5. RACIONALIZACIÓN 5.1 RACIONALIZACION DE UN RADICAL DE INDICE n = 2 Se racionaliza UN radical cuadrático que se encuentre en el numerador o en el denominador, multiplicando este por sí mismo en el numerador y en el denominador, ya que cuando se multiplica una expresión por una cantidad y se divide por la misma cantidad, esta expresión no se altera. Ejemplo: 5 2 10 2 2 esta expresión es equivalente al 5. 3 y racionalicemos multiplicando por Ahora tenemos una expresión irracional. Ejemplo: y dividiendo por 3 3 . Ejemplo: 3 3 1 3 3 2 3 3 3 Como podemos observar en el numerador teníamos 3 y ahora lo tenemos en el denominador, a este proceso se le llama Racionalizar. Así mismo podemos tener el irracional en el denominador y trasladarlo al numerador. Ejemplo: 1 3 1 3 3 2 3 3 3 3 esta expresión es equivalente a 1 A este proceso se le llama 3 Racionalizar. En conclusión para racionalizar UN radical cuadático, basta multiplicar numerador y denominador por la misma cantidad. Ejemplos. 1) x 1 2 x 1 Multiplicam osnum eradory denom inado r por 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 Racionalizar. 3 nm 3 nm 3 nm 2 nm nm nm nm Ejercicios: Racionalizar. 2) 1) 3 nm 5 2 ; 2) 7 7 ; 3) 2 x 2 x ; 4) 1 x3 5.2 RACIONALIZACION DE RADICALES DE INDICE n > 2: Para racionalizar UN radical de índice n > 2, se busca UN factor de racionalización el cual se halla colocando el mismo radical a racionalizar y para hallar la cantidad subrradical, se resta el exponente de la cantidad subrradical, del índice de la raíz, y esta será el factor de racionalización. 3 Ejemplo 1) Racionalizar 3 , entonces, el factor de racionalización es 2 3 32 , puesto que según dijimos el radical es el mismo del índice y para la cantidad subrradical le restamos al índice 3, el exponente 1 del 3 y obtenemos el 2 para colocarlo de exponente al 3. Entonces tenemos. MATEMATICAS GENERALES Página 1 3 3 3 3 3 3 32 3 3 32 3 3 2 3 32 2 3 32 2 3 32 2 3 32 Teníamos en el numerador un irracional 3 y ahora tenemos en el numerador el tres ( 3 ), que es un número racional. Ejemplo 2) Racionalizar. 5 2 2 23 5 4 5 2 2 5 23 23 5 El factor Lo obtuvimos restando el exponente 2 del índice 5, con lo que obtuvimos el 3 y este es el exponente del 2, por lo tanto, 2 terminando el ejercicio tenemos: 22 5 5 23 5 23 2 5 23 5 2 2 23 2 5 23 5 25 2 5 23 5 3 2 2 Ejemplo 3) 3 Racionalizar. 1 x 1 3 x 1 1 x 1 3 x 12 2 3 x 12 3 x 11 x 12 x 12 3 x 13 3 3 3 x 12 x 1 Ejercicios propuestos. Racionalizar. 5 1) x y2 x 4 ; 2) m2n mn ; 3) 3 2 6 x 1 ; 4) 3 x2 1 5.3 RACIONALIZACION DE BINOMIOS. Para racionalizar binomios de índice n = 2, buscamos siempre la expresión conjugada ( La conjugada de a + b es a - b , y la conjugada de a - b es a + b ), y multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada, obteniendo así la racionalización de la expresión buscada, pues Su producto nos produce una diferencia de cuadrados. Ejemplo 1) 2 3 2 conjugada de 2 3 , la cuales 2 3 , obtenemos entonces. 2 3 2 3 2 2 3 , para ello multiplicamos numerador y denominador por la expresión 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 1 2 3 2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 3 En el numerador obtenemos una diferencia de cuadrados. 