APUNTES1-Pasados a Word

GRAMÁTICAS Y LENGUAJES
ÍNDICE:
- DEFINICIONES DE TEORÍA DE LENGUAJES FORMALES...............................................2
- DEFINICIÓN FORMAL DE GRAMÁTICA .............................................................................4
- GRAMÁTICA RECURSIVA .....................................................................................................9
- GRAMÁTICA AMBIGUA .........................................................................................................9
- EJERCICIOS............................................................................................................................. 13
- RELACIONES .......................................................................................................................... 21
- PROPIEDADES DE UNA RELACIÓN.................................................................................. 21
- PRODUCTO DE DOS RELACIONES ................................................................................... 21
- SUMA DE RELACIONES (UNIÓN) ...................................................................................... 22
- CIERRE TRANSITIVO ........................................................................................................... 23
- IMPLEMENTACIÓN DE UNA RELACIÓN EN LA MAQUINA ....................................... 24
- RELACIONES BINARIAS APLICADAS A LENGUAJES FORMALES ........................... 26
- RESTRICCIONES DE UNA GRAMÁTICA.......................................................................... 28
- CHEQUEO DE LAS RESTRICCIONES DE LA GRAMÁTICA ......................................... 29
- NOTACIÓN BNF EXTENDIDA (EBNF) .............................................................................. 31
- DIAGRAMAS SINTÁCTICOS ............................................................................................... 33
- JERARQUÍA DE GRAMÁTICAS DE CHOMSKY .............................................................. 35
- REFERENCIAS ........................................................................................................................ 38
1
Gramáticas y Lenguajes
GRAMÁTICAS Y LENGUAJES
Está relacionado con los analizadores léxico y sintáctico.
DEFINICIONES DE TEORÍA DE LENGUAJES FORMALES:
* LENGUAJE: Conjunto finito o infinito de sentencias.
* SENTENCIA: Secuencia de símbolos terminales. Desde el punto de vista de los
lenguajes formales, una sentencia podría ser un programa y un lenguaje de programación sería
el conjunto de todos los posibles programas que se pudieran escribir.
* GRAMÁTICA: Conjunto finito de reglas que definen un lenguaje. Para un lenguaje
dado pueden haber diferentes gramáticas, pero una gramática genera un único lenguaje y
además permite definir la estructura sintáctica de las sentencias.
* METALENGUAJE: Es un lenguaje que nos permite definir a otro lenguaje.
Tipos de metalenguajes: Notación BNF (Backus-Normal-Form).
-Esta notación está compuesta
por reglas o producciones.
(Notación de Backus y Naur)
Principal responsable del
desarrollo del FORTRAN.
Trabajó en el ALGOL
┌─
que generaría
el Pascal.
-TERMINAL
Unidad mínima sintáctica en que
están compuestos los programas
(lenguajes) (TOKEN).
-NO TERMINAL
"Estructuras" de los
programas.
* SÍMBOLO:
* ALFABETO: o Vocabulario terminal en relación con el lenguaje, VT es el conjunto
de símbolos terminales que se utiliza para formar sentencias.
{ begin,if,var,... } S Є VT
S = símbolo terminal.
2
Gramáticas y Lenguajes
* SECUENCIA O STRING: Se puede representar en forma de letras:
x = 'ABCD'
A,B,C,D ε VT
La longitud de una secuencia de símbolos terminales se representa: │x│ = 4.
* CONCATENACION: Es una operación sobre strings; dada x e y se concatenan
poniendo una detrás de otra:
x ='ABCD'
y ='EF'
xy = z ='ABCDEF'
│xy│ = │x│ + │y│
* CABEZA DE UNA SECUENCIA: Subsecuencia que arranca a partir del primer
símbolo:
cabezas de x = { 'A' , 'AB' , 'ABC' , ... }
Head
* COLA DE UNA SECUENCIA: Subsecuencia que arranca a partir del último
símbolo:
colas de z = { 'F' , 'EF' , 'DEF' , ... }
Tail
* PRODUCTO DE CONJUNTOS DE SECUENCIAS: Dados los conjuntos de
secuencias A y B, el producto es:
C = { xy / x Є A /\ y Є B }
A = { abc,ca,cc }
C = A * B
B = { aa,c }
C = { abcaa,abcc,caaa,cac,ccaa,ccc }
* POTENCIA N-ESIMA DE UNA SECUENCIA: Es una concatenación "n" veces:
n
Xn = XXXXX...X
X = ab
X3 = ababab
* POTENCIA N-ESIMA DE UN ALFABETO V:
Vn = Conjunto de todas las secuencias de longitud n que se pueden formar a partir de
V = { S1...Sn / S1,S2,...,Sn Є V }
V = { a,b,c }
V3 = { aaa,aab,aac,aba,aca,... }
3
Gramáticas y Lenguajes
* CIERRE TRANSITIVO (+): (positive closure).

V
i
 V 1  V 2  V 3 ...  V 
i 1
V+ ═══> Todas las posibles secuencias no nulas que se pueden formar con los
símbolos de V de longitud arbitraria.
* SECUENCIA NULA = ε:
V0 = { ε }
│ε│ = 0
* CIERRE TRANSITIVO REFLEXIVO (*):
*
0
+
V = V  V = V i = { 

}V
+
i=0
L = lenguaje L  V *
V*V = V+ = VV*
│xn│ = n │x│
DEFINICIÓN FORMAL DE GRAMÁTICA:
Una gramática es una cuádrupla (R , Z , VT , VN) donde:
VN = Conjunto finito de símbolos no terminales.
