ALGEBRA - Departamento de Matemáticas
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ALGEBRA Sistemas de Ecuaciones lineales – Discusión con parámetros Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a : ay + (a + 1)z = a ax +z = a x + az = a Interpretación: Del enunciado se deduce que se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas donde, además, aparece un parámetro a, acompañando a las incógnitas y como término independiente. Nos piden discutir el sistema en función de los valores de a, es decir, clasificar el sistema como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Estrategia: - Para realizar la discusión utilizaremos el Teorema de Rouche – Frobenius. - Expresaremos el sistema de ecuaciones en función de la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A/B. - Comenzaremos estudiando el rango de la matriz A partiendo siempre del mayor rango que puede tener dicha matriz. - El rango dependerá de los coeficientes así que el estudio del rango dependerá de los valores que tome. - Para calcular el valor de los distintos menores de orden h utilizaremos propiedades de los determinantes. - Operamos de la misma manera con la matriz ampliada recordando que esta tiene siempre por lo menos tanto rango como la matriz A. - Comparamos el rango de A y el de la matriz ampliada de tal manera que aplicando el teorema de Rouche – Frobenius podemos decidir si es compatible o incompatible. - En el caso de que sea compatible lo compararemos con el número de incógnitas para ver si es determinado o indeterminado. A la hora de resolver el problema tendremos en cuenta: . - Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales ( Pág. 11) Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.( Pág. 12) Método de Gauss para discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales. (Pág. 14) Cálculo de determinantes. (Pág. 48 y 49) Rango de una matríz. (Pág. 55) Producto de matrices ( Pág. 32) Teorema de Rouché – Frobenius ( Pág. 64) Para resolver el problema... Expresamos el sistema en forma matricial: 0 a a 1 x a 1 y a a 0 1 0 a z a Vemos la dependencia del rango de las dos matrices en función del parámetro a. Para ello estudiamos el rango de la matriz correspondiente a las incógnitas, A, así como el de la matriz ampliada, A/B. Ten en cuenta que, como la matriz ampliada es una matriz 3x4, su rango, como mucho, puede ser 3. En primer lugar, calculamos el rango de la matriz A, igualando a cero su determinante. 0 a a 1 a 0 1 1 0 a = a – a3 = 0 a – a3 = 0 los valores de a para los que el determinante es nulo son 0, 1 y –1, es decir, para estos tres valores de a, el rango de A es menor que 3. Ahora comprobamos el rango de ambas matrices para cada valor de a, aplicando el teorema de Rouché – Frobenius. Si a = 0, el determinante de A es cero, así pues, buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: Como 0 1 0, el rango de la matriz A es 2. 1 0 Ahora bien, si a = 0, la matriz ampliada tiene los términos de su última columna iguales a cero por lo que el rango va a ser el mismo que el de la matriz A. Por tanto, según el teorema de Rouché como el rango de ambas matrices son iguales pero menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Si a = 1, de nuevo nos encontramos con que el menor de orden 3 de la matriz A es cero por lo que no puede tener rango 3. Con encontrar un menor de orden 2 distinto de cero verificaríamos que tiene rango 2. Efectivamente: 1 2 0, luego A tiene rango 2. 0 1 Al sustituir a por 1 observamos que en la matriz A y en la ampliada las dos últimas filas son iguales por lo que el rango de la matriz ampliada también es 2. Según el teorema de Rouché, como el rango de ambas matrices son iguales pero menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. Si a = –1, el mayor menor distinto de cero que podemos encontrar en la matriz A es de orden 2, por tanto, el rango de A es 2. Al sustituir a por –1 en la matriz ampliada, podemos encontrar un menor de orden 3 distinto de cero: 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 Así pues, el rango de la matriz ampliada es 3, por lo que los rangos de las dos matrices son distintos. Por tanto, el sistema es incompatible, es decir no tiene solución. Si a es distinto de 0, 1 y –1, el rango de la matriz A y el de la ampliada es tres ya que el mayor menor distinto de cero que podemos encontrar de ambas matrices es de orden 3. Como además coincide con el número de incógnitas el sistema es compatible determinado. Programación lineal – Problemas de optimización. Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 unidades monetarias respectivamente. Para cada funda del modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela. La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacer 9 fundas del modelo A, ¿cuántas fundas de cada modelo han de fabricarse para que el beneficio sea máximo? Interpretación: Del enunciado que se trata de un problema de programación lineal donde tendremos que encontrar las inecuaciones que determinarán la región factible así como la función objetivo que tendremos que optimizar. Nos piden que calculemos a partir de las restricciones que da el problema el número de fundas de cada modelo que optimizaran el beneficio. Estrategia: - Tenemos que buscar la función objetivo que tendremos que optimizar y la región factible. - Para ello podemos ayudarnos de una tabla donde representemos los datos que nos da el problema. - Asignamos variables para poder expresar la función objetivo. - Expresamos la región factible utilizando inecuaciones. - Localizamos los vértices de la región resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que delimitan la frontera de la región. - Sustituimos la función objetivo en los vértices observando donde esta toma el valor más grande o el más pequeño. A la hora de resolver el problema tendremos en cuenta… - Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas. ( Pág. 80) Sistema de inecuaciones lineales. (Pág. 82) Ecuación de una recta en forma explícita. (Pág. 84) Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. (Pág. 13) Para resolver el problema… Empezamos asignando una incógnita a cada número de fundas de cada modelo: x : número de fundas del modelo A, y ; número de fundas de modelo B Para escribir inecuaciones correspondientes a las restricciones utilizaremos la siguiente tabla. Beneficios/unidad Horas/unidad Tela/unidad Total Unidades de A 40 4 3 9 Unidades de B 20 3 5 TOTAL 48 60 Escribimos las inecuaciones: Si por cada unidad A se necesitan 3 unidades de tela y por cada unidad B 5 unidades y en total hay 60 unidades : 3x + 5y 60 Como por cada unidad A se necesitan 4 horas y por cada unidad B 3 horas y hay un total de 48 horas: 4x + 3y 48 Al no poderse fabricar más de 9 unidades de A. 0x9 El número de unidades B que se fabrican siempre tiene que ser positivo. y0 La función objetivo es aquella que expresa lo que tenemos que optimizar, en este caso hacer máximo el beneficio. Como por cada unidad A se gana 40 unidades monetarias y por cada unidad B 20 unidades, el beneficio se expresa como f(x, y) = 40 x + 20 y. Si representamos gráficamente las restricciones obtenemos la siguiente región factible. Para calcular los vértices resolvemos el sistema formad por las dos rectas que se cortan. El punto a es el (0, 12). 3x 5 y 60 60 96 El punto b es la intersección entre ,b , 11 11 4 x 3 y 48 x9 El punto c es la intersección entre , c( 9,4) 4 x 3 y 48 El punto d (9, 0) La función objetivo será máxima en alguno de estos puntos por lo que evaluamos dicha función sustituyendo en ella x e y por los valores calculados. f(a) = 40 · 0 + 20 · 12 = 240 f(b) = 40 · (60/11) + 20 · (96/11) = 4320/11 f (c) = 40 · 9 + 20 · 4 = 440 f(d) = 40 · 9 + 20 · 0 = 360 Observamos que el beneficio máximo se obtiene en el punto c que corresponde a 9 fundas de modelo A y 4 fundas de modelo B Determinantes – Cálculo de un determinante utilizando propiedades. 1 1 1 Sabiendo que a b c = 5 , calcula el valor de los siguientes determinantes: x y z a b c a) x y z 3 3 3 5 5 5 b) a 2 b 2 c 2 x/3 y/3 z /3 Interpretación: Del enunciado deducimos que se trata de un ejercicio de cálculo de un determinante de tres por tres a partir de otro cuyo valor es conocido Nos piden que utilizando las propiedades de los determinantes así como el valor del determinante que nos dan, calcular el valor de otro determinante de tres por tres, por lo tanto el cálculo no se puede realizar utilizando la regla de Sarrus. Estrategia: - Para resolver el problema tomaremos como referencia el determinante que nos da el enunciado y realizaremos transformaciones en los otros hasta que nos queden en función del inicial. - Ten en cuenta que cada transformación que realices en un determinante está basada o fundamentada en una propiedad de estos, por lo cual es muy importante en cada paso que des enuncies la propiedad correspondiente que estas utilizando. A la hora de resolver el problema tendremos en cuenta: - Cálculo de un determinante de dos por dos. ( Pág. 48) Cálculo de un determinante