Syllabus Algebra - Udabol Virtual

FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIDAD ACADÉMICA SANTA CRUZ
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Ingeniería Ambiental
PRIMER SEMESTRE
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
ÁLGEBRA
Elaborado por:
Ing. Gelen Perlina Tondelli Méndez
Gestión Académica I/2008
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R. M. 288/01
VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al servicio de
la sociedad.
Estimado (a) Estimado (a) estudiante:
El syllabus que ponemos en tus manos es el fruto del trabajo intelectual de tus docentes, quienes han
puesto sus mejores empeños en la planificación de los procesos de enseñanza para brindarte una
educación de la más alta calidad. Este documento te servirá de guía para que organices mejor tus
procesos de aprendizaje y los hagas muchos más productivos. Esperamos que sepas apreciarlo y
cuidarlo.
Aprobado por: Ing. Gelen Perlina Tondelli Méndez
Fecha: Enero de 2008
SELLO Y FIRMA
JEFATURA DE CARRERA
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
SYLLABUS
TEMA 2. Ecuaciones
Asignatura:
Álgebra
Código:
MAT - 100
Requisito:
Ninguno
Carga Horaria:
100 horas Teórico Prácticas
2.3.
Horas Teóricas:
60 horas
2.4.
Horas Prácticas:
40 horas
Créditos:
5
I.
OBJETIVOS
ASIGNATURA.
GENERALES
2.1.
2.2.
2.5.
DE
LA

Valorar el rol de las Leyes y propiedades del
Álgebra en el desarrollo del pensamiento
matemático.

Evaluar la aplicabilidad de los procesos
algebraicos en la solución de problemas lógicos
relativos al perfil profesional.

Ejercitar el pensamiento crítico alternativo y
reflexivo como rasgo cuantitativo del perfil
profesional.

Analizar el álgebra, partiendo de las diferentes
características matemáticas que presentan, a
un nivel creativo.
II.
PROGRAMA
ASIGNATURA.
ANALÍTICO
DE
2.6.
2.7.
TEMA 3. Inecuaciones
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
TEMA 4. Logaritmos.
4.1.
4.2.
TEMA 1. Operaciones Algebraicas
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
Operaciones algebraicas
1.1.1.
Suma algebraica
1.1.2.
Resta algebraica
1.1.3.
Multiplicación algebraica
1.1.4.
División algebraica
1.1.5.
Reducción de términos semejantes
Productos notables
Cocientes notables
Factorización
Fracciones Algebraicas
Operaciones con fracciones algebraicas
Máximo común divisor, mínimo común
múltiplo
Simplificación de Fracciones algebraicas.
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Definición y características de los conjuntos
numéricos.
3.1.1.Notación de conjuntos por extensión.
3.1.2.Notación
de
conjuntos
por
comprensión.
Desigualdades, teoremas e intervalos.
Inecuaciones Lineales.
Inecuaciones de grado superior.
Inecuaciones con valor absoluto.
Problemas de Aplicación.
LA
UNIDAD I: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA
1.1.
Ecuaciones Algebraicas.
Ecuaciones de primer grado con una
incógnita.
Problemas de aplicación de ecuaciones de
primer grado con una incógnita.
Sistema de ecuaciones lineales de 2 x 2
2.4.1.Método de Sustitución.
2.4.2.Método de Reducción.
Aplicaciones de sistemas de ecuaciones
lineales de 2x2
Ecuaciones de grado superior
2.6.1.Ecuaciones Cuadráticas
2.6.2.Ecuaciones Polinomicas.
Aplicaciones de las Ecuaciones de grado
superior.
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3
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
Leyes de exponentes.
Problemas
de
aplicación
de
leyes
exponenciales.
Definición de logaritmo.
Propiedades de los logaritmos.
Problemas de aplicación de propiedades de
logaritmos.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas con
una incógnita.
Sistema de ecuaciones exponenciales y
logarítmicas de 2 x 2
TEMA 5. Trigonometría
5.1.
5.2.
5.3.
A Q
Definición de Trigonometría
Círculo y sistema de medición de ángulos.
Razones trigonométricas y teorema de
Pitágoras.
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5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
Identidades trigonométricas.
Ecuaciones trigonométricas.
Ley de senos y cosenos.
Aplicación de la trigonometría
UNIDAD II: LÓGICA SIMBÓLICA Y TEORÍA DE
CONJUNTOS
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
Determinación de un conjunto
Conjuntos Especiales
Relaciones entre Conjuntos
Operaciones entre Conjuntos
Leyes de operaciones con conjuntos
Producto Cartesiano
TEMA 8. Geometría Plana.
TEMA 6. Lógica simbólica
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
Introducción
Proposiciones
Operaciones proposicionales
Formulas proposicionales
Equivalencia Lógica
Álgebra de Proposiciones
Circuitos Lógicos
Inferencia Lógica.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
TEMA 7. Teoría de conjuntos
7.1.
7.2.
Definición.
Sistemas de coordenadas.
Distancia entre dos puntos.
La recta.
6.4.1. Pendiente.
6.4.2. Angulo de inclinación.
6.4.3. Ecuaciones de la recta.
Cónicas.
La circunferencia: Ecuación general y radical.
La parábola: Ecuación general y radical.
La Elipse: Ecuación general y radical.
La Hipérbola: Ecuación general y radical
Concepto y notación de conjunto
Notación de conjuntos numéricos
III.- ACTIVIDADES A REALIZAR POR LAS BRIGADAS UDABOL.
i)
Tipo de Asignatura: De acuerdo a las características de la carrera y de la asignatura la materia de
Álgebra es una materia de tipo B.
ii) Diagnostico para la detección del problema: Actualmente existen diferentes programas que permite
facilitar el aprendizaje de la física y la matemática. La materia de Álgebra será una materia de apoyo al
proyecto que se ejecutara en la materia de Programación II.
iii) Nombre del proyecto: La materia de Álgebra contribuirá al proyecto de ”Creación de software
pedagógico para incentivar el aprendizaje de la física y la matemática”.
TRABAJO A REALIZAR POR
LOS ESTUDIANTES
Analizar las ecuaciones o
formulas
de
física
y
matemática que se avanzo
durante la primera evaluación
parcial.
Proponer
el
modelo
de
formulario para crear el
programa en la materia de
Programación II.
LOCALIDAD, AULA O
LABORATORIO
Aulas de la carrera de
Ingeniería Ambiental
INCIDENCIA SOCIAL
Estudiantes de 1er,
2do y tercer semestre
de Ingeniería
Ambiental
después del
primer parcial
Laboratorio de centro
de cómputos
Estudiantes de 1er,
2do y tercer semestre
de Ingeniería
Ambiental
Antes del segundo
parcial
Capacitar en la aplicación de
los software a los colegios de
secundaria del distrito 17, 18 y
19
Colegios de secundaria
de los distritos 17, 18 y
19
9 colegios de
secundaria en los
distritos 17, 18 y 19
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FECHA
PREVISTA
después del
segundo parcial
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IV. EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA
V. BIBLIOGRAFÍA

PROCESUAL O FORMATIVA
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA.
Durante el semestre se evaluara con exámenes
prácticos, actividades de aulas, como ser la
realización de dif’s y work papers; además de
los trabajos de brigadas realizados con la
universidad. Cada uno
se tomará como
evaluación procesual calificándola entre 0 y 50
puntos.




DE RESULTADOS DE LOS PROCESOS DE
APRENDIZAJE O SUMATIVA
Se realizan 2 exámenes parciales y 1 examen
final Teórico práctico escrito se calificará entre
0 y 50 puntos. La nota de evaluación para cada
parcial es el promedio de la evaluación
procesual mas la evaluación sumativa.
La nota Final es el promedio de los dos
parciales y el examen final.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA.



