mate5

Unida
d
1
2
Temas
Ecuaciones
Diferenciales
de Primer Orden
Ecuaciones
Diferenciales
Lineales de Orden
Superior
Subtemas
1.1 Definiciones (Ecuación diferencial, orden,
grado, linealidad)
1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales
1.3 Problema del valor inicial
1.4 Teorema de existencia y unicidad.
1.5 Variables separables y reducibles
1.6 Exactas y no exactas, factor integrante
1.7 Ecuaciones lineales
1.8 Ecuación de Bernoulli
1.9 Sustituciones diversas.
1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
de primer orden
2.1 Definición de ecuación diferencial de orden n
2.2 Problema del valor inicial
2.3 Teorema de existencia y unicidad de solución
única
2.4 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
2.4.1 Principio de superposición.
2.5 Dependencia e independencia lineal,
wronskiano.
2.6 Solución general de las ecuaciones
diferenciales lineales homogéneas.
2.6.1 Reducción de orden de una ecuación
diferencial lineal de orden dos a una de primer
orden, construcción de una segunda solución a
partir de otra ya conocida
2.6.2 Ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes.
2.6.2.1 Ecuación diferencial lineal homogénea con
coeficientes constantes de orden dos.
2.6.2.2 Ecuación característica(raíces reales y
distintas, raíces reales e iguales, raíces complejas
conjugadas).
2.7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden
superior.
2.8 Ecuaciones diferenciales lineales no
homogéneas.
2.8.1 Solución general de las ecuaciones
diferenciales lineales no homogéneas.
2.8.2 Solución de las ecuaciones diferenciales
lineales no homogéneas (coeficientes
indeterminados, método de la superposición,
método de operador anulador).
2.8.3 Solución de las ecuaciones diferenciales
lineales no homogéneas por el método de
variación de parámetros.
2.8.4 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
lineales de orden dos
3
Transformadas de
Laplace
4
Ecuaciones
Diferenciales
Lineales y Sistemas de
Ecuaciones
Diferenciales
Lineales
5
Series de Fourier
3.1 Definición de la trasformada de Laplace.
3.2 Condiciones suficientes de existencia para la
trasformada de Laplace.
3.3 Trasformada de Laplace de funciones básicas.
3.4 Trasformada de Laplace de funciones definidas
por tramos.
3.5 Función escalón unitario.
3.5.1 Trasformada de Laplace de la función escalón
unitario.
3.6 Propiedades de la trasformada de Laplace
(linealidad, teoremas de traslación).
3.7 Transformada de funciones multiplicadas por tn,
y divididas entre t.
3.8 Trasformada de derivadas(teorema).
3.9 Trasformada de integrales(teorema).
3.10 Teorema de la convolución.
3.11 Trasformada de Laplace de una función
periódica.
3.12 Función Delta Dirac.
3.13 Trasformada de Laplace de la función
Delta Dirac.
3.14 Trasformada inversa.
3.15 Algunas trasformadas inversas
3.16 Propiedades de la trasformada inversa
(linealidad, traslación).
3.16.1 Determinación de la trasformada inversa
mediante el uso de las fracciones parciales.
3.16.2 Determinación de la trasformada inversa
usando los teoremas de Heaviside.
4.1 Solución de una ecuación diferencial lineal con
condiciones iniciales por medio de la trasformada
de Laplace.
4.2 Solución de un sistema de ecuaciones
diferenciales lineales con condiciones
iniciales por medio de la trasformada de Laplace.
4.3 Problemas de aplicación.
5.1 Funciones ortogonales.
5.2 Conjuntos ortogonales y conjuntos
ortonormales.
5.3 Definición de serie de Fourier.
5.4 Convergencia de una serie de Fourier.
5.5 Series de Fourier de una función de periodo
arbitrario.
5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares
(desarrollo cosenoidal o senoidal).
5.7 Serie de Fourier en medio intervalo.
5.8 Forma compleja de la serie de Fourier.
6
6.1 Definiciones (ecuación diferencial parcial, orden
y linealidad)
6.2 Forma general de una ecuación diferencial
parcial de segundo orden.
6.3 Clasificación de ecuaciones diferenciales
Introducción a las
parciales de segundo orden (elípticas, parabólicas
ecuaciones diferenciales
e
parciales
hiperbólicas)
6.4 Método de solución de las ecuaciones
diferenciales parciales(directos, equiparables con
las ordinarias, separación de variables)
6.5 Aplicaciones.
1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1.1 Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad)
ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables
dependientes con respecto a una o más variables independientes es una
ecuación diferencial.
Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con su tipo, orden y
linealidad.
Clasificación según el tipo.
Si una ecuación solo contiene derivadas
ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola
variable independiente, entonces se dice que una ecuación diferencial
ordinaria. Por ejemplo:
dy
 10 y  e x
dx
d 2 y dy
y

