Álgebra - Juguemos con las matematicas

Colegio San Francisco de Asís
ORDEN DE HERMANOS MENORES CAPUCHINOS
Resolución No. 4143.0.21.6884 del 27 de Junio de 2012 - NIT. 805006012-6
Registro Educativo No. 1A009025 - DANE No. 376001000543 - CÓDIGO ICFES 017319
Álgebra
Término algebraico:
es el producto y/o división de una o más variables
(factor literal) y un coeficiente o factor numérico. Por ejemplo:
2
xz ,
3
p
,
q
bh
d
, la rapidez media .
triángulo
2
t
3xy 2 ,
 ab ,
5
 0,03a 5b 2 c 3 de4 , el cálculo del área de un
3xy 2 ; En este término algebraico, tenemos que 3 es el factor numérico y xy 2 el
coeficiente literal.
 ab ; En este término algebraico, tenemos que -1 es el factor numérico y ab el
coeficiente literal.
Expresión algebraica:
es el resultado de combinar uno o más términos
algebraicos mediante las operaciones de adición y/o sustracción. Por ejemplo:
1
3
 ab  8x 2 ; 4xy  x 3 yz  0,25y 2 ;  5 pq  q 2  8 p 2  r ; 2b
3
5
Se denomina grado de un término algebraico, a la suma de los exponentes de su
factor literal, por ejemplo:
3xy 2 tiene grado 1 + 2 = 3;  0,03a 5b 2 c 3 de4 tiene grado 5  2  3  1  4  15 .
Cuando una expresión algebraica tiene un sólo termino algebraico, recibe el
nombre de Monomio. Si la expresión algebraica tiene dos términos algebraicos
recibe el nombre de Binomio. Si tiene tres términos algebraicos, recibe el nombre
de Trinomio. Y en caso contrario si tiene más de tres términos algebraicos, se
denomina Multinomio.
Además, las expresiones algebraicas con exponentes positivos se llaman
polinomios.
Por ejemplo: (i) 3xy 2 es un monomio (polinomio), pues tiene un solo término
algebraico (con exponentes positivos).
(ii)  ab  8x 2 es un binomio ( y es un polinomio).
Colegio San Francisco de Asís
ORDEN DE HERMANOS MENORES CAPUCHINOS
Resolución No. 4143.0.21.6884 del 27 de Junio de 2012 - NIT. 805006012-6
Registro Educativo No. 1A009025 - DANE No. 376001000543 - CÓDIGO ICFES 017319
1
3
(iii)  5 pq  q 2  8 p 2  r es un trinomio ( y es un polinomio).
3
5
(iv)
(v)
 8xy 3 es un monomio (que no es un polinomio).
3xy 6  7 zx 1 es un binomio ( que no es polinomio)
Valorización de expresiones algebraicas
Valorar una expresión algebraica es reemplazar cada variable por un valor
numérico que le corresponde y resolver las operaciones indicadas en la expresión
para determinar su valor final.
Por ejemplo valoremos las siguientes expresiones algebraicas:
(i) El área de un triángulo se determina como el semiproducto entre la base y la
bh
, en donde b : base y h : altura. Entonces si b  8 y
altura, esto es: Área 
2
8  10
 40.
h  10, tenemos que: Área 
2
(ii) 3x 2  xy  2 xy 2 si x  1 e y  2
Primero reemplazamos las variables, esto es:
3x 2  xy  2xy 2  3  (1) 2  (1)  2  2  (1)  2 2
Luego realizamos todas las operaciones con su orden respectivo
3  (1) 2  (1)  2  2  (1)  2 2  3 1  2  2  2 2  3  2  8  3
(iii) a 3b  5abc 
4c 2
si a  3 , b  2 y c  2
b2
En forma análoga al ejercicio anterior, reemplazamos las variables en primer
lugar:
4c 2
4  (2) 2
3
3
a b  5abc  2  3  2  5  3  2  (2) 
b
22
Colegio San Francisco de Asís
ORDEN DE HERMANOS MENORES CAPUCHINOS
Resolución No. 4143.0.21.6884 del 27 de Junio de 2012 - NIT. 805006012-6
Registro Educativo No. 1A009025 - DANE No. 376001000543 - CÓDIGO ICFES 017319
Luego realizamos las operaciones correspondientes
33  2  5  3  2  (2) 
4  (2) 2
44
 27  2  60 
 54  60  4  10
2
4
2
(iv) d 4  d 3  d 2  d  d 0 si d  1
Entonces reemplazando d  1 en la expresión algebraica tenemos:
 14   13   12   1   10  1  1  1  1  1  1.
Reducción de términos semejantes
Los términos semejantes son los términos algebraicos que tienen el mismo factor
literal, es decir, deben tener las mismas letras con los mismos exponentes. Por
3
ejemplo: 5 x 2 y es término semejante con  2 x 2 y . El término abc 3 es término