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Gutierrez Pedro A: La práctica del Cálculo
Diferencial e Integral. Editorial La Hoguera,
Santa
Cruz,
1990.
(Signatura
Topográfica:515.33 G97 v.1)
Lazo Sebastian Q: Álgebra Con Trigonometría y
Geometría. Editorial Soipa.. La Paz, 2006.
(Signatura Topográfica: 512.1 L45).
Lehman, Geometría analítica, México, Editorial
Limusa, 1990. (Signatura Topográfica: 516.3 L52).
Rojo, Armando O: Álgebra I. Décimo octava
edición.
Librería
Editorial
El
Ateneo.
Cochabamba,2003. (Signatura Topográfica: 512
R63 t.1).
A Q
Cáceres Braulio. Lógica y Teoría de Conjuntos.
Bolivia, Santa Cruz, 1992.
Ross W. Matemáticas discretas. Edit. Prentice Hall.
Mexico 1994.
Goñi Galarza, Juan. Geometría plana y del
espacio. Latinas Editores. Oruro. 1999.
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VI. PLAN CALENDARIO.
SEMANA
ACTIVIDADES
OBSERVACIONES
1
Tema I: de 1.1 hasta 1.3
2
Tema I: de 1.3 hasta 1.6
3
Tema I: de 1.6 hasta 1.8
4
Tema II: de 2.1 hasta 2.3
5
Tema II: de 2.4 hasta 2.7
6
Tema III: de 3.1 hasta 3.3
EVAL PARC I
7
Tema III: de 3.1 hasta 3.6
EVAL PARC I
8
Tema IV: de 4.1 hasta 4.3
9
Tema IV: de 4.3 hasta 4.7
10
Tema V: de 5.1 hasta 5.2
11
Tema V: de 5.3 hasta 5.7
12
Tema VI: de 6.1 hasta 6.4
EVAL PARC II
13
Tema VI: de 6.5 hasta 6.8
EVAL PARC II
14
Tema VII: de 7.1 hasta 7.8
15
Tema VIII: de 8.1 hasta 8.4
16
Tema VIII: de 8.5 hasta 8.9
17
EVALUACIÓN FINAL
18
EVALUACIÓN FINAL
19
SEGUNDA INSTANCIA
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Presentación de notas
Presentación de notas
Presentación de Actas
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 1
UNIDAD O TEMA: 1
TITULO: OPERACIONES ALGEBRAICAS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN:
Operaciones Algebraicas.
Las operaciones algebraicas son: suma, resta,
multiplicación y división de monomios o polinomios.
La suma o adición es una operación que tiene por
objeto reunir dos o más expresiones algebraicas en
una sola expresión.
Para sumar dos o más
expresiones algebraicas se escriben unas a
continuación de otras con sus propios signos y se
reducen los términos semejantes si los hay.
Ejemplo:
a) Sumar los siguientes monomios:
3a2b; 4ab2; a2b; 7ab2 y 6b2
3a2b + 4ab2 + a2b + 7ab2 + 6b2 =
4a2b + 11ab2 + b2
2a + 3b – c - (-4a + 5b + 5c), aplicar ley de signos
2a + 3b – c + 4a - 5b – 5c = 6a - 2b – 6c
La multiplicación es una operación que tiene por
objeto encontrar el producto de dos expresiones,
llamado multiplicando y multiplicador, hallar una
tercera cantidad llamada producto. En el caso de
las literales se aplica la regla de exponentes de
producto de bases iguales, los coeficientes se
multiplican de forma normal aplicando reglas de
signos, dichos productos se clasifican en términos
semejantes y se suman o restan dichos términos.
Propiedades a utilizar en la multiplicación.
1.- a(b + c) = ab +ac
b) Sumar los siguientes binomios:
a - b; 2a + 3b – c y -4a + 5b
(a – b) + (2a + 3b – c) + (-4a + 5b)
a – b + 2a + 3b – c – 4a + 5b = – a + 7b – c
2.- an.am = an+m Propiedad de exponentes.
Ley de signos.
La resta o sustracción es una operación que tiene
por objetivo dado una suma de dos sumando
(minuendo) y el otro (sustraendo), hallar el otro
sumando (resta o diferencia). Para restar se escribe
el minuendo con su propio signo y a continuación el
sustraendo con los signos cambiados y luego se
reducen los términos semejantes si los hay.
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*
*
*
*
+
+
-
=
=
=
=
+
+
Ejemplo:
a) Multiplicar los siguientes términos:
Aplicando la ley distributiva con la respectiva ley de
signos, además considerando que:”bases iguales
exponentes se suman”, entonces se tiene el
siguiente resultado:
-20a3b3 – 10a2b4
b) Restar los siguientes polinomios:
2a + 3b – c; -4a + 5b +5c
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+
+
-
4a2b + 2ab2; - 5ab2
(4a2b + 2ab2) * (- 5ab2)
Ejemplo:
a) Restar los siguientes binomios:
4a2b + 2ab2; a2b - 5ab2
4a2b + 2ab2 – (a2b - 5ab2), aplicar ley de signos
4a2b + 2ab2 – a2b + 5ab2 = 3a2b + 7ab2
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Propiedad distributiva
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(3xy  5)(3xy  5)  (3xy) 2  (5) 2
La división es una operación que tiene por objeto
dado el producto de dos factores (dividendo) y el
 9x 2 y 2  25
otro de los factores (divisor) hallar el otro tercer
factor llamado (cociente).
Ejemplos:
a) Dividir 4x3 + 3x – 6 entre x -1
El Binomio al cubo es el cubo del primero más el
triple producto del cuadrado del primero más el
triple producto del primero por el cuadrado del
segundo más el cubo del segundo.
Primeramente se debe ordenar ambos términos
4x3 + 0x2 + 3x – 5
| x -1
-4x3+ 4x2
4x2 + 4x + 7
2
4x + 3x
-4x2 + 4x
7x – 5
-7x + 7
2
(a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b) ³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Ejemplo:
a)
Desarrollar
la
siguiente
expresión
algebraica aplicando el producto notable: diferencia
de cuadrados:
Productos Notables.
Se llama productos notables a ciertos productos
que cumplen reglas fijas cuyos resultado puede ser
escrito por simple inspección, es decir sin verificar
la multiplicación. Entre estos productos tenemos:
binomio al cuadrado, diferencia de cuadrados,
binomio al cubo y producto de dos binomios.
El Binomio al cuadrado es el cuadrado del primero
más el doble producto del primero por el segundo
más el cuadrado del segundo.
(a + b)² = a² + 2 ab + b²
(a - b)² = a² - 2 ab + b²
Ejemplo:
3xy  5x3 =
(3xy) 3  3(3xy) 2 (5x)  3(3xy)(5x) 2  (5x) 3
= 27x
a2  b2
a2  b2
 a b ;
ab
ab
ab
Cociente de la suma o diferencia de los cubos de
dos cantidades entre la suma o diferencia de dos
cantidades:
2

a3  b3
 a 2  ab  b 2
ab

2
1 2a  2
 1 2a  2 
= 3 a   23 a   y
  y
2
 2

1
2 x2
 3 x x 1 y 2 a  2  y 4 a  4
= 9x
4
x 1 2
x 1
a3  b3
 a 2  ab  b 2
a b
La Diferencia de cuadrados llamada también
Binomios Conjugados es el cuadrado del primero
menos el cuadrado del segundo.
(a + b) (a – b) = a² - b²
Ejemplo:
a) Desarrollar la siguiente expresión algebraica
aplicando el producto notable: diferencia de
cuadrados:
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y 3 135x 3 y 2  45x 3 y 125x 3
Cocientes Notables.
Se llama cocientes notables a ciertos cocientes que
obedecen a reglas fijas y que pueden ser escritos
por simple inspección.
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos
cantidades entre la suma o la diferencia de dos
cantidades:
a) Desarrollar la siguiente expresión algebraica
aplicando el producto notable: el binomio al
cuadrado:
 x 1 1 2 a  2 
3 a  y 
2


3
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Cociente de la suma o diferencia de potencias
iguales de dos cantidades entre la suma o
diferencia de dos cantidades:
Ejemplos:
a4  b4
 a 3  a 2 b  ab2  b 3
ab
a4  b4
 a 3  a 2 b  ab2  b 3
ab
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a5  b5
 a 4  a 3 b  a 2 b 2  ab3  b 4 ;
a b
a5  b5
 a 4  a 3 b  a 2 b 2  ab3  b 4
ab
Los resultados anteriores pueden
abreviadamente de este modo:
expresarse
1. an – bn es siempre divisible por a – b, siendo n
cualquier numero par o impar.
2. an – bn es siempre divisible por a + b, siendo n
un numero par.
3. an + bn es siempre divisible por a + b, siendo n
un numero impar.
4. an + bn nunca es divisible por a – b ni por a + b,
siendo n un numero par.
Factorización por agrupación o asociación:
Esta factorización se puede aplicar siempre y
cuando el número de términos de la expresión
algebraica sea un número tal que se puedan formar
parejas. Los pasos para factorizar por agrupación
de términos son:
1. Se agrupan las parejas que tienen factor común
2. Cada pareja sé factoriza por el método del
factor común, de tal manera que los términos
que resulten dentro de los paréntesis deberán
ser iguales de lo contrario se tendrá que buscar
otra combinación.
3. La factorización se obtiene con el producto de
los términos que quedaron dentro del
paréntesis por los factores comunes que
resultaron en la aplicación del primer método.
Ejemplo:
a) Factorizar la siguiente expresión algebraica:
ax  bx  ay  by
ax  bx  ay  by  x(a  b)  y(a  b)
Factorización: Se llama factorización de una
expresión algebraica a las expresiones que
multiplicadas entre si dan como producto la primera
expresión. El objetivo de la factorización es
convertir un polinomio P(x) en productos de
binomios.
Factorización por factor común:
Esta será la primera factorización que se aplique a
cualquier expresión algebraica de acuerdo a lo
siguiente:
1. Se observa si la expresión algebraica cuenta
con un término común, en el caso de las letras
se toman las literales comunes con menor
exponente, en el caso de los números se
obtiene el máximo común divisor, de esta
manera obtenemos el término o factor común
recordando que este deberá ser diferente a
uno.
2. Una vez encontrando el término común se
busca el otro factor el cual es el resultado de la
división de la expresión entre el término común.
3. Se establece con dichos factores la
factorización.
Factorización de trinomio cuadrado perfecto:
Esta factorización únicamente se aplica a trinomios,
siempre y cuando estos cumplan un trinomio
cuadrado perfecto. Los pasos para completar un
trinomio cuadrado perfecto son:
1. Se ordena el trinomio y se obtienen las raíces
del primero y tercer término los cuales deben
ser exactos
2. El doble producto de las raíces anteriores
deberá dar como resultado el segundo término
3. Si la expresión algebraica cumple con lo
anterior se dice que tenemos un trinomio
cuadrado perfecto, el cual podremos factorizar
4. Se toman las raíces obtenidas en el punto 1
colocando entre dichas raíces el signo del
segundo término de la expresión. El binomio
que se forma se eleva al cuadrado y se dice
que ésta es la factorización
Ejemplos:
a) Factorizar la siguiente expresión algebraica:
Ejemplo:
a) Factorizar la siguiente expresión algebraica:
6 x2 y3  32 x3 y3  48 x2 y
 ( x  y)(a  b)
16 x2  24xy  9 y2
16 x 2  24xy  9 y 2
Para factorizar la expresión se debe tomar en
cuenta:
Los literales (términos comunes con menor
exponente): x2 y
Números (máximo común divisor): 2
6 x2 y3  32 x3 y3  48 x2 y

