ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (OPERACIONES

Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 6
PRÁCTICA 6 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS
Objetivos:
En esta práctica, el estudiante tendrá la oportunidad de utilizar la Aplicación Principal y
la Aplicación Geometría del menú de Aplicaciones Incorporadas de la calculadora
ClassPad 300 PLUS, para resolver algunos problemas vectoriales en R2 y R3.
Requisitos:
Antes de realizar esta práctica el estudiante debe haber estudiado el tema sobre
Vectores en R2 y R3.
6.1 Problemas vectoriales en R2 y R3 en la Aplicación Principal.
Los menús [Acción] e [Interactivo], disponibles en la barra de menús
de la Aplicación Principal, cuentan con el menú secundario desplegable
[Vector].
Este menú contiene comandos relacionados con diversos cálculos
vectoriales. Los vectores, tanto en esta aplicación como en otras, se
representan como matrices columnas o matrices filas. Aquí adoptaremos la
representación de los vectores como matrices columnas. Los comandos
del menú secundario [Vector] que nos interesarán en esta práctica son:
 [crossP] para calcular el producto vectorial de dos vectores en R3.
 [dotP] para calcular el producto punto o escalar de dos vectores.
 [norm] para calcular la norma o longitud de un vector.
 [unitV] para normalizar un vector.
 [angle] para calcular el ángulo entre dos vectores.
Antes de comenzar, realicemos previamente algunas tareas de
mantenimiento en la calculadora:
1.
Figura 1
Operación con la ClassPad.
(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione
para encenderla.
(2) Toque
en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal.
(3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(4) Toque el botón
para acceder directamente al administrador de variables. Toque main dos
veces. Si hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.] [Cerr.]
[Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de trabajo de la aplicación Principal.
La siguiente actividad dirigida, le permitirá conocer cada uno de los comandos mencionados y cómo
usarlos para realizar los cálculos vectoriales:
2.


Considere los vectores v1  (1, 2, 3) y v 2  (3,  2, 1) de R 3 . Encuentre:
 



1) v1 .
2) v1  v 2 .
3) v1  v 2 .

4) un vector unitario en la dirección de v 2 .


5) la medida del ángulo que forman los vectores v1 y v 2 .
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Práctica 6

1) Encontremos v1 :
(5) Active el teclado virtual 2D. Toque dos veces el botón

(6) Registre en la plantilla las componentes del vector v1 .
(7) Seguidamente ubique el cursor al final de la matriz y toque
(8) Active el teclado alfabético tocando
.
.
. Toque el botón
para
configurar el teclado alfabético en mayúsculas. Toque

.

Esta última instrucción asigna las componentes del vector v1 a la
variable matricial V1.
(9) Toque [Acción] [Vector] [norm]. Seguidamente toque

.

Aparecerá en la línea de salida el valor de la longitud del vector v1 .
Observación:
Cuando se desea asignar valores, matrices, etc. a variables de dos
caracteres es necesario usar el teclado virtual alfabético abc.
Figura 2

¿Cuál es el valor de v1 ?
3.
 
2) Encontremos v1  v 2 :

(10) De manera análoga, asigne la variable V2 al vector v 2 .
(11) Toque [Acción] [Vector] [dotP]. Seguidamente toque
.

 
Obtendrá en pantalla v1  v 2 .

Observe la sintaxis del comando [dotP].
Figura 3
 
¿Cuál es el valor de v1  v 2 ?
4.


3) Encontremos v1  v 2 :
(12) Toque [Acción] [Vector] [crossP].
(13) Seguidamente toque



Obtendrá en pantalla el vector v1  v 2 .

Observe la sintaxis del comando [crossP].
.
Figura 4
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Práctica 6


¿Cuál es el valor de v1  v 2 ?
5.

4) Encontremos un vector unitario en la dirección de v 2 :
(14) Toque [Acción] [Vector] [unitV].
(15) Toque
.



v2
Obtendrá en pantalla el vector u  
v2

Observe la sintaxis del comando [unitV].
Figura 5

¿Cuál es el vector unitario en la dirección del vector v 2 ?
6.