7
3
semejante con 8c ab .
La reducción de términos semejantes consiste en sumar o restar éstos términos que
se encuentran en alguna expresión algebraica.
Algunos ejemplos de la reducción de expresiones algebraicas son los siguientes:
(i) De acuerdo a la siguiente la figura determina el perímetro
3x
y
4y
2x
3y
x
Colegio San Francisco de Asís
ORDEN DE HERMANOS MENORES CAPUCHINOS
Resolución No. 4143.0.21.6884 del 27 de Junio de 2012 - NIT. 805006012-6
Registro Educativo No. 1A009025 - DANE No. 376001000543 - CÓDIGO ICFES 017319
Entonces el perímetro de la figura, es la suma de las medidas de todos sus lados,
esto es: y  3x  4 y  x  3 y  2 x en este caso hay tres términos algebraicos cuyo
factor literal es y, por lo cual se pueden sumar. También hay tres términos
algebraicos que tienen factor literal x, por lo cual se pueden sumar. Por lo tanto
y  3x  4 y  x  3 y  2 x  8 y  6 x
(ii)  2a 2 b  3a  2  5ab  8a  15  18ba2  14a
En este ejemplo hay dos términos cuyo factor literal es a 2 b , estos términos son
semejantes, por lo cual se pueden sumar. También hay tres términos que tienen
factor literal a , por tanto, son términos semejantes y se pueden sumar. En la
expresión algebraica tenemos números solos (sin factor literal), por tal se suman.
Haciendo estas operaciones la expresión en (ii) nos queda:
16a 2 b  25a  5ab  17.
(iii) 3xy  yz  5 yx  10zx  3 yx  12zy  13xz  yz
En este ejemplo hay tres términos que tienen factor literal xy , por lo cual son
términos semejantes y se pueden sumar. También ocurre lo mismo con los
términos que tienen factor literal yz y xz , los cuales son términos semejantes y se
pueden sumar. Reduciendo términos semejantes, nos queda:
3xy  yz  5 yx  10zx  3 yx  12zy  13xz  yz  11xy  12yz  23xz
Uso de paréntesis
En álgebra, al igual que en aritmética, los paréntesis nos sirven para indicar que
las operaciones que ellos encierran tienen prioridad ante las demás, o bien para
indicar lo que está dentro de ellos debe ser considerado como un todo.
Para suprimir los paréntesis en una expresión algebraica se siguen las siguientes
reglas:
(i) Si un paréntesis es precedido por un signo positivo, entonces se puede suprimir
sin cambiar los signos de los términos que están dentro de ellos.
(ii) En caso contrario, esto es si un paréntesis es precedido por signo negativo,
entonces al suprimir el paréntesis los términos que están dentro de él cambian de
signo.
Colegio San Francisco de Asís
ORDEN DE HERMANOS MENORES CAPUCHINOS
Resolución No. 4143.0.21.6884 del 27 de Junio de 2012 - NIT. 805006012-6
Registro Educativo No. 1A009025 - DANE No. 376001000543 - CÓDIGO ICFES 017319
En el caso que a un paréntesis no le preceda ningún signo, entonces se entiende
que el paréntesis tiene un signo positivo.
Por ejemplo, en la siguiente expresión,
términos semejantes.
suprimir los paréntesis y reducir los
3x  (2 y  4 x  18y)  (7 x  3 y  x)  5x
Para resolver este ejercicio se puede hacer de dos formas, una es eliminar
inmediatamente los paréntesis y luego reducir los términos semejantes. La segunda
forma es reducir los términos semejantes dentro del paréntesis y luego eliminar los
paréntesis, y nuevamente reducir términos semejantes. Aplicaremos la segunda
forma:
3x  (16y  4 x)  (6 x  3 y)  5x  3x  16y  4 x  6 x  3 y  5x
 12x  19y
En algunas expresiones algebraicas hay más de un paréntesis, en estos casos para
eliminar los paréntesis, se suprime primero los paréntesis que están al interior de
otro y así sucesivamente. Aunque también se puede hacer de la forma contraria, es
decir, eliminar primero los paréntesis desde el exterior hasta llegar a los interiores,
es poco común proceder así ya que resulta más complicado.
Por ejemplo, en la siguiente expresión,
términos semejantes