 6y  0
dx2 dx
son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuación que contiene las
derivadas parciales de una o más variables dependientes, respecto de dos o
más variables independientes, se llama ecuación en derivadas parciales. Por
ejemplo,
u
u

y
x
y
 2u  2u
u


2
x 2 t 2
t
son ecuaciones parciales.
Definición: Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene
derivadas o diferenciales.
Orden de una ecuación diferencial: Es el de la derivada más alta contenida
en ella.
Grado de una ecuación diferencial: Es la potencia a la que está elevada la
derivada más alta, siempre y cuando la ecuación diferencial esté dada de
forma polinomial.
1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales
Solución de una ecuación diferencial: Es una función que no contiene
derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y
sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad.
Solución general de una ecuación diferencial: Es la función que contiene una
o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).
Solución particular de una ecuación diferencial: Es la función cuyas
constantes arbitrarias toman un valor especifico.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales:
y'  4 x  6
y '  (4  x) 4
y '  e 3 x  2 x
dy
5
dx
( x  1)dy  5dx...
Para resolver una ecuación diferencial el primer intento debe ser por
integración directa, si eso no resulta intentemos cambios de variables o
transformaciones que nos lleve a integrales mas que mayores familiares.
Ejemplos:
1. y'  4 x  6
dy
 4x  6
dx
dy  (4 x  6) dx
 dy   (4 x  6) dx
y  4 x dx  6 dx
4x 2
y
 6x  C
2
y  2x 2  6x  C
2. y'  8  2 x  3 x 2
dy
 8  2 x  3x 2
dx
dy  (8  2 x  3x 2 ) dx
 dy   (8  2 x  3x ) dx
y  8 dx  2 x dx  3 x
2
2
dx
2 x 2 3x 3
y  8x 

C
2
3
y  8x  x 2  x 3  C
dy
1
 x5  2  x
dx
x
1
dy  ( x 5  2  x ) dx
1
x
3. y'  x 5  2  x
1
x
5
dy

(
x

 x) dx


x2
dx
y   x 5 dx   2   x dx
x
6
2
x
1 x
y
 
C
6 x 2
1.3 Problema del valor inicial
Definición: La ecuación diferencial de variables separables es dela forma
siguiente:
f ( x) dx  g ( y) dy  0 , donde cada diferencial tiene como coeficiente una
función de su propia variable, o una constante.
Método de Solución: integración directa.
 f ( x) dx   g ( y) dy  0
Cuando no pueden separarse las variables de una ecuación y no pueden
agruparse en términos, en cada uno de los cuales estén las mismas variables,
habrá que usar otros métodos para encontrar la solución.
Ejemplo 1:
Resolver e
x y
y'  x , con las condiciones iniciales y  ln 2 cuando x  0 .
1) Separar las variables usando las propiedades de las funciones involucradas y
los artificios algebraicos necesarios.
ex ey
dy
 x; e y dy  x e  x dx.
dx
2) Integrar cada miembro de la ecuación:
e
y
dy   x e  x dx
e y  x e  x  e  x  c , solución general en la forma implícita porque no está
despejada la variable dependiente y, pero:
y  ln e  x ( x  1)  c , solución general en la forma explícita:
y  f (x).
3) Aplicar las condiciones iniciales: y(o)  ln 2 en la solución general, ya sea
en su forma explicita o implícita.
En la implícita:
el n 2  0  1  c
2  1  c
c3
solución particular
e y  x e x  e x  3
En la explícita: ln 2  ln 1(0  1)  c aplicando exponencial, tenemos:
2  1  c
c3
 y  ln e  x ( x  1)  3
2
Resolver xyy'  1  y , para y  3 cuando x  1 o bien y(1)  3.
1) Separar variables:
dy
1 y2
dx
y
dx
dy