de tres por tres utilizando la regla de Sarrus. (Pág. 49) Calculo de un determinante por una línea. (Pág. 52) Propiedades de los determinantes. (Pág. 50 y 51) Para resolver el problema… a) Partimos del determinante que queremos calcular de tal manera que utilizando las propiedades de los determinantes lo iremos modificando hasta poner en dicho determinante en función del determinante cuyo valor es conocido. Así: a b c En el determinante x y z podemos cambiar la primera fila por la tercera por 3 3 3 lo que el determinante cambia de signo. a b c 3 3 3 z =– x y z 3 3 3 a b c x y Si ahora cambiamos la segunda fila por la tercera el determinan vuelve a cambiar el signo. a b c 3 3 3 3 3 3 z =– x y z = a b c 3 3 3 a b c x y z x y Hay una propiedad de los determinantes que dice: “para multiplicar un determinante por un número distinto de cero, basta multiplicar una línea de ese determinante por dicho número”. Según esa propiedad, como todos los elementos de la primera fila están multiplicados por 3, podemos sacar este término fuera multiplicando a todo el determinante. a b c 3 3 3 3 3 3 1 1 1 z =– x y z = a b c =3 a b c 3 3 3 a b c x y z x y z x y a b c Como el valor del último determinante es 5 concluimos que x y z = 3 · 5 = 3 3 3 15. b) 5 5 5 En el determinante a 2 b 2 c 2 todos los términos de la primera fila así x/3 y/3 z /3 como los términos de la última fila están multiplicados respectivamente por 5 y 1/3 por lo que ambos términos se pueden sacar como factores del determinante: 5 5 5 1 1 1 1 a2 b2 c2 = 5 · a2 b2 c2 3 x/3 y/3 z /3 x y z En la segunda fila podemos utilizar la siguiente propiedad: “Si todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz se descomponen en suma de dos sumandos, su determinante también se descompone, de la misma forma en suma de dos determinantes manteniendo cada uno de ellos comunes las filas o columnas formadas por un único término del determinante inicial “ Luego: 5 5 5 5 5 5 a2 b2 c2 = a2 b2 c2 = x/3 y/3 z /3 x/3 y/3 z /3 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c +5· 2 2 2 5· 3 3 x y z x y z El segundo determinante de esta suma vale cero ya que la segunda fila es una combinación lineal de la primera. Concretamente la segunda fila es dos veces la primera. 5 1 1 1 1 1 a b c =5· Por lo que. a 2 b 2 c 2 = a 2 b 2 c 2 = 5 · · 3 3 x/3 y/3 z /3 x/3 y/3 z /3 x y z 5 = 25 3 5 5 5 5 5 ANÁLISIS MATEMÁTICO. Derivadas – Estudio de una función. Si f(x) = e-x(x2 + 6x +9), se pide: a) Dominio, cortes con los ejes y asíntotas verticales. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. Interpretación: Del enunciado deducimos que es un ejercicio en el cual nos piden que estudiemos ciertas características de una función formada por un producto de una función exponencial por una función polinómica. Nos piden en el primer apartado que calculemos el dominio, es decir los valores de x para los cuales existe f(x), los puntos de cortes con el eje Ox y el eje Oy y las rectas asíntotas o el comportamiento asintótico de la función. En el segundo apartado nos piden que estudiemos la monotonía de la función así como los extremos relativos. Estrategia: - Empieza analizando el tipo de función es: racional, polinómica, exponencial,… esto te permitirá saber como puedes estudiar el dominio de la función. - Para calcular el corte con el eje 0x igualaremos la función a cero y para calcular el corte con el eje 0y damos a x el valor cero. - Para estudiar las asíntotas verticales es muy importante conocer el dominio de la función ya que para los valores de x que no pertenecen al domino hay una asíntota vertical. Si la función tiene asíntota vertical no tiene horizontal y viceversa. - Para estudiar la monotonía y los extremos relativos de la función localizaremos primero los posibles extremos relativos ya que un máximo separa una zona de crecimiento de otra de decrecimiento mientras que un mínimo separa una zona de decrecimiento de otra de crecimiento. A la hora de resolver el problema tendremos en cuenta…. - Dominio de funciones. (Pág. 151) Cálculo de puntos de corte de una función con los ejes. (Pág. 152) - Asíntotas horizontales. (Pág. 149) Aplicación de las derivadas para el estudio de la monotonía de una función. ( Pág. 142) Aplicación de las derivadas para el estudio de los extremos relativos de una función. (Pág. 144) Para resolver el problema…. a) Dominio La función f(x) = e-x(x2 + 6x + 9) también la podemos expresar como: ( x 3) 2 . ex El dominio de esta función será la intersección entre el dominio del