VT = Conjunto finito de símbolos terminales.
Z = Símbolo no terminal principal, es el que aparece en la raíz del árbol. Z ε VN.
R = Es un conjunto finito de pares, llamados reglas de sustitución o también,
producciones, tal que cada producción (x,α) se escribe x → α ó x ::= α ; donde x Є V+ y
α Є V*
V =V N V T
a Є VT (letras minúsculas).
A Є VN (letras mayúsculas).
x , y , z Є VT*
└────┬────┘
secuencias de símbolos terminales.
4
Gramáticas y Lenguajes
α ,ß , ... Є V*
R = { Z
α1 , N2
α2 ,...}
secuencias
Con el símbolo G(Z) se suele denotar a una gramática cuyo símbolo principal es Z. El
lenguaje definido por la gramática G se denota por L(G).
El proceso de sustitución se representa por "═══>" y determina la derivación; en sentido
inverso se denomina reducción.
ASG ═══> VAR = EXP ; ═══> VAR = TER REX ;
ASG ═══>2 VAR = TER REX ;
═══> derivación simple
═══>2 derivación múltiple.
Z ═══>+ x Є L
(aplicamos una o más reglas de la gramática).
+
ASG ═══> VAR = TER REX ;
Z ═══>* α
Z ═══>0 α
(aplicamos ninguna o más reglas de la gramática).
Z = α
Z ═══>+ α
Z ═══>* α
ó
Z = α
Si partimos del símbolo principal:
Z ═══>* α Є V* α = forma sentencial
Z ═══>+ x Є VT* x = sentencia
x Є L(G)
Se define lenguaje de una gramática G:
L(G) = { x / Z ═══>G+ x
Sea el árbol:
/\
x Є VT* }
Z
┌─────────┼─────────┐
A
=
B
│
┌────┴────┐
n
x
y
│
│
1
;
5
Gramáticas y Lenguajes
expresando su derivación:
Z ══> A = B ══> n = B ══> n = x y ══> n = 1 y ══> n = 1 ;
Z ═══>+ n = 1 ;
Otras posibles derivaciones:
Z ══> A = B ══> n = B ══> n = x y ══> n = x ; ══> n = 1 ;
Z ══> A = B ══> A = x y ══> n = x y ══> n = x ; ══> n = 1 ;
por tanto el árbol refleja las posibles derivaciones de una forma única.
Se define frase a las secuencias que se pueden generar de un símbolo.
N ═══>+ α
B ═══>+ x y
α es frase de N
frase simple
B ═══>+ 1 y
frases de B.
B ═══>+ 1 ;
B ═══>+ x ;
Las frases simples son aquéllas que se generan con la aplicación de una derivación
simple; son empleadas en el programa de reconocimiento (parsing), que consiste en, dada una
sentencia y una gramática, calcular una derivación para esa sentencia:
Z ══> ... ══> ... ══> sentencia.
esto lo realiza el análisis sintáctico.
Es importante la localización de las frases simples, pues nos permitirá obtener las
formas sentenciales.
Si tenemos tres secuencias concatenadas de la siguiente forma:
Z ══>+ α ß τ
si
Z ══>+ α A B
y
6
A ══>+ ß
entonces ß es frase de A.
Gramáticas y Lenguajes
La derivación canónica (rightmost derivation) consiste: dada una forma sentencial
aplicamos la gramática al símbolo no terminal más a la derecha (en la reducción estará situado
más a la izquierda).
Z
A = B
A = x y
A = x ;
A = 1 ;
n = 1 ;
se representa por ══>C
ó
══>rm
Nos interesa realizar reducciones canónicas, ya que origina, en un conjunto de símbolos,
una frase simple situada a la izquierda. A la frase simple más a la izquierda de una forma
sentencial se le llama handle o pivote.
handle ==> n , 1 , ; , x y , A = B
El handle es interesante en un proceso de reconocimiento, ya que a la hora de construir
el árbol no interesa almacenar en memoria todo el lenguaje fuente, además es normal que se lea
de izquierda a derecha, y conforme se vaya leyendo el texto fuente ir construyendo el árbol:
Z
│
┌────────────┬───────┴──────┬───────────┐
│
│
│
│
│
Q
R
│
│
┌─────┴─┐
┌──┴──────┐
│
│
│
│
│
│
│
│
N
F
G
│
│
│
┌─┴──┐
│
┌────┼────┐
│
│
a
b
c
d
e
f
g
h
├── (marca de final)
7
Gramáticas y Lenguajes
La mayoría de los procedimientos de reconocimiento intentan que el método pueda
trabajar con la misma cantidad de información antes de empezar a reducir. Todo esto lo utiliza
el método ascendente.
(1) bc se reducen a N sin conocer el resto.
Por tanto, vamos a tener un conjunto de gramáticas asociadas a métodos de
reconocimiento. Suponiendo una gramática que permite (1), realizamos dicha reducción y así
eliminamos almacenamiento de memoria, quedándonos sólo con la sentencia N.
La forma sentencial canónica sería: aN resto de fichero fuente; que va estar
compuesto de dos partes: lo almacenado en memoria (aN) y lo que queda por leer del texto
fuente.
A continuación leeríamos "d", que sería el handle y lo reduciríamos a F, luego
tendríamos:
a N F
a Q
(disminuiremos capacidad de almacenamiento)
Handle
y así sucesivamente:
a Q e f g h
a Q G h
handle
a Q R
Z
En la práctica, suele ser difícil construir gramáticas en las que solamente leyendo el último
elemento de la reducción se produzca ésta; como vemos hace falta también el siguiente
elemento. El nombre del método suele tener un número entre paréntesis, que es el número de
símbolos necesarios para realizar la reducción. Lo más normal es que sea uno (1).