1 y2
x
xy
2) Integrar :
1
ln 1  y 2  ln x  ln c
2
Observación: la constante de integración no pierde su arbitrariedad, su
carácter de cualquier número, si esta afectada por funciones. Así, ln c  c
porque el logaritmo natural de una constante es también una constante, del
c
2
mismo modo se puede usar e , c , senc, coshc, etc.
Usando las propiedades de los logaritmos (por eso introdujimos “ ln c ”):
ln 1  y 2
1
2
 ln cx
Aplicando exponencial:
1 y2
1
2
 cx
Elevando al cuadrado:
1  y 2  cx 2
 cx 2  y 2  1
, solución general implícita.
3) Aplicar las condiciones iniciales y (1)  3
c(1)  9  1
c  10
solución particular.
10 x 2  y 2  1
1.4 Teorema de existencia y unicidad.
Teorema De Existencia Y Unicidad
Sea R una región rectangular del plano xy, definida por a " x " b, c " y " d, que
contiene al punto (x0,y0). Si f(x,y) y "f/"y son continuas en F, entonces existe un
intervalo I,
1.5 Variables separables y reducibles
Las ecuaciones en variables separables se resuelven agrupando las funciones
que solo dependen de la variable x en uno de los miembros, y las funciones que
solo dependen de la variable y en otro, e integrando cada miembro respecto de la
variable de la que depende. Es decir, agrupamos de la forma:
e integramos para obtener la solución:
Nota 0.2.1 Como vemos, la solución depende de una constante c. Se trata, por
tanto, de una solución general.
Problema 0.2.2 Resuelve la ecuación
Solución: Escribimos la e. d. o. como
Integrando obtenemos:
que es la solución general (y esta escrita en forma implícita).
Problema 0.2.3 Resuelve el problema
Solución: Escribimos la e. d. o. como
con la condicion y( 1) = 0.
Integrando obtenemos:
que es la solución general de la ecuación
x+3
Buscamos la solución particular
que verifica, además de la e. d. o., la condición y(¡1) = 0. Imponemos entonces
que la solución general verifique dicha condición, es decir, sustituimos x = ¡1 e
y = 0 en la solución general, de manera que obtenemos:
La solución particular del problema, que recibe el nombre de problema de valores
Iniciales, es:
1.6 Exactas y no exactas, factor integrante
Cualquier ecuación diferencial del tipo y0(x) = f(x; y(x)) puede escribirse de la
forma:
Dicha expresión recuerda al calculo de funciones potenciales (Matemáticas I), en
el que si U(x; y) es una función de dos variables, su derivada viene dada por la
expresion dU(x; y) = Ux dx + Uy dy. Por tanto, si existe una función U(x; y) tal que
Ux = P y Uy = Q, tendremos que dU = P dx + Qdy = 0. Entonces, integrando a
ambos lados de la expresión anterior, obtenemos que U(x; y) = C es una solución
de la ecuación diferencial de partida.
Decimos entonces que la ecuación diferencial es exacta cuando existe dicha
función U(x; y), que en Matemáticas I llamamos función potencial. Por tanto, para
comprobar si la e. d. o. es exacta o no usaremos la condición equivalente de
existencia de función potencial que se vio en primero:
Py = Qx; (11) y el calculo de la función U(x; y) se remite al calculo de la función
potencial (método visto en Matemáticas I).
Problema
1.7 Ecuaciones lineales
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficiente constante
Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, con coeficientes
2  a  b  0 es la
constantes ay b tiene la forma y  ay  by  0 . Donde
ecuación auxiliar o característica de la ecuación diferencial de segundo orden
que nos va a dar dos raíces que utilizaremos en la solución:


