebraicamente las propiedades de las operaciones numéricas.
Traduce de lenguaje verbal a lenguaje algebraico enunciados de índole matemática.
Generaliza en una expresión algebraica el término enésimo de una serie numérica.
Identifica, entre varias expresiones algebraicas, las que son monomios.
En un monomio, diferencia el coeficiente, la parte literal y el grado.
Reconoce los monomios semejantes.
Reduce al máximo expresiones con sumas y restas de monomios.
Multiplica monomios.
Reduce al máximo el cociente de dos monomios.
Reconoce si un valor dado es solución de una ecuación.
Reconoce y aplica las técnicas básicas para la transposición de términos.
Resuelve ecuaciones del tipo ax + b = cx + d.
Resuelve ecuaciones con paréntesis.
Resuelve ecuaciones con denominadores.
Resuelve problemas sencillos utilizando las ecuaciones
CONCEPTOS
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El lenguaje algebraico.
— Utilidad.
Expresiones algebraicas.
— Monomios. Coeficiente. Parte literal. Grado.
— Fracciones algebraicas.
— Valor numérico de una expresión algebraica.
Operaciones con monomios.
— Suma y resta.
— Producto
— Cociente
Ecuaciones.
— Miembros, términos, incógnitas, soluciones.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
— Ecuaciones equivalentes.
Problemas algebraicos.
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PROCEDIMIENTOS
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Utilización de letras para expresar números desconocidos indeterminados.
Traducción al lenguaje algebraico de enunciados y relaciones numéricas.
Identificación de los elementos de un monomio (coeficiente, grado, parte literal).
Uso de la nomenclatura adecuada.
Cálculo del valor numérico de una expresión algebraica para valores concretos de
las letras.
Resolución de expresiones algebraicas.
— Suma, resta, multiplicación y división de monomios.
— Extracción de factor común.
— Simplificación de fracciones algebraicas muy sencillas.
Resolución de todo tipo de ecuaciones sencillas utilizando el sentido común.
Aplicación de las técnicas básicas para la resolución de ecuaciones de primer grado.
— Transposición de términos.
— Reducción de una ecuación a otra equivalente.
Eliminación de denominadores en una ecuación.
Traducción a lenguaje algebraico ( a una ecuación) del enunciado de problemas
sencillos.
Resolución de provéelas sencillos con la ayudas de las ecuaciones.
ACTITUDES
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Curiosidad ante los aprendizajes nuevos.
Precisión y esmero en la utilización de los símbolos y expresiones algebraicas, así
como en la presentación de procesos y resultados.
Valoración del lenguaje algebraico como recurso expresivo y como herramienta
para la resolución de problemas.
Tenacidad y constancia en el enfrentamiento a un problema. Confianza en las
propias capacidades.
3
DESARROLLO
Lectura y análisis de las páginas 176 y 177 (hacer con ellos los ejercicios de ambas páginas).
ALGEBRA.- Es la parte de las Matemáticas que estudia la cantidad de modo muy general y
abstracto, sirviéndose de letras para representarla.
Estudia las relaciones que existen entre unas cantidades conocidas, o números, y otras
desconocidas, o incógnitas.
LENGUAJE ALGEBRARICO.- Es el que utiliza letras como símbolos para expresar cantidades
desconocidas.
Ejemplo: El triple de un número menos cinco unidades: 3x 5
EXPRESIÓN ALGEBRARICA.- Operaciones combinadas con letras y números. Es toda
combinación de números y letras relacionados mediante operaciones aritméticas.
Ejemplos:
2x  4 ;
x2 + 5 ;
5x 2
;
4
etc.
Ejercicios:
a) Explica qué es una expresión algebraica.
b) Escribe tres expresiones algebraicas.
c) Las expresiones:
3a2x ;
3ax2
; 5+x3
;