8
Gramáticas y Lenguajes
GRAMÁTICA RECURSIVA:
Es aquélla en la que un símbolo no terminal puede ser definido a partir de ese mismo
símbolo no terminal:
Si N V N t.q. N +  N   ,  V *
N
│
┌──┴──┐
│
│
│
│
└─────┘
α N ß
(el lenguaje se convierte en infinito)
La gramática es recursiva por la izquierda si α = ε, es decir:
N ═══>+ N ß
N
│
┌─┴─┐
│
│
│
│
└───┘
N
ß
generalmente no se suele admitir,
ya que se llamaría a sí misma
continuamente y nunca terminaría
el proceso (es más problemática
en reconocedores sintácticos).
La gramática es recursiva por la derecha si ß = ε :
N
│
┌─┴─┐
│
│
└───┘
α
N
N ═══>+ α N
GRAMÁTICA AMBIGUA:
Cuando una misma sentencia puede generarse mediante dos árboles distintos. Es decir,
existe una doble interpretación. En general no es deseable:
Z
Z+Z│a
9
Gramáticas y Lenguajes
Z
│
┌──────┴──┬────┐
│
│
│
Z
│
Z
│
│
│
┌────┼────┐
│
│
│
│
│
│
│
Z
│
Z
│
│
│
│
│
│
│
a
+
a
+
a
Z
│
┌────┬──┴──────┐
│
│
│
Z
│
Z
│
│
│
│
│
┌────┼────┐
│
│
│
│
│
│
│
Z
│
Z
│
│
│
│
│
a
+
a
+
a
Si no interesa una gramática de este tipo, deberíamos intentar cambiar de gramática de
forma que ambas definieran el mismo lenguaje:
Z
Z
Z + N │ N
│
┌────────┴──┬─────┐
N
a
│
│
│
Z
│
N
│
│
│
┌─────┼─────┐
│
│
│
│
│
│
│
Z
│
N
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
N
│
│
│
│
│
│
│
│
│
a
+
a
+
a
- Se puede, dada una gramática recursiva por la izquierda, construir una gramática no
recursiva por la izquierda conservando el lenguaje que genera. Para ello debemos saber qué
lenguaje es el generado por una gramática dada:
Dada G(Z):
Z
a │ b │ c │ Z a │ Z b │ Z c │ Z 0 │ Z 1
Objetivo ══► L(G)
VT = { a, b, c, 0, 1 }
VN = { Z }
L = { x / Z ═══>+ x /\ x Є VT* }
Z ═══> a
═══> a a
Z ═══> Z a
═══> b a
═══> c a
10
Gramáticas y Lenguajes
L = { a,b,c,aa,ba,ca,ab,bb,cb,ac,bc,cc,a0,b0,c0,a1,... }
al ser una gramática recursiva, el lenguaje es infinito:
Z ═══> Z a
═══>
═══>
═══>
═══>
═══>
Z
Z
Z
Z
Z
a
b
c
0
1
a
a
a
a
a
en definitiva, por extensión no lo podemos especificar:
L = secuencias de {a, b, c, 0, 1} que comienzan por { a, b, c }
o también:
L = { x y1 ... yn } n  0
/\
x Є { a, b, c }
/\
yi Є VT
Veamos ahora el proceso inverso: definir un lenguaje y construir su gramática:
L = conjunto de naturales pares
VT = { 0, 1, 2, 3,..., 9 }
Todo número par constará de tres partes:
{1..9}
┌───┬──────────────────┬───┐
│ P │
I
│ U │
└───┴──────────────────┴───┘
{0..9}
par = {0,2,4,6,8}
excepto cuando son números de una o dos cifras. En general la gramática será:
N
P I U
P
1 │..│ 9
I
I0 │ I1 │ I2 │...│ I9 │ 0 │...│ 9
I
I D │ D
D
0 │..│ 9
U
0 │ 2 │ 4 │ 6 │ 8
simplificando
11
N
│
┌─────┼──────┐
│
│
│
P
I
U
│
│
│
│
┌─┴─┐
│
┌┴┐ ┌───┐
┌┴┐
└─┘ └───┘
└─┘
Gramáticas y Lenguajes
N
│
┌─────┼─────┐
│
│
│
P
I
U
│
│
│
│
┌─┴─┐
│
│
│
│
│
│
I
D
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
D
│
│
│
│
│
│
3
4
5
6
Nº = 3456
- Si nº = 34
- Si nº = 2
N
│
┌─────┼─────┐
│
│
│
P
I
U
│
│
│
│
│
│
3
ε
4
luego: I
I D │ ε
N
│
┌─────┼─────┐
│
│
│
P
I
U
│
│
│
│
│
│
ε
2
Si P
lenguaje:
1 │ 2 │..│ 9 │ ε se generaría una secuencia que no está en el
entonces: N
P I U │ 2 │ 4 │ 6 │ 8
N
│
┌───────┼───────┐
│
│
│
P
I
U
│
│
│
│
┌─┴───┐
│
│
│
│
│
│
I
D
│
│
│
│
│
│
┌─┴─┐
│
│
│
│
│
│
│
│
I
D
│
│
│
│
│
│
│
ε
ε
0
5
0
12
Gramáticas y Lenguajes
EJERCICIOS:
1.- a) Sea L = { a bn a / n  0 }
hallar la gramática.
