EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 2º E.S.O. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1.- Completa el siguiente cuadro:

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 2º E.S.O.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.- Completa el siguiente cuadro:
POLINOMIO
2x-x4+2+3x3
8-x4
x+4x4
2x-1+x5
GRADO
TERM. INDEP. ORDENAR
COMPLETAR
2.- Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se
indican:
a) 2 x 3 y  5 x
para x  1 y  5
c)
2ab  5c
a
para : a  2, b  3 c  5
3- Efectúa las siguientes sumas y restas:
a ) (2a  3b  5ab)  (5a  4b  2ab)  (7 a  b  ab) 
c) (2 x 2 y  3 xy 2  5 xy)  (6 xy  2 x 2 y  3 xy 2 )  (5 xy 2  3 xy  4 x 2 y ) 
4.- Efectúa las siguientes multiplicaciones:
a) (5x  2)·(x 3  4x 2  2x  1) 
b) (2a  3b  5)·(6a  4b  2) 
c) (2 x 2  4 x  3)·(4 x 2  3 x  6) 
d ) (5 x  3 y  z )·(2 x  4 y  9 z ) 
e) (3x-2)·(-5x+3)·(x+4)=
f) (2x-3)3=
5.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomio entre monomio:
a)
5 x 2 y 4  10x 5 y 6  25x 3 y

5 xy
b)
12a 5 b 2  10a 4 b 3  8a 6 b 7  6a 2 b 5
2a 2 b 2
6.- Efectúa las siguientes operaciones utilizando
a  b 2  a 2  b 2  2ab
la fórmula correspondiente a  b 2  a 2  b 2  2ab


a  b ·a  b   a 2  b 2 


a) (2x+7y)2
b) (2xy+5a2b3)2
c) (5a2-3b)2
d) (x-m7)2
e) (6x+4a)·(6x-4a)
f) (8xy5-3a)·(8xy5+3a)
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS 2º E.S.O.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.- Completa el siguiente cuadro:
POLINOMIO
GRADO TERM. INDEP. ORDENAR
4
3
2x-x +2+3x
8-x4
x+4x4
2x-1+x5
COMPLETAR
2.- Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se
indican:
a) 2 x 3 y  5 x
para x  1 y  5
b) 5ab  6  2b 5
para a  3 b  2
2ab  5c
c)
para : a  2, b  3 c  5
a
3- Efectúa las siguientes sumas y restas:
a) (2a  3b  5ab)  (5a  4b  2ab)  (7a  b  ab) 
b) ( x 3  5 x 2  3)  (2 x 2  3x  7)  (8 x  2) 
c) (2 x 2 y  3xy 2  5 xy)  (6 xy  2 x 2 y  3xy 2 )  (5 xy 2  3xy  4 x 2 y ) 
4.- Efectúa las siguientes multiplicaciones:
a) (5x  2)·(x 3  4 x 2  2 x  1) 
b) (2a  3b  5)·(6a  4b  2) 
c) (2 x 2  4 x  3)·(4 x 2  3x  6) 
d ) (5x  3 y  z )·(2 x  4 y  9 z ) 
e) (3x-2)·(-5x+3)·(x+4)=
f) (2x-3)3=
5.- Efectúa las siguientes divisiones de monomios (indicando si en algún caso el resultado no es un
monomio):
a)
10x 3 y 4 z

2 xyz
b)
3a 5b 2

2a 4 b
c)
12x 4 a 5b

4 xa 2 b 3
d)
15x 4 y 6 a 3

3x 2 y 4
6.- Efectúa las siguientes divisiones de polinomio entre monomio:
5 x 2 y 4  10x 5 y 6  25x 3 y
a)