1 Ejemplo 2) Racionalizar. x y Solución x y 1 x y x y MATEMATICAS GENERALES 1 x y x y x y x y x y 2 2 x y x y Página 2 TALLER 5 Racionalice y simplifique: 1 ; 2) 2 1 5) 2 3 3 2 9) 5 2 , ( Racionalice el denom inado r ). 10) 5 2 ; 6) x ; 3) x 1 xh x x 1) ; 4) x 1 x 1 ; 7) x 1 x 1 MATEMATICAS GENERALES 2 x h x h 1 2 3 5 ; 8) ; 2 32 2 3 x 1 x 1 x2 1 Página 3 6 OPERACIONES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Signos en álgebra: El álgebra necesita signos para determinar bien sus operaciones. Estos son de tres clases, a saber: Signos de operación, Suma ( + ),; Diferencia ( - ); Producto ( ×, * ); Cociente ( ). Signos de relación, Igual ( = ); Mayor que ( > ); Menor que ( < ); ); Radicación ( Diferente de ( ); Mayor ó igual ( ); Menor ó igual ( ). Signos de agrupación: Paréntesis ( ); / , Llaves { }; Corchetes [ ]; Barra ó vinculo ( -- ). EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Cuando dos ó más términos algebraicos los unimos por medio de signos algebraicos, obtenemos expresiones algebraicas. Ejemplo: 2 X 2 4 X 5 ; a 3 2a 2 a 2 ; 2 t 3 3 t 1 2t 2 Es importante tener en cuenta que siempre que vamos a realizar operaciones entre expresiones algebraicas, debemos de tener presente utilizar los signos algebraicos, para determinar correctamente la operación a realizar; Ejemplo indicar el producto de 4 X 2 1 por 2 X 3 1 Necesitamos utilizar paréntesis para indicarlo así: 4 X 2 1 2X 3 1 . 6.1 OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS La forma general de UN polinomio de variable X en forma descendiente viene dada por: p( x) an X n an1 X n1 a2 X 2 a1 X a0 X 0 ; donde an , an1 , a2 , a1 , a0 , Son números Reales y se llaman coeficientes. Los n, n-1, 2, 1, 0, son los exponentes de la variable X y deben de ser números Enteros no negativos; Si una expresión algebraica cumple estas condiciones, se llama polinomio; de lo contrario recibe el nombre de multinomio. Ejemplos de polinomio. tener los 1) 2 X 3 X 1 , el cual por tener tres términos recibe el nombre de trinomio y por exponentes enteros se clasifica de tercer grado; observemos que 1 ,pues son los coeficientes de la variable X. Ejemplo: a3 2 , a1 1 , a0 X X 5 2 X 4 2 observem osque a5 1 , a 4 2 , a3 0 , a 2 0 2 1 a1 , a0 2 2 Por tener cuatro términos es UN multinomio, pues todo polinomio es también UN multinomio, pero no todo multinomio es UN polinomio. Por ser Su mayor exponente n = 5 entonces es UN polinomio de quinto grado. En general si UN polinomio tiene UN solo término se denomina monomio, si tiene dos términos se denomina binomio, si tiene tres términos se denomina trinomio y si tiene mas de tres términos, lo podemos llamar multinomio. Cuando el polinomio es de gardo cero, lo denominamos polinomio constante. Ejemplo: p ( x ) = 2 Su grado es cero. Cuando el polinomio es de grado uno o de primer grado, lo denominamos Lineal. Ejemplo: P ( x ) = -3 X ó p ( t ) = 2 t - 1 . Cuando el polinomio es de segundo grado ó de grado dos, lo denominamos cuadrático. Ejemplo: p(m) 2 m2 ó p( y) 5 y 2 2 y ó p( z) 3z 2 z 8 . Si el polinomio es de tercer grado ó de grado tres, lo denominamos polinomio