numerador y el dominio del denominador excepto los valores de x que lo anulen. f(x) = Al tratarse el numerador de un polinomio su dominio es todo R. Lo mismo ocurre con la función exponencial. Como además esta no se anula nunca resulta que el domino de f(x) es todo R. Puntos de corte Para calcular los puntos de corte con el eje Ox tendremos que igualar la función a 0. Si f(x) = 0 ; resulta que (x + 3) 2 = 0 por lo que x = –3 De la misma manera si queremos calcular el corte con el eje Oy tendremos que dar a x el valor 0. Si x = 0 , f(x) = 32 = 9 Luego los puntos de corte son (–3, 0) y (0 , 9) Asíntotas. Verticales: Las asíntotas verticales son rectas paralelas al eje Oy cuya expresión es x = a siendo a valores que no pertenecen al dominio. En este caso como el dominio es todo R la función carece de asíntotas verticales. b) El estudio de la monotonía y de los extremos relativos se puede realizar de manera conjunta. En este caso vamos a determinar el crecimiento y el decrecimiento de la función estudiando el signo de la primera derivada en el dominio de f(x). Para ello vamos a determinar previamente los posibles extremos relativos igualando la primera derivada a cero. f´(x) = ( x 1)(x 3) ex =0 Para que la primera derivada se anule basta que sea cero el numerador. Si -(x+1)(x +3) = 0 ; resulta que los posibles máximos y mínimos son x = –1 y x = –3 Con estos valores podemos dividir el dominio en 3 intervalos y estudiar el signo de f´(x) según la siguiente tabla teniendo en cuenta que e x es siempre positiva, (–∞, –3) (–3, –1) (–1, ∞) – – – – x+1 – – + x+3 – + + f´(x) – + - f(x) Decreciente Creciente Decreciente Por lo tanto en x = –3 la función pasa de ser decreciente a ser creciente por lo que va a ser la coordenada x de un mínimo relativo, Mientras que en x = – 1 la función pasa de ser creciente a ser decreciente por lo que será la coordenada x de un máximo relativo. Para calcular la coordenada y del mínimo del máximo sustituimos el valor de la x en la función obteniendo que el mínimo tiene de coordenadas (–3, 0) y el máximo ( –1, 4e). Integral definida – Cálculo de áreas Sea la función f(x) = sen x a) Calcula a > o tal que el área encerrada por la gráfica de f(x), el eje y = 0 y la recta x = a sea ½ b) Calcula la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = /4. c) Calcular el área de la superficie encerrada por la tangente anterior, la gráfica de la función y las rectas x = /4 y x = 3/4. Interpretación: Del enunciado se deduce que se trata de un problema de integral definida donde además tendremos que utilizar el cálculo de la recta tangente a una función en un punto. Nos piden en el primer apartado que calculemos un límite de integración conociendo el valor de la integral definida. En el segundo tendremos que calcular la ecuación de la recta tangente a f(x) en un punto para lo que necesitaremos el valor de la pendiente de dicha recta. En el último apartado tendremos que calcular el área o superficie comprendida entre la función y la recta tangente sabiendo que los límites de integración son /4 y 3/4. Estrategia: a) - El valor x = a coincide con el límite de integración cuyo valor es la medida de la superficie encerrada bajo f(x). - El valor de esta superficie lo igualamos a la integral definida de f(x) entre x = a y x = 0. - De esta igualdad podremos calcula el valor de a. - El cálculo de la recta tangente lo realizaremos utilizando la expresión de la recta punto pendiente. - Previamente calcularemos la pendiente que coincide con la derivada primera en el punto donde vamos a calcular dicha recta. b) c) - En este apartado nos piden que calculemos el área comprendida entre dos curvas. Como conocemos los límites de integración basta aplicar la expresión: b ( f ( x) g ( x))dx a A la hora de resolver el problema tendremos en cuenta…. - Derivada en un punto. (Pág. 126 y 127) Ecuación de la recta tangente a una función en un punto. ( Pág. 127) Regla de Barrow. (Pág. 187) Cálculo de integrales indefinidas. (Pág. 167) Para resolver el problema… a) Calculamos inicialmente el valor que toma x cuando la función se hacer cero. Si f(x) = 0 ; sen x = 0, x = 0 . Este valor será el límite inferior de integración. El enunciado nos dice que el área encerrada entre x = 0 , x = a de la función f(x) = sen x es ½, por lo que: a 0 senxdx 1 / 2 La primitiva de f(x) = sen x es – cos x. Aplicando la regla de Barrow: cosx0a = – cos a + cos 0 = ½ –cos a + 1 = ½ ; cos a = –1/2; por lo que a = /3 b) Para calcular la recta tangente utilizaremos la expresión