5 xy
b)
12a 5 b 2  10a 4 b 3  8a 6 b 7  6a 2 b 5
2a 2 b 2
a  b 2  a 2  b 2  2ab


2
7.- Efectúa las siguientes operaciones utilizando la fórmula a  b   a 2  b 2  2ab
a  b ·a  b   a 2  b 2 


a) (2x+7y)2
b) (3x+y3)2 c) (2xy+5a2b3)2
d) (5a2-3b)2
d) (x-m7)2
2
5
5
2
e) (2x-6y)
f) (6x+4a)·(6x-4a)
g) (8xy -3a)·(8xy +3a) h) (4x -9y6)·(4x2+9y6)
+
REPASO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
MATEMÁTICAS 2º E.S.0.
1.- Dado el polinomio: 3x-x6-3+2x3 se pide indicar:
- grado:
- término independiente:
- completar:
- ordenar:
- coeficiente del término de mayor grado:
5a 3b 2  3ab3
2.- Calcular el valor numérico de la expresión
para a=-3
5c
3.- Efectuar las siguientes operaciones:
a) (2ab-5a+3b)-(-2a-5b+3ab)-(b-a+ab)=
b) (-3x2-4x+2)·(x3+2x2-5x-7)=
c) (2x2-4)·(-3x+2)·(5x-3)=
d) 2x(-3x2-4x-5)-(2x-6)2=
e) (3x-y)3=
f) 4x2(-3x2-x+5)-(5x-3)·(2x2+4x)=
4.- Efectuar las siguientes operaciones con productos notables:
b=-1
c=4
a) (3x2-4y)2=
b) (3a2z+2b5)2=
c) (2a+5b)2-(4a+b)·(4a-b)+(3a+2b)2=
5.- Efectuar las siguientes operaciones:
a )  2 x 2 y 5 z·(2 xyz)·(5 x 8 a ) 
b ) ( 2 a 5 b 6 c 4) 4 
c)
20m 4 n 5  8m 3 n 4  4m n2