yp  x 2e x Pk ( x ) cos Bx  q K ( x ) senBx donde: K  Max(Min)
Caso 1:
Las raices de la ecuación características son reales y diferentes:
y  c1e 1x  c2e 2 x
caso II
las raices de las ecuacionescaracteristicasson realese iguales
y  c1e x  c2 xex
casoIII
las raices de la ecuacion caracteristicasson complejasy conjugadas
y  e x  A cos x 
Ecuación de Gauchy-Euler
x 2 y  axy  by  0 donde a,bЄR usaremos la ecuación auxiliar m2  a 1m  b  0
cuyas raíces m1 y m2 son reales diferentes y  c1 x m1  c2 x m2 comoen ecuacion real.
si son reales e iguales entonces:
m1  m2 entoncesy  c1 x m  c2 (ln x) x m es solucion general,si son complejasm  i




entoncesy  x  A cosln x   Bsen ln x  es solucion general
Ecuaciones de segundo orden arbitrario con coeficiente constante
Una ecuación diferencial con coeficientes constantes tiene la formula general:
an y n  an 1 y n 1  ........a 2 y  a1 y  a 0 y 0  0
ai ,i  0,1,2.......n
an m n  an 1m n 1  .........a2 m 2  a1m  a 0  0
Estas raices pueden ser como el caso de la segundo orden:real o complejas,
iguales o distintas si la raices son reales y distintas la solución es:
an y n  an 1 y n 1  ........a 2 y  a1 y  a 0 y 0  0
ai ,i  0,1,2.......n
an m n  an 1m n 1  .........a2 m 2  a1m  a 0  0
Ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden
Una ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes es de
y  f x  y  g ( x) y  r ( x) donde f y g son constantes
la forma Y constante : donde
.
La diferencia con las anteriores ecuaciones estudiada consiste en que este
igualada a una función de la variable independiente x. Llamaremos yh a la
solución genera homogénea correspondiente yp a una solución particular de la
no homogénea que la vamos a encontrar de alguna manera.
TEOREMA: Si Yh es la solución de y,, +f (x) y´+ g(x) y = 0 y yp+ yb es la
solución general de la ecuación interior.
Conocida la solución yh por los metodosw anteriores .
El problema se reduce entonces a encontrar la solución de Y b para resolver la
ecuación no homogénea.
Los metodos para encontrar Yb son :
1. Variación de parámetros.
El método de variación de parámetros llamados también método general
supone el cambio de las constantes C1 y C2 de la ecuación Yh por función de X.
El método de coeficientes indeterminados es mas sencillo y se usa para ciertos
tipos de funciones r ( x ).
Método de coeficientes indeterminados para obtener Yp .
Se usa para tres formas de r ( x ).
R(x) = polinomios.
R(x) = exponencial
R (x)= función trigonometrica o combinación de ellas, que pueden resumirse en
forma general de la siguiente manera:


R(x)= e x pm  x  cos Bx  on( x)senBx
Donde:   i es raiz de la ecuacionauxiliar
Pm(x) Yon x  son polinomiosde grado m y n
se busca una solución particular yb de la forma:


yp  x 2e x Pk ( x ) cos Bx  q K ( x ) senBx donde: K  Max(Min)
1.8 Ecuación de Bernoulli
La ecuación diferencial
dy + P(x)y = f(x)yn
dx
en que n es cualquier numero real, es la ecuación de Bernoulli. La sustitución u =
y 1-n reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuacion lineal.
1.9 Sustituciones diversas.
1.10 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
Definicion 3.1 (trayectorias isogonales) .
a). Dada una familia de curvas f(x; y; c) = 0, existe otra familia g(x; y; c) = 0 que
corta a la familia f bajo un mismo ángulo. A la familia g se le llama la familia de
trayectorias isogonales de f y g(x; y; c) = 0 es solución de la E.D.:
b). En particular, cuando = 900, a g se le llama la familia de trayectorias
ortogonales de f y en este caso g es solucion de la E.D.:
.1.2. Problemas de Persecución:
Ejemplo 2. Un esquiador acuático P localizado en el punto (a; 0) es remolcado por
un bote de motor Q localizado en el origen y viaja hacia arriba a lo largo del eje Y .
Hallar la trayectoria del esquiador si este se dirije en todo momento hacia el bote.
Solución: del concepto geométrico de derivada se tiene que:
pero de la figura 3.2 se tiene que
por lo tanto,
Separando variables:
por medio de la sustitución trigonométrica x=sen  en el lado derecho de la E.D.,
se llega a que:
como el esquiador arranca desde el punto (a; 0), entonces las condiciones
iniciales son x = a; y = 0, sustituyendo en la solución general, se obtiene que C =
0. Luego la solución particular es:
2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
2.1 Definición de ecuación diferencial de orden n
Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma
dny
X
dx n
En donde “X” es una función de “x” únicamente, o una constante para integrar
d n 1 y
dny