16 x 2  4 x
2(4 x)(3 y )  24xy

Sí es un Trinomio cuadrado perfecto por lo tanto su
factorización es:
 2 x2 y 3 y2  16x y2  24
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9 y2  3y
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16 x2  24xy  9 y2 =  4 x  3 y 
2
Factorización de diferencia de cuadrados:
Esta factorización se aplica a un binomio, el cual se
resta. Los pasos para esta factorización son:
a) Factorizar la siguiente expresión algebraica:
4 a2  9 b10
4 a2  9 b10
4 a2  2a 9 b10  3 b5
Factorización  (2a  3 b5)(2a  3 b5)
Factorización del trinomio de segundo grado:
Esta factorización se aplica a un trinomio siempre y
cuando una vez analizado no sea un trinomio
cuadrado perfecto, los pasos para factorizar a
productos de binomios con un término en común
son:
1. Se ordena el trinomio, se multiplica el
coeficiente del primer término por el coeficiente
de los tres términos.
2. Se obtiene el término común sacando la raíz
cuadrada de la literal del primer término y
tomando el coeficiente del primer término con
esto establecemos un producto de dos
binomios con un término común.
3. Los términos no comunes de los binomios los
obtendremos de la
siguiente manera:
multiplicados deberán dar como resultado el
producto del paso 1 (tercer término) y sumados
o restados el coeficiente del segundo término.
4. Una vez encontrados los números se obtiene el
máximo común divisor (MCD) del coeficiente de
cada binomio. Dichos divisores al ser
multiplicados deberán dar como resultado el
coeficiente del término común, de lo contrario
se tendrán que buscar otros divisores.
5. La factorización es el producto del cociente que
resulte de la división de cada binomio entre su
divisor
Ejemplo:
1. Factorizar la siguiente expresión algebraica:
20 x2  7 x  6
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I D A D
Paso 2 y 3
(20x
)(20x
)
(20 x  15) (20 x  8)
5
4
2
20 x  7 x  6 = (4 x  3)(5 x  2)
Factorización de polinomios: Para factorizar un
polinomio se utiliza el método de Rufini el cual
consiste en expresar un polinomio en producto de
binomios.
Ejemplo:
I V E
(20 x)2  7(20x) 120
Paso 4
1. Se determinan las raíces cuadradas de cada
uno de los términos
2. Con lo anterior se establece un producto de
binomios conjugados
U N
Paso 1
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10
El Método de Ruffini busca Un valor “x = a”; tal
que este valor reemplazado al polinomio da como
resultado cero, en un polinomio P(x) existirán “n”
valores de “x” según sea el grado del polinomio.
Para factorizar el polinomio utilizando el método de
Rufini se sigue los siguientes pasos:
1. Ordenar el polinomio en forma descendente.
2. Copiar los coeficientes del polinomio y si falta
un término asignarle coeficiente cero.
3. Buscar un valor tal que al realizar la operación
se elimine el último término.
4. Una vez encontrado los valores de “X” copiarlos
como productos de binomios.
Ver ejemplos realizados en clases.
Mínimo común múltiplo de monomios.- Se
factorizan los coeficientes y se toman los factores
con mayor exponente. En el caso de las literales se
toman las literales con mayor exponente sin que
éstas se repitan.
Ejemplo
a) Encontrar el mínimo común múltiplo de la
siguiente expresión:
10 a3 x,
36 a2 m x2
,24b2 m4
10  (2)(5)
36  (22) (32)
(23)(32)(5)
24  (23)(3)
Literales con mayor exponente:
Entonces:
3
2
2
4
a x b m
(23)(32)(5)(a3 x2 b2 m4)  360a3 x2 b2 m4
Mínimo común múltiplo
monomios En el caso de los
la factorización de factor
trinomio cuadrado perfecto,
A Q
U I N O
B O
de polinomios y
polinomios se emplea
común, agrupación,
trinomio de segundo
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
grado o diferencia de cuadrados y posteriormente
se toman los factores de mayor exponente.
Ejemplo:
Fracciones algebraicas: Es el cociente indicado
por dos expresiones algebraicas, como ser:

a) Encontrar el mínimo común múltiplo de la
siguiente expresión:
4a x  8axy  4a y
2
2
4a x 2  8axy  4a y 2  4a( x 2  2 xy  y 2)
( x 2  2 xy  y 2)
2
x x
2
y y
2( x)( y )  2 xy
( x  y)
2
4a( x  2 xy  y )  4a ( x  y )
2
2
2
Por lo tanto el Mínimo Común Múltiplo será 4a(x-y)2
Máximo común divisor de monomios.- Sé
factoriza cada monomio y se toman los factores
comunes con menor exponente.
Ejemplo
a) Encontrar el máximo común divisor de
las siguientes expresiones:
12 x2 y z3 ; 18x y2 z ; 24 x3 y z 2
12 x2 y z3  (2)2 (3) x2 y z3
3X
5Y
Numerador
Denominador
Operaciones Algebraicas: Las operaciones que
se puede realizar con dos o más expresiones
algebraicas son: Suma, Resta, Multiplicación y
División.
Suma de fracciones: Se obtiene el común
denominador a través del mínimo común múltiplo,
dicho denominador se dividirá entre los
denominadores de la fracción; el cociente que
resulte será el nuevo numerador, el cual se
simplificará con términos semejantes. Una vez
simplificado se observa si el numerador se puede
simplificar
1. Se obtiene el mínimo común múltiplo de los
denominadores
2. Se divide el mínimo común múltiplo entre cada
uno de los denominadores
3. Se multiplica el cociente por el resultado
obtenido en el paso 2
4. Se sustituyen los nuevos numeradores y
denominador y se procede a la simplificación.
Resta de fracciones: Se obtiene el mínimo común
múltiplo de los denominadores y se aplica el
procedimiento de la suma recordando que el
sustraendo es afectado por el signo de la
operación.
Multiplicación: Se factoriza tanto numerador como
denominador en cada factor de la multiplicación, se
establece la multiplicación de fracciones numerador
por numerador y denominador por denominador.
Finalmente se simplifica cada multiplicación.
18x y2 z  (2)(3)2 x y2 z
24 x3 y z 2  (2)3 (3) x3 y z 2
M .C.D.  (2)(3) xyz  6 xyz
Simplificación de factores: Sé factoriza tanto
numerador como denominador, se cancelan los
factores iguales y se agrupan los factores que
quedan en un solo término.
Ejemplo:
División: Para realizar la división de fracciones se
cambia la operación de la división por la
multiplicación con solo invertir el numerador por el
denominador y el denominador por el numerador
del segundo termino, una vez invertido se factorizan
tanto numerador como denominador y se aplica el
procedimiento de la multiplicación de fracciones.
a) Simplificar la siguiente expresión:
(2)(2) a 2 b5
2 b2
4 a 2 b5 4 a 2 b5


6 a3 b3 m 6 a3 b3 m (2)(3) a3 b3 m 3am
U N
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11
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
CUESTIONARIO WORK PAPERS 1
1. Resolver las siguientes operaciones algebraicas:
1) 5X +5 – {5X – 4 -[-2X +5- (2 – X)] – 2X }
2) -3X2 +4X – {2X – 7X2 -[-6X +2X2- (5 – X)] – 2X2 }
3) 2XY +5 – {3X – 4 -[-6XY +5X- Y(3 – 3X)] – 4X }
4) Z3 {– 3X[-2Y + 5X – ( 8X +3Y )] – Z3 – 2(XY + 3)}
5) (3X +1) – [-4X + 5 - (2 – 8X)] – 5X
6) -3X2 + 4X{2X – 7 -[-( 3X +2 )( 2 – X )] – 2X2 }
7) 4XY - 2{3X – 4[-6XY +5X - 2Y(3 – 5X)] – 7XY }
8) (3X - 1)[-2X -4 (2 – X)]
9) (-3X2 + 4X –2)(2X – 7X2 – 2)
10) (2Y +5)(–3X – 4)(5X – Y)
11) (Z3 – 3X2 + 5X – 8)(-3Y – 2XY + 3)
12) (a 5b 7  a 4b8  8a 2b 5  3a 2b 3 ) (8a 3b 4  7a 5b 4  5a 4b6  7a8b 4 )
13) (17a b c  4a b c  8a b  3a b ) (5a b
3 4
14)
4 8 2
8 5
c  7ab3c4 13a2b3  7a3b7 )
3 4
(2a5b9c9  9a7b2c8  13a2b3  21a4b9 ) (a 5b 7 c 4  a 4b8  8a 2b5c 7  3a 2b3  5a 2b5c 3 )
15) X4 – X2 - 2X – 1
16) X5 + Y5
17)
6 7
X6
+
6X3
entre X2 + X + 1
entre X + Y
– 2X5 – 7X2 – 4X + 6 entre X4 – 3X2 + 2
18) X4 – 2X2 + 4X – 6
19) -3X2 + 4X –2
entre X2 + 5
6X – 3
entre
20)
xm4  xm  2x ; entre: xm x
21)
m6  m5  4m4  4m  m2  1 ; entre: m 3  m 2  4m  1
22) 3m 7  11m 5  m 4  18m 3  8m  3m 2  4 ; entre: m  3m  4
4
2
23)
x 10  y 10 ; entre: x 2  y 2
24)
x 2a 2  x 2a 3  4x 2a 4  x 2a 7 ; entre:  x a3  x a1  x a2
25)
a x  abn1  a x 1b  b n
;entre:
ab
2. Factorizar las siguientes expresiones
algebraicas:
1)
2)
3)
4)
5)
5m 2  15m 3
x  x2  x3  x4
a 20  a 16  a 12  a 8  a 4  1
ax  x  a  1
3x 3  9ax 2  x  3a
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6)
(a  3)(a  1)  4(a  1)
7)
x 2  4x  3
6x 2  7 x  3
x 3  27
8)

9)

81a b  292a 2 b 4 x 8  256x16
4 8
10)
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12
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
3. Realizar las siguientes operaciones con
las siguientes fracciones algebraicas:
1)
1
1
1

 2
3x  3 2 x  2 x  1
2)
x
ax
a


ax
a  ax
ax  x 2
yx
3x  xy  y
1
 2

2
x3  y3
x  xy  y 2 x  y
1 1 x 
   a  b  x 
 a b ab 
1
1
2
x2



a 2 b 2 ab a 2 b 2
 a2
 a  b 
2a    b 1 

 b
 a  b 
7)
2
8)
2
2
a
a 1


2
a  1 (a  1)
(a  1) 3
x
1
4)

2
y
xy  y
3x 4 x
2
5)