2 2
ax 2
3
;
ax2
¿Son algebraicas?; ¿Por qué?
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Para hallar el valor numérico de
una expresión algebraica se sustituye cada letra por el valor dado y luego se realizan las operaciones
indicadas.
Ejemplo: 3x2 + 2ab  5; para: x=4, a=2, b=3
3*42 + 2*2*3  5 = 3*16 + 2*2*3  5 = 48 + 12  5 = 60  5 = 55
El valor numérico es 55.
Ejercicios Pág. 178
DEMOSTRACIÓN.- Es razonar una propiedad o relación que cumplen siempre los números de un
conjunto.
Ejemplo.- Demostrar que la suma de dos números impares consecutivos es siempre múltiplo de
cuatro.
(2n  1) + (2n +1) = 4n  2n + 2n 1 + 1 = 4n  2n +2n = 4n  4n = 4n
IDENTIDAD.- Es una igualdad algebraica que su cumple siempre.
Ejemplo.- El orden de los factores no altera el producto.
A*b =b*a ;
para cualquier valor de a y de b
FÓRMULA.- Es una igualdad que expresa la relación que existe entre varias magnitudes.
Ejemplo.- St =
b  alt
;
2
Sr = b  alt.
ECUACIÓN.- Es una igualdad condicionada al valor de la incógnita. Solo se cumple la igualdad
para algunos valores de las incógnitas.
Ejemplo.- 3x + y = 14  x e y  Q, solo si x=4 e y=2
4
En toda ecuación se llama solución o soluciones, al valor o valores de las incógnitas; en el ejemplo
las soluciones son 4 para la x y 2 para la y.
MONOMIO.a).- Concepto.- Un monomio es un producto indicado de letras y números.
Ejemplo: 5x2 ;
3x
4
Ejercicios:
a) Escribe tres expresiones algebraicas que sean monomios.
b) Explica qué es un monomio.
c) Escribe tres expresiones algebraicas que no sean monomios.
d) ¿Cuál es la diferencias entre una expresión algebraica que es monomio y otra que no lo es?
e) Ejercicios Pág. 179.
b).- Nomenclatura.b.1).- Coeficiente.- Es la parte numérica que multiplica a la incógnita.
b.2).- Parte literal.- Es la o las incógnitas.
b.3).- Exponente.- Es el número al que está elevada la incógnita.
Ejemplos.Exponente 1
Parte literal x
Coeficiente 1
x
2x
3
Exponente 3
Parte literal x
Coeficiente 2
c) Grado de un monomio.- Es el número de factores literales que tiene.
Ejemplos.x
de primer grado;
5x2
de segundo grado
2
5ab
de segundo grado;
2/3 a b
de tercer grado
 4abc
de tercer grado;
 3 a2b2c
de quinto grado
Ejercicios:
Expresión
Coeficiente
Parte literal
Grado
1
 x 6b
6
x4a2
5x2b3
 x2b5a
 x4a2b
a2x5
8x2a
d).- Monomios semejantes.- Dos monomios son semejantes si tienen idéntica parte literal
Ejemplos:
A  3 a2 b
B
2 2
a b
3
5
C  15 a2 b
Ejercicios
Escribe monomios que sean semejantes con los dados:

3 4
x
7
2x3a
x5
+
2 3
xb
3
Dado el monomio: x3
Escribe cinco monomios que no sean semejantes con él, ni ellos entre sí.
OPERACIONES CON MONOMIOS
1.- Suma de monomios.Solo se pueden sumar si son semejantes.
Se suman los coeficientes y se les pone la misma parte literal.
Si no son semejantes la suma se deja indicada.
Ejemplos.-
A  3 x2
A  7 x2
A  3 x2 b
B  3x2b
B  3x2
B  3x2bc
A + B no se puede efectuar: 3x2 + 3x2b
A + B = 10 x2
A + B = 3 x2 b + 3x2bc
Ejercicios:
2x3 +5x3 =
1 2 6 2
x + x =
2
3
3x4+8x4 =
1 6
x +2x6 =
3
4x5+(9)x5 =
x2 + 3x3 = (deben de contestar que no se puede)
3x2
2x3
+2x
3x
1 2
x
2
5x2
6a
 x
+3x
4b
Completa las sumas para que estén bien:
1 2 6 4
x = x
2
3
.......... + 2x2 = 11x2
;
......... +
3x + ......... = 9x
;
6x1 + ......... = 6x9
1.1).- Propiedades de la suma de monomios.a).- Interna.- El resultado de sumar monomios siempre es un monomio.
Ej.: A  2a2b B  3a2b
A + B = 5a2b
b).- Propiedad asociativa.- El orden en que se agrupen los monomios para sumarlos
no altera el resultado o suma.
6
Ej.: A  2a2b B  3a2b C  7a2b
( 2a2b + 3a2b ) + 7a2b = 2a2b + ( 3a2b + 7a2b)
( 5a2b ) + 7a2b = 2a2b + ( 10a2b )
12a2b =
12a2b
c).- Elemento neutro.- Un monomio sumado con el elemento neutro da el mismo
monomio.
Ej.: A  2a2b B  0a2b
A+B=A
2a2b + B = 2a2b  B = 2a2b –2 a2b  B = 0a2b
d).- Elemento opuesto.- Un monomio sumado con el elemento opuesto da el elemento
neutro.
2
Ej.: A  2a b
A + Op.(A) = A
2a2b + op(2a2b) = 0a2b  op(2a2b) = 0a2b - 2a2b  op(2a2b) = - 2a2b
e).- Propiedad conmutativa.- El orden en que se sumen los monomios no altera la
suma.
2
Ej.: A  2a b B  3a2b  A + B = B + A
2a2b + 3a2b = 3a2b + 2a2b
5a2b = 5a2b
2.- Producto de monomios.No es necesario que los monomios sean semejantes.
Se multiplican los coeficientes y se les pone la misma parte literal teniendo en cuenta
que para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes.
Ejemplos.A  7 x2
B  3x2
A * B = 21 x4
1.1).- Propiedades del producto de monomios.a).- Interna.- El producto de monomios siempre es un monomio.
Ej.: A  2a2b B  3a2b
A * B = 6a4b2
b).- Propiedad asociativa.- El orden en que se agrupen los monomios para
multiplicarlos no altera el resultado o producto.
Ej.: A  2a2b B  3a2b C  7a2b
( 2a2b * 3a2b ) * 7a2b = 2a2b * ( 3a2b * 7a2b)
( 6a4b2 ) * 7a2b = 2a2b * ( 21a4b2)
42a6b3 =
42a6b3
c).- Elemento neutro.- Un monomio multiplicado por el elemento neutro da el mismo
monomio.
Ej.: A  2a2b B  ¿?
A* B=A
2a2b * B = 2a2b

