Curso_calc4
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Dpto. Didáctico de Matemáticas Taller de Matemáticas 2.- Análisis-Estudio de una calculadora I. (Calculadoras CASIO, modelos fx-250D, fx570s y fx-570MS.) CASIO fx-570s Pantalla 10+2 dígitos SHIFT RCL ENG CONST MODE OFF 1/x √ x2 log ln xy ′″ hyp sin cos tan ► [(… …)] MR M+ a b/c +/- o 7 8 9 C AC 4 5 6 Teclado numérico 1 2 3 0 EXP ANS Teclado de funciones Teclado de operación Esquema de una calculadora tipo. LA PANTALLA EJERCICIOS A DESARROLLAR EN CLASE P.a.- Encender la calculadora e ir tecleando sucesivamente 1, 2, 3, etc. … hasta 0, si las especificaciones de fábrica dicen 8 dígitos al pulsar 9 éste ya no aparecerá en pantalla, si son 10 llegaríamos hasta el 0, y así sucesivamente. En las matriciales, como la fx-570MS, puedes escribir hasta 73 dígitos, aunque como más adelante veremos, los que realmente nos van a interesar son los que utilizan efectivamente al escribir los resultados, y estos suelen ser como máximo 10. La Calculadora en el aula Página.- i 2ª parte Dpto. Didáctico de Matemáticas Taller de Matemáticas P.b.- Todas las calculadoras trabajan con más dígitos de los que aparecen en pantalla, son los dígitos ocultos. Si, es un suponer, en la pantalla de tu calculadora solo entran 8 cifras no es lo mismo hacer 0,3333333 3 que 1 3 3 , en el primer caso la respuesta será 0,9999999 y en el segundo 1, ¿Porqué?. En el primer caso estamos haciendo una aproximación del valor 1 0,33333 tomando tan solo los 7 treses que vería3 mos en pantalla y en el segundo tomamos todos los dígitos, incluidos los ocultos. Para ello debemos recordar lo que son errores absoluto y relativo. Error absoluto: diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y el valor aproximado que tomamos. Si tomamos 0,3 como aproximación de 1 cometeríamos un error absoluto 3 igual a a 1 0,3 1 3 1 , lo cual no nos dice mucho al respecto ya 3 3 10 30 que cometer un error de 1 metro al situar una ficha sobre la superficie de una mesa es un error considerablemente mayor que si la estamos situando sobre la superficie de una ciudad. Así, si hubiéramos tomado 0,33, tendríamos a 1 300 Error relativo: relación porcentual entre el error absoluto y el valor real. 1 a 100 30 100 10% , que nos dice más sobre el En el caso anterior r 1 1 3 3 mismo, así para el segundo supuesto nos daría r 1% , esto nos dice que en el primer caso el error es diez veces mayor que para el segundo. El primero no sería aceptable y el segundo si. La mayoría de los errores de cálculo son evitables. En la mayoría de los casos en que no nos quede más remedio que cometer algún tipo de error de cálculo, como al trabajar con funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales o con números irracionales, deberíamos poder controlar hasta no cometer errores de más del 0,5%. Normalmente basta con redondear los números decimales a cinco o seis cifras decimales, ¿Pero qué es eso de redondeo?. Truncamiento: consiste en suprimir todas las cifras decimales que no nos 2 0, 285714285714 escribiríamos tan solo quepan en pantalla, así, para 7 0,2857142, ya que el resto no nos los admitiría.. Para una calculadora de 10 dígitos podríamos escribir 0,285714285. Habríamos cometido los errores relativos de 0,0003 y 0,000003 por mil. La Calculadora en el aula Página.- ii 2ª parte Dpto. Didáctico de Matemáticas Taller de Matemáticas Redondeo: consiste en observar la primera cifra decimal que no vamos a poder escribir y si ésta es igual o mayor que 5 añadimos una unidad a la última cifra que vamos a escribir, así, en los caso anteriores escribiríamos 0,2857143 y 0,285714286 respectivamente. En esta ocasión los errores relativos serían 0,00005 y 0,000001 por mil, bastante menores que antes. Pero antes dijimos que aunque en pantalla solo aparezcan siete decimales la calculadora guarda más ocultos de ahí que si operamos con el resultado que nos da, sin borrar, el error es nulo. Por ejemplo, para una de 8 y una de 10 dígitos al hacer 