 2
y y 1 y 1
3)
6)
9)
10)
7ab
a2
a b


ab  1 (a  b) (a  b)
 2 1  2 1 
 x  2  y  2 
y 
x 

1

y 
x

2

1
 x  
y

2
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 2
UNIDAD O TEMA: 2
TITULO: ECUACIONES ALGEBRAICAS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN
Ecuaciones algebraicas
Una ecuación algebraica es una igualdad en la que
hay una o varias cantidades desconocidas llamadas
incógnitas y que solo se verifica la igualdad de la
ecuación para determinados valores de la incógnita.
Las Incógnitas de una ecuación son representados
por las ultimas letras del alfabeto como ser: x, y, z,
w, etc.
Transposición de términos
Consiste en cambiar los términos de una ecuación
de un miembro a otro, para realizar estos cambios
se deben cumplir las siguientes reglas:
1. Toda expresión que este sumando en un
miembro; pasa a restar al otro miembro.
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R S
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13
2. Toda expresión que este restando en un
miembro; pasa a sumar al otro miembro.
3. Toda expresión que este multiplicando en un
miembro, pasa al otro miembro a dividir.
4. toda expresión que este dividiendo en un
miembro, pasa al otro miembro a multiplicar.
Raíces o solución de una ecuación: Las raíces
de una ecuación son valores que reemplazados en
las incógnitas o variables satisfacen la igualdad de
la ecuación. Una ecuación tiene uno, dos o mas
soluciones esto dependerá del grado de la
ecuación.
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Grado de una ecuación: Las ecuación pueden ser
lineales o de primer grado, cuadráticas o de
segundo grado y polinomicas de grado mayores o
iguales a 3. El grado de la ecuación es el mayor
exponente que tienen la variable o exponente.
x
Reemplazo la “x” en la segunda ecuación:
8 x  3 y  19
  24  5 y 
8
  3 y  19
2


4(24  5 y)  3 y  19
 96  20y  3 y  19
 23y  19  96
115
y

y  5
 23
Ejemplo:
Indicar el grado de las siguientes ecuaciones
5x  3  4
ecuación de 1er grado
2 x 2  3x  6  3
ecuación de 2do grado
7 x 3  3x 2  2 x  6 ecuación de 3er grado
Ecuaciones lineales: Son aquellas ecuaciones
que tienen grado uno; para resolver este tipo de
ecuación solo se debe despejar la variable o
incógnita.
Ejemplo:
a) Resolver
 24  5 y
2
y = -5; reemplazo en la ecuación 1
 24  5 y
2
 24  5(5)
x
2
 24  25
x
2
x
la
siguiente
3x  3  9
3x  3  9
3x  9  3
12
x4
x

3
( x  3)(x  1)
2
x 3
x 1  2 
x3
ecuación
lineal:
x
Método de sustitución: Este método consiste en
despejar una incógnita en una ecuación y se
sustituye en la otra ecuación para obtener una de
las variables; una vez obtenida una de las variables
esta se reemplaza en una de las ecuaciones para
obtener la otra variable.
1
2
a) Determinar los valores de las variables en el
siguiente sistema de ecuación :
2 x  5 y  24

8 x  3 y  19
Despejamos la variable “x” de la primera
ecuación:
2 x  5 y  24
2 x  24  5 y
1
; y  5
2
Método de reducción: Este consiste en prepararan
las dos ecuaciones (multiplicando por los números
convenientes) para que una de las incógnitas tenga
el mismo coeficiente en ambas, una vez
multiplicadas se suman ambas ecuaciones y
desaparece una incógnita de donde se despeja una
de las variables; una vez obtenida una de las
variables esta se reemplaza en una de las
ecuaciones para obtener la otra variable.
Ejemplo:
a) Determinar los valores de las variables en el
siguiente sistema de ecuación :
4 x  2 y  6

6 x  y  3
Ejemplo:
Para eliminar la variable “y” multiplicamos por -2 a
la segunda ecuación:
4 x  2 y  6
12x  2 y  6
 8x
I V E
x
Por lo tanto la solución del sistema de ecuación es
Sistema de ecuaciones lineales: Para resolver
sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas se
los realiza utilizando los siguientes métodos:
Sustitución, Igualación y Reducción.
U N

R S
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D E
14
A Q
 12
U I N O
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
x
 12

8
x
2x = 0  x1 = 0
x  4 = 0  x2 = 4
Naturaleza de las raíces: Sea la ecuación: a x 2 +
b x + c = 0, con a , b y c números reales y a
 0 . x1 y x2 sus raíces, entonces:
3
2
x = 5; reemplazo en la ecuación 1
4 x  2 y  6
 3
4   2 y  6 ; 6  2 y  6
 2
2 y  6  6
 12
y
2
Ecuaciones cuadráticas
Son aquellas ecuaciones que tienen grado dos, las
ecuaciones cuadráticas tienen la siguiente forma:
a  0
ax2 + bx + c = 0 ;
Las raíces o soluciones de las ecuaciones
cuadráticas se obtienen aplicando la fórmula:
x1, 2
–b 


x1
y
x2
2. b 2 – 4 a c = 0
además son reales.

x
=
x
b 2 – 4ac
2a
Una ecuación cuadrática tiene solución real solo si:
(b 2 – 4 a c)  0 esta expresión es denominado
discriminante de la ecuación.
Ejemplo:
x
=
x
x1
x2
=
=
=
25 + 24
6
–5 + 7
1
=
6
3
–5 – 7
= –2
6
=
R S
no son
CUESTIONARIO WORK PAPERS 2
I. Resolver las siguientes ecuaciones
algebraicas:
1 ) x  3  3x  5
2) 3(a-4x)+7(2x-a)-5(3x+2a)= 0
–5 ± 7
6
3)
x  22
( x  4) 2
1
4) (x+5)(x+2) -3(4x-3) = (5-x)2
8x  5
3x  7
 5
2x  5
3x  2
2
6 ) x  8 x  15  0
2
7 ) x  2( x  3)
1
8) x   0
x
5)
2x2  8x = 0
2 x (x  4) = 0
I V E
I D A D
D E
15
y
Ecuaciones Polinómicas o de grado superior:
Las ecuaciones polinómicas son igualdades de
grado mayor o igual a 3 y para resolverlas es
recomendable expresar la ecuación en factores
aplicando cualquiera de los casos de factorización
anteriormente estudiados, posteriormente se
procede a igualar cada factor a cero, de donde
vamos a obtener cada una de las raíces de la
ecuación.
Resolver la siguiente ecuación cuadrática:
2x2  8x = 0
A veces también es posible resolver la ecuación
cuadrática, factorizando:
U N
2
a) Determinar la naturaleza de las raíces de las
siguiente ecuación cuadrática, sin resolverlas:
x2 + 2 x + 3 = 0
x2 + 2 x + 3 = 0
b 2 – 4 a c = 2 2 –4 * 1 * 3 = – 8
Las raíces no son reales. Son complejas
conjugadas
5 2 – 4 × 3 × ( – 2)
2×3
–5 ±
2
son
Ejemplo:
a) Resolver la siguiente ecuación cuadrática:
3x2 + 5x  2 = 0
–5 ±
1
3. b 2 – 4 a c < 0

x1 y x
reales, son complejas conjugadas
y  6

1. b2 – 4 a c > 0
reales y distintas.
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B O
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9 ) 5x  9 x  2  0
2
x  9y  9
 7
4) 
3 x  4 y  7
 4
5
 x 2y
 3  5  3
5) 
 4 x  3 y  4
 5
7
2
10)
4 x  19x  5  0
4
2
II. Resolver los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
2 x  5 y  26

3x  4 y  7
7 x  4 y  5
2) 
9 x  8 y  13
x  2 y  1
3) 
x  3 y  5
1)
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 3
UNIDAD O TEMA: 3
TITULO: INECUACIONES
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN:
Desigualdad
A veces se dan condiciones en las que, en lugar de
aparecer el signo igual, se presentan otros signos
llamados: “signos de desigualdad”, los cuales
permiten establecer diferencias claras entre
ecuaciones e inecuaciones.
Los símbolos de desigualdad que relacionan dos o
más números o expresiones matemáticas entre si
son los siguientes:
< Menor que,
> Mayor que,
≤ Menor igual que,
 Mayor igual que,
Inecuaciones.
Se llama inecuación a una expresión de algebraica
cuyos miembros están relacionados por alguno de
los símbolos de desigualdad.
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R S
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D E
16
Ejemplo:
a) 3 + 7 > 6
b) x - 1 < x + 5
Las desigualdades pueden ser ciertas o falsas. Esta
valoración en el caso de las literales puede
depender del valor de la variable. En los ejemplos
considerados, la primera y la cuarta son ciertas, la
segunda falsa, y la tercera depende del valor que le
demos a x.
Intervalo
Los intervalos en IR (números reales) se puede
representar en la recta real, tales que sus extremos
pueden ser cerrados, abierto, abierto a la derecha,
abierto a la izquierda. Para hacer la representación
gráfica podemos utilizar la siguiente simbología:
;] [: Abierto
A Q
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B O
; [ ]: Cerrado
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Solución de una inecuación.
La solución de una inecuación es siempre un
conjunto de valores que pertenece a los números
reales, es te conjunto a veces puede ser vació; el
conjunto de solución son valores que siempre
hacen verdadera la desigualdad de la inecuación
original.
Las inecuaciones según la expresión algebraica
que tienen se clasifican en: inecuaciones lineales,
cuadráticas algebraicas y de valor absoluto.
Inecuaciones lineales.
Son inecuaciones que poseen incógnita de primer
grado, para resolver solo se debe despejar la
variable “x”; al despejar la variable se debe tener en
cuenta para cualquier inecuación que al multiplicar
por (-1) a una inecuación se invierte el signo de
desigualdad.
Cada valor de la incógnita que satisface la
inecuación se dice que es una solución particular, y
el conjunto de todas las soluciones particulares se
llama solución general o conjunto solución “C. S.”.
Vemos también que las expresiones de la solución
general se corresponden con la de los intervalos:
]-∞;a[
] - ∞ ; a]
]a;+∞[
[a;+∞[
;x<a
;x ≤ a
;x > a
;x ≥ a
CUESTIONARIO WORK PAPERS 3
1. Determinar el conjunto solución de
siguientes inecuaciones y represente
respectivas soluciones en la recta real.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
; x menor que a
; x menor igual que a
; x mayor que a
; x mayor igual que a
10)
11)
Estos intervalos podemos representarlos en la recta
real como se observa en los siguientes ejemplos.
12)
a) Resuelve la siguiente inecuación y representa
en la recta real el conjunto solución: 3 - x > 6
3-x>6
-x>6–3
*(-1)
x<-3
C. S.: ] - ∞ ; -3 [
13)
14)
15)
-3
b) Resuelve la siguiente inecuación y representa
en la recta real el conjunto solución: 2 + x ≥ 5
2+x≥7
x ≥ 7-2
x≥5
C. S.: ] - ∞ ; -3 [
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17
A Q
x  7  x  3
9
2
x
2 x 2  3x  1  3x 2  5 x  2
2x 2  2x  6  0
x 3  5x  2 x 2  6
x2 x2  3  4
x 1
20
x 1
4
2