5) Encontremos la medida del ángulo que forman los vectores v1 y v 2 :
Observación:
Cuando se calculan ángulos, es necesario configurar la unidad angular en la calculadora.
Usualmente la medida de los ángulos se representa en el sistema radian cuando se trabaja en
cálculo con funciones trigonométricas. En problemas geométricos, se utilizan tanto el sistema
sexagesimal como el sistema radian. En esta práctica utilizaremos el sistema sexagesimal.
(16) Toque
[Preferencias ►] [Configuración ►] [Formato básico].
(17) En el cuadro de diálogo para configurar opciones básicas, toque
en
la opción [Ángulo]. En el menú desplegable toque [Grado]. Toque
para confirmar la opción elegida. La Figura 6 muestra la barra
de estado de la calculadora, indicando la configuración de la unidad
angular en grados sexagesimales.
(18) Toque [Acción] [Vector] [angle]. Toque
.
(19) Para obtener el valor del ángulo seleccione el resultado obtenido en la
línea de salida y toque
.

Obtendrá el ángulo entre las dos vectores expresado en grados
sexagesimales.

Observe la sintaxis del comando [angle].

Si se desea expresar la medida en grados, minutos y segundos
siga las siguientes instrucciones:
(20) En la línea de entrada, toque [Acción] [Transformación ►] [toDMS]
[ans] [Ejec.].
(21) Seleccione la fracción que representa los segundos y toque

7.
Figura 6
.
Aparecerá la medida del ángulo en el formato grados, minutos y segundos.


¿Cuál es la medida del ángulo que forman los vectores v1 y v 2 ?
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Práctica 6
Conviene tener presente en esta práctica el siguiente resumen de fórmulas:
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (OPERACIONES VECTORIALES EN R n)


a  (a1, a 2 ,, an ) , b  (b1, b2 ,, bn )  Rn  (x1, x 2 ,, xn ) : x1, x 2 ,, xn  R y  ,   R
1
2
  

Suma de los vectores a y b : a  b  (a1, a 2 ,, an )  (b1, b 2 ,, bn )  (a1  b1,, an  bn ) .
Propiedades:
 
1. a  b  Rn
   
2. a  b  b  a
  
  
3. a  (b  c)  (a  b)  c

    
4. Existe o  R n tal que a  o  o  a  a




  
5. Dado a , existe  a  Rn tal que a  (a)  (a)  a  o


Producto de un escalar  por un vector a : a  (a1, a 2 ,, an )  (a1, a 2 ,, an ) .
Propiedades:

1. a  Rn



2. (  )a  a  a

 

3. (a  b)  a  b


4. ( )a  (a)
 
5. 1a  a
3

Norma de un vector a :

2
a  a12  a 2
2    an
Propiedades:
 

1. a  a  a

2. a  0

 
3. a  0  a  o


4. a   a

 

5. a  b  a  b
4

 
 

Distancia entre los vectores a y b : d(a, b)  a  b
Propiedades:
 
1. d(a,b)  0
 
 
2. d(a,b)  0  a  b
 
 
3. d(a,b)  d(b, a)
 
 
 
4. d(a,b)  d(a, c)  d(c,b)
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Práctica 6
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (OPERACIONES VECTORIALES EN R n)


Producto escalar o producto punto de los vectores a y b :
 
a  b  (a1, a2 ,, an )  (b1,b2 ,,bn )  a1  b1  a2  b2    an  bn
Propiedades:
 
1. a  a  0
 
 
2. a  a  0  a  o
   
3. a  b  b  a
  
   
4. a  (b  c)  (a  b  a  c)

  
 
5. (a)  b  a  (b)  (a  b)
   
 
6. (a  b)2  (a  a)(b  b) (Desigualdad de Cauchy – Schwarz)
6
7


Criterio de paralelismo y perpendicularidad entre dos vectores a y b :


 
1. a b  existe k  R tal que a  kb
 
 
2. a  b  a  b  0
 


  a b 

Proyección ortogonal del vector a sobre el vector b : proyb a      b
bb


9
  


 
 ab
Medida del ángulo entre dos vectores a y b : m()  m((a, b))  arccos  
 a b





Área del paralelogramo definido por los vectores a y b en R 2 : det(a, b)
10


Producto vectorial o producto cruz de vectores los a y b en R 3 :
8
î
ĵ
 
a  b  a1 a 2
b1 b 2


  0, 


k̂
a2 a3
a1 a 3
a1 a 2
a3 
î 
ĵ 
k̂
b2 b3
b1 b 3
b1 b 2
b3
Propiedades:
 