dx   Xdx  C1
dx n 1  dx n
El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendrá la
solución general, que contendrá “n” constantes arbitrarias
Ejemplo –
d3y
 xe x
3
dx
2
d y
  xe x dx
2
dx
2
d y
 xe x  e x  C1
2
dx
dy
  xe x dx   e x dx  C1  dx
dx
dy
 xe x  2e x  C1 x  C 2
dx
x
x
 dy   xe dx  2 e dx  C1  xdx  C 2  dx
y  xe x  3e x  C1 x 2  C2 x  C3
Las siguientes ecuaciones tiene la forma
d2y
Y
dx 2
Donde “Y” es una función de “y” únicamente
y' dy'  Ydx
y' dy'  Ydy
Lo anterior es valido por y' dx  dy
y' dy'  Ydy
1 2
y '   Ydy  C1
2
El segundo miembro es una función de y. Extrayendo la raíz cuadrada, las
variables “x” e “y” quedan separadas. Y podemos integrar otra vez
Problemas propuestos –
Hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales
d 2x
 t2
2
dt
d 2x
 4sen2t
dt 2
d 2x
x
dt 2
d 2x
 e 2t
2
dt
d 2 y a2

0
dx 2 y 2
Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes
Las ecuaciones tiene la forma
d 2 y dy
 y0
dx 2 dx
y" py" qy  0
La solución de estas ecuaciones se obtiene al usar la sustitución
y  e rx
Por lo tanto derivando la sustitución obtenemos
y  e rx
dy
 re rx
dx
d2y
 r 2 e rx
dx
Sustituyendo en la forma general obtenemos que
r 2 e rx  re rx  e rx  0
r 2  r 1  0
Donde y= e rx es una solución de la ecuación y “r” son las raíces de la función y
distintas
y  c1e rx  c 2 e rx
Cuando la raíz de la función es imaginaría y toma la forma r  a  bi la solución
será:
y  e ax ( A cosbx  Bsenbx)
Cuando las raíces de la función son iguales r1=r2 la solución del problema será
y  c1e rx  c 2 xe rx
Resolver la ecuación con la condición s=4 t=0
d 2s
ds
2 s0
2
dt
dt
Usando la sustitución s  e rt y resolviendo para “r”
r 2  2r  1  0
( r  1) 2  0
s  e  t ( c1  c 2 t )
Sustituimos las condiciones iniciales en la solución
c1  4
c2  2
s  e  t ( 4  2t )
Encontrar la solución de la ecuación
d4y
d3y
d2y
dy