4m n2
6.- Escribir un polinomio que cumpla todo lo siguiente:
- que tenga tres término,
- que sea de grado 5,
- que el término independiente sea –6,
- que algún coeficiente del algún término sea 4.
7.- Expresar en lenguaje algebraico:
- el doble de la suma de dos números
- la tercera parte del cuadrado de un número mas el triple de dicho número.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.- DEFINICIONES
Una expresión algebraica es una combinación de números y letras ligadas por las operaciones
aritméticas.
xy
2 x 3 y,
,
x 3  5 y,
3x  4 z,......
Ejemplo:
z
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras
de dicha expresión por números determinados y efectuar las operaciones correspondientes.
Ej: calcular el v. n. de
2a3b – 5 para a=2 y b=-3 es 2·23·(-3)-5=-53
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones con letras que
intervienen son la multiplicación y la potenciación de exponente natural.
Todo monomio está formado por:
- parte numérica llamada coeficiente, y
- una parte literal constituida por letras y sus exponentes (también llamadas variables)
- El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras.
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir las mismas letras con
los mismos exponentes (puede variar el orden de las letras).
Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más
monomios. Un polinomio puede tener una o más letras. Cada uno de los monomios que intervienen
se llaman términos del polinomio.
Atendiendo al número de términos, los polinomios se pueden clasificar en:
- binomio, trinomio, etc.
El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado dentro del polinomio.
Atendiendo al grado los polinomios se pueden clasificar en:
- polinomios de primer grado, de segundo grado, etc.
Notación:
- Cuando el exponente de una letra es 1, no se pone: x1=x
- Cuando el coeficiente de un monomio es 1, no se pone: 1x=x
- Los números son monomios de grado cero: 4x0=4·1=4
- Se llama término independiente al de grado 0 (el que no tiene parte literal, es un número)
- Un polinomio está completo cuando tiene los términos de todos los grados desde 0 hasta el
mayor.
- Un polinomio está ordenado cuando los términos van en orden creciente o decreciente con
respecto al grado.
2.- OPERACIONES
2.1.- SUMA Y RESTA
-
-
En general dos monomios no se pueden sumar o restar en el sentido de que su suma o diferencia
sea otro monomio, para que esto sea posible tienen que ser semejantes. La suma o diferencia de
dos monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma o diferencia
de los coeficientes. Reducir términos semejantes es sumarlos o restarlos.
Para sumar dos polinomios se suman los monomios semejantes.
2.2.- PRODUCTO
-
Para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes entre sí y las partes literales entre
sí (recordar como se multiplican potencias que tienen la misma base)
-
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva: se multiplica
dicho monomio por cada término del polinomio.
-
Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva doblemente: se multiplica
cada término de uno de ellos por todos los del otro y se reducen los términos
3.- PRODUCTOS Y POTENCIAS NOTABLES
La potencia enésima de un polinomio consiste en multiplicar dicho polinomio por sí mismo tantas
veces como indique el exponente. Veamos a continuación algunas potencias que por su frecuente
uso se acostumbra a calcular con fórmulas:
- CUADRADO DE UNA SUMA:
(a+b)2 =a2+b2+2ab
Se lee: el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del
segundo, más el doble del producto del primero por el segundo.
- CUADRADO DE UNA DIFERENCIA:
(a-b)2=a2+b2-2ab
Se lee: el cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del
segundo, y menos el doble del producto del primero por el segundo.
- SUMA POR DIFERENCIA (a-b)2 =a2-b2
Se lee: suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
Pasos a seguir para realizar operaciones con polinomios:
1º) Suprimir paréntesis.
2º) Agrupar términos semejantes.
3º) Operar.
MATEMÁTICAS
2º E.S.O.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1.- Indicar grado, término independiente, completar y ordenar los siguientes polinomios:
a) 2x2-5+6x3-4x5
b) 3y-2+7y2
c) –4x3+7x4-1+x
d) 2-y3
2.- De los siguientes monomios, indicar cual es el coeficiente, el grado con respecto a cada una de
las letras y el grado del monomio:
a) 2x3 y4
b) –5xy7
c) x4 y3 z2
d) –x5