2 7 0, 2857142 para la de 8 y 0,285714285 para la de 10. Si ahora, sin borrar, hacemos 7 obtendremos 2 en ambos casos, cosa que si hubiéramos introducido por teclado el número obtendríamos 1,999999995 para la de 10 y 1,9999994 para la de 8. Esto es debido a lo comentado anteriormente, pero, ¿Cuántos dígitos permanecen ocultos en nuestra calculadora?, y, ¿Los redondea o trunca?. Para averiguarlo procederemos de la siguiente manera: Si la parte entera del número es distinta de 0 le restamos al número la parte entera y si no lo multiplicamos por 10 y luego restamos la parte entera fijándonos bien en si ha aparecido o no alguna cifra decimal más. Seguiríamos haciendo las mismas operaciones hasta que ya no nos aparezcan nuevas cifras. Para la fx-250D: Sabemos que 2 7 0, 285714 es un número periódico de periodo el indicado. 2 7 0, 2857142 2,8571429 0,8571428 2,5714286 0,5714285 5, 7142857 0, 7142857 7,1428571 0,1428571 10 2 10 8 10 5 10 7 10 redondea la última 2,8571429 0,8571428 8,5714286 redondea la última 0,5714285 5, 7142857 0, 7142857 7,1428571 0,1428571 ya no aparecen más. 1, 428571 Es decir, hemos logrado sacar el 8, el 5, el 7 y el 1 más, en total había cuatro ci8571 fras ocultas. Así pues teníamos 0, 2857142 . Para la fx-570s obtendríaocultos mos tres cifras ocultas. Además, si nos fijamos bien, en ambos casos siempre redondea la última cifra. P.c.- Para la fx-250D realicemos la siguiente operación 99999 99999 , ¿Qué ha ocurrido?. Nos ha aparecido en pantalla 9.999809 , ¿Pero qué significa esto?. Se trata de un tipo de notación o escritura conocida como notación científica. La escritura normal del número sería 9,9998 109 . Sin embargo, haciéndolo con la fx570s nos da 9999800001, que se correspondería con lo anterior. La Calculadora en el aula Página.- iii 2ª parte Dpto. Didáctico de Matemáticas Taller de Matemáticas Así pues, ¿En qué consiste la notación científica?. Se trata de reducir el número de cifras totales del número, por ser éste demasiado grande o demasiado pequeño, de modo que siempre dejaremos una sola cifra entera distinta de cero, el resto lo pasamos a la parte decimal y todo ello lo multiplicamos por una potencia de 10 de exponente positivo igual al total de cifras del número menos una, si el número es mayor que 1 y muy grande (no entra en pantalla) , o igual al total de ceros decimales más uno, y negativo, si el número es decimal muy pequeño (no entra en pantalla). 00001 Así pues 99998 9,9998 109 . Para un número decimal y pequeño, por a suprimir ejemplo 0,025 999999 2.500002508 que escrito normal sería 2,5000025 108 y se correspondería con el número 0,000000025000025 Al total de cifras del número en notación científica se las denomina “significativas”, el número de cifras significativas debe de ser de al menos una y como máximo las que nos entren en pantalla. Cuantas más tomemos menor será el error cometido en el cálculo con ese número. P.d.- En algunas calculadoras existe la tecla ENG que permite mover la coma flotante adelante y atrás para pasar la cantidad a múltiplos y submúltiplos, respectivamente, de la unidad que hayamos tomado de partida en nuestros cálculos. Notación 10-21 10-18 10-15 10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 Valor miltrillonésima trillonésima milbillonésima billonésima milmillonésima millonésima milésima centésima décima diez cien mil millón mil millones billón mil billones trillón mil trillones Prefijo entoattofemtopiconanomicromilicentidecidecahectokilomegagigaterapetaexahepa- Esta tabla contiene los múltiplos y submúltiplos más usados en Física y en otras disciplinas científicas. Nosotros usaremos normalmente del micro al Kilo. De modo que si en una operación con gramos, unidad de masa, por ejemplo 5.000 200 1000000 pulsamos una vez ENG , pasamos a 1.06 que es la notación científica para ese resultado, y nos indica 1 unidad de mega gramos. Si pulsamos una segunda vez 1000.03 que indica 1.000 unidades de Kg., y si lo hacemos una tercera vez 1000000 que son un millón de unidades de gr. Si hacemos INV o SHIFT y luego ENG obtendríamos la notación científica. Haciéndolo una segunda vez 0.00109 , es decir una milésima de giga gramos. Una tercera vez daría 0.00000112 tera gramos, etc. … Es decir, la pulsación directa nos va pasando a submúltiplos y la combinada a múltiplos. La Calculadora en el aula Página.