 
1. a  b   b  a
  
2. (a  b)  a  0
  
3. (a  b)  b  0
  
 
 
4. a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
  
 
 
5. (b  c)  a  (b  a)  (c  a)

  
 
6. (a)  b  a  (b)  (a  b)
  
 
7. a  b  o  a b

 
 

 
8. a  b  a b sen ;   (a,b) (Área del paralelogramo definido por a y b )
  
  
  
 

9. det(a, b, c)  a  b c cos    (a  b)  c (Volumen del paralelepípedo definido por a , b y c
  
y donde   (a  b, c) )
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Práctica 6



Considere los vectores a  (3, 2, 1) , b  (1, 2, 3) y c  (2,  3, 4) :
8.

Borre la pantalla de la aplicación Principal.

Active el teclado virtual 2D y trabaje con este teclado.

Asigne estos vectores a las variables A, B y C.

Calcule cada uno de los siguientes vectores:
 


 
  
1) a  b
2) b  c
3) 3a  2c
4) (a  b)  c

 


7) (2  3)a
8) 3(b  c) 9) 3b  3c
 
2) b  c =


3) 3a  2c =
  
4) (a  b)  c =
  
5) a  (b  c) =


6) 2a  3a =

7) (2  3)a =
 
8) 3(b  c) =


9) 3b  3c =
 
1) a  b =
9.
10.


6) 2a  3a

 

Escriba el vector d  (10, 2,  20) como combinación lineal de los vectores a , b y c del
ejercicio 8.


 
 Plantee el sistema de ecuaciones xa  yb  zc  d .

Utilice la plantilla
variables básicas.
del teclado virtual 2D para resolver el sistema. Tome x, y , z como



Sistema: 


11.
12.
  
5) a  (b  c)

d =
 


Encuentre la proyección del vector a  b sobre el vector 2a  3c y la medida del ángulo




entre los vectores  2a  5c y c  2b . Utilice los vectores del ejercicio 8.

Utilice para el problema de la proyección la fórmula del apartado 7.

Utilice para el problema del cálculo del ángulo la fórmula del apartado 8 y verifique el
resultado usando el comando [angle].
 
Pr oy2a  3c a  b 
13.


 
(2a  5c, c  2b) 
 

Encuentre el volumen del tetraedro definido por los vectores a , b y c del ejercicio 8.
14.

Para calcular el valor absoluto de una expresión algebraica, se puede utilizar la plantilla
del teclado virtual 2D.
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15.
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Volumen del tetraedro =
  
 
Encuentre la norma del vector ( a b  b a)  c .
16.
  
 
( a b  b a)  c 
17.
Considere el triángulo de vértices A(1,  1) , B(3, 3) y C(3, 5) .
18.

Borre la pantalla.

Calcule la longitud de cada uno de los lados del triángulo y verifique que es isósceles.

Encuentre las medidas en grados sexagesimales de sus ángulos internos. Tenga presente
para el cálculo de los ángulos, la dirección de los vectores en cada uno de los vértices.

Existe la siguiente fórmula para encontrar el área del triángulo de vértices A(x 1 , y 1 ) ,
1 x1
1
1 x2
B(x 2 , y 2 ) y C(x 3 , y 3 ) : A 
2
1 x3
19.
Práctica 6
y1
y2
. Calcule el área del triángulo.
y3
¿Cuál es la longitud de cada uno de los tres lados?
d( A, B) 
d(B, C) 
d( A, C) 
¿Qué lados son iguales?
¿Cuál es la medida de cada uno de sus tres ángulos internos?
m(A) 
m(B) 
¿Cuál es el área del triángulo?
m(C) 
A
6.2 Problemas vectoriales en R2 en la Aplicación Geometría.
La Aplicación Geometría permite dibujar figuras geométricas en el plano como puntos, segmentos,
rectas, triángulos, polígonos, circunferencias, elipses y gráficas de funciones reales de variable real
y  f ( x ) . Cuenta con funciones para el cálculo de longitudes de segmentos, áreas de polígonos, ángulo
entre rectas, perímetros de figuras, etc. En esta práctica nos iniciaremos en el uso de esta aplicación para
verificar los resultados obtenidos en el problema 18 y resolver un problema de área de polígonos por
medio de la Fórmula de Gauss.
20.
Utilice la Aplicación Geometría para verificar los resultados del problema 18.
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21.
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Práctica 6
Operación con la ClassPad.
(1)
Toque
en el panel de iconos para acceder al menú de las
Aplicaciones Incorporadas.
(2)
(3)
Toque
para acceder a la aplicación Geometría.
Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para borrar la pantalla.
Para dibujar figuras en esta aplicación es necesario configurar la
Ventana de Visualización. Como nuestro objetivo es dibujar el triángulo del
problema 18, ajustaremos los siguientes parámetros como se indica a
continuación:
Figura 7
Toque
[Preferencias ►] [Ventana vis.].
En el cuadro de diálogo registre para mínx: el valor – 5, para máxx: el
valor 5 y para medy: el valor 0 (Figura 7). Toque [Acep.].
(4)
(5)