L = { a b a, a b b a, a a, ... }  VT*
S
T
b)
a T a
T b │ ε
n  0
L = { an bn / n > 0 }
L = { a b, a a b b, a a a b b b, ... }  VT+
S
a S b │ a b
Estos dos ejemplos corresponden a gramáticas libres de contexto que se utilizan para
lenguajes de programación.
También existen gramáticas más complicadas, dependientes del contexto como:
L = { an bn an / n > 0 }
EJERCICIOS:
Construir el árbol dada la sentencia:
G1
expresión
E
T │ E + T │ E - T
término
T
F │ T * F │ T / F
factor
F
( E ) │ i
E ══► símbolo principal
VT = { +, -, *, /, (, ), i }
VN = { E, T, F }
Sentencia mínima ══► i
E ═══> T ═══> F ═══> i
E ═══>+ i
13
E
│
│
T
│
│
F
│
│
i
árbol mínimo
Gramáticas y Lenguajes
Sentencia: ( i )
E
│
│
T
│
│
F
│
┌─────┼─────┐
│
│
│
│
E
│
│
│
│
│
│
│
│
T
│
│
│
│
│
│
│
│
F
│
│
│
│
(
i
)
sentencia: i*i
Sentencia: i * i + i
E
│
┌───────────┼─────┐
│
│
│
E
│
T
│
│
│
│
│
│
T
│
F
│
│
│
┌─────┼─────┐
│
│
│
│
│
│
│
T
│
F
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
F
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
i
*
i
+
i
14
E
│
│
T
│
┌─────┼─────┐
│
│
│
T
│
F
│
│
│
│
│
│
F
│
│
│
│
│
│
│
│
i
*
i
Gramáticas y Lenguajes
Sentencia: i * ( i + i )
E
│
│
T
│
┌─────┬─────┴───────────┐
│
│
│
T
│
F
│
│
│
│
│
┌───────────┼───────────┐
F
│
│
│
│
│
│
│
E
│
│
│
│
│
│
│
│
│
┌─────┼─────┐
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
E
│
T
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
T
│
F
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
F
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
i
*
(
i
+
i
)
¿ Cuáles son las frases que hay en E + T * F, y de ellas cuáles son simples ?
┌─────────┐
│
│ frases
└─────────┘
E
│
┌─────┬──┴────────┐
│
│
│
│
│
T
│
│
│
│
│
┌─────┼─────┐
│
│
│
│
│
E
+
T
*
F
frase
simple
(handle)
Para un árbol podemos tener múltiples derivaciones pero también es posible que una
gramática nos permita, para una sentencia, construir varios árboles. A esta gramática se le
denomina gramática ambigua y, en principio, no es deseable (la vimos antes):
Sea G2 : E ─── E + E │ E - E │ E * E │ E / E │ ( E ) │ i
15
Gramáticas y Lenguajes
L(G1) = L(G2)
E
A1
│
i * i + i
┌────────┴──┬─────┐
│
│
│
E
│
E
│
│
│
┌─────┼─────┐
│
│
│
│
│
│
│
E
│
E
│
│
│
│
│
│
│
i
*
i
+
i
E
│
┌─────┬──┴────────┐
│
│
│
E
│
E
│
│
│
│
│
┌─────┼─────┐
│
│
│
│
│
│
│
E
│
E
│
│
│
│
│
i
*
i
+
i
E * E + E
frases simples.
existe solapamiento.
Lo que interesa es que el árbol refleje la gramática utilizada, por ejemplo, en G1 se
refleja que el producto es prioritario con respecto a la suma.
En algunos métodos de reconocimiento nos interesa construir una gramática ambigua
siempre que pudiésemos reducir el tamaño de los árboles, pero siempre necesitaríamos un
mecanismo adicional para realizar el árbol de forma única.
EJERCICIOS:
a)
L = { 1n 0m / n > m > 0 }
n > m ══
n = 2, 3, ...
m = 1, 2, ...
L = { 110, 1110, ... , 11100, 111100, ... , 1111000, ... }
Lo descomponemos en
LA = 1p
igual número de 1 que de 0
al menos un 1
p > 0
LB = 1q 0q
L = LA LB
q > 0
S
A B
A
A 1 │ 1
B
1 B 0 │ 1 0
16
Gramáticas y Lenguajes
S
│
┌───────┴─────────┐
│
│
A
B
│
│
┌──┴──┐
┌────────┼────────┐
│
│
│
│
│
A
│
│
B
│
│
│
│
│
│
│
│
│
┌──┴──┐
│
│
│
│
│
│
│
1
1
1
1
0
0
L = { 1n 0n 1m 0m / n,m  0 }
b)
LA = { 1m 0m / m  0 }
0n
L = LA LA = LA2
/ n  0 }
LA = {
1n
S
A A
A
1 A 0 │ ε
ε pertenece a L
Gramática Ambigua para ε
S
│
┌──┴──┐
│
│
A
A
│
│
│
│
ε
ε
c)
L = { 1n 0m 1m 0n / n,m  0 }
S
1 S 0 │ A
A
0 A 1 │ ε
17
S
│
- - - - -┼─────────┐
│
│
│
A
A
A
│
│
│
ε
┌─────┼─────┐
│
│
│
│
ε
│
A
│
│
│
│
│ ┌──┼──┐ │
│ │ │ │ │
│ │ A │ │
│ │ │ │ │
│ │ │ │ │
1 1 ε 0 0
Gramáticas y Lenguajes
d)
L = { 1n 0n } U { 0m 1m }
LA
LA  LB = { ε }
LB
LA = { ε, 10, 1100, ... }
LB = { ε, 01, 0011, ... }
L = { ε, 10, 1100,.., 01,0011,... }
S
A │ B
A
1 A 0 │ ε
B
0 B 1 │ ε
L = { 13n+2 0n / n  0 }
e)
m,n  0
S
1 1 A
A
1 1 1 A 0 │ ε
13n+2 0n = 12 13n 0n = 12 (13)n 0n
ó
S
1 1 1 S 0 │ 1 1
f) L = {1, 0,de igual número de ceros y unos, no importa el orden }
L = {ε, 1 0, 0 1, 1 1 0 0, 0 0 1 1, 1 0 1 0, 0 1 0 1,
1 0 0 1, 0 1 1 0, ... }
(NO)A
1 0 A │ 0 1 A │ A 1 0 │ A 0 1 │ 1 A 0 │ 0 A 1 │
A A │ ε
o también:
g)
A
A A │ 1 A 0 │ 0 A 1 │ ε
L = { 1n 0m 1p / n+p > m  0 }
m = 0,1,...