- iv 2ª parte Dpto. Didáctico de Matemáticas Taller de Matemáticas Otro ejemplo, 7953 256 2035968 gr. Primera pulsación directa 2.03596806 , es decir 2,035968 unidades de mega gramos. Una segunda vez 2035.96803 , es decir 2.035,968 unidades de Kilogramos y una tercera nos darían los gramos. Una cuarta nos daría 203596800003 miligramos (solo para las de 10+2 dígitos). Si hacemos las pulsaciones combinadas iríamos hacia arriba, es decir, a las gigas, tera y peta. P.e.- Ya hemos visto antes en el apartado Pb que lo que suele hacer es redondeo. e.1 Si posee la tecla RND nos va a permitir evitar que nos redondee los resultados. Así, de este modo hagamos las siguientes operaciones: 2 7 0.2857142 para la fx-250D y 0.285714285 para la fx-570s. Si procedemos ahora a sacar las cifras ocultas nos ocurrirá lo mismo que al hacerlo como en el apartado Pb. Sin embargo, si hacemos 2 7 SHIFT RND = y procedemos ahora a extraer las cifras ocultas veremos que solo nos ha dejado una, ha truncado el resto. Si hacemos ahora 2 7 7 7 0.285714285 , vemos que no ha redondeado la última cifra, el 5 a 6, y si procedemos a extraer las cifras ocultas veremos que extraeremos una menos que antes. Si hacemos 2 7 7 = SHIFT RND 7 = 0.285714286 vemos que ahora ha redondeado el 5 a 6, y además ya no hay ninguna cifra oculta, ha truncado el resultado totalmente. P.f.- Los distintos modos de trabajo se ajustan mediante la tecla MODE seguida de un número, si los modos están escritos en la carcasa miramos en ella el número correspondiente al ajuste deseado. En otros casos, tras pulsar MODE éstos van apareciendo por la pantalla. El modo de fijar el número de cifras decimales es el FIX. En el primer caso sería MODE 7 nº , donde nº sería un número del 0 al 9, es decir, 0 para ninguna cifra decimal y el máximo 9 para nueve cifras decimales. En el segundo caso depende del modelo, así, para la fx-570s, sería MODE MODE MODE 1 nº . Para la fx-570MS MODE MODE MODE MODE MODE 1 nº . En todos los casos, si la elección ha sido de cinco decimales, aparecerá la pantalla la presentación 0.00000, y siempre redondearía la última cifra de todos los cálculos que hagamos a partir de ese instante. El ajuste se puede hacer al comienzo de los cálculos o al final de los mismos sin que esto influya en el resultado. Podemos realizar varios ajustes distintos al final de los cálculos sin que se alteren para nada los mismos. P.g.- Sería útil para la notación científica de los números en pantalla. Si lo puede hacer tendría que haber un MODE SCI. En la fx-250D sería MODE 8 nº donde nº sería el número de cifras significativas que queremos tener. Date cuenta que en este caso ha de ser una como míni- La Calculadora en el aula Página.- v 2ª parte Dpto. Didáctico de Matemáticas Taller de Matemáticas mo, ya que para la notación científica debe de haber siempre al menos una cifra entera no nula. El máximo depende del modelo de calculadora. Hagamos ahora 99857 43158 . Con la fx-250D nos daría 4.309628409 y con la fx-570s nos dará 4309628406. La diferencia está en que la primera solo tiene 8 dígitos en pantalla y la segunda 10. De todos modos, en ambas, si queremos que el resultado nos lo de en notación científica con cinco decimales haríamos MODE 8 6 , para la primera, y MODE MODE MODE 2 6 para la segunda, quedándonos en pantalla el número 4.3096309 . Observa que en ambos casos redondea la última cifra decimal. CASIO fx-250D Pantalla 8+2 dígitos SD 5 RAD 8 SCI MODE ► 4 DEG 7 FIX Inv a b/c MODE o ′″ ► +/- 0 COMP 6 GRA 9NORM Modos de función log ln OFF hyp sin cos tan [(… …)] MR M+ 7 8 9 C AC 4 5 6 Teclado numérico 1 2 3 0 EXP M+ Teclado de funciones Teclado de operación Esquema de una calculadora tipo. Para volver a la notación normal deberemos hacer MODE 9 en la primera y MODE MODE MODE 9 nº en la segunda, donde nº será 1 ó 2, según queramos norm1 o norm2. ¿Qué diferencia hay entre ambos? En norm1 todos los números decimales menores que 0.01 los escribe en notación científica de modo automático, lo mis- La Calculadora en el aula Página.