de la recta en forma punto pendiente: f(x) – f(x0) = f´(x0 ) ( x – x0) siendo f´(x0 ) el valor de la derivada de la función en el punto en el que queremos calcular la recta tangente. Calculado inicialmente este valor resulta que f´(x) = cos x. 2 Luego f´(/4) = cos /4 = 2 Sustituyendo en la ecuación de la recta punto pendiente: f(x) – 2 2 = ( x – /4) 2 2 f(x) = 2 ( x – /4 + 1) 2 c) La superficie comprendida entre la recta tangente en el punto /4, la función f(x) = sen x y las rectas x = /4 y x = 3/4 es la integral definida: 3 / 4 /4 2 ( x – /4 + 1) dx – 2 3 / 4 /4 sen x dx Aplicando la regla de Barrow 3 / 4 /4 2 ( x – /4 + 1) dx – 2 3 / 4 /4 sen x dx = 2 2 ( x /2 – x/4 + x) – (–cos x) = 2 2 9 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 32 4 16 32 4 15 2 2 2 8 2 Aplicación de las Derivadas – Problemas de Optimización Se ha de construir un gran depósito cilíndrico de 81 m3 de volumen. La superficie lateral ha de ser construida con un material que cuesta 30 euros por metro cuadrado y las dos bases con un material que cuesta 45 euros el metro cuadrado. ¿Qué dimensiones ha de tener el depósito para que el coste de los materiales necesarios para construirlo sea el mínimo posible? Interpretación: Del enunciado se deduce que se trata de un problema de optimización en el cual nos dan el volumen de un cilindro y el precio del material del que hemos de construir las bases y los laterales. Nos piden que calculemos las dimensiones del cilindro, es decir cual es el radio de la base y la altura de este para que el coste sea lo más barato posible. Estrategia: - Como se trata de resolver un problema de optimización por lo que inicialmente debemos expresar la función que debemos de optimizar a partir del enunciado del problema. - Si la función depende de más de una variable tendremos que buscar una relación o ligadura entre ambas. - Para calcular los posibles máximos o mínimos haremos la primera derivada y la igualaremos a cero. De aquí sacaremos los valores de la variable que van a optimizar la función. - Para verificar si son máximos o mínimos podemos utilizar dos criterios: o Signo de la primera derivada entorno al posible máximo o mínimo. o Signo de la segunda derivada en el posible máximo o mínimo. - Utilizar un criterio u otro dependerá de la dificultad que tengamos en calcular la segunda derivada. A la hora de resolver el problema tendremos en cuenta…. - Calculo de la derivada de una función. (Pág. 131) Criterio de optimización de una función utilizando las sucesivas derivadas de una función. (Pág. 144 y 145) Criterio de optimización de una función estudiando el signo de la primera derivada entorno a posibles extremos relativos. (Pág. 144 y 145) Derivada en un punto. (Pág. 126 y 127) Para resolver el problema… Lo primero que haremos es expresar en forma de función lo que cuesta construir el cilindro. Cómo el coste su vez depende de la superficie del cilindro resulta que: Superficie Total = Superficie lateral + Superficie bases Por lo que el coste total será: Coste Total = Superficie lateral · 30 €/m2 + Superficie bases · 45 €/m2 Coste Total = 2 a b · 30 + 2 a2 · 45, donde a y b son respectivamente el radio y la altura del cilindro. Podemos observar como el coste depende de dos variables lo cual supone una dificultad a la hora de derivar la función. De ahí que tengamos que buscar una relación entre ambas utilizando los datos que nos da el problema. Cómo el volumen del cilindro es constante resulta: V = a2 b; 81 = a2 b. De esta relación podemos expresar a en función de b o viceversa. b = 81/a2 Si sustituimos, el coste total que llamaremos C se puede expresar como: C= 4860 90a 2 a Una vez que tenemos la función a optimizar vamos a calcular sus posibles extremos relativos. Hacemos la primara derivada de C respecto de a y la igualamos a 0. Aquí tendremos en cuenta las reglas de derivación. C´= 4860 180a = 0 a2 Si tomamos común denominador resulta: 4860 180a 3 C´= = 0 y se deduce que para que sea cero la primera a2 derivada basta que sea cero el numerador. – 4860 + 180a3 = 0 . Resolviendo la ecuación resulta que 180 a3 = 4860 . Si despejamos a3 resulta a3 = 27 por lo que a = 3 m. Como b = 81/a2 , resulta que b = 9 m. Ambos valores son posibles máximos o mínimos. Ahora tendremos que verificar si lo son. Para ello tenemos dos opciones. a) Calcular la segunda derivada, sustituir los posibles extremos relativos y estudiar el signo de esta. b) Analizar el signo de la primera derivada a la izquierda y a la derecha del posible extremo