p+n = 1,...
┌───────┐┌───┐
│1 1 0 0││0 1│1
└───────┘└───┘
S
1 A B C A │ A B C A 1
B
1 B 0 │ ε
C
0 C 1 │ ε
A
A 1 │ ε
┌───────────┐
1│1 1 1 0 0 0│1
└───────────┘
n(0) = n(1)
Gramática Ambigua
El Lenguaje no puede ser generado por una gramática independiente del contexto, sino por una
dependiente del contexto.
18
Gramáticas y Lenguajes
EJERCICIOS: Dada una gramática ver el lenguaje que genera:
a)
S
1 0 S 0 │ a A
S
1 0 S 0
A
b A │ a
S
a A
A
b A
A
a
S
│
┌──────┼──────┐
│
│
│
(1 0)n
S
0n
│
┌───┼───┐
│
│
│
a
bm a
L = { (1 0)n a bm a 0n / n,m  0 }
b)
S
S S │ 1 A 0
S
S S
A
1 A 0 │ ε
S
1 A 0
A
1 A 0
A
ε
S
│
┌───┴───┐
│
│
S
S
│
│
┌─┴─┐
┌─┴─┐
│
│
│
│
S
S
S
S
Cada S genera una secuencia 1m 0m
L = { 1m1 0m1 1m2 0m2 ... 1mk 0mk / mi > 0
i=1..k
n
L={
( 1
m
m
0 ) / m > 0, n > 0 }
i=1
19
k > 0 }
m > 0
Gramáticas y Lenguajes
c)
S
1 A │ B 0
S
1 A
A
1 A │ C
S
B 0
B
B 0 │ C
A
1 A
C
1 C 0 │ ε
A
C
B
B 0
B
C
C
1 C 0
C
ε
1 1q 0n = 1r 0n
r > n  0
1n 0m 0 = 1n 0p
p > n  0
1q 0n
qn0
1n 0n 0s = 1n 0m
s  0
m  n  0
1n 0n
n  0
L = { 1n 0p / p > n  0 } U { 1r 0n / r > n  0 }=
= { todas las sentencias con distinto número de 1 que de 0 } =
= { 1n 0m / m <> n }
d)
S
b A D c
D
G i
A
A G S
G
ε
No crea ningún lenguaje.
20
Gramáticas y Lenguajes
RELACIONES:
Sea un conjunto D = { a, b, c, ..., z } y sean b y c dos elementos del conjunto D.
Decimos que b está relacionado con c y lo denotamos por b R c, si se cumple una propiedad
entre estos dos elementos. Otra forma de denotar que b está relacionado con c, aparte de b R c,
es por medio de un par de elementos ordenados (b,c) que no es lo mismo que (c,b). Se trata de
RELACIONES BINARIAS ya que se establecen entre dos elementos.
A veces se define una relación como un conjunto de pares ordenados entre sí:
 x, y  D.
R = { ...,( b,c ), ... } = { ( x, y ) / x R y }
Se define relación traspuesta de R y se denota por RT:
RT = { (y,x) / x R y }
R = { (a,b), (a,c), (b,c) }
RT = { (b,a), (c,a), (c,b) }
PROPIEDADES DE UNA RELACIÓN:
- Reflexiva:
 x  D x R x.
- Simétrica:
 x, y  D x R y  y R x
- Transitiva:
 x, y, z  D
Si x R y  y R z  x R z
Una relación R está contenida en P si todas las parejas de R están en P:
R  P Si a R b  a P b.
PRODUCTO DE DOS RELACIONES:
Dadas dos relaciones P y R:
P * R = Q
a P b /\ b R c ══> a Q c = a P*R c
Si P = R ══> P*R = R2
21
Gramáticas y Lenguajes
Ejemplo:
D = { personas }
R2 = a R b
/\
R = "ser padre de"
b R c ═══> a Q c
R2 = Q = "ser abuelo de"
Propiedades
El producto de dos relaciones es asociativo:
(P*Q)*R = P*(Q*R) = P*Q*R
R*R*R = R3
R4 = R3*R = (R2)2
I = R0
Relación de identidad
a R a
b R b
c R c
(relaciona a todo elemento consigo
mismo y nada más).
a I a
b I b
c I c
R1 = R
SUMA DE RELACIONES (UNIÓN):
P + R = Q
 a,b  D a P b  a Q b
Q= P  R
 a,b  D a R b  a Q b
Q = P  R = { (x, y) / (x, y) P  (x, y) R }
22
Gramáticas y Lenguajes
CIERRE TRANSITIVO:
Llamamos cierre transitivo de una relación R, y lo expresamos R+, a la unión de todas
las potencias de la relación R, a partir de la potencia uno: R+ = R1 + R2 + ...