3.- Calcular el valor numérico de los siguientes polinomios para x=2
a) 3x2-5x+3
b)2x-y+xy
c) 3xy3-2x2y2-1
4.- Dados los siguientes polinomios:
P(x)=2x2-3x+1
Q(x)=5x2+x-3
Efectuar las siguientes operaciones:
a) P(x)+Q(x)
e) R(x) · Q(x)
b) P(x)-Q(x)-S(x)
f) P(x) · Q(x)
R(x)=4x-3
c) Q(x)-R(x)+S(x)
g) R(x) · S(x)
y=-1
z=
2
3
d) z2-5z+3
S(x)= x3+2x2-x+3
d) R(x) · P(x)
h) P(x) · S(x)
5.- Utilizando la fórmula: (a+b)2=a2+b2+2ab , efectuar las siguientes operaciones:
a) (x+5)2
e) (3x+7)2
b) (y+3)2
f) (2y+4)2
c) (2x+3y)2
g) (6x2+y5)2
6.- Utilizando la fórmula: (a-b)2=a2+b2-2ab
a) (y-3)2
e) (3x-4y)2
b) (a-5)2
f) (5a-3b)2
7.- Utilizando la fórmula:
a) (x+4)(x-4)
e) (5x+2y)(5x-2y)
,
d) (5a+3b)2
h) (3x4+2a3)2
efectuar las siguientes operaciones:
c) (5x-3y)2
g) (3x4-5)2
d) (x-7y)2
h) (2x5-y6)2
(a+b) · (a-b) = a2-b2 , efectuar las siguientes operaciones:
b) (y+3)(y-3)
f) (x+6y)(x-6y)
c) (2x+3y)(2x-3y)
g) (2x2-3)(2x2+3)
8.- Efectuar y simplificar:
a) (2x2-5x+3) - (x-2) (2x-5)
c) (5x-3)(x-2) – (3x-4(-2x+7)
e) 2x(3x2-5x+2) – (3x3-5x2+x-1)
g) (3x2y-2xy2+xy) – (5x2y-8xy2-3xy)-(x2y+2xy)
i) (3x-2)(-x2+5x-2) – (2x-4)2
k) (4x+3)(-2x2-2x+1) – (5x+3)2
m) (x-y)2-(x+y)2-(x+y)(x-y)
ñ) (5x-3y)2-(4x+6y)2
p) (3x-2)·(5x+3)·(-2x-4)
r) (5x+3y-2z)2
d) (7x+y)(7x-y)
h) (5x2+3y3)(5x2-3y3)
b) 3x(5x2-4) + (x2-5)(2x+3)
d) 4x – x(5x-3) – (-5x2-3x)
f) (2x-3)(-5x+2)(5x+1)
h) (2x-y) (3x+2y) –(x2+3xy-4y2)
j) (3x+2)2- 5x(x2-4x+1)
l) (x-3)2- 2x(3x2-x+3)
n) (2x+3y)2-(4x-y)2
o) (3x+y)(3x-y) +(5x+2y)2-(2x-4y)2
q) (2x-3y)3
s) (a-b-c)2-(a+b-c)2
9.- Efectuar las siguientes multiplicaciones de monomios:
a) (2x3y)·(-3xy4)·(-4x3y5)
c) 2x·(-4x3)·3x
b) (-5ab3)·(-3a3b)·(-2a)
d) (5x2y3z4)·(-xyz)·(2xy3z6)
10.- Realizar las siguientes potencias de monomios:
a) (2x3y5)3
b) (5x2y4z5)2
c) (-3xy6z2)3
11.- Realizar las siguientes divisiones de monomios:
10x 3
12x 3 y 4
10x 4 y 5 z 6
a)
b)
c
)
2x
6x 2 y 3
5xy 4 z 5
d) (-5x2yz3)2
d)
13x 2 y 4
2 xy
e)
 5x 3 y 2 z xyz
12.- Realizar las siguientes divisiones de polinomios entre monomios:
12x 3  9 x 2  3x
5a 4 b 5  10a 7 b  25a 3b
10x 3 y 4  6 x 4 y 5  4 x 2 y 3
a)
b)
c
)
3x
5a 2 b
2 xy 3
13.- Realizar las siguientes divisiones de polinomios:
a) (2x2-6x+3): (x-2)
d) (x3-2x2+x-3) : (x2-3x-2)
b) (7x3-5x2+3x-2) : (x2-2x-1)
e) (2x4-3x2+5x+2) : (x2+x-3)
c) (4x2-x+5) : (x+4)
f) (3x4+2x3-x2+5) : (x2-x+2)
14.- Escribir una expresión algebraicas con las siguientes características:
a) Monomio con coeficiente 3 y grado 2.
b) Binomio de grado 5.
c) Trinomio de grado 2.
d) Polinomio de grado 3 con término independiente 5.
e) Dos monomios semejantes a 5x2y4.
f) Tres monomios con las letras x e y que no sean semejantes.
g) Tres monomios de grado 5 con las letras x e y , que no sean semejantes.
15.- Expresar en lenguaje algebraico las siguientes frases:
a) La mitad del cuadrado de un número.
b) La suma de los cuadrados de dos números.
c) El cuadrado de la suma de dos números.
d) La mitad de un número menos el doble de dicho número.
e) La mitad de un número más su quinta parte.ç
f) La mitad de la suma de dos número.
g) El cubo de un número.
h) Tres números consecutivos.
i) El número natural siguiente a n.
j) El número natural anterior a n.
k) El producto de dos números.
l) La edad de una persona dentro de 5 años.
m) La edad de una persona hace 4 años.
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS
2º E.S.O.
POLINOMIOS
1.- Calcular los valores numéricos de las expresiones algebraicas siguientes para los valores que se
indican:
a) 3x2-5xy3-3y para x=-2 y=5
b) a2-b2+3ab para a=2
c)
a b
ab
para
a4
b=1/2
b8
2.- Completar el siguiente cuadro:
POLINOMIO
GRADO TÉRM. INDEPEND.
ORDENAR
COMPLETAR
2x2-5x+6x3-4x5
3x-2-7x4
7x2-8x4
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En este tema vamos a estudiar una forma diferente de expresarnos en matemáticas. Se trata de utilizar un
lenguaje especial que llamamos álgebra, el cual nos permite usar, de una manera más general, las reglas y
leyes que hemos visto para los números.
Al principio parecerá difícil pero luego te acostumbrarás y te darás cuenta de que es sencillo y se puede
aplicar en muchos casos y situaciones diferentes.
¿Cuál es doble de 4?
¿Cuál es doble de un número cualquiera?
En matemáticas empleamos letras en lugar de números muchas veces para generalizar razonamientos y
expresar y demostrar propiedades. Operamos con estas letras como si fueran números.