3x  2 x  1
1
3

x  2 x 1
4
2
3 9
x
x
x5
0
2
x  7 x  12
x4
0
2
x  5x  6
2x
0
16  x 2
x 1
x

2 x 3 x
1
2
3


x 1 x  3 x  2


16)
x  22 x  13 x  24
x 2 x  1x  4
17)
3x  2  x  1
18)
x  2  2x  1
19)
x 2  2  3x  2
20)
x
1
x 1
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0
las
las
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 4
UNIDAD O TEMA: 4
TITULO: POTENCIACIÓN, RADICACIÓN Y LOGARITMOS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN:
Exponente.
Es el número que se coloca superiormente y a la
derecha de un número o letra al que se le llamara
base. Si el exponente es entero y positivo indicara
el número de veces que se toma como factor a la
base. Si no esta indicado el exponente, se asume
que es 1.
Potencia.
La potencia de un número es el resultado de tomar
al mismo número como base elevado a un
exponente.
(radicando), deseando encontrar el número que se
multiplicó (raíz).
n
b a
donde: b es el radicando
n es el índice
a es la raíz
Nota :
si n es par  b  0
Una raíz se puede expresar como una potencia de
exponente fraccionario.
n
Potenciación
Es una operación que tiene por objeto hallar las
potencias de un número.
an  b
donde: a es la base
n es el exponent e
b es la potencia
Leyes de exponentes:
a 
n m
a m  a n  a mn
a0  1
a  b n  a n  b n
a1  a
a  b 
n
 a b
n
n
a
n
loga b  n
Donde:
a es la base
n es el logarit m o
b es el núm ero
Po r d efin ició n
lo ga b  n  a n  b
1
 n
a
Radicación.
Es una de las operaciones inversas de la
potenciación. Se conoce el número de veces que
se multiplico (índice de la raíz) y el resultado
U N
I V E
R S
I D A D
m
n
Logaritmo.
Se denomina logaritmo de un numero, a aquel
exponente al que se debe elevar determinada base
para obtener el numero, es decir
 a n m
a m  a n  a mn
b b
m
D E
18
No ta :
a  1; a  0 y b  0
Ejemplo:
Calcular los siguientes logaritmos:
1) log10 1000 ?
Entonces el resultado será 3 por que 10
elevado al cubo”3” da como resultado 1000.
A Q
U I N O
B O
L I V I A
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
log2 8  ?
2)
según se precise, como también los cambios de
base que se requieran.
Entonces el resultado será 3 por que 2
elevado al cubo”3” da como resultado 8.
Sistema de ecuaciones exponenciales.
Es un conjunto de igualdades donde cada una de
ellas es una ecuación de tipo exponencial.
Ejemplo:
log4 64  ?
3)
Entonces el resultado será 3 por que 4
elevado al cubo”3” da como resultado 64.
Logaritmo decimal o vulgar
Es aquel que tiene por base el número 10. Al ser
muy usados no escribir la base (log).
2 X .3Y  0
 X Y
4 9  0
Logaritmo Neperiano o Natural
Es aquel que tiene por base el número natural “e” y
se representan por (ln).
Ecuaciones logarítmicas:
Es un conjunto de igualdades donde cada una de
ellas es posee logaritmos.
Ejemplo:
Constante natural o número natural”e”
La constante natural es aquel numero denotado por
la letra “e” y cuyo valor es:
log(x)  log( y)  2

log(x)  log( y)  0
e  2.7182188284 6
Propiedades de logaritmos
CUESTIONARIO WORK PAPER No. 3
loga u  v   loga u  loga v
loga 1  0
loga a  1
loga u  v   loga u  loga v
loga a x  x
loga u n  n  loga u
a loga x  x
loga n
1. Simplificar las siguientes expresiones aplicando
leyes de exponentes:
1)
1
v  loga v
n
2)
logc B
;
logc a
loga b 
1
logb a
3)
Ecuaciones exponenciales.
Se llaman ecuaciones exponenciales a aquellas
igualdades en las que la variable aparece como
exponente de una determinada base.
Ejemplo:
c) 2 x  32  0
e) 5
4 x 3
4)
b) 7 x  4  21x  2  495 x  7
a) 7 x  21
 625
3
f) 
2
x2
9
 
4
 x 5
9
 
4
4
Ecuaciones logarítmicas:
Se llaman ecuaciones logarítmicas, a aquellas
ecuaciones, que presentan a su incógnita afectada
por un logaritmo.
Para resolver una ecuación logarítmica, se aplican
las propiedades de logaritmos o antilogaritmos
U N
I V E
R S
I D A D
2
1
2

2
3
3
.
5

4
3
D E
19
x .y
 2 z

 x y3


.z
. y 2 .z 3
.z
 2 3

z x  y

x x 2  2 x 1 y
x3 y
6)

x


7)

 z 3
 2
yx



2
3
y 1
U I N O

1
2
5)
A Q
1
3
5

20n 1
 n  2
2n2
4 2
d ) 3x - 81  0
x 7
3
x .y
Cambio de base:
loga B 
x . y.z . x




1/ n


z



3
1
x y z
4.x 3 .z
 3 x 1 z 4 y 2

3
x 2 y 3


B O
3
L I V I A
2

4




3
 z 2 y4 x  


 x 1 y 
 




FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
8)
2
5 4
2
5 4
9)
2
. yx
z
2
5
4)
3
2
243x. 81.x
5)
6
6)
4
2
100.z. y 3 243x y z 7 x
10)
7)
1  log 2 ( x  4)
log
2

x3  x 3

1
log3 (4x  5)  log3 x 2
log3 x  log3 ( x  6)  3
log1 log4 log3 x   1
2
3
2 7 4 2
11)
x5
zy
3
yz
x
1
2
3
x z
y 2
8)
2
9)
10)
2. Calcular los siguientes logaritmos:
1)
2)
3)
4)
5)
11)
4)
5)
6)
ln e 2
log10 100000
siguientes
ecuaciones
4 x 1  32
2 x 1  4 x1  0
43 x9  64  0
52 x6  625  0
9 x  3x  6  0
1)
2)
3)
2)
3)
2x  4
 2x
x 1
2 3
4. Resolver
las
logarítmicas:

5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones
logarítmicas exponenciales:
2
3)

log7 x 2  5x  7  0
2
3. Resolver
las
exponenciales:
2)


 
log2 log5 log4 log5 ( x  1   0
3
 9
 

log1 ( x 2  7 x  13)  0
2
log2 64
log5 100
log7 2401
1)
1)
log5 log4 log3 log2 x  0
4)
siguientes
ecuaciones
5)
log(5x  1)  2  0
log( x )  log( y )  1
 2
2
 x  y  36
2 log(x)  log( y )  1

x
 y 1

x
y

3 27  81
 x
y

25 125  625
2 x 7 y  5

 x y

3 5  3
x y

9 2  7
 x y

7 5  3
log2 (8x  3)  9  0
logx 64  3
U N
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I D A D
D E
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 5
UNIDAD O TEMA: 5
TITULO: TRIGONOMETRÍA
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN:
Trigonometría
Es el estudio de las relaciones numéricas entre los
ángulos y lados de los triángulos.
Medición de ángulos: En Geometría los ángulos
tienen medidas positivas solamente, en cambio, en
Trigonometría un ángulo puede tener una medida
positiva, nula o también negativa.
El sistema sexagesimal, asigna al ángulo completo
una medida de 360º, existe otro sistema para medir
ángulos, llamado sistema absoluto, cuya unidad es
el radián (rad). Un ángulo del centro en una
circunferencia tiene la magnitud de 1 rad, si el arco
que subtiende tiene una longitud igual al radio de
ésta.
c
b
α
a
Seno del ángulo en α sen (α):
Cociente entre las longitudes del cateto opuesto al
ángulo en α y de la hipotenusa:
sen (  )
b
c

Coseno del ángulo en α cos (α):
Cociente entre las longitudes del cateto adyacente
al ángulo en α y de la hipotenusa:
cos (  )
a
c

Tangente del ángulo en α tg (α):
Cociente entre las longitudes del cateto opuesto y
del cateto adyacente al ángulo en α:
tg (  )
En este sistema el ángulo completo mide 2  rads,
por lo tanto:
1 rad equivalente a 180º
Razones trigonométricas en un triangulo
rectángulo.
Un triangulo rectángulo es aquel triangulo en el cual
uno de sus ángulos es de 90º. Dado el triángulo
rectángulo en C se tiene las razones trigonométrica
del seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante.
U N
I V E
R S
I D A D
D E
21

b
a
Cotangente del ángulo en α ctg (α): Cociente
entre las longitudes del cateto adyacente y del
cateto opuesto al ángulo en α:
ctg (  )

a
b
Secante del ángulo en α sec (α): Cociente entre
las longitudes de la hipotenusa y del cateto
adyacente al ángulo en α:
sec (  ) 
A Q
U I N O
B O
L I V I A
c
a
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Cosecante del ángulo en α csc (α): Cociente
entre las longitudes de la hipotenusa y del cateto
opuesto al ángulo en α:
csc (  )

c
b
Teoremas:
En cualquier triangulo rectángulo se cumplen los
siguientes teoremas:
Teorema 1:
La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de
cuadrados del cateto adyacente y cateto opuesto.
(Teorema de Pitágoras)
c2 = a2 + b2
Teorema 2:
Dado un ángulo, el valor de cualquier razón
trigonométrica depende únicamente de la magnitud
de dicho ángulo.
Teorema 3:
Si α + β = 90º, entonces:
sen (α ) = cos (β )
cos (α ) = sen (β )
tg (α ) = ctg (β )
ctg (α ) = tg (β )
sec (α ) = csc (β )
csc (α) = sec (β )
Teorema 4:
Si n  Z, entonces:
sen (α + 360º × n ) = sen (α )
cos (α + 360º × n ) = cos (α )
tg (α + 180º × n ) = tg (α )
Ley de los senos.
La ley de los senos se aplica a cualquier triangulo
oblicuángulo, los triángulos oblicuángulo son
aquellos en que sus ángulos son diferentes entre si.
La ley de senos se aplica cuando se conocen las
medidas de:
a) Dos lados y uno de los ángulos opuestos a
ellos.
b) Dos ángulos y un lado.
Dado un triángulo ABC cualquiera:
Siempre se cumple las siguientes relaciones:
sen ( A ) = sen ( B ) = sen ( C )
a
b
c
Ley de los cosenos.
La ley de coseno se aplica a cualquier triangulo
oblicuángulo. La ley de coseno se aplica cuando se
conocen las medidas de:
a) Los tres lados.
b) Dos lados y el ángulo comprendido por ellos.
Dado el triángulo ABC:
Tabla de razones trigonométricas de algunos
ángulos
A
sen (α )
cos (α )
tg (α )
0
0
1
0