R  R+
 a,b  D a R b  a R+ b
- Si a R+b
Dem:
Si
/\
b R+c ═══> a R+c
a R+b ═══> Existe n
b
R+c
═══> Existe p
a Rnb
b
Rpc
═══> a Rn+pc = a R+c
Así mismo, llamamos CIERRE TRANSITIVO REFLEXIVO de una relación R y lo
denotamos R*, a la unión de todas las potencias de esa relación empezando por la potencia cero
(Identidad):
R* = R0 + R1 + R2 + ...
R  R*
R* = R0 + R+
 a si a R0 a  a R* a
23
Gramáticas y Lenguajes
IMPLEMENTACIÓN DE UNA RELACIÓN EN LA MAQUINA:
El método de representación de una relación se puede realizar considerando la pareja
ordenada (a,b) como índices de una matriz:
a1
a2
.
.
.
an
a1 a2 ...
an
┌──────────────────┐
│
│
│
│
│
│
│
R
│
│
│
│
│
│
│
│
│
└──────────────────┘ n*n
Esta matriz es binaria, contendrá un 1 si a R b y 0 en caso contrario. Por tanto, será una
matriz booleana de n*n bits que nos definirá la relación por extensión:
_
R[a,b] = 0 ◄══► a R b
R[a,b] = 1 ◄══► a R b
R[ai,aj] = Rij
* Operación suma de dos relaciones R y P:
a R b ══> a (R+P) b = a Q b
a P b ══> a (R+P) b = a Q b
Rij = 1 ══> Qij = 1
Pij = 1 ══> Qij = 1
R+P
Rij
0
0
1
1
Pij
0
1
0
1
Qij
0
1
1
1
Suma lógica (OR) de las dos matrices.
(adición binaria)
24
Gramáticas y Lenguajes
* Operación producto de dos relaciones R y P:
a R b
══► a R*P c = a Q c
b P c
Q = R*P
Rij = 1
Qik = 1
/\
Para todo j
Pjk = 1
Rij * Pjk = Qik
n
Qik =  Rij  P jk
══► Producto lógico (AND).
(binario)
  Sumabinaria
j=1
* Operación traspuesta:
a R b ═══>
b RT a
Q = RT
b Q a
Rij = Qji
* Operación identidad:
a R0 a
R0ii = 1
 ij Rij = 0 si i  j
┌────────────┐
│1
│
│
.
0 │
│
.
│
│
.
│
│ 0
. │
│
1│
└────────────┘
25
Gramáticas y Lenguajes
R+ = R1 + R2 + ... + Rn
Rij =  Rij  R2jk
n
3
j=1
R* = R0 + R1 + ... + Rn
Una vez calculada la relación R, podemos calcular todo lo demás.
RELACIONES BINARIAS APLICADAS A LENGUAJES FORMALES:
Hasta ahora hemos hablado de las relaciones en general. Muchas veces nos interesará
establecer relaciones entre elementos del V = VT + VN y también entre elementos de V*.
- Podemos ver las derivaciones (══>) como una relación que aplicamos a un conjunto
de secuencias:
α
α
N
ß
══> ß
α,ß pertenecen a V*
α = α1 N α2
R ß
τ
/\ N
pertenece a VN
α1,α2,τ pertenecen a V*
= α1 τ α2
α1 N α2 ═══> α1 τ α2
α
ß
- Esta relación la establece la gramática.
Producto de Derivaciones:
α ══> ß
/\
ß ══> τ implica que: α ══>2 τ
En general podemos tener:
α ══>+ ß
(derivación doble)
si Existe n t.q. α ══>n ß
n > 0
α ══>* ß
Si n = 0
α ══>0 ß
implica que:
26
si Existe n t.q. α ══>n ß
n  0
α = ß
Gramáticas y Lenguajes
N
- Nos interesa más una relación entre símbolos:
Definimos la relación: N C M = N P M
C = Cabeza
P = Primero
Si: N ══> M α α pertenece a V*
M pertenece a V N pertenece a VN
M
●
●
●
α
- Relación P+:
n
P =  Pi
+
i=1
N P S1 P S2 ... Sn P S
N, S1, S2, ..., Sn Є VN
N ═══> S1 α1
S1 ═══> S2 α2
.
.
.
Sn-1 ═══> Sn αn
N ═══>+ S αn+1 αn αn-1 ... α2 α1
ß pertenece a V*
Sn ═══> S αn+1
N P+ S ◄══► N ══>+ S ß
- Relación último (U): N U M si N ══> α M
N V N , M V , V *
- Relación U+:
n
+
U = U i
i=1
N U+ S ◄══► N ══>+ ß S / ß pertenece a V*
27
Gramáticas y Lenguajes
- Relación Dentro (D): N D M
si
N ══> α1 M α2
N V N , M V   1 , 2 V *
- Relación D+:
n
+
D =  Di
i=1
N D+ S ◄══► N ══>+ ß1 S ß2 / ß1,ß2 pertenecen a V*
UD
══>*
=
PD
══>0 + ══>1 + ══>2 + ...
N ══> α M  N
α M
RESTRICCIONES DE UNA GRAMÁTICA:
Para que una gramática tenga sentido, existen ciertas restricciones que deben cumplirse:
1)
No existan reglas de la forma N
N , ya que no aportan nada a la gramática
y hacen los árboles ambiguos e infinitos.