- vi 2ª parte Dpto. Didáctico de Matemáticas Taller de Matemáticas mo que todos los mayores que 108 en el primer caso y 1010 en el segundo. El norm2 conserva la escritura normal decimal hasta números mayores que 0.0000001 en el primer caso y 0.000000001 en el segundo. En el primer caso, para saber si estamos en norm1 o norm2, no queda más remedio que hacer una pequeña prueba. Hacemos 0.006 , si en pantalla permanece el número igual es que estamos en norm2, en caso contrario aparecería 6.03 que es la notación científica para dicho número. Eso nos diría que estamos en norm1, y si lo que queremos es norm2 solo hay que volver a hacer MODE 9 . P.h.- ¿Qué es el desbordamiento, o rebosamiento, de memoria?. Las calculadoras tienen un tope numérico superior e inferior que vendrá marcado en las especificaciones de la misma. Siempre que realicemos un cálculo que se salga del rango de las especificaciones de la misma nos emitirá un mensaje de error, así: Para la fx-250D, hagamos 99999999 E que es lo INV INV INV mismo que 99999999 INV , la potencia cuadrada de la potencia cuadrada de la potencia cuadrada de la potencia 2 2 2 cuadrada del número 999999992 9999999916 , es decir, elevar el número a la potencia 16 del modo 99999999 INV 16 E . La letra nos indica error de rebosamiento de memoria. Para la fx-570s haríamos lo mismo, salvo que la segunda y tercera operaciones pasarían a ser 99999999 x 2 x 2 x 2 x 2 y 99999999 x y 16 E Para la fx-570MS si queremos hacer la primera nos dará el mensaje Syntax ERROR, para la segunda la hacemos como para la fx-570s y nos daría el mensaje Math ERROR, y para la tercera haríamos 99999999 16 Math ERROR. Así pues, en todos los casos nos indica los errores de rebosamiento de memoria. El mensaje emitido depende del modelo. Para desbloquear la calculadora, en todos los casos, solo hay que pulsar la tecla AC . P.i.- Hoy en día ninguna calculadora indica el número de cifras excluidas, todas ellas se bloquean y no dan ningún tipo de resultado. P.j.- Como acabamos de ver con la fx-570MS, ésta diferencia los mensajes de error según el tipo de error cometido, error matemático de rebosamiento de memoria, error de sintaxis de escritura de las operaciones, etc. … P.k.- Hagamos distintas pruebas según modelo: fx-250D hagamos 4 5 20 , si nos fijamos bien ha aparecido en pantalla un k pequeñita en la parte superior, eso nos está indicando que hay un factor constante que se va a repetir en todos los productos que hagamos seguidos. Sin borrar pantalla hacer 6 24 , eso nos dice que el primer factor, el 4, es el factor constante y que solo es necesario indicar el segundo factor para que nos de el resultado de su producto por 4. La Calculadora en el aula Página.- vii 2ª parte Dpto. Didáctico de Matemáticas Taller de Matemáticas fx-570s hagamos lo mismo y obtendremos los mismos resultados, salvo que la letra aparecerá en otra posición distinta a la que lo hace en el primer modelo. fx-570MS no podemos introducir un factor constante del mismo modo que antes. Deberíamos proceder a hacer, para factor constante 4 como antes, ALPHA Y ALPHA ALPHA X 4 CALC y luego ir dando valores al segundo factor y pulsando =. Para realizar más cálculos con el mismo factor constante pulsar siempre CALC antes de introducir el siguiente factor. Al hacer otro cálculo distinto, apagar la calculadora, cambiar de modo, etc. … desaparece el operador constante. k.1 La forma de indicarlo suele ser la misma en todas según lo visto anteriormente, aunque no todas avisan de los errores de sintaxis. La Calculadora en el aula Página.- viii 2ª parte