4

10
 12  5 y  0
4
3
2
dx
dx
dx
dx
Usando la sustitución encontramos
r 4  4r 3  10r 2  12r  5  0
Resolviendo para “r” encontramos
r 1
r 1
r  1  2i
Por lo tanto la solución general es:
y  c1e x  c2 xe x  c3 e x cos 2x  c4 e x sen2x
2.2 Problema del valor inicial
Condiciones Iniciales
A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones
prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En
algún intervalo I que contenga a xo, el problema
Resolver: dny = F(x, y, y',..., y(n-1))
dxn
Sujeta a: y(x0) = y0, y'(x0) = y1, ... , Y(n-1)(x0) = y n-1,
En donde y0, y1 ,..., y n-1 son constantes reales especificadas arbitrariamente, se
llama problema de valor inicial. Los valores dados de la función desconocida, y(x),
y de sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0: y(x0) = y0, y'(x0) =
y1,...,y(n-1) (x0) = y(n-1) se llaman condiciones iniciales.
Condiciones De Linealidad
Se dice que una ecuación difenecial de la forma y(n) = f(x, y, y',..., y(n-1)) es
lineal cuando f es una función lineal de y, y',..., y(n-1). Esto significa que una
ecuación es lineal si se puede escribir en la forma
an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)
dxn dx n-1 dx
en esta ultima ecuación, vemos las dos propiedades características de las
ecuaciones diferenciales lineales:
 La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la
potencia de todo termino donde aparece y es 1.
 Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente.
2.3 Teorema de existencia y unicidad de solución única
Teorema De Existencia Y Unicidad
Sea R una región rectangular del plano xy, definida por a " x " b, c " y " d, que
contiene al punto (x0,y0). Si f(x,y) y "f/"y son continuas en F, entonces existe un
intervalo I,
2.4 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Polinomios homogéneos, son aquellos en los que todos los términos son del
mismo grado.
Ejemplo1.
x 2 y  8xy 2  x 3  y 3
La suma de los exponentes del primer término es 2 + 1 = 3, lo mismo para el
segundo 1 + 2 = 3, por tanto los cuatro términos son de grado 3.
Ejemplo2.
xyz2  x 2 y 2
es un polinomio homogéneo de grado 4.
Definición: La ecuación diferencial homogénea es de la forma:
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 , donde M y N tienen la propiedad de que para toda
t>0, la sustitución de x por tx y la de y por ty hace que M y N sean del mismo
grado n.
M (tx , ty )  t n M ( x, y )
N (tx , ty )  t n N ( x, y ), n  R
Por ello, este tipo de ecuaciones puede reducirse a ecuaciones de variables
separables mediante sustituciones apropiadas.
Ejemplo3.
Determinar si la función f ( x, y )  2 xy  x , es homogénea, si lo es, indicar su
grado:
f ( x, y )  2 (tx )(ty )  tx
 2t xy  tx


 t 2 xy  x
n
como f (tx, ty)  t f ( x, y), n  R
→ la función es homogénea y de grao 1.
Las ecuaciones diferenciales homogéneas también tienen la siguiente forma:
dy
 g (u )  0 donde u  f ( x, y).
dx
Método de solución: Usando sustituciones algebraicas apropiadas, se convierten
en ecuaciones de variables separables. Una de las más comunes es:
y
 v  y  vx
x
Ejemplo4:
2
2
Resolvemos la ecuación diferencial ( x  y ) dx  xy dy  0 .
Usando y  vx
y dy  vdx  xdv
( x  v x ) dx  vx2 (vdx  xdv)
2
Dividiendo entre x .
(1  v 2 )dx  v(vdx  xdv)
2
2
2
Separando variables::
(1  v 2  v 2 ) dx  vx dv
dx
 vdv
x
Integrando:
v2
c
2
y
1 y2
Como v   ln x   2  c
x
2 x
ln x 
y2
Entonces: ln x 
c
2x 2
2.4.1 Principio de superposición.
Principio de superposición. Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas tienen la
siguiente importante e interesante propiedad: La suma de dos soluciones cualesquiera es
también solución.
Las ecuaciones no lineales no tienen esta propiedad: La suma de dos soluciones de
una ecuación no lineal no necesariamente es una solución de la ecuación (Las
consecuencias de éste hecho son muy importantes y serán enfatizadas durante todo el curso,
en particular ver el capítulo 6).
Pruebe estas dos afirmaciones,
a) Lineal: Suponga que ha encontrado que la ecuación dinámica del movimiento de un
sistema con un grado de libertad es de la forma,
 (t )  2 (t )

(ecuación diferencial lineal)
y que ha hallado dos soluciones 1 ( t ) y 2 ( t ) de la ecuación diferencial. Verifique que
la función (t )  1 (t )  2 (t ) también es solución, es decir, satisface la ecuación
diferencial.
 (t ) por 
 (t )  
 (t ) y use el hecho de que
Ayuda: Reemplace ( t ) por 1 (t )  2 (t ) y 
1
2
 (t )  2  (t ) y
1 ( t ) y 2 ( t ) son soluciones de la ecuación, es decir, que satisfacen 
1
1
 (t )  2  (t ) (con la misma frecuencia ).