2)
Todo símbolo del vocabulario debe ser accesible a partir del símbolo principal
de la gramática (Z):
 N V N
Ejemplo:
3)
Z
A
B
N
Z *  N 
 ,  V *
AB
01
1B│ε
0 0 1 ───> no construye ninguna sentencia.
Para todo símbolo no terminal N, desde N se pueda generar una secuencia de
símbolos terminales:
 N V N
N + x donde x V *T
28
Gramáticas y Lenguajes
CHEQUEO DE LAS RESTRICCIONES DE LA GRAMÁTICA:
El proceso a seguir será: aplicar las reglas 2 y 3 iterativamente y al final aplicar la regla 1.
Veamos la siguiente propiedad:
Prop.: Si Z ══>+ α N ß /\ N ══> α' M ß' entonces Z ══>+ α'' M ß''
Por tanto, para verificar la regla 2, compruebo los símbolos no terminales que verifican
Z ══> α N ß y marco los N como accesibles, y así sucesivamente, ya que cualquier M que
cumpla N
α' M ß' también será accesible y marcado como tal. Una vez dada una pasada en
la que no hayamos marcado ninguno, aquellos que se hayan quedado sin marcar no cumplirán
esta restricción y por tanto serán eliminados.
Para verificar la regla 3 veamos la siguiente propiedad:
N1 ══>+ x1
.
.
.
Nk ══>+ xk
1
M
xi pertenece a VT
Ni pertenece a VN
y1 N1 y2 N2 ... Nk yk+1
entonces
yj pertenece a VT
M ══>+ z pertenece a VT*
M ══>+ y1 x1 y2 x2 ... yk xk yk+1 = z pertenece a VT*
M
│
┌─────────┬─────────┬─────────┼─────────┬─────────┬────────┐
y1
N1
y2
N2
. . . .
Nk
yk+1
┌─┴─┐
┌─┴─┐
┌─┴─┐
│
│
│
│ . . . .
│
│
└───┘
└───┘
└───┘
x1
x2
xk
El proceso a seguir es el siguiente: buscamos aquellos símbolos que verifican N
x
x pertenece a VT*, es decir, que N ══>+ x perteneciente a VT* y los marcamos (a los N), y
haríamos un proceso iterativo que aplicaría la propiedad 1, donde todos los N deben estar
marcados: Si M
y1 N1 ... yk Nk yk+1
*
yi pertenecen a VT Ni marcados para todo i entonces marco M.
29
Gramáticas y Lenguajes
Tras una pasada en la que no marquemos ningún símbolo no terminal nuevo, se acaba el
proceso y se eliminan los no marcados.
Al final se aplica la regla 1 y así se acaba el proceso global.
Veamos un ejemplo:
Ejemplo:
Z
E
F
P
G
T
Q
S
E
E
F
G
G
T
E
i
+ T
│ S + F │ T
│ F P │ P
│ G G │ F
* i │ i
│ E + T │ T │ S
Los símbolos que se marcan que verifican la regla 2 son los siguientes: Z, E, T, S, F, P,
G ya que, Para todo N Z ══>+ α N ß, se ha quedado sin marcar Q.
Z ══> E + T ══> S + F + T
Z ══>* α S ß α = ε ß = + F + T
Luego la gramática resultante sería:
Z
E
F
P
G
T
S
E
E
F
G
G
T
i
+ T
│ S + F │ T
│ F P │ P
│ G G │ F
* i │ i
Los símbolos que verifican la regla 3 son: S, T, E, Z, ya que:
Para todo N ══>+ x perteneciente a VT* y los no marcados son F, P, G, luego al final de
la primera pasada la gramática resultante sería:
Z
E
T
S
E + T
E │ T
T * i │ i
i
30
Gramáticas y Lenguajes
En la segunda pasada, S no se marca debido a la regla 2, luego resulta:
Z
E
T
E + T
E │ T
T * i │ i
Aplicando finalmente la regla 1, obtenemos la gramática final:
Z
E
T
E + T
T
T * i │ i
NOTACIÓN BNF EXTENDIDA (EBNF):
La notación para las gramáticas que hemos venido utilizando hasta ahora es la llamada
BNF. En esta notación aparecían algunos metasímbolos como:
, <, >, ::=, etc, de la
siguiente forma:
< símbolo no terminal > ::= < símbolo no terminal > begin
< expresión > ::= < expresión > ± < término > │ < término >
Esta notación ocasiona una especie de lenguaje que se define como el lenguaje cuyas
sentencias están en BNF, y como está compuesto por metasímbolos (permiten trabajar con
gramáticas que empleen otros símbolos), este lenguaje se denomina metalenguaje, ya que
permite definir otro lenguaje.
La notación EBNF añade otros metasímbolos como son: { }, [ ], ( ), ' '. Veamos el
significado de cada uno de ellos:
-{}:
Indica que lo que está en su interior se puede repetir un número cualquiera de
veces (0..N):
N
{ A }

N
ε │ A │ A A │ A A A │ ...
31
Gramáticas y Lenguajes
-[]:
Indica que lo que está en su interior es opcional, por tanto se repite una o
ninguna vez:
<instruc.condic.> ::= if <cond.> then <instrucc.> [else <instrucc.>]

< N > ::= A [ B ] C
< N > ::= A B C │ A C
- También puede aparecer en una regla la combinación de llaves y corchetes:
A
ab [c {d} e] f
abf, abcef, abcdef, abcddef, ...
A
ab {c [ de ]} f
abf, abcf, abcdef, abcdecf, abccdecdef,..
A
[a │ b] c

A
ac │ bc │ c
c, ac, bc.