suprimir los paréntesis y reducir los


(i)   0,4x  1,2x 2  3,2x 2  1,6x  9x 2
Para este ejemplo, en primer lugar, suprimimos los paréntesis interiores hasta
llegar a los exteriores y luego reducimos los términos semejantes. Entonces:





  0,4x  1,2x 2  3,2x 2  1,6x  9x 2    0,4x  1,2x 2  3,2x 2  1,6x  9x 2
0,4x  1,2x 2  3,2x 2  1,6x  9x 2  2x  7 x 2
Para verificar lo dicho respecto de las mayores dificultades para eliminar los
paréntesis desde afuera hacia adentro, el lector puede hacerlo en este caso.
(ii)
 5
 8 
3

a   b  3,5a   2,5a   b
2

 6 
 3
Colegio San Francisco de Asís
ORDEN DE HERMANOS MENORES CAPUCHINOS
Resolución No. 4143.0.21.6884 del 27 de Junio de 2012 - NIT. 805006012-6
Registro Educativo No. 1A009025 - DANE No. 376001000543 - CÓDIGO ICFES 017319
Al igual que el ejemplo anterior, empezamos suprimiendo los paréntesis que están
más al interior hasta llegar al más exterior y luego reducimos los términos
semejantes, esto es:
 5
3
8  3
5
8
 8  3
5
a   b  3,5a  2,5a  b  a   b  6a  b  a  b  6a  b
2
6  2
3
6
 6  2
3
 3

15
a  3b
2
ACTIVIDAD 1:
Ejercicios propuestos:
Suprimir los paréntesis y reducir los términos semejantes:
(i) 5 p  2 p  3   p  2  10 p  1
(ii) x  y  z    y  x  z 
(iii)  m  n  3m  5n  n  3m 4m
(iv) 3x  5 y  2 x  6 x  3x  5 y   x





(v) x 2  x 3   2x  x 3  x 2  x

(vi)  3ab2  a 2b  b 2 a  2ba2  ab2  a 2 b
(vii)
 5
3  a 7  3  5
1
a   a        a   
4
2  2 4  4  4
 8
(viii) 6  z   3  5z   z  1  2  2 z
(ix) 0, 6a  1,2a  0,25  0,75  a  1,25a
(x)

 
4
  0, 5y  1, 3x  0, 3x  0, 2 y
3

(xi)  m   n  m  n  m  n  n  m

Colegio San Francisco de Asís
ORDEN DE HERMANOS MENORES CAPUCHINOS
Resolución No. 4143.0.21.6884 del 27 de Junio de 2012 - NIT. 805006012-6
Registro Educativo No. 1A009025 - DANE No. 376001000543 - CÓDIGO ICFES 017319
(xii) 5x   3   7  2 x  5  x  6 x
2.2 Multiplicación de expresiones algebraicas
Para multiplicar expresiones algebraicas veremos, en primer lugar, la más simple
de ella: a saber, la multiplicación de monomio por monomio. Esta se realiza
multiplicando los coeficientes numéricos y multiplicando la parte literal, aplicando
las propiedades de las potencias. Por ejemplo, multipliquemos los monomios:
(i) (3xy 4 )  (5x 2 y 2 )  (3)(5) x.x 2 y 4 y 2  15x 3 y 6
1
1
 3
  2   1  3  2 
(ii)  a 2 b    abc3    bc     a 2 abbbc3 c  a 3b 3 c 4
4
2
 4
  3   2  4  3 
 


