Alboole

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ÁLGEBRA BOOLEANA.
1.1 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA BOOLEANA.
En 1854 George Boole presentó un tratamiento sistemático de la lógica, y desarrolló para este
propósito un sistema algebraico que ahora se conoce como álgebra booleana. Se trata de una
estructura algebraica definida en un conjunto de elementos junto con dos operadores binarios
“+” (suma) y “.” (multiplicación). El símbolo “+” representa la operación lógica “o” (en inglés
“OR”), el símbolo “.” representa la operación lógica “y” (en inglés “AND”). En 1938 C. E.
Shannon presentó un álgebra booleana de dos valores denominada álgebra de interruptores,
en la cual demostró que las propiedades de los circuitos eléctricos y estables con interruptores,
pueden manejarse con esta álgebra. Para la definición formal del álgebra booleana, se emplean
los postulados formulados por E. V. Hungtington en 1904. Estos postulados o axiomas no
son únicos para definir el álgebra booleana. Se han usado otros conjuntos de postulados.
El álgebra booleana se parece en algunos aspectos al álgebra ordinaria. La elección de los
símbolos “+” y “.” es intencional para facilitar las manipulaciones algebraicas booleanas por
las personas que ya están familiarizadas con el álgebra ordinaria. Aunque puede utilizarse
cierto conocimiento del álgebra ordinaria para tratar con el álgebra booleana, el principiante
debe tener cuidado de no sustituir las reglas del álgebra ordinaria cuando no son aplicables.
1.2 TABLAS DE VERDAD Y COMPUERTAS LÓGICAS BÁSICAS.
Una tabla de verdad sirve para enumerar todas las combinaciones posibles de una operación
lógica tanto de entrada con sus respectivas salidas. Por ejemplo la operación lógica “Y”
(AND) para dos entradas se muestra a continuación:
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ENTRADAS
SALIDA
A
B
X
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
En esta tabla observamos que la salida sólo es “1” cuando ambas entradas son “1”
La operación lógica AND se simboliza mediante la compuerta.
La compuerta AND es una de las compuertas básicas con la que se construyen funciones
lógicas. Una compuerta AND puede tener dos o más entradas y realiza la operación que se
conoce como multiplicación lógica.
Otra compuerta básica es la que realiza la función lógica “O” (en inglés OR) la cual puede
tener dos o más entradas y realiza la operación que se conoce como suma lógica. Su tabla de
verdad es:
ENTRADAS
SALIDA
A
B
X
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
En esta tabla anterior observamos que la salida es “1” cuando cualquiera de las entradas es
“1”. La operación lógica OR se simboliza mediante la compuerta
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Una tercera tabla de verdad y compuerta lógica básica presenta la operación negación (en
inglés NOT).
ENTRADA A
SALIDA X
0
1
1
0
La operación negación está simbolizada por la compuerta:
1.3 POSTULADOS Y AXIOMAS.
Las reglas del álgebra de Boole están compuestas por postulados y teoremas. Los postulados
son axiomas básicos de la estructura algebraica y no necesitan prueba. Los teoremas deben
probarse mediante los postulados.
POSTULADOS BÁSICOS:
1) 0*0 =0
2) 0*1= 0
3) 1*0 =0
4) 1*1 = 1
5) 0 + 0 = 0
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6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1
9) 0 = 1
10) 1 = 0
junto con las expresiones anteriores, también podemos enunciar los siguientes postulados:
11) x + 0 = x
12) x * 1 = x
13) x + y = y + x
postulado conmutativo
14) xy = yx
postulado conmutativo
15) x(y + z) = xy + xz
postulado distributivo
16) x + yz = (x + y)(x + z)
postulado distributivo
17) x + x = 1
18) x*x = 0
1.4 TEOREMAS DEL ÁLGEBRA BOOLEANA.
Los teoremas deben probarse mediante los postulados. A continuación se deducen algunos
teoremas del álgebra de Boole con el conocimiento de los postulados vistos anteriormente.
TEOREMA 1:
x+x= x
DEDUCCIÓN:
x + x = (x + x)*1
por el postulado 12
= (x + x )(x + x)
17
= x + x*x
18
=x+0
11
=x
EJERCICIOS: Deducir los teoremas que se indican a continuación:
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TEOREMA 2: x*x = x
(sugerencia: sumar 0 al término x*x)
DEDUCCIÓN:
TEOREMA 3: x + 1 = 1 (sugerencia: multiplicar por 1 al binomio x + 1 )
DEDUCCIÓN:
TEOREMA 4: x + xy = x (sugerencia multiplicar x por 1)
DEDUCCIÓN:
De una manera similar, se pueden deducir los siguientes teoremas:
6) x * 0 = 0
7) x = x
involución
8) x + (y + z ) = (x + y) + z
asociativo
9) x(yz) = (xy)z
asociativo
10) x(x + y) = x(1 + y) = x
redundancia
11) x + x y = x + y
12) x y + y z + y z = x y + z
13) x (x + y) = x y
TEOREMAS DE DEMORGAN
1) (x + y) = x * y
2) x*y = x + y
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PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
INTERPRETADAS MEDIANTE INTERRUPTORES.
Los postulados y teoremas del álgebra de Boole los podemos agrupar como propiedades de ese
sistema algebraico, y otra manera muy práctica de entender cada uno de ellos es mediante
circuitos con interruptores eléctricos.
EJERCICIO: Deduce la expresión del segundo miembro en cada ecuación o regla del álgebra
booleana mediante interruptores realizando un circuito eléctrico equivalente. Nota el operador
multiplicación está representado con asterisco (*).
PROPIEDAD
CIRCUITO EQUIVALENTE
x + 0 = _________
x + 1 = _________
x + x = ________
x + x = _______
x * 0 = _____
x * 1 = _____
x * x = ____
Ley de identidad
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x * x = ____
Involución
x = _____
x + y = ______
Ley conmutativa
x*y = _______
Ley asociativa
x + (y + z ) = _________ Ley asociativa
x(yz) = _________
Ley asociativa
x(y + z) = __________
Ley distributiva.
x + xz = _______
Redundancia
x(x + y) = ________
Absorción, redundancia
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(x + y)(x + z)=________
x + x y = _________
xy+yz+yz=xy+z
x + (y * z) = (x + y )*(x + z)
x (x + y) = x y
1.5 OPERACIONES BÁSICAS
I.- Simplifica las siguientes expresiones booleanas a un número mínimo de literales:
1.- x + x y =
2.- x( x + y ) =
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3.- x y z + x y z + x y =
II.- Utilizando los teoremas de DEMORGAN realiza lo que se indica en cada punto:
1.- Expresa como suma de productos, negando Z:
Z = (A + C)*(B + D)
2.- Expresa como suma de productos, negando Z:
Z = A + B*C
3.- Expresa como productos de sumas, negando f:
f = abc + bcd
BIBLIOGRAFÍA:

DEMPSEY, JOHN A. Electrónica digital básica con aplicaciones MSI. México 1987.
Fondo Educativo Interamericano.

FLOYD, T. L. Fundamentos de sistemas digitales. Sexta edición Madrid1997.
Editorial Prentice Hall.

MANO, MORIS. Diseño digital. México, 1987. Editorial Prentice Hall.
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