cúbico. Ejemplo: p(t ) 8t 3 2a 2 a 5 ó p ( x) X 3 ó p( s) s3 a ; De grado tres en adelante, 5 no tiene denominación especial, simplemente le decimos de cuarto grado, de quinto grado etc. MATEMATICAS GENERALES Página 4 1. SUMA DE POLINOMIOS Cuando sumamos polinomios debemos de tener en cuenta, que podemos sumar o reunir solamente términos semejantes. Ejemplo: Podemos sumar X3 con 3X 3 , por ser con 3 X 4 por no ser semejantes X 3 X 4 X ; Pero no podemos reunir 2 X términos semejantes, solamente los podemos ligar con el signo pero no reunirlos. Ejemplo: 3 3 3 2 2 X 2 3X 4 2 X 2 3X 4 . Ejemplos. 1) Sum ar 8 X 4 y 2 con 3 X 2 y 5 Solución 8 X 4 y 2 3 X 2 y 5 8 X 3 X 4 y 2 y 2 5 11X (2 y ) (3) 11X 2 y 3 x 2 x 2) De Solución x 3 x Re star x 2 x 2s t 3 s 6 4 1 t 3) x 3 x x 2 x x 3 x 3 x 4 x x 2s t 3s 18 4 4t 2s 3s t 4t 18 4 s (3t ) 22 s 3t 22 2. ELIMINACION DE SIGNOS DE AGRUPACION. Se deben eliminar primero los signos más internos, teniendo en cuenta la ley de signos. - e ir repitiendo el proceso hasta donde sea posible. Ejemplo. Simplifique: 3 4X 2 8X 2 X 2 3 X 12X 24x 6 X 18 6 X 12X 6 X 2 2 24X 6 X 18 Solución 3 4 X 2 8 X 2 X 2 6 2 X 2 2 6 X (18X ) 18 6 X 18X 18 2 2 3. PRODUCTO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Para multiplicar expresiones algebraicas, es importante tener en cuenta una de Las leyes algebraicas, como es la ley distributiva del producto con respecto a la suma. Ejemplo 1) Hallar el producto de a + b por a - b . Solución a b a b a a b b a b a ab ab b a b Este es UN producto muy especial ya que tenemos una suma por diferencia de Las mismas cantidades y observa que obtenemos una diferencia de cuadrados. 2 2 2 2 Ejemplo. 2) Hallar el producto de a + b por a + b Solución. a b a b a a b b a b a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2 Este es otro producto especial pues observe que vamos a multiplicar UN binomio por si mismo y obtenemos el cuadrado del primer término, más el doble producto de ellos, más el cuadrado del segundo término. Ejemplo. 3) ( a - b ) ( a - b ) = MATEMATICAS GENERALES aa b ba b a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2 Página 5 Otro producto especial, donde tenemos una diferencia de dos cantidades por si misma y obtenemos, el cuadrado del primer término, menos el doble producto de los términos mas el cuadrado del segundo término. Resumen de algunos productos especiales denominados también productos notables. 1) a ( b + c ) = a b + a c Propiedad distributiva. x 2 xn mx mn x 2 xn m mn 2 2 3) mx s nx t mxnx t snx t x mn mxt snx st mnx xmt sn st 2) ( x + m ) ( x + n ) = x ( x + n ) + m ( x + n ) = 4) 5) 6) 7) 8) a b2 a ba b a 2 2ab b 2 a b2 a ba b a 2 2ab b 2 a ba b a 2 b 2 a b3 a ba ba b a 3 3a 2b 3ab2 b3 a b3 a ba ba b a3 3a 2b 3ab2 b3 4. DIVISION DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO. Ejemplo. 1) Dividir 6x 4x dividendo por el divisor 2x así. 5 3 2x entre 2x. Se divide cada uno de los términos del 6x 5 4x3 2x 6x5 4x 3 2x 3x 4 2 x 2 1 2x 2x 2x 2x este resultado se le llama Cociente lo que quiere decir que para obtener el dividendo, multiplicamos el divisor por el cociente. Ejemplo: 2) Efectuar z 4 3z 3 z 2 4 z 2 z 4 3z 3 z 2 4 z 4 3z 3 z 2 4 solución 2 2 2 2 z2 z z z z 4 z 2 3z 1 2 z 5. DIVISION DE UN POLINOMIO POR UN BINOMIO DE LA FORMA ( x + a ) Existen dos formas para dividir UN polinomio por un binomio. Una de ellas es la división larga y la otra es la de coeficientes separados o método de RUFFINI. 