relativo. En este caso vamos a hacer la segunda derivada ya que esta es muy sencilla de calcular: 4860 ·2a 180 a4 Si sustituimos a por 3 resulta que C´´(3) es positivo. C´´ = De aquí deducimos que a = 3 y b = 9 son las dos dimensiones que ha de tener el cilindro para que su fabricación sea lo más barata posible. PROBABILIDAD y ESTADISTICA Probabilidad – Teorema de Bayes. En el primer curso de una determinada Facultad hay dos grupos dos grupos A y B . En el grupo A hay 60 varones y 40 mujeres, y en el grupo B hay 64 varones y 16 mujeres. La probabilidad de elegir un alumno del grupo A es 1/3 y la de elegir uno del grupo B es 2/3. a) calcular la probabilidad de elegir un varón. b) Si hemos elegido un varón ¿cuál es la probabilidad de que este sea del grupo A? Interpretación: Del enunciado deducimos que se trata de un problema de probabilidad donde nos dan por una parte el número de varones y mujeres que hay en dos grupos y por otra parte las probabilidades correspondientes a elegir un alumno de cada uno de los dos grupos. Nos piden que calculemos en el primer apartado la probabilidad de elegir un varón y por los datos que tenemos se trata de un problema de probabilidad total. En el segundo apartado nos piden calcular una probabilidad a posteriori por lo que podemos resolver este problema utilizando el teorema de Bayes. Estrategia: a) - Describimos correctamente los sucesos. - Con la unión e intersección de sucesos describimos el suceso del cual tenemos que calcular la probabilidad. - Tendremos en cuenta si los sucesos son compatibles o incompatibles y dependientes o independientes. - Aplicamos el teorema de la probabilidad total. - Nos piden que calculemos una probabilidad a posteriori a partir de probabilidades a priori y verosimilitudes. - Para resolver el problema aplicamos el teorema de Bayes. En este caso necesitaremos haber calculado correctamente el apartado a) b) A la hora de resolver el problema tendremos en cuenta…. - Unión e intersección de sucesos. (Pág. 207) - Probabilidad de la unión e intersección de sucesos. (Pág. 209, 212 y 213) - Sucesos dependientes e independientes. (Pág. 214)) - Sucesos compatibles e incompatibles. (Pág. 209) - Probabilidad a priori y probabilidad a posteriori. (Pág. 215 y 216) -Teorema de la probabilidad total. (Pág. 215) - Teorema de Bayes. (Pág. 216) Para resolver el problema…. a) Lo primero que aremos será describir correctamente los sucesos: A: Elegir grupo A B: Elegir grupo B V: Elegir un varón M: Elegir una mujer. Una vez realizado esto pasamos a describir con álgebra de sucesos, con unión e intersección, el suceso del cual tenemos que calcular la probabilidad. El primer apartado nos pide la probabilidad de elegir un varón eligiendo previamente uno de los dos grupos al azar. Según esto nos podemos preguntar ¿Qué tiene que ocurrir para que elijamos un varón?: Puede ser que elijamos el grupo A y elijamos un varón ó que elijamos el grupo B y que elijamos un varón. La conjunción lógica y la asociamos a la intersección mientras que la conjunción lógica o la traducimos por unión. De esta manera el suceso correspondiente será: V = (A V) (B V) Luego la probabilidad que tenemos que calcular es P (V) = P [ (A V) (B V) ] Respecto e la unión tenemos que ver si los sucesos son compatibles o incompatibles y respecto de la unión si son dependientes o independientes. (A V) y (B V) son incompatibles ya que no pueden acontecer a la vez. No puede ser que cojamos un varón simultáneamente del grupo A y del grupo B. Luego P [ (A V) (B V) ] = P(A V) + P(B V). Los sucesos A y V, y B y V son dependientes entre sí ya que hay distinto número de varones en cada grupo , luego elegir uno depende de si tomamos A o B. Por lo tanto P [ (A V) (B V) ] = P(A V) + P(B V) = P(A) P(V/A) + P(B) P(V/A), donde P(V/A) y P(V/B) son las probabilidades condicionadas. Por último sustituimos cada probabilidad por su valor: P (V) = 1/3 · 0.6 + 2/3 · 4/5 0.73 b) El segundo apartado nos pregunta por la probabilidad de que si la persona elegida es un varón cual es la probabilidad de que este pertenezca al grupo A. Esta probabilidad la expresaremos como P(A/V) y se denomina una probabilidad a posteriori a diferencia de P(V) que sería una probabilidad a priori. Observa la diferencia entre P(V/A) y P(A/V). Para calcular P(A/V) podemos utilizar el teorema de Bayes: P( A) P(V / A) P(V ) Donde la probabilidad de elegir un varón al azar ya la hemos calculado el primer apartado. P( A / V ) Por lo tanto: P( A / V ) 1 / 3·0.6 3 0.27 0.73 11 Distribución