B=
2a 2 b
2a 2 b

B = 1a0b0
d).- Elemento inverso.- Un monomio multiplicado por el elemento inverso da el
elemento neutro.
Ej.: A  2a2b
A * inv.(A) = 1a2b
inv.(2a2b) = 2a2b / 2a2b
2a2b * inv.(2a2b) = 1a0b0 
inv.(2a2b) =
 inv.(2a2b) = 1a2b1
7
1a 0 b 0
2a 2 b
 inv.(2a2b) =
1
2a 2 b
e).- Propiedad conmutativa.- El orden en que se multipliquen los monomios no altera el producto.
Ej.: A  2a2b
B  3a2b  A * B = B * A
2a2b * 3a2b = 3a2b * 2a2b
6a4b2 = 5a4b2
3.- Cociente de monomios.No es necesario que los monomios sean semejantes.
Se dividen los coeficientes y se les pone la misma parte literal teniendo en cuenta que para
dividir potencias de la misma base se restan los exponentes.
Ej.: A  12a2b B  3a2b
12a2b : 3a2b = 4a0b0
A : B = ¿?
12a5b3 : 3a2b = 4a3b2
Ejercicios Pág. 180 y 181
ECUACIÓN.- Es una igualdad que solo se cumple para algunos valores de las incógnitas.
1.- Elementos de una ecuación:
a. Miembros.- Son las expresiones separadas por el signo =
b. Términos.- Son los sumandos que forman los miembros.
c. Incógnitas.- Son las letras que aparecen en los términos.
d. Soluciones.- Son los valores que se ha de dar a las letras para que la igualdad sea cierta.
Ejemplo:
3x – 4 = x + 8
Primer miembro: 3x – 4
Segundo miembro: x + 8
Términos: 3x ; 4 ; x ; 8
Incógnita: x
3x – x = 8 + 4
2x = 12
x=
12
2
x = 6 ; solución 6
Comprobación
3x – x = 8 + 4
3*6–6 = 8 + 4
18 – 6 = 8 + 4
12 = 12
Ejercicios Pág. 182
8
2.- Ecuaciones equivalentes.- Son las que tienen las mismos soluciones.
Ejemplos:
3x + 4 = 10
x + 15 = 17
;
;
x=2
x=2
solución: 2
solución: 2
3.- Resolver una ecuación consiste en hallar las soluciones, los valores de las incógnitas.
Ejercicios Pág. 183
4.- Técnicas de resolución de ecuaciones
a. Ecuaciones del tipo: x + a = b  x + a – a = b – a  x = b – a
Ejercicios Pág. 184
b. Ecuaciones del tipo: ax = b 
c. Ecuaciones del tipo:
x
b
a
ax b

a a


x
aba
a
x =

b
a
x = ba
Ejercicios Pág. 185
d. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita:
ax + b = c + x – d
ax + bx – x = c – d
etc.
Ejercicios Pág. 186
Ejercicios Pág. 187
5.- Ecuaciones con denominadores
Pasos a seguir:
a. Hallar el m.c.m. de los denominadores.
b. Se multiplica toda la ecuación (ambos miembros) por el m.c.m.
c. Aplicamos la propiedad distributiva (el m.c.m. se multiplica por cada término).
d. Transponemos términos semejantes.
e. Despejamos la incógnita.
Ejemplo:
2x 
x x 4
 
