Numero Complejo

Notas sobre Números Complejos. Matemática III. 6º Científico Matemático
Número Complejo
Definición: Llamaremos número complejo z, a todo par (a,b)  R2.
Lo representaremos: z = (a,b) y a su conjunto C = {(a,b)/(a,b)  R2}.
El número a es la parte real y b la parte imaginaria de z.
Definición: Sean z1 y z2  C; z1 = (a,b) y z2 = (c,d); z1 = z2  a = c  b = d.
Teorema: “=”, definida en C es relación de equivalencia.
Demostración:
Idéntica:
Recíproca:
Transitiva:
Representación gráfica.
Representaremos z = (a,b), sobre un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales.
A z le corresponde un punto P del plano al que llamaremos afijo de z.
Si b = 0  P 
Ox al que llamaremos eje real.
Si a = 0  P  Oy al que llamaremos eje imaginario.
Al segmento orientado
OP de origen O y extremo P, le llamaremos vector
OP correspondiente de z.
Entonces a todo complejo z = (a,b) le corresponde uno y solo un punto P del
OP ; recíprocamente a todo punto P del plano
le corresponde uno y solo un vector OP , cuyas proyecciones sobre los ejes
plano y uno y solo un vector
tienen medidas a y b, componentes del complejo z.
Es decir queda establecida una función biyectiva f: C  V; del Conjunto C de los números complejos en el conjunto V
de los vectores del plano de origen O.
Modulo, Argumento y Notación Polar.
Definición: La longitud m  R+, del
simbolizaremos
OP , se llama módulo o valor absoluto del vector OP y del complejo z; lo
z  m.
Definición: La medida del ángulo , que forman el semieje positivo Ox y la semirrecta OP , considerando el primero
como origen y sentido positivo el antihorario, se llama argumento o anomalía del complejo z.
Definición: El complejo z de módulo m y argumento , se escribe z  m , que es su notación polar.
Puede considerarse como argumento de z, no el valor , sino los de la forma   2k, con k = 0, 1, 2, ….. y si  <  < 2,
también  =  -2.
Teorema: Sea z = (a,b) 
z  m / m  a 2  b 2 y   arctg
Demostración:
Teorema: Sea
z  m  z = (a,b) / a  m. cos y b  m.sen .
Demostración:
Corolario: si z1
 m y z2  n  z1  z 2  m  n y    .
b
.
a
Operaciones.
Adición:
 (c, d )  +:(z1 , z2)  z1 + z2 = (a+c,b+d).
Definición: Sean z1 y z2  C; z1  (a, b) y z 2
Propiedades:
Teorema: Dados z1  (a, b) , z 2  (c, d ) y z 3
 (e, f )
1) Asociativa: z1 +( z2 + z3 ) = (z1 + z2 )+ z3
2) Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1
3) Modular o del Neutro:  0  C / z1 + 0 = z1;  z1  C.
4) Simétrica o del Opuesto:  z1  C;  -z1  C / z1 + (-z1) = 0.
Demostración:
Corolario: (C,+) es grupo conmutativo.
Profesor Carlos Guerrero. Liceo Nº 2 Carmelo. 2007.
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Sustracción:
Definición:  z1 y z2  C  z1 - z2 = z1 + (- z2 ).
Multiplicación.
Definición: Sean z1 y z2  C; z1  (a, b) y z 2  (c, d )  :(z1 , z2)  z1  z2 = (a.c - b.d, a.d + b.c).
Propiedades:
Teorema: Dados z1  (a, b) , z 2  (c, d ) y z 3  (e, f )
1) Asociativa: z1 .( z2 . z3 )= (z1 . z2 ). z3
2) Conmutativa: z1 . z2 = z2 . z1
3) Modular o del Neutro:  1  C; 1  0 / z1 . 1 = z1;  z1  C.
4) Simétrica o del Opuesto:  z1  C;  z1-1  C / z1 . z1-1 = 1.
Demostración:
Corolario: (C*,) es grupo conmutativo.
Teorema: Dados z1  (a, b) , z 2  (c, d ) y z 3  (e, f )
5) Distributiva: z1 .( z2 + z3 )= z1 . z2 +. z1 . z3
Demostración:
Corolario: (C,+, ) es un cuerpo.
División:
Definición:  z1  C y z2  C*  z1 : z2 = z1  ( z2 -1).
Conjunto CR.
Definición: Designemos por CR= {(a,0)/ a  R }
La aplicación: f:a  (a,0), de R en CR ; es una biyección.
En particular ; f: 0  (0,0) y f:1  (1,0).
Teorema: La biyección f:a  (a,0), de R en CR es un isomorfismo para la adición.
Demostración:
Teorema: La biyección f:a  (a,0), de R en CR es un isomorfismo para la multiplicación.
Demostración:
Si a todo a  R, se lo identifica, con su correspondiente (a,0)  CR y escribimos a = (a,0) se logra la inmersión de R en C
R  C
Conjunto CI.
Definición: Designemos por CI = {(0,b)/ b  R }
La aplicación: f: b  (0,b), de R en CI ; es una biyección.
En particular a f:1  (0,1); le llamaremos unidad imaginaria y lo representaremos i = (0,1).
Teorema: La biyección f:b  (0,b), de R en CI es un isomorfismo para la adición.
Demostración:
Teorema:
1) i  1
2
2) i  i
3
3) i  1
4
4) Si n  4.q  r , con r  4  i  i .
Demostración:
n
Corolario:
r
1  i .
Complejos Conjugados.
Definición: Sea z = (a,b); llamaremos conjugado de z, a
z  (a,b) .
Queda definida una función biyectiva, f: C  C.
Teorema: f : z
Demostración:
 z , de C en C, es una involución.
Teorema: La involución,
Demostración:
f : z  z , de C en C, es un automorfismo para la adición.
Teorema: La involución,
Demostración:
f : z  z , de C en C, es un automorfismo para la multiplicación.
Notación binómica y trigonométrica.
Si z = (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + b.(0,1) = a + b.i.
Definición: Entonces; z = a + b.i, se llama notación binómica del complejo z.
Luego como a = m. cos  y b = m. sen , z = m. cos  + m. sen  = m.(cos  + sen ).
Definición: Entonces; z = m.(cos  + sen ), que se llama notación trigonométrica del complejo z.
Profesor Carlos Guerrero. Liceo Nº 2 Carmelo. 2007.
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Operaciones en forma binómica.
Sean z1 = a + b.i y z2 = c + d.i
Adición: z1 + z2 = (a + c) + (b + d).i
Sustracción: z1 - z2 = (a - c) + (b - d).i
Multiplicación: z1  z2 = (a.c - bd) + (a.d +b.c).i
z1 (a  bi).(c  di) (ac  bd)  (ad  bc)i ac  bd  ad  bc