1. Método de división larga. Ejemplo: Dividir 3x x 1 entre 3 x Debemos ordenar tanto el dividendo como el divisor en potencias descendentes para la variable x y asi proceder a efectuar la división 2 x 2 3x 1 dividendo X+3 divisor x 2 3x X cociente 0 MATEMATICAS GENERALES 0 -1 residuo Página 6 Descripción de la operación: Dividimos el primer termino del dividendo por el primer termino del divisor y esta división será el primer termino del cociente, luego este lo multiplicamos por cada termino del divisor y le cambiamos de signo para escribirla debajo de cada termino del dividendo y efectuar la suma algebraica. Observemos se cancelan los dos primeros términos y nos queda como único residuo el termino -1,puesto que ya no hay ningún termino en este residuo que sea divisible por el primer termino del divisor, ahí termina la división, en consecuencia podemos decir que: Dividendo es igual a divisor por cociente mas residuo así: x Ejemplo 2.Dividir 2 3x 1 x 3x 1 4 x 3 2x 2 x 1 entre x 2 4 x3 2 x 2 x 1 x-2 divisor 4 x 3 8x 2 4 x 2 6 x 11 Cociente 0 6x 2 x 1 Primer residuo .... 6 x 2 12x 1 0 +11x +1 -11x +22 0 +23 Segundo residuo Tercer residuo Residuo final +23 Descripción de la División: Se divide el primer termino del dividendo por el primer termino del divisor, este es el primer termino del cociente, luego este se multiplica por cada termino del divisor y cambiándole de signo lo escribimos debajo de los términos del dividendo para sumarlos algebraicamente. Los primeros términos siempre se cancelan. A los términos restantes les colocamos seguidamente los términos que no se operaron en el dividendo. Se hace nuevamente la división del primer termino de este residuo con el primer termino del divisor y este será el segundo termino del cociente, se vuelve a multiplicar este termino por cada uno de los términos del divisor y se llevan con signo cambiado debajo del primer residuo para efectuar la suma algebraica. Se sigue repitiendo este procedimiento hasta que el primer termino del residuo no sea divisible exactamente por el primer termino del divisor, para este ejemplo tenemos como residuo el +23 . 4x 3 2x 2 x 1 x 2 4x 2 6x 11 23 D d c r 6.2 MÉTODO DE DIVISION SINTETICA, COEFICIENTES SEPARADOS O METODO DE RUFFINI. Este método también es conocido como división sintética, se utiliza como UN mecanismo práctico para realizar divisiones entre polinomios y binomios de la forma ( x + a ), para aplicar este método basta seguir los siguientes pasos: 1) Se ordena y se completa el polinomio, dividendo y divisor. 2) Se escriben los coeficientes del dividendo en forma de galera y se escribe el término independiente del divisor con signo contrario. 3) Se baja el primer término del dividendo y se multiplica por el término independiente que escribió al lado izquierdo. 