Son expresiones algebraicas las combinaciones de letras y números unidos entre sí por los signos de las
operaciones aritméticas.
Cuando no aparecen letras en el denominador se llaman enteras.
El lenguaje numérico expresa la información mediante operaciones en las que sólo aparecen números. El
lenguaje algebraico utiliza operaciones donde aparecen números y letras, y expresa la información de manera
más breve:
- El lenguaje algebraico es más conciso que el numérico: puede expresar los enunciados de una forma
más breve.
- El lenguaje algebraico permite generalizar: no es posible expresar las relaciones y propiedades
numéricas de forma general con el lenguaje numérico, por ejemplo la propiedad conmutativa de la
suma.
- El lenguaje algebraico permite expresar números desconocidos y operar con ellos: ecuaciones.
El lenguaje algebraico permite expresar de forma simbólica y abreviada ideas matemáticas que en nuestro
lenguaje habitual pueden ser complejas. Para aprender este lenguaje tienes que saber utilizar letras, números
y signos. Con las letras se representan cantidades desconocidas, y con los signos las relaciones entre ellas.
VALOR NUMÉRICO
Consiste en sustituir las letras por valores numéricos y realizar las operaciones indicadas. Conviene poner
entre paréntesis los valores sustituidos y realizar las operaciones indicadas, siguiendo la jerarquía de las
operaciones.
MONOMIO
Cuando el coeficiente es uno, no suele ponerse.
Cuando una letra tiene exponente uno tampoco suele ponerse.
Dos monomios son opuestos cuando son semejantes y su suma es cero.
La suma de monomios no semejantes da lugar a un polinomio.
Se llaman monomios semejantes a los que tienen la misma parte literal
POLINOMIOS
Se llama término de un polinomio a cada uno de los monomios que lo componen.
Llamamos grado de un polinomio al mayor de los grados de sus términos.
El grado de un polinomio respecto a una letra es el mayor exponente con que figura dicha letra.
Los polinomios se pueden ordenar de forma creciente o decreciente respecto a una determinada letra.
Diremos que un polinomio está ordenado de forma decreciente respecto a una letra si los exponente de dicha
letra decrecen de izquierda a derecha.
Análogamente se ordena de forma creciente.
Siempre que se ordene respecto a una letra, ésta se llama ordenatriz.
Cuando un polinomio está ordenado respecto a alguna letra y ésta figura con todos los exponentes desde el
grado cero hasta su mayor grado, se denomina completo.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Cumplen las propiedades: asociativa, conmutativa, elemento neutro, distributiva.
Propiedad distributiva
Con un dibujo:
a(b+c)=ab+ac
Cuando esta igualdad se lee de derecha a izquierda, se dice que se saca factor común.
SACAR FACTOR COMÚN
PRODUCTO NOTABLES
Tanto en matemáticas como en otras áreas donde se utiliza el cálculo, es necesario realizar operaciones con
cierta rapidez y habilidad. Hay operaciones que encontramos con bastante frecuencia y que se ha dado en
llamar productos notables.
POTENCIA
La potencia de un polinomio consiste en multiplicar la base por sí misma tantas veces como indique el
exponente.
EJERCICIOS DE POLINOMIOS
1.- Calcular el valor numérico con fracciones.
2.- En los siguientes monomios indicar cual es el coeficiente, el grado con respecto a cada una de las letras y
el grado del monomio.
3.- Multiplicar los siguientes monomios:
a) (3ax3y) · (2ax) · (-3x2y)
4.- Realizar las siguientes potencias de monomios:
a) (3x5y)6
5.- En los siguientes polinomios, indicar los términos, sus coeficientes, el grado total del polinomio y el
grado respecto a cada letra:
a) 2x2-3xy+xy3-x4y-(4/3)x5
6.- Ordenar y completar los siguientes polinomios según las potencias decrecientes de x:
7.- Dados los polinomios: A=
Calcular:
a) A-B+C
B=
C=
8.- Expresar con letras los siguientes enunciados:
a) La suma de los cuadrados de dos números es igual a 45.
b) El cuadrado de la suma de dos números es igual a 144.
c) La diferencia de los cuadrados de dos números es igual a 27.
d) El cuadrado de la diferencia de dos números es igual a 16.
9.- Observa el ejemplo y saca factor común:
a)x2+2xy=x(x+2y)
NOMBRE:………………………………………………………………….. GRUPO:…………..
EJERCICIO DE MATEMÁTICAS 2º E.S.O.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS (25-I-06)
1.- Calcular el valor numérico de la expresión algebraica 3x2y-2y3+3x
para x=-5 e y=-2
2.- Efectuar la siguiente división:
10x 4 y 3  4 x 4 y  2 x 2 y