Esto configura una ventana para visualizar un sistema coordenado
para 5  x  5 en el eje OX. Las coordenadas en el eje OY se
ajustarán automáticamente colocando el origen en el centro de la
pantalla.
(6)
Toque una o dos veces el botón
hasta visualizar los ejes
coordenados y los valores numéricos en dichos ejes.
(7)
Toque [Ver] [ Rejilla entera].

Esto activa una rejilla cuyos puntos tienen coordenadas enteras.

Al finalizar su calculadora debe presentar la pantalla de la Figura 8.
Figura 8
Las siguientes instrucciones permiten dibujar el triángulo de vértices A(1,  1) , B(3, 3) y C(3, 5) del
problema 18.
(8)
En la barra de menús Toque [Dibuj] [Punto].
(9)
En la pantalla visualice el punto de coordenadas (1,  1) . Toque este
punto para marcarlo.

Observe que al levantar el lápiz táctil queda marcado el punto con
una crucecita y rotulado con la letra A.
Observaciones:

Si se equivoca, toque [Edit] [Deshacer/Rehacer] para borrar la
última acción.

Para borrar un elemento que se ha trazado toque el botón
,
luego toque el elemento a borrar. Esto selecciona el elemento con
recuadros negros . Toque seguidamente [Edit] [Borrar].
(10) Toque el punto de coordenadas (3, 3) y luego toque el punto de
coordenadas (3, 5) .

Al terminar en la pantalla de su calculadora aparecerán marcados los
puntos A, B y C como en la Figura 9.
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Figura 9
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Práctica 6
Para dibujar el triángulo se procede como sigue:
(11) En la barra de menús toque [Dibuj] [Segmento de línea].
(12) Toque el punto A y luego el punto B.

Al levantar el lápiz táctil aparecerá dibujado el segmento AB .
(13) De manera análoga dibuje los segmentos B C y AC .

Obtendrá el triángulo ABC (Figura 10).
Una vez dibujado el triángulo, podemos verificar los resultados obtenidos
en el problema 18. Por ejemplo, encontremos las longitudes de los lados
AB , B C y AC . Para esto es necesario activar el Cuadro de Medidas.
(14) En la barra de herramientas toque el botón de selección de objetos
. Seguidamente toque el segmento AB del triángulo.

Esto selecciona el lado AB sobre el cual aparecen dos recuadros
negros .
(15) En la barra de herramientas toque el botón
de Medidas. Toque
Figura 10
para acceder al Cuadro
y en el menú desplegado toque
.

Observe que en el recuadro central aparece indicada la longitud del
lado AB (Figura 11).
(16) Toque cualquier punto de la pantalla que está fuera del triángulo.

Esto cancela la selección del lado AB .
(17) Toque el lado B C .

En el cuadro de medidas se presentará la longitud del lado B C .
Figura 11
(18) Toque ahora el lado AB .

En el cuadro se presenta la medida, en grados sexagesimales, del
ángulo formado por los lados AB y B C .
(19) Toque
y luego toque
para establecer si los lados AB y B C
tiene la misma longitud (si son congruentes).

En el cuadro de medidas indicará No, lo que significa que no tiene la
misma longitud.
(20) Seleccione uno a uno cada lado para obtener su longitud.
(21) Seleccione una a una cada pareja de lados para obtener la medida del
ángulo formado por ellos y establecer si son o no congruentes.
(22) Seleccione los tres lados. Toque
22.
.

El cuadro de medidas se presenta el área del triángulo (Figura 12).