6

4

3

2
1
2
2
3
1
0
indefini
da
180º

0
–1
0
270º
3
2
–1
0
indefini
da
0º
30º
45º
60º
90º
2
2
U N
I V E
3
3
2
2
3
2
1
2
R S
a 2 = b 2 + c 2 – 2 b c cos ( A )
b 2 = a 2 + c 2 – 2 a c cos ( B )
c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b cos ( C )
CUESTIONARIO WORK PAPERS 5
1. Resolver los siguientes problemas mediante la
aplicación de trigonometría.
1
3
I D A D
1) En
un
triángulo
se
conocen
  45º ,
  105º y c  2 . Determine sus lados y
sus ángulos.
2) Dos lados de un paralelogramo miden 5 m. Y 8
m., formando un ángulo de 40º. ¿Cuánto miden
las diagonales?
3) Desde la cúspide de un faro de 80 m. De altura,
se observan hacia el oeste dos botes según
ángulos de depresión de 60º y 30º. Calcule la
distancia que separa a los botes.
D E
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B O
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
4) Un asta de bandera está enclavada en lo alto
de un edificio. Desde un punto situado en el
suelo, a 12 m. Del edificio, se observa el techo
del edificio según un ángulo de elevación de
30º y la punta del asta según un ángulo de
elevación de 60º. Calcule la altura del edificio y
la longitud del asta.
5) Desde un punto A situado en el suelo se
observa hacia el norte el campanario de una
iglesia según un ángulo de elevación de 30º y
desde un punto B, situado en el suelo se
observa el campanario hacia el oeste según un
ángulo de elevación de 60º. Si AB = 100 m.,
calcule la altura del campanario.
6) A medio día, dos aviones de búsqueda se
disponen a salir de Santiago de Chile para
rastrear un helicóptero que cayó en el Océano
Pacífico. El avión A viaja directamente al Oeste
a una velocidad de 400 km/hora, el avión B
viaja hacia el Noreste a 500 km/hora. A las
14:00 horas el avión A encuentra a los
sobrevivientes del helicóptero y llama por radio
al avión B para que acuda y ayude en el
rescate. ¿A qué distancia está el avión B del
avión A en ese instante?
7) Un observador que se encuentra a 2 kilómetros
de distancia de un camino recto, ve pasar un
automóvil frente a él y un minuto más tarde lo
ve pasar bajo un ángulo   35 a la derecha
de la posición anterior. Calcular la velocidad
aproximada del automóvil.
8) La distancia entre dos edificios de tejado plano
es de 70 mts. Desde la azotea del menor de los
edificios, cuya altura es de 40 mts, se observa a
la azotea del otro con un ángulo de elevación
de 50º. ¿Cual es la altura del edificio más alto?
9) Desde la ventana de un edificio a 43 m de
altura, se observa un auto con un ángulo de
depresión de 45º. ¿A que distancia desde la
base del edificio se encuentra el automóvil?
10) Dos lados de un paralelogramo miden 9 m. Y
17 m., formando un ángulo de 40º. ¿Cuánto
miden las diagonales?
2. Demostrar las
trigonométricas
I V E
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23
identidades
sen   cos 
1
 1
sen 
tan 
2) tan   cot g  sec  cos ec 
1)
(tan cosec ) 2  (sen sec ) 2  1
sec 
 sen 
4)
tan   cot 
cos ec  1  cot 

5)
sec 
1  tan 
1  sen 
cos 

6)
cos 
1  sen 
1  tan2 
2
7) 1  2sen  
1  tan2 
1
1

 2 cos ec  . cot 
8)
sec   1 sec   1
1
1

 2 sec 2 
9)
1  sen  1  sen 
tan 
cot 

 1  tan   cot 
10)
1  cot  1  tan 
3)
3. Resolver
las
siguientes
trigonométricas:
1) 2 sen   1  0
cos  
3)
tan(80   )  tan
4)
5)
6)
7)
8)
9)
A Q