2x 2 y
3.- Efectuar y simplificar:
(9a2b-2ab2+3ab) - (6ab2+5a2b+ab) - (a2b-5ab+3ab2)=
4.- Efectuar y simplificar:
(3x2-5x+3) · (-x2-2x+4)=
5.- Calcular directamente (aplicando la fórmula correspondiente) el siguiente producto:
(x4-5y)2 =
6.- Efectuar y simplificar:
(2x+3y)2 - (4x+5y)(4x-5y) =
7.- a) Expresar la siguiente diferencia de cuadrados como producto
x2-9=
b) Completar el siguiente trinomio para que sea un cuadrado prefecto y a continuación escribir
el binomio al cuadrado correspondiente:
x2+ ….. + 25 = ( ………...…. )2
8.- Indicar si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Escribir a la derecha el valor
correcto de las que estén mal.
a) x+x = x2
Corrección: x+x =
b) x·x·x = 3x
Corrección: x·x·x =
c) (x2)3=x5
Corrección: (x2)3=
d) (a·b)2=a2b2
Corrección: (a·b)2=
e) (a-b)2=a2-b2
Corrección: (a-b)2=
NOMBRE:………………………………………………………………….. GRUPO:…………..
EJERCICIO DE MATEMÁTICAS 2º E.S.O.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS (25-I-06)
1.- Calcular el valor numérico de la expresión algebraica 3x2y-2y3+3x
2.- Efectuar la siguiente división:
10x 4 y 3  4 x 4 y  2 x 2 y

2x 2 y
para x=-5 e y=-2
3.- Efectuar y simplificar:
(9a2b-2ab2+3ab) - (6ab2+5a2b+ab) - (a2b-5ab+3ab2)=
4.- Efectuar y simplificar:
(3x2-5x+3) · (-x2-2x+4)=
5.- Calcular directamente (aplicando la fórmula correspondiente) el siguiente producto:
(x4-5y)2 =
6.- Efectuar y simplificar:
(2x+3y)2 - (4x+5y)(4x-5y) =
7.- Efectuar y simplificar:
a) (-3x2y3z5) · (4xy4z3) · (-5y2z) =
b) (-2a6b2z)3 =
8.- Indicar si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Escribir a la derecha el valor
correcto de las que estén mal.
a) x+x = x2
Corrección: x+x =
b) x·x·x = 3x
Corrección: x·x·x =
c) (x2)3=x5
Corrección: (x2)3=
d) (a·b)2=a2b2
Corrección: (a·b)2=
e) (a-b)2=a2-b2
Corrección: (a-b)2=