5 4 8
a. m.c.m. (4, 8 y 10) = 40
b.
c.
40 2 x 
x 4
  multiplicamos la ecuación por el m.c.m. (40)
4 8
 x
 x
4
402 x   40   40   40   aplicamos la propiedad distributiva.
4
8
5
80x
x
5
  40
– 8x
= 10x
+ 20
9
d. 80x–8x–10x = 20
e.
62x = 20
f.
x
20
60
 transponemos términos.
 reducimos términos semejantes.
 despejamos la incógnita
; Solución x 
Ejercicios Pág. 188
5.- Resolución de problemas.
Pasos a seguir: Pág. 189 de tu libro
a.
b.
c.
d.
e.
Leer el problema hasta haberlo comprendido.
Expresar los datos del problema en lenguaje algebraico.
Escibir la igualdad que relacione los datos con la incógnita.
Resolver la ecuación para hallar la solución o soluciones.
Comprobar siempre el resultado (observa que sea lógico).
Ejercicios Pág. 189
Ejercicios Pág. 190
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1
3
Ejercicios complementarios del tema 9
Nombre: _______________________________________ 1º____ Nº:______ Fecha:___________
1. Operar:
a) 3x2 + 2x2  4x2 + 7x2 =
b) 3x3  5x2 + 7x3 + 4x3 =
c) 6x2 + 3x3  2x3 + 6x3  3x2 =
d) 6xa + 3x2a  5xa + 7x2a  8xa + 4x2a =
2. Siendo:
A = 5x2 ; B = 2x3 ; C =  2x2 ;
D = 3x3
Calcular:
A+B= ; B+C= ; A+C = ; B+D = ; A+D = ; C+D =
A  B= ; B  C= ; A  C = ; B  D = ; A  D = ; C  D =
3. Sabiendo que x vale 3 (x = 3), calcula ( están referidos al ejercicio número dos):
El valor numérico de : A, B, C, D, A+B, B+C, C+D, A  B, B  C y C  D
4. Escribe tres monomios de grado tres que sean semejantes.
5. Escribe tres monomios de grado cinco que no sean semejantes.
6. Expresa algebraicamente la propiedad asociativa de la suma
7. Idem la propiedad conmutativa de la multiplicación.
8. Expresa algebraicamente las siguientes expresiones:
a) El doble de un número menos tres.
b) La mitad de un número menos seis.
c) La cuarta parte de un número.
d) El anterior a un número.
e) El posterior a un número.
f) Un número, más su anterior más su posterior.
9. Escribe cinco expresiones algebraicas que sean monomios.
10. Escribe cinco expresiones algebraicas que sean binomios.
11. Escribe cinco expresiones algebraicas que sean trinomios.
12. Escribe cinco expresiones algebraicas que sean polinomios.
11
Repaso del tema 8
1. Dieciocho litros de leche cuestan 12’6 € ¿Cuánto cuestan 24 l. de leche de la misma calidad?
2. Cinco obreros tardan 7 días en construir un muro. ¿En cuántos días lo construirían 6 obreros?
3. Si siete chucherías cuestan 2’1 €. ¿Cuánto costarán 5 chucherías?
4. Recorremos un trayecto en 3 horas, yendo a una velocidad de 80 km./h.¿Cuánto tardaríamos si
la velocidad fuese de 70 km./h.?
5. Tres grifos iguales llenan un depósito en 7 h. ¿En cuánto tiempo lo lleranarían 4 grifos iguales?
6. Doce Kg. de naranjas cuestan 4’25 € ¿Cuánto costarán 9 Kg. de naranjas de la misma calidad?
7. ¿Cuánto cuestan 26 bocadillo, sabiendo que 11 se compran por 6’6 €?
8. Ocho obreros tienen comida para 11 días. ¿para cuántos días tendrían víveres si los obreros fuesen
solo 6?
9. Cinco paquetes de folios cuestan 4’25 € ¿Cuánto costarán 4 paquetes de la misma calidad?
10.
Un Sr. Tiene pienso para alimentar a sus 7 caballos durante 15 días. Si el día que le sirven
el pienso compra 2 caballos más ¿Para cuántos días tiene pienso?
11.
Ocho metros de cable cuestan 2’96 € ¿Cuánto costarían 15 m. del mismo cable?
12.
Con 540 l. de agua doy de beber a 9 caballos durante 4 días. ¿Para cuántos días tendría agua
si fuesen 12 los caballos?
13.
2 5 2
  
5 8 5
14.
2 5 2
  
5 8 5
15.
2 1 2 1
   
8 4 3 4
16.
Hallar los
3
de 625 =
5
17.
Hallar los
3
2
de los de 374 
5
7
18.
6 3 1 3
   
7 4 2 7
12
13