(iii)  2 p  p 5  3 p   p 3  6 p 4
Para multiplicar un monomio por un binomio, utilizamos la propiedad de la
distributividad de la multiplicación con respecto a la adición, esto es:
a(b  c)  ab  ac  ba  ca  (b  c)a
Algunos ejemplos de multiplicación de monomio por binomio son los siguientes:
(i) En el rectángulo de la figura, determinar su área.
Colegio San Francisco de Asís
ORDEN DE HERMANOS MENORES CAPUCHINOS
Resolución No. 4143.0.21.6884 del 27 de Junio de 2012 - NIT. 805006012-6
Registro Educativo No. 1A009025 - DANE No. 376001000543 - CÓDIGO ICFES 017319
5a
a 2  3ab
Sabemos que el área de un rectángulo es el producto de su largo por su ancho,
entonces tenemos:
Ärea rectángulo es  5a  a 2  3ab  5a  a 2  5a  3ab  5a 3  15a 2b.


VEAMOS OTROS EJEMPLOS:
(ii)  2 pq2 (5 p 3  4 pq)  (2 pq2 )  (5 p 3 )  2 pq2  (4 pq)  10 p 4 q 2  8 p 2 q

(iii) a 3b  5ab2
 1a b
1
1

1

 (a 3b)   b 1   (5ab2 )   b 1   a 2  5b
a

a

En general, esta propiedad (distributividad de la multiplicación con respecto a la
adición) la utilizamos para multiplicar un monomio con cualquier
POLINOMIO. Por ejemplo:
3
  3 2 3 2 3 2 4 2 3 1 2  3 3 2   9 5 5
h k  h k  h k  hk  h k  
h k  1  2h 1k  h 2

3
3
2
4
 4
 2
 8
Para multiplicar un binomio por un binomio, también utilizamos la propiedad de
la distributividad de la multiplicación con respecto a la adición. Esto es:
(a  b)  (c  d )  ac  ad  bc  bd
Por ejemplo:
(3x  y)  x  y   3x  x  3x  y  y  x  y  y  3x 2  3xy  yx  y 2
Luego, reduciendo términos semejantes, nos queda: 3x 2  2xy  y 2
Para multiplicar un binomio por un multinomio, o en general cualquier multinomio
por un multinomio, aplicamos la propiedad mencionada anteriormente. Por
ejemplo:
Colegio San Francisco de Asís
ORDEN DE HERMANOS MENORES CAPUCHINOS
Resolución No. 4143.0.21.6884 del 27 de Junio de 2012 - NIT. 805006012-6
Registro Educativo No. 1A009025 - DANE No. 376001000543 - CÓDIGO ICFES 017319
1

1 
1 
1 
 a  3b   8a  4b  2c    a   8a   a   (4b)   a   2c  (3b)  8a
2

2 
2 
2 
 (3b)  (4b)  (3b)  2c  4a 2  2ab  ac  24ab  12b 2  6bc
Reduciendo términos semejantes, obtenemos: 4a 2  26ab  ac  6bc  12b 2
ACTIVIDAD 2:
Ejercicios propuestos.
Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas y reducir términos semejantes si
es posible.





(i) 2xy 1  5x 2 y 2  4xy3

5
2

(ii) 3ab2   ab2  a 2 b 4  a 1b 2 
3
3

 2 3 4
(iii) 5abc    
a b c
(iv) Determina las áreas de las figuras siguientes:
a)
2y 2
5x
3x
4y 2
b)
Colegio San Francisco de Asís
ORDEN DE HERMANOS MENORES CAPUCHINOS
Resolución No. 4143.0.21.6884 del 27 de Junio de 2012 - NIT. 805006012-6
Registro Educativo No. 1A009025 - DANE No. 376001000543 - CÓDIGO ICFES 017319
x2  x
4x
(v) 7 p  49 p  12


(vi) a 2  2a  4  a 2  2a  4

3
8
16
 4

m n2    m n2  m 1n  m 1n 2 
4
3
3
 3

(vii)


(viii) 2h 2 k  5h 2 k 2  10h 2 k 3


(ix) 3a 1b  4  4a 4b 3  3a 3b 2




(x) x 3  x 2  x  1  x 3  x 2  x  1


(xi) 4 y 2  3 y   2 y 2  y



(xii) pq5  p 2 q 5  p 1q 3  2 pq1  2 p 1q 5