2)
10)
U N
siguientes
4
ecuaciones
0
cos  3.sen
cot  2sen(2 )  1
tan2   5 tan  6  0
sen 2  8sen  12  0
cos3   4 cos  0
sen(4 )  sen(2 )  0
sen (2 ). cos ec 
 cot  . sec   1
tan 
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
WORK PAPER # 6
UNIDAD O TEMA: 6 y 7
TITULO: LÓGICA Y CONJUNTOS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN:
Lógica matemática: La lógica matemática es la
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un
disciplina que trata de métodos de razonamiento.
En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y
valor de falso o verdadero; por lo tanto son
proposiciones validas. El inciso r también es una
técnicas para determinar si es o no valido un
proposición valida, aunque el valor de falso o
argumento dado. El razonamiento lógico se emplea
en matemáticas para demostrar teoremas; en
verdadero depende del valor asignado a las
variables x y y en determinado momento. La
ciencias de la computación para verificar si son o
no correctos los programas; en las ciencias física y
proposición del inciso s también esta perfectamente
naturales, etc.
Una
verdadera se tendría que esperar a que terminara
la temporada de fútbol. Sin embargo los enunciados
t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un
proposición o enunciado es una oración que puede
ser falso o verdadero pero no ambas a la vez. La
valor de falso o verdadero, uno de ellos es un
saludo y el otro es una orden.
proposición es un elemento fundamental de la
lógica matemática.
Conectivos
Proposiciones
y
operaciones
lógicas:
expresada aunque para decir si es falsa o
lógicos
y
proposiciones
compuestas: Existen conectores u operadores
A continuación se tienen algunos ejemplos de
proposiciones válidas y no válidas, y se explica el
lógicas que permiten formar proposiciones
compuestas (formadas por varias proposiciones).
porqué algunos enunciados no son proposiciones.
Las proposiciones se indican por medio de una letra
Los operadores o conectores básicos son:
Negación, Conjunción, Disyunción, Implicación o
minúscula, dos puntos y la proposición propiamente
dicha.
condicional, Doble implicación o Bicondicional y
diferencia Simétrica.
p: La tierra es plana.
q: -17 + 38 = 21
r: x > y-9
Negación: Esta operación se la realiza con el
operador Not (~); la función de este operador es
s: Oriente Petrolero será campeón en la
presente temporada de Fútbol.
negar la proposición; la negación significa que sí
alguna proposición es verdadera y se le aplica el
t: Hola ¿como estas?
w: Lava el coche por favor.
operador Not se obtendrá su complemento o
negación (falso).
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Tabla de valores de verdad del operador NOT (~)
Disyunción: Esta operación se la realiza con el
operador OR (); la función de este operador es de
p
~p
V
F
se debe cumplir para que se pueda obtener un
F
V
resultado verdadero. Su símbolo es () y se lee (p ó
conectar dos proposiciones que solo una de ellas
q); a esta operación también se la conoce como la
La negación se trata de una operación unitaria,
pues a partir de una proposición se obtiene otra que
es su negación.
Ejemplo:
p
suma lógica:
Tabla de valores de verdad del operador OR ()
: Todo hombre es honesto
p
q
pq
V
V
V
~p
: No todo hombre es honesto
~p
~p
: Hay hombres que no son honestos
: Existen hombres deshonestos
V
F
V
F
V
V
Conjunción: Esta operación se la realiza con el
F
F
F
operador AND (); la función de este operador es
de conectar dos proposiciones que se deben
cumplir para que se pueda obtener un resultado
Ejemplo:
p
: Una persona puede entrar al cine si
verdadero. Su símbolo es () y se lee (p y q); a esta
compra su boleto.
operación
q : Una persona entra al cine si obtiene un
pase.
también
se
la
conoce
como
la
multiplicación lógica:
pq
Tabla de valores de verdad del operador AND
: Una persona puede entrar al cine
si compra su boleto ó obtiene un pase
()
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Implicación
o
condicional:
Una
proposición
condicional, es aquella que está formada por dos
proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual
se indica de la siguiente manera:
p  q Se lee "Si p entonces q"
Las proposiciones p y q se llaman antecedente y
Ejemplo:
p : El coche enciende cuando tiene gasolina
en el tanque.
q
: El coche enciende cuando hay corriente la
batería.
pq
consecuente de la implicación o condicional; la
tabla de valores de verdad de la condicional dice “si
el antecedente es V y el consecuente es F
entonces la implicación será falsa; caso contrario
será verdadera.
: "El coche enciende cuando tiene gasolina
en el tanque y tiene corriente la batería"
U N
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A Q
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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
Tabla de valores de verdad del operador
Ejemplo:
condicional ()
p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
P
: Erlan es buen estudiante.
Q
: Erlan tiene promedio de diez.
p  q : Erlan es buen estudiante si solo si
tiene promedio diez
La doble implicación puede definirse como la
conjunción de una implicación y su reciproca de la
p  q = (p  q)  (q p)
siguiente manera:
Ejemplo:
El candidato del NFR dice "Si salgo electo
presidente de la República recibirán un 50% de
aumento en su sueldo el próximo año". Una
declaración como esta se conoce como condicional.
p : El NFR salió electo Presidente de la
República.
q : El pueblo recibirá un 50% de aumento
en su sueldo el próximo año.
p  q : Si el NFR salio electo presidente de la
republica entonces el pueblo recibirá un
50% de aumento en su sueldo el
p
q
pq
(p q)
(qp)
(p q)  (q p)
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
Diferencia simétrica: Sean las proposiciones p y
q; la diferencia simétrica p  q (p o q en sentido
excluyente) tiene la siguiente tabla de valores de
verdad.
Tabla de valores de verdad del operador
próximo año.
diferencia simétrica ()
p
q
pq
proposiciones p y q; la proposición bicondicional
tiene siguiente manera:
V
V
F
p  q Se lee "p si solo si q"
V
F
V
Tabla de valores de verdad del operador
F
V
V
F
F
F
Doble implicación o bicondicional: Sean dos
bicondicional ()
p
q
pq
V
V
V
La tabla de valores de verdad de p  q esta
V
F
F
caracterizado por la verdad de una y solo una de
F
V
F
~(p  q)
F
F
V
las proposiciones en donde: p  q equivale a decir
Clasificación de las formulas proposicionales:
Esto significa que la operación bicondicional es
verdadera (si p y solo si q es también verdadera) o
bien (si p es falsa si y solo si q también es falsa).
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Las formulas proposicionales se clasifican en:
Tautología o verdad lógica
Contradicción o falsedad lógica
Contingencia o indeterminada
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Tautología: Es aquella proposición (compuesta)
Equivalencia Lógica: Dos proposiciones f1 (p, q, r,
que es cierta para todos los valores de verdad de
s …) y f2 (p, q, r, s …) son lógicamente equivalentes
sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva
si y solo si para valores de verdad cualesquiera de
cuya tabla de verdad se indica a continuación.
p, q, r, s.., reproducen idénticos valores de verdad
para las formulas f1 (p, q, r, s …) y f2 (p, q, r, s …).
p q ~ p ~ q p  q ~q  ~p (pq)(~q~p)
Leyes lógicas: En el cálculo proposicional se
V V
F
F
V
V
V
V F
F
V
F
F
V
utilizan las siguientes leyes o tautológicas cuyas
demostraciones se reduce a la confección de una
F V
V
F
V
V
V
correspondiente tabla de verdad.
F F
V
V
V
V
V
1.- Doble negación.
a) ~(~p)  p
Note que en las tautologías para todos los valores
2.- Leyes conmutativas.
de verdad el resultado de la proposición es siempre
V. Las tautologías son muy importantes en lógica
a) (pq)  (qp)
matemática ya que se consideran leyes en las
c) (pq)  (qp)
cuales nos podemos
demostraciones.
apoyar
para
b) (pq)  (qp)
realizar
d) (p  q)  (q p)
3.- Leyes asociativas.
a) [(pq)r]  [p(qr)]
Contradicción es aquella proposición que siempre
b) [(pq)r]  [p(qr)]
es falsa para todos los valores de verdad, una de
las mas usadas y mas sencilla es (p~p). Como lo
4.- Leyes distributivas.
a) [p (qr)]  [(pq)(pr)]
muestra su correspondiente tabla de verdad.
p
~p
p  ~p
V
F
F
F
V
F
b) [p(qr)]  [(pq)(pr)]
c) [p (qr)]  [(pq)(pr)]
d) [p (qr)]  [(pq)(pr)]
5.- Leyes de idempotencia.
a) (pp)  p
b) (pp)  p
Ejemplo:
6.- Leyes de Morgan
p: La puerta es verde.
La proposición (p  ~p) equivale a decir que "La
a) ~(pq) (~p~q)
puerta es verde y la puerta no es verde". Por lo
b) ~(pq) (~p~q)
tanto se esta contradiciendo o se dice que es una
falsedad. Una proposición compuesta cuyos
c) (pq)  ~(~p~q)
b) (pq)  ~(~p~q)
resultados en sus deferentes líneas de la tabla de
verdad, dan como resultado F se le llama
7.- Contrapositiva.
contradicción.
8.- Implicación.
a) (pq)  (~q~p)
a) (pq)  (~pq)
Contingencia: Una proposición compuesta cuyos
b) (pq)  ~ (p~q)
resultados en sus deferentes líneas de la tabla de
verdad, dan como resultado V o F se le llama
c) (pq)  (~pq)
d) (pq)  ~ (p~q)
contingencia.
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9.- Equivalencia
Ejemplo:
Sea el conjunto C = { 1, 5 ,9 ,7}
a) (pq)  [(pq)(qp)]
El elemento 5  C ; el elemento 8  C
b) (pq)  [(pq)  (~q~p)]
Determinación de un conjunto: Un conjunto se
10.- Leyes de Identidad
a) (pV)  p
b) (pF)  F
puede determinar por extensión o por comprensión.
Conjunto por extensión: Se debe indicar cada
c) (pV)  V
uno de los elementos que lo forman.
D =  Gabriela Mistral , Pablo Neruda .
d) (pF)  p
Conjunto por comprensión: Se debe indicar
11.- Leyes de Complementación
a) (p~p)  V
algunas de sus propiedades que tienen todos los
b) (p~p)  F
elementos de dicho conjunto.
D =  Poetas Bolivianos que han obtenido
c) ~V  F
el Premio Nobel de Literatura 
d) ~F  V
Conjunto universo (U): Se nombra así al conjunto
12.- Leyes de Absorción
formado por todos los elementos de un tema dado.
a) [p (pq)]  p
U =  a , e , i , o , u  (Tema : vocales
b) [p (pq)  p
minúsculas del abecedario) .
Conjunto: Es toda colección o agrupación de
objetos relacionado con algún tema en común. La
idea de conjunto es una idea intuitiva que se
representa generalmente por una letra mayúscula.
Conjunto vacío (): Es el conjunto que no tiene
elementos. También puede decirse que ningún
elemento del universo cumple la condición dada en
él. B = Especies de insectos de 10 patas =  
= 
A =  silla , gato , mesa , perro 
Elemento: Es cada uno de los objetos por los
CUESTIONARIO WORK PAPERS 6
cuales esta conformado el conjunto. Por ejemplo el
B =  a , a , b  ; debe escribirse : B =  a , b .
1. Utilizando tablas de valores de verdad
demostrar.
a) p  ( p  q )  p
b) ~ ( p  q )  ~p  ~q
c) p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r )
d) ~p  q  p  q
e) p  q  ( p  q )  ( q  p )
Observación 2: Un conjunto formado por un solo
elemento es conceptualmente distinto a dicho
2. Utilizando las definiciones y las leyes de la
lógica matemática demostrar.
a) p  ~q  ~ (p  q)
gato es un elemento del conjunto A.
Observación 1: En un conjunto dado ninguno de
sus elementos debe aparecer repetido.
elemento: C =  v  ; es distinto a : v.
b) ~p
 p  (q  ~q)
c) q  ( p  r )  p  ( q  r )
Observación 3: Dos conjuntos son disjuntos si y
d) p  q
 (pq)p
solo si no tienen elementos comunes, es decir, su
intersección es vacía.
e) p  q
(pq)q
A  A' = 
f)
 A y A' son disjuntos.
p  q  ~p  ~q
g) p  ( q  r )
h) ( p  q )  r
Relación de pertenencia (  ): Si un elemento
 ( p  q )  ( p  r)
 ( p  r )  ( q  r )
está en un conjunto dado, se dice que pertenece a
él y esto se indica mediante el símbolo .
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WORK PAPER # 7
UNIDAD O TEMA: 8
TITULO: GEOMETRÍA ANALÍTICA
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN:
Geometría analítica
Sistema de coordenadas rectangulares
Un sistema de coordenadas en el plano esta
formado por dos rectas perpendiculares entre si,
llamadas ejes de coordenadas o abscisa “eje x” y
ordenada “eje y” que pertenecen a los números
reales.
Se llama pendiente de una recta a la tangente del
ángulo de inclinación que forma la recta con el
semieje positivo de abscisas, medido siempre en
sentido contrario al de las agujas de un reloj.
y
y2
B
y
II
I
y1
A α)
x
x1
x
III
x2
IV
Dados dos puntos por los cuales pasa la recta A, B
su pendiente se calcula así:
Distancia entre dos puntos.
La distancia que existe en una línea de segmentos
formados por dos puntos esta definida por el
teorema de Pitágoras que dice:
y
y2
y1
B
y 2  y1
x 2  x1
La recta.
La recta es una sucesión de puntos que es
considerada como una trayectoria de puntos que no
cambian de dirección, o bien, en términos del
espacio, es la intersección de dos planos. Además
tenemos los siguientes conceptos:
A
x1
d
m  tan 
x2
La recta en un plano cartesiano puede estar
representada por las siguientes ecuaciones

Forma general de la ecuación de la recta: La
encontramos haciendo operaciones con
cualquiera de las formas antes mencionadas,
su representación es: ax + by + c = 0.

Forma pendiente ordenada, la ecuación es: y
= mx + b (b es la intersección con el eje Y).

Forma punto pendiente, la ecuación es: y – y1
= m(x – x1).
x
x 2  x1 2   y 2  y1 2
Pendiente de una recta.
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

Forma dos puntos cartesianos la ecuación
es: y – y1 = [ (y2 – y1) / (x2 – x1) ] · (x – x1)
Forma abscisa y ordenada, la ecuación es:
x/a + y / b = 1
(donde a es la intersección
con el eje x y b la intersección con el eje y).
y
P
y2
Ecuación pendiente ordenada.
Esta ecuación esta dada cuando se conoce como
datos la pendiente de la recta y la ordenada.
y1
P
x
y
b
α
.
Sea
x
)
y  m x b
y 2  y1
, entonces:
x 2  x1
y  y1
x  x1 
y  y1  2
x 2  x1
m  tan 
Ecuación abscisa y ordenada.
Esta ecuación esta dada cuando se conoce la
intersección de la recta con el ejex y eje y.
Donde: m  tan  : es la pendiente
b = parámetro lineal por donde la recta
corta al eje y
y
Ecuación punto pendiente.
Esta ecuación esta dada cuando se conoce un
punto de la recta P(x1, y1) y su pendiente de la
recta.
b
.
.
x
a
y
x y
 1
a b
y1
x2
x1
P
a
Donde:
α)
“a” es la abscisa
“b” es la ordenada
x
x1
Rectas paralelas.
Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes
son iguales es decir:
m1  m2
y  y1  mx  x1 
y
Donde la pendiente es: m  tan 
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Esta ecuación esta dada cuando se conoce dos
puntos de la recta P(x1, y1), P(x2, y2).
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x
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Rectas perpendiculares.
Dos rectas son perpendiculares entre si y solo si
forman un ángulo de intersección de 90°, es decir:
La circunferencia cuyo centro es (h, k) y de radio r
tiene por ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 y recibe el
nombre de ecuación en forma ordinaria.
Y
y
m1  
1
m2
Punto móvil
Radio ( r )
x
Centro (h, k)
Angulo entre dos rectas.
Si dos rectas se interceptan entre si el ángulo de
intersección de entre ambas rectas esta dada por la
siguiente ecuación:
X
y
θ
)
x
 m1  m 2 