de probabilidades – Aproximación de la Binomial a al Normal. Se sabe que 2 de cada 8 habitantes de una ciudad utiliza el transporte público para ir a su trabajo. Se hace una encuesta a 140 de esos ciudadanos. Determinar: a) Número esperado de ciudadanos que no van a su trabajo en transporte público. b) Probabilidad de que el número de ciudadanos que van al trabajo en transporte público esté entre 30 y 45 Interpretación: Del enunciado se deduce que se trata de un problema de probabilidad donde tenemos que utilizar variables aleatorias, en principio discretas para poder resolverlo. El enunciado nos dice: “2 de cada 8 habitantes“ por lo que la probabilidad será 2/8. Por otra parte nos habla de 140 ciudadanos. Este dato será el tamaño de la muestra o número de veces que realizamos el experimento. Nos piden que calculemos por una parte el valor esperado o media de la variable aleatoria que describe el número de habitantes que no van al trabajo en transporte público. En el segundo apartado nos preguntan por la probabilidad de que la variable aleatoria “número de habitantes que van al trabajo en transporte público” esté comprendida entre 30 y 45. Estrategia: - Expresamos los sucesos con sus correspondientes probbilidades. - Asignamos variables aleatorias justificando si sigue una distribución binomial o una distribución normal. - Expresamos la probabilidad que nos piden que calculemos. En este problema para realizar su cálculo tendremos que utilizar la aproximación de la binomial a la normal. - Para realizar los cálculos tendremos que tipificar la variable X a otra variable Z que seguirá una distribución normal N (0,1). A la hora de resolver el problema tendremos en cuenta…. - Variable aleatoria discreta y continua. (Pág. 225) Variable tipificada. (Pág. 236) Esperanza matemática o media. (Pág. 234) Desviación típica de una variable aleatoria. (Pág. 234) Distribución Binomial B (n, p). (Pág. 230) Distribución Normal N ( , ). (Pág. 235) - Aproximación de una Binomial a una Normal. (Pág. 238 y 239) Para resolver el problema…. Lo primero que aremos es describir los sucesos. En este caso hay dos bien diferenciados que son: A: “Ciudadano que va al trabajo en transporte público” B: “Ciudadano que no va al trabajo en transporte público” La probabilidad de ambos sucesos es respectivamente: P(A) = 32/8 = ¼ = 0.25 y P(B) = ¾ ya que es el suceso contrario. La variable aleatoria discreta asociada al suceso A será X = “Número de ciudadanos que van al trabajo en transporte público”. Observa la diferencia entre el suceso y la variable aleatoria. Esta última siempre tiene que especificar un número o cantidad. La variable aleatoria sigue una distribución binomial ya que: Es una situación de éxito o fracaso. Es decir el ciudadano va en transporte público o no va en transporte público al trabajo. El experimento se realiza n veces. Concretamente 140 ya que son el número de habitantes elegidos. La probabilidad del suceso A no varía, siempre toma el valor ¼. Los sucesos son independientes entre sí. Es decir que si un ciudadano toma el transporte público no influye en que otro lo tome o no. Según esto X sigue una distribución binomial del tipo B (140, ¼). a) Para calcula el número esperado de ciudadanos que toma el transporte público calculamos la media = n · p 0 140 · ¼ = 35. Por lo tanto el número de ciudadanos que no toma el transporte público es 140 – 35 = 105. b) En el segundo apartado nos piden que calculemos la probabilidad de que el número de ciudadanos que toma el transporte público para ir a trabajar esté entre 30 y 45, es decir nos piden que calculemos : P( 30 X 45) Para realizar este cálculo vemos si podemos realizar la aproximación a una distribución normal. Como n·p > 5 y n·q > 5 resulta que: B(140, ¼) N( 35, ) , donde es la desviación típica y se calcula como n·p·q = 5.12. Por lo tanto P( 30 X 45) = P( 29.5 x 45.5) realizando la corrección p0or continuidad al pasar de una variable discreta a una continua. Para calcular la probabilidad tendremos que pasar de la variable X a una x variable tipificada Z = la cual va a seguir una distribución normal N( 0, 1) Si tipificamos la variable: P( 30 X 45) = P( 29.5 x 45.5) = P ( 29.5 35 45.5 35 z )= 5.12 5.12 P( –1.07 Z 2.05) = P( Z 2.05) – P( Z –1.07). La primera probabilidad se puede calcula directamente en la tabla de distribución normal N (0, 1). La segunda no, ya que Z toma un valor negativo. Ahora bien: P( Z –1.07) = P( Z 1.07) ya que la distribución es simétrica. Por lo que P( Z 1.07) = 1 – P( Z 1.07). La