Observe que si toca
obtendrá el perímetro del triángulo.
Figura 12
Encuentre el área del polígono cuyos vértices son los puntos A(2, 5) , B(4, 3) ,
C(3,  2) , D(3,  3) , E(5,1) y F(3,4) .
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Práctica 6
(23) En la aplicación Geometría, borre la pantalla.
(24) Toque
[Preferencias ►] [Ventana vis.].
(25) Ajuste la ventana de visualización con mínx: – 6 , máxx: 6, medy: 0.
(26) Toque [Dibuj] [Polígono] y marque cada uno de los puntos en el
orden: A, B, C, D, E, F, A.
 Este orden cierra el polígono.
(27) Seleccione los seis lados del polígono y encuentre su área en el cuadro
de medidas.

Existe una fórmula en términos de determinantes que permite
obtener el área de un polígono cuando se conoce todos sus vértices.
Esta fórmula es conocida como la fórmula de Gauss.
Figura 13
El área A de un polígono cerrado de n lados cuyos vértices,
numerados en sentido antihorario, son los puntos A 1(x 1, y 1 ) ,
A 2 (x 2 , y 2 ) ,..., A n (x n , yn ) , viene dada por la mitad del valor
absoluto del determinante que aparece en la Figura 14. Esta
expresión se llama fórmula de Gauss. Observe que en el
determinante se repiten, en su última fila, las coordenadas del
punto A 1(x 1, y 1 ) . El determinante se resuelve multiplicando dos
a dos, en forma cruzada, los términos indicados en la Figura 15
obteniéndose las dos sumas:
D  x 1y 2  x 2 y 3  ...  x n y1
x1
x2
x3
1 
A
2 

xn
x1
y1
y2
y3



yn
y1
I  y1x 2  y 2 x 3  ...  yn x 1
Figura 15
Figura 14
que luego se restan para obtener su valor D – I, de manera que A 
1
D  I . Por otra parte, se puede
2
demostrar que:
x1
x2
x3



xn
x1
y1
y2
y3

x1


x2

yn
y1
x2
y1

x3
y2
y2
xn
 
y3
x1
x2
yn
x1 x 2


y2
y1
y1 y 2
x3
xn

y3
yn
x1
y1
Esta fórmula será la que emplearemos en breve para hallar el área del polígono en la aplicación
Principal.
(28) Seleccione los seis lados del polígono.
(29) Toque
en el panel de íconos para acceder a la aplicación
Principal.
(30) borre la pantalla.
(31) Toque
y luego toque
aplicación Geometría.
Prof. Robinson Arcos
para acceder a la ventana de la
Figura 16
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Práctica 6
(32) Manteniendo la pantalla dividida, toque uno de los lados del polígono
en la ventana de geometría y sin levantar el lápiz, deslice su punta
hasta línea de entrada en la ventana de la aplicación Principal.

Con esta acción se obtiene en la línea de entrada de la aplicación
Principal una matriz cuyas columnas representan las coordenadas
de los seis puntos listados en sentido antihorario.
(33) Active el teclado virtual 2D.
(34) Coloque el cursor dentro de la matriz y amplíela tocando
(35) Registre en la última columna las coordenadas del punto A.
(36) Toque
.
.
Utilizaremos esta matriz para calcular el área del polígono.
Figura 17
(37) Para calcular el área del polígono por la fórmula de Gauss, en la línea de entrada registre la suma:
 2  4
  4  3
 3 3 
 3 5
5 3 
 3  2
det(
)  det(
)  det(
)  det(
)  det(
)  det(





)
3 
5
 3  2
  2  3
  3 1
 1 4
4 5 
Para ello utilice la matriz anterior para copiar y pegar cada una de las submatrices que aparecen en
los determinantes.
(38) Una vez registrada la suma en la línea de entrada, toque [Ejec.].
(39) Toque en el teclado 2D la plantilla
(40) En el numerador toque
(41) En el denominador toque
(42) Toque

.
y toque [Ans].
.
.
Figura 18
Tendremos en pantalla el área del polígono.
23.
Utilice la aplicación Geometría para calcular el área del polígono cuyos vértices son los
puntos A(2, 1) , B(0,  2) , C(3,  2) , D(4, 3) y E(0, 1) .
24.
¿Cuál es el área del nuevo polígono?
Prof. Robinson Arcos
A=
67
Departamento Matemática Aplicada