1  m1  m 2 
  arctan
La circunferencia.
Circunferencia es el lugar geométrico de un punto
que se mueve en el plano de tal manera que se
conserva siempre a una distancia constante de un
punto fijo de ese plano; el punto fijo se llama centro
y la distancia constante radio.
La parábola.
La parábola es el lugar geométrico de un punto que
se mueve en el plano de tal manera que su
distancia de una recta fija situada en el plano es
siempre igual a su distancia de un punto fijo del
plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se
le llama foco y la recta fija directriz. La recta que es
perpendicular a la directriz y que pasa por el foco
se llama eje focal, la intersección de la parábola
con el eje focal se denomina vértice. La cuerda
focal es el segmento de recta perpendicular al eje
focal y que pasa por el foco, en nuestra gráfica,
esta es el lado recto.
Y
Directriz
Vértice (h, k)
h)2
Dada la forma ordinaria (x + (y desarrollamos los cuadrados y tenemos:
k)2
=
r2
X2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2
agrupando términos:
Foco
Lado recto
Eje focal
X2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2) = 0
Reemplazando tenemos:
X
X2 + y2 + Dx +Ey + F = 0
Por último tenemos:
La ecuación general de la circunferencia:
La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje
focal paralelo al eje X es de la forma:
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
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 y  k 2  4 px  h
y sus elementos son los
siguientes:




Foco(h + p, k)
Directriz x = h – p
Eje focal y = k
Donde 4| p | es la magnitud del lado
recto y siendo | p | la longitud entre el
foco y el vértice.
Si p > 0 la parábola se abre hacia la
derecha.
Si p < 0 la parábola se abre hacia la
izquierda.


La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal
paralelo al eje Y es:
x  h2   y  k 2
b2
a2
En donde para cada elipse, a es la longitud del
semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la
distancia del centro hacia cada foco y a, b, c están
ligadas por la siguiente relación:
a 2  b 2  c 2 , en donde c es la distancia desde el
centro de la elipse hacia su foco.
También para cada elipse, la longitud de cada uno
de sus lados rectos es:
LR 
Si el eje es paralelo al eje Y la ecuación es de la
forma
x  h2  4 p y  k  y sus elementos son:




2b 2
.
a
La excentricidad de una elipse es: e 
Foco (h, k + p)
Directriz y = k – p
Eje focal x = h
Si p > 0 la parábola se abre hacia
arriba.
Si p < 0 la parábola se abre hacia
abajo.

1
La elipse.
La elipse es el lugar geométrico de un punto que se
mueve en el plano de tal manera que las sumas de
sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es
siempre igual a una constante mayor que la
distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos
se llaman focos de la elipse.
Y
c
.
a
Los elementos de una elipse son los que se
describen en la figura siguiente:
 F y F’, focos.
 V y V’, vértices
 C, centro.
 d(V, V’), eje mayor.
 CF, lado recto.
 d(A, A’) eje menor.
 L’, eje normal.
 L, eje focal.

La hipérbola
La hipérbola es el lugar geométrico de un punto que
se mueve en el plano de tal manera que el valor
absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a
una constante positiva y menor que la distancia
entre los focos.
Y
L’
A
CF
A
CF
b
L
V
V’
F’
C
F
L
F
c
a
A’
a
2
U N
V’

y  k 
2
b2
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R S
1
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F’
CF’
A’
La ecuación de una elipse con C(h, k) y eje focal
paralelo al eje X es:
2
C
CF
X
L’
x  h 
V
X
La ecuación de una hipérbola con centro en el
punto C(h, k), y eje focal paralelo al eje X es de la
forma:
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x  h2   y  k 2
a2
b2
4. Pendientes, ángulos y grafica.
1
Sus focos son (h + c, k) y (h .- c, k).
Sus vértices son (h – a, k) y (h + a, k).
1) Hallar el ángulo de inclinación que tiene la línea
de segmentos formada por los puntos: (5,2),
(3,-4).
La ecuación de una hipérbola centro en el punto
C(h, k), y eje focal paralelo al eje Y es de la forma:
2) Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de
la recta 2X + Y – 8 = 0.
 y  k 2   x  h 2
a2
b2
1
3) Hallar el ángulo de intersección de las rectas
L1: 6X + 3Y – 15 =0
L2: X + 2Y + 2 =0.
Sus focos son (h , k + c) y (h, k - c).
Sus vértices son (h - a, k ) y (h + a, k ).
5. Distancia entre dos puntos.
Donde para cada parábola a es la longitud del
semieje transverso, b la del semieje conjugado y c
la distancia del centro a cada foco; a, b, c están
1) Demostrar que las coordenadas de los
siguientes puntos, forman un triangulo
isósceles: P1 ( - 2 , - 1 ) ; P2 ( 2 , 2 ) ; P3 ( 5 , - 2 )
ligadas por la relación c  a  b .
También para lado recto de la hipérbola, la longitud
2
2
2
de cada uno de sus lados rectos es:
LR 
La excentricidad de una elipse es: e 
2b 2
.
a
3) Hallar la distancia entre los puntos: P1 (2, 4);
P2 (-6, -3).
c
.
a
6. Rectas con sus respectivas grafica.
Sus elementos son los que se muestran en la
figura:
 F y F’, focos.
 V y V’, vértices.
 L, eje focal.
 VV’, eje transverso.
 C, centro.
 L’, eje normal.
 AA’, eje conjugado.
 CF, lado recto.
Las asíntotas de una hipérbola están dadas por
siguiente ecuación: y  
b
x  h   k
a
1 ) Demostrar que las coordenadas de los
siguientes puntos, forman un triangulo isósceles
: P1 ( - 2 , - 1 ) ; P2 ( 2 , 2 ) ; P3 ( 5 , - 2 )
2) Hallar la distancia entre los puntos:
P1 (2, 1); P2 (6, 4).
I D A D
3) Hallar la ecuación de la recta que corta al eje
de las abscisa en 3 y la ordenada en -2.
4) Hallar la ecuación de la recta que corta a la
ordenada en -5 y su pendiente es 2 / 3
2) Hallar la ecuación de la recta que corta a la
abscisa en -3 y es paralela a la recta que pasa
por los puntos:
P1(0,-2); P2(5,2)
3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por la
intersección de las rectas:
L1: 7 x + 8 Y - 2 9 = 0
L2:5X+11Y-26=0
y es perpendicular a la recta:
4X+ 2Y-5=0
3) Hallar la distancia entre los puntos:
P1 (2, 4); P2 (-6, -3).
R S
2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el
punto P1 ( 5 , 4 ) y su pendiente es: m = -3.
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P 1
( 5 , 4 ) y es paralela a la recta 2X + 3Y - 9 = 0.
3. Distancia entre dos puntos.
I V E
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los
puntos P1 ( 3 , 3 ) ; P2 ( 5 , - 3 ) .
7. Rectas paralelas y perpendiculares con sus
respectivas graficas.
CUESTIONARIO WORK PAPERS 7
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2) Hallar la distancia entre los puntos: P1 (2, 1);
P2 (6, 4).
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8. La circunferencia
graficas.
con
sus
respectivas
10. Graficar las siguientes cónicas
1) X2 – 4X – 12Y + 6 =0
1) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene
su centro en P ( 5 , - 1 ) y u n r a d i o R = 4
2) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene
centro en P1 (4, 4) y es tangente al eje X.
2) Y2 +6Y +2X -3 = 0
3) X2 + 2X – 7Y+2 = 5
4) 9X2 + 4Y2 – 36X – 8Y – 104 = 0
3) Encontrar la ecuación de la circunferencia que
tiene su centro en el punto P1 (5, 7) y posee un
radio R = 3
5) 4X2 - 25Y2 – 32X + 50Y – 61 = 0
6) 1 6 X 2 + 2 5 Y 2 - 1 2 8 X - 3 0 0 Y + 7 5 6 = 0
9. La parábola con sus respectivas graficas
7) 2 5 X 2 + 9 Y 2 - 2 2 5 = 0
1) Hallar la ecuación de la parábola que tiene
vértice en V (3,2) y foco en: F (5,2).
2) Hallar la ecuación de la parábola que tiene foco
en F (6,-2) y por directriz a la recta X = 2.
8) X 2 + 4 Y 2 - 4 X - 8 Y - 2 8 = 0
9) 5 X 2 - 4 Y 2 - 2 0 X + 2 4 Y + 2 0 = 0
10) 2 5 X 2 - 4 9 Y 2 - 1 0 0 X + 2 9 4 Y + 8 8 4 = 0
3) Determinar la ecuación de la parábola que
tiene vértice en V (-5,-3) y tiene directriz en Y= 4
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 1
UNIDAD O TEMA: 1
TITULO: OPERACIONES ALGEBRAICAS
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN:
Se pueden aplicar operaciones algebraicas para analizar fenómenos relacionados con su
especialidad, como tarea de investigación busque aplicaciones prácticas de su carrera, para ello
consulte con especialistas de ramo.
CONCLUSIONES
(Deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO AP. MATERNO
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NOMBRES
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FIRMA
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 2
UNIDAD O TEMA: 2
TITULO: Ecuaciones algebraicas
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN:
Las ecuaciones, son herramientas matemáticas, que permite el análisis fenómenos relacionados con
su especialidad, como tarea de investigación busque aplicaciones prácticas de su carrera, para ello
consulte con especialistas de ramo
CONCLUSIONES
(Deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO AP. MATERNO
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NOMBRES
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PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
DIF’s # 3
UNIDAD O TEMA: TRIGONOMETRÍA
TITULO: Aplicaciones de la Trigonometría
FECHA DE ENTREGA:
PERIODO DE EVALUACIÓN:
La trigonometría es una herramienta matemática, que permite el análisis fenómenos relacionados con
su especialidad, como tarea de investigación busque aplicaciones prácticas de su carrera, para ello
consulte con especialistas de ramo
CONCLUSIONES
(Deberán sintetizar la opinión del grupo):
COMENTARIOS (deberán sintetizar la opinión del grupo):
GRUPO (máximo cinco integrantes):
AP. PATERNO AP. MATERNO
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