4) Este producto anterior lo suma algebraicamente con el segundo término del dividendo. Luego este resultado lo multiplica nuevamente por el término independiente de la izquierda y así sucesivamente. 5) El último resultado que se obtiene será el residuo de la división, que en caso de ser exacta se obtendrá cero ( 0 ). 6) Para obtener el cociente, se escriben los números obtenidos con una potencia menor que la mayor del dividendo. MATEMATICAS GENERALES Página 7 2 x 2 x 4 1 entre x 1 4 2 1) Lo ordenamos en potencia descendente. x 2 x 1 . 2) Lo completamos: x 4 0x 3 2x 2 0x 1 x 1 Ejemplo 1) Efectuar por Ruffini 3) Extraemos los coeficientes. 4) Formamos una galera 1 0 2 0 1 1 0 2 0 1 ________________ 5) Colocamos el término +1 ^ 1 1 3 3 _________________ Independiente con signo 1 1 3 3 4 Residuo ( 4 ) Contrario. Cociente Cociente. Observe que el primer término del dividendo tiene potencia cuatro, luego el primer término del cociente tiene potencia tres, y desciende con el hasta el último término así x 3 x 2 3 x 3 este es el cociente. porlo tantotenem osque. x 4 2 x 2 1 x 1 x 3 x 2 3 x 3 4 Dividendo Divisor Cociente Re siduo Ejemplo 2) Dividir x 3x 3 2 x entre x 2 Ordenamos y completamos el polinomio, dividendo: 3 2 3x 3 2 x 2 x 3 Sacamos sus coeficientes. 3 - 2 1 - 3 y hacemos una galera. 3 -2 1 -3 -2 -6 +16 -34 Bajamos el primer coeficiente del dividendo tres ( 3 ) 3 -8 17 -37 Residuo y lo multiplicamos por el término independiente del divisor el cual lo colocamos en el lado izquierdo con signo contrario -2 o sea -2 × 3 = -6 y este producto lo sumamos con el -2. Que es el segundo término del dividendo. Obtenemos -8, este a Su vez lo multiplicamos por -2 y obtenemos +16. Y lo sumamos con el 1, obtenemos 17 y este lo multiplicamos nuevamente por -2, obtenemos -34, y lo sumamos con el -3 obteniendo -37, este resultado es el residuo de la división. El cociente lo obtenemos calculándole la X con una potencia menor que la del dividendo a los términos 3, -8 y 17 así 3x 2 8x 17 este es el cociente. Por 3 2 2 3x 2x x 3 x 2 3x 8x 17 37 . DIVIDENDO 6.3 lo tanto tenemos que = DIVISOR × COCIENTE + RESIDUO. DIVISION DE UN POLINOMIO POR UN BINOMIO DE LA FORMA ( a X + b ). Cuando el divisor es de la forma ( a X + b ), dividimos los dos términos del divisor por el coeficiente en X o sea por (a) y procedemos como en el caso anterior, teniendo presente en dividir también los términos del dividendo y multiplicar el residuo por el término que se dividieron los polinomios: Ejemplo: Efectuar la división por Ruffini de 3x 4 x 3 Se dividen los términos del dividendo y del divisor por 3. 2 x2 entre 3x 2 4x 2 1 x Sacamos los coeficientes. 3 3 -2/3 1 -4/3 -2/3 1 -2 1 +4/3 7 3 7 3 3x 2 4 x 3 3x 2 x 2 7 Dividendo Divisor Cociente Re siduo MATEMATICAS GENERALES Página 8 TALLER 6 Realice las operaciones indicadas y simplifique: x x2 2 x 3x 2 3 3x 4 x x 2 x 2 x x ; 2) x 2 x 3 2 2 3 3 x x 2 3 4 x 3 2 x 1 x 2 x 2 ; 4) x x ; 5) 2 x 1 ; 6) 1 x 3 3 1) 3) 7) x 11) 14) 17) 2 3 2 2 2 x 1 ; 8) 3 x 1 1 1 1 2 2x 2 2 x 2 x 1 x 1 ; 13) x 2 x 1 x 1 x x x x 9) ; 10) 2 3 2 3 2 x 3 ; 4 x 2 x x x 1 ; 12) x y x y ; 15) x 1 x 1 ; 16) x 1 x 1 x 8 x 2 ; 18) z 6 z 8 z 2 ; 19) 3x 4 x x 6 x 3 2 2 2 3 20) m 3 m 2. MATEMATICAS GENERALES 3 2 3 3 4 2 4 2 x 1 Página 9