 2
 2
.i
z 2 (c  di).(c  di)
c2  d 2
c d2
c d2
División:
n
z n  (a  bi) n   C pn a n p .(bi) p
Potenciación:
p 0
Multiplicación y división en forma polar.
z1  m y z2  n  z1 .z 2  m.n 
Teorema: Sean
Demostración:
z1 m

z 2 n  
z1  m y z2  n 
Teorema: Sean
Demostración:
Potenciación de exponente entero.
z1  m y n  Z  z1  m n n.
n
Teorema: Sean
Demostración:
Definición:
z1  (m ) n  m n n.  m n (cosn  i.senn ) ,  n  Z, se llama fórmula de De Moivre.
n
Propiedades:
Teorema:
Sean z1  m y
1) z1
2)
3)
4)
p
.z1  z1
q
z1
p
z1
q
 z1
z2  n .
pq
p q
.
z1 .z 2  ( z1 .z 2 ) p
p
z1
p
z2
p
 
p
z
  1
 z2
p q



p
5) z1
 z1
Demostración:
p.q
Radicación de un número complejo.
Teorema: Sea
z1  m , n  N, n  2 
z1  n m  n m   2 k
n
n
n
Demostración:
Hay tantas raíces como sea n de un complejo z, y no puede haber más pues  n  k, se repite alguno de los argumentos
anteriores.
Definición: Sea
z1  m , n  N, n  2 
n
z1  n m  n m   2 k , con k = 0, 1, 2, …….., (n-1).
n
n
Los afijos de las n raíces de un complejo z, se situan en una circunferencia de centro O(0,0), y radio
entonces los vértices de un polígono regular de n lados.
n
m , y son
Raíz cuadrada de un número complejo en forma binómica.
Teorema: Sea z = a + b.i 
a  b.i  
ma
ma

.i
2
2
Demostración:
Esta expresión tiene 4 raíces de la forma  x  y.i . De ellas, 2 se introducen al elevar al cuadrado. Para elegir las
correctas debe tomarse en cuenta que 2.xy = b.
Si b > 0  x e y son del mismo signo. Si b < 0  x e y son de distinto signo.
Algunas funciones especiales y su interpretación geométrica.
Profesor Carlos Guerrero. Liceo Nº 2 Carmelo. 2007.
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f ( z)  z geométricamente es una simetría axial respecto del eje Ox .
Definición: Dados   0 y   C , la función f ( z )  z   , es una transformación del plano complejo en si mismo,
de modo que según los valores de  y  se obtiene:
1-   1 y   0 . Se reduce a f ( z )  z   que es una traslación.
2-    y   0 . Se reduce a f ( z )   .z que es una Homotecia de centro O y razón  ; en particular si   1 es
la identidad y si   1 es una simetría central respecto de O.
3-   1 y   0 . Se reduce a f ( z )   .z que da una Rotación de centro O y ángulo  .
Definición: La involución:
4-
  m
y
 0.
Se reduce a f ( z )   .z que da una Rotomotecia (composición de una homotecia con una
.
y   0 . Se reduce a f ( z )  z   que es una Rotomotecia resultado de la composición de una
rotación) de centro O, razón
5-
  m
m
y ángulo
homotecia, una rotación y una traslación; con centro en z o 

1
, razón
m
y ángulo
Profesor Carlos Guerrero. Liceo Nº 2 Carmelo. 2007.
4
.