A
{ a │ b } c
c, ac, bc, aac, bbc, abc, bac, ...
-():
Realizan lo que en aritmética se denomina sacar factor común. Se realiza solo
una vez lo que aparece dentro:
abcd │ abe
A
───>
ab ( cd │ e )
{ ( a │ b ) c } d
d, acd, bcd, acacd, bcbcd, acbcd, ...
32
Gramáticas y Lenguajes
-'':
Sirven para distinguir un símbolo que sea igual a un metasímbolo:
F
( E ) │ a
F
'(' E ')' │ a
A las secuencias que se puedan generar con estos metasímbolos se les llama expresiones
regulares y a su metalenguaje, lenguaje de expresiones regulares.
DIAGRAMAS SINTÁCTICOS:
Otra notación más cómoda para el usuario, pero no para el computador son los llamados
diagramas sintácticos, cuyo conjunto representa a una gramática. Los símbolos terminales se
representan encerrados en un círculo, mientras que los símbolos no terminales se encierran en
un rectángulo. La concatenación se representa mediante flechas que unen a los símbolos:
E
E + T │ T
E
E
+
T
T
E
E
[ + E ] T
+
E
T
33
Gramáticas y Lenguajes
E
T { + T }
T
E
+
+
E
T
T
Simplificando:
El proceso de sustitución consiste en transformar el símbolo no terminal por su
diagrama sintáctico correspondiente:
E
T
F
T { + T }
F { * F }
'(' E ')' │ a
T
E
+
E

T
F
T
+
*
*

T
F
F
(
E
a
34
T
)
F
Gramáticas y Lenguajes
Sustituyendo:
+
*
E
F
+
*
(
)
E
E
a
JERARQUÍA DE GRAMÁTICAS DE CHOMSKY:
Se distinguen cuatro tipos de gramáticas, donde cada tipo de gramática es englobada por
las de jerarquía superior:
┌───────────────────────────────┐
│
tipo 0
│
│
┌───────────────────────┐
│
│
│
tipo 1
│
│
│
│
┌───────────────┐
│
│
│
│
│
tipo 2
│
│
│
│
│
│
┌───────┐
│
│
│
│
│
│
│tipo 3 │
│
│
│
│
│
│
└───────┘
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
└───────────────┘
│
│
│
│
│
│
│
└───────────────────────┘
│
│
│
└───────────────────────────────┘
35
Gramáticas y Lenguajes
Las gramáticas que hemos visto hasta ahora son las de tipo 2 o independientes del
contexto. Cada tipo de gramática se caracteriza por la forma de sus reglas o producciones:
G ( VT, VN, Z, R )
Además, se caracterizan por sus restricciones, cuantas más restricciones haya menor es
el conjunto de gramáticas a construir, y también por los reconocedores que son capaces de
reconocer el lenguaje.
-TIPO 0 (phrase-structured grammars): Son las gramáticas más generales, denominadas
gramáticas con estructura de frase. Sus reglas son de la forma:

   ,  V + V = V T  V N
Sentencias del tipo: a N M x
nQ
a b c Q a N M x x y M
══>
a b c Q n Q x y M
Se sustituyen por símbolos terminales y no terminales.
Los autómatas que reconocen estos lenguajes son las máquinas de Turing.
Esta gramática es muy potente pero tiene el inconveniente de ser muy compleja la
derivación.
- TIPO 1 (context-dependent grammars): Son las gramáticas dependientes del contexto,
de la forma:
 1   2
1 N  2 
N V N  1 , 2 V *  V +
Ejemplo:
a N M x ══> a n Q M x
a = α1
M x = α2
N = N
ß = n Q
Sus reconocedores son los autómatas linealmente limitados (lineas-bounded autom).
36
Gramáticas y Lenguajes
- TIPO 2: Son las gramáticas independientes del contexto (context-free grammars), son
de la forma:
N
 
N V N  V *
Sus reconocedores son los autómatas de pila. Existen para ellos buenos métodos
prácticos pero muy complejos para aplicarlos a compiladores, por lo que se suele utilizar un
subconjunto. (PARSER).
- TIPO 3: Son las más elementales, llamadas gramáticas regulares (regular grammars),
de la forma:
N
 a  N 
 M a
N, M V N a V T
Sus reconocedores son los autómatas finitos. Reconocedores léxicos (SCANNER).
Todas las gramáticas regulares originan un conjunto de secuencias llamadas expresiones
regulares.
Veamos ahora como se construyen los autómatas finitos, para a partir de ellos elaborar
los analizadores léxicos.
37
Gramáticas y Lenguajes
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
[Sanchis 86]
Sanchis Llorca, F. J. y Galan Pascual, C. Compiladores; Teoría y construcción.
Paraninfo. S. A. Madrid.
[Sánchez 89]
Sánchez Dueñas, G. y J. A. Valverde Andreu. Compiladores e Intérpretes; Un enfoque
pragmático. (2ª Edición. Corregida y ampliada).
Díaz de Santos. Madrid.
[Gries 75]
Gries, D. Construcción de Compiladores
Paraninfo. Madrid.
[Aho 72]
Aho, A.V. and J.D. Ullman. The Theory of Parsing, Translation, and Compiling
(Volume 1: Parsing)
Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, N.J.
[Alfonseca 87]
Alfonseca, M., Sancho, J. y M.M. Orga. Teoría de Lenguajes, Gramáticas y Autómatas.
Universidad y Cultura. Madrid.
[Fortes 87]
Fortes, J. Recopilación de apuntes de la asignatura Traductores e Intérpretes.
Curso 86-87.
38