P( Z 1.07) si que se puede encontrar en la tabla N(0,1). De esta forma: P( –1.07 Z 2.05) = P( Z 2.05) – P( Z –1.07) = P( Z 2.05) + P( Z 1.07) – 1 = 0.9798 – 0.8577 – 1 = 0.8375. Es decir que hay un 83.75% de probabilidad de que el número de ciudadanos que utilizan transporte público esté entre 30 y 45 habitantes Test de Hipótesis – Test unilateral sobre la media. El equipo directivo afirma del recorrido que hacen los alumnos que asisten a un centro de bachillerato es, a lo sumo, igual a dos kilómetros y medio con una desviación típica igual a 0.5 km. Se toma una muestra de 81 alumnos y se obtiene para ellos un recorrido medio de 2.6 km. a) ¿Se puede aceptar con un nivel de significación igual a 0.05 la afirmación del equipo directivo? b) ¿La respuesta del apartado anterior es la misma si el nivel de confianza es del 99%? Interpretación: Del enunciado se deduce que el problema trata de contrastar una estimación realizada sobre una población a partir de un dato muestral. Concretamente trata de contrastar valores medios. Para ello se utiliza un test de hipótesis sobre la media el cual va a ser unilateral ya que el enunciado dice “ a los sumo, igual a …”. El problema nos aporta el tamaño muestral así como los niveles de significación y de aceptación. Nos piden que a partir de un dato muestral y dado un nivel de significación en el primer apartado y un nivel de confianza en el segundo, seamos capaces de ver si se puede aceptar la afirmación hecha por el equipo directivo de todos los alumnos del centro. Estrategia: - Inicialmente tendremos que estudiar si se trata de un problema de Tes. De hipótesis sobre la media o sobre proporciones. - Analizamos si se trata de un test bilateral o unilateral. - Planteamos la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. - Exponemos el intervalo de confianza encontrando previamente el valor crítico. - Para tomar la decisión de aceptar o rechazar al hipótesis observamos si el valor muestral están dentro de ese intervalo. A la hora de resolver el problema tendremos en cuenta…. - Media muestral y media poblacional. (Pág. 248) Test de hipótesis sobre la media. (Pág. 268 y 269) Intervalo de confianza. (Pág. 254) Nivel de significación. (Pág. 253) Nivel de aceptación. (Pág. 253) Para resolver el problema… Lo primero es tener claro que la media de la población., es decir la afirmación realizada por el equipo directivo, es 2.5 y la media muestral obtenida a partir de los 81 alumnos es 2.6 Por lo tanto como el test de hipótesis es unilateral sobre la media planteamos nuestra hipótesis nula y nuestra hipótesis alternativa de la siguiente forma: La hipótesis nula será que la media sea menor o igual que la afirmación que hace el equipo directivo. Mientras que la hipótesis alternativa será que la media sea mayor que la afirmación realizada por el equipo directivo sobre todos los alumnos. H o : 2.5 H 1 : 2.5 Una vez establecida la hipótesis nula y la alternativa construimos el intervalo de confianza para la media poblacional: , 0 z 0 n Donde: 0 es la media poblacional, 0 es la desviación típica, n es el tamaño de la muestra y z es el valor crítico correspondiente a un nivel de significación . Para calcular z tomaremos el valor de = 0.05. z es el valor de la variable tipificada que deja a su derecha una probabilidad de 0.05, luego a su izquierda aparece una probabilidad de 0.95. Si tomamos la distribución N(0,1) y buscamos en ella la probabilidad 0.95 veremos que corresponde a un valor de variable tipificada de 1.645. Por lo tanto el intervalo será: 0.5 ,2.5 1.645 ,2.59 81 Podemos ver que la media muestral 2.6 queda fuera del intervalo luego no podemos aceptar la afirmación del equipo directivo para un nivel de significación de 0.05. b) El segundo apartado nos piden que realicemos de nuevo el contraste pero con un nivel de confianza del 99% Según esto el nivel de significación es 0.01 para el cual le corresponde un valor crítico z = 2.33. Por lo que el intervalo de confianza será: 0.5 ,2.5 2.33 ,2.63 81 Para este nivel de confianza el valor muestral 2.6 si está dentro del intervalo por lo que podemos aceptar la hipótesis nula o lo que es lo mismo la afirmación realizada por el equipo directivo del centro. Ten en cuenta que tanto si se acepta la hipótesis nula como si se rechaza siempre estamos sometidos a cometer un error. Si rechazamos la hipótesis nula pero esta es cierta estamos cometiendo un error tipo I y si aceptamos la hipótesis nula pero esta resulta ser falsa estamos cometiendo un error tipo II.