2
2
b) No Lineal: Suponga que ha encontrado que la ecuación dinámica del movimiento de un
sistema con un grado de libertad es de la forma,
 (t )  2 (t )   (t ) 2

(ecuación diferencial no lineal)
donde  es una constante, y suponga que ha hallado dos soluciones 1 ( t ) y 2 ( t ) de la
ecuación diferencial. Verifique que la función (t )  1 (t )  2 (t ) no es solución, es
decir, no satisface la ecuación diferencial.
2.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano.
DEPENDENCIA O INDEPENDENCIA LINEAL
Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en
un intervalo Iv si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que
C1f1(x) + C2F2(x) + ... + CnFn(x) = 0
Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el
intervalo, se dice que es linealmente independiente.
2.6 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
Método de solución: Usando sustituciones algebraicas apropiadas, se convierten
en ecuaciones de variables separables. Una de las más comunes es:
y
 v  y  vx
x
Ejemplo4:
2
2
Resolvemos la ecuación diferencial ( x  y ) dx  xy dy  0 .
Usando y  vx
y dy  vdx  xdv
( x  v x ) dx  vx2 (vdx  xdv)
2
Dividiendo entre x .
(1  v 2 )dx  v(vdx  xdv)
2
2
2
Separando variables::
(1  v 2  v 2 ) dx  vx dv
dx
 vdv
x
Integrando:
v2
c
2
y
1 y2
Como v   ln x   2  c
x
2 x
ln x 
y2
Entonces: ln x 
c
2x 2
2.6.1 Reducción de orden de una ecuación diferencial lineal de orden dos a una de
primer orden, construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida
Vamos a aplicar el procedimiento de Runge-Kutta a una ecuación diferencial de segundo
orden.
con las condiciones iniciales
Una ecuación diferencial de segundo orden es equivalente a un sistema de dos ecuaciones
diferenciales de primer orden, por lo que aplicaremos el mismo esquema.
Comparando esta tabla con la de un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer
orden, vemos que la segunda columna es la misma, excepto por cambio de nombre de la
función, f en vez de g, y de la variable, v en vez de y. En la primera columna, las variables
k1, k2, k3, k4 pueden calcularse directamente sin efectuar llamadas a una función
2.6.2 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.
La ecuaciones Diferencial lineal invariante en el tiempo.
Es aquella en la cual una variable dependiente y sus derivadas aparecen como
combinaciones lineales.
Ejemplo: (4 )
Puesto que los coeficientes de todos los términos son constantes, una ec.
Diferencial lineal invariante en el tiempo también se denomina ecuación diferencial
lineal de coeficientes constantes.
En el caso de una ecuación diferencial lineal variante en el tiempo la variable
dependiente y sus derivadas aparecen como combinaciones lineales, para algunos
de los coeficientes de los términos pueden involucrar a la variable independiente.
2.6.2.1 Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de
orden dos.
Las ecuaciones tiene la forma
d 2 y dy
 y0
dx 2 dx
y" py" qy  0
La solución de estas ecuaciones se obtiene al usar la sustitución
y  e rx
Por lo tanto derivando la sustitución obtenemos
y  e rx
dy
 re rx
dx
d2y
 r 2 e rx
dx
Sustituyendo en la forma general obtenemos que
r 2 e rx  re rx  e rx  0
r 2  r 1  0
Donde y= e rx es una solución de la ecuación y “r” son las raíces de la función y
distintas
y  c1e rx  c 2 e rx
Cuando la raíz de la función es imaginaría y toma la forma r  a  bi la solución
será:
y  e ax ( A cosbx  Bsenbx)
Cuando las raíces de la función son iguales r1=r2 la solución del problema será
y  c1e rx  c 2 xe rx
Resolver la ecuación con la condición s=4 t=0
d 2s
ds
2 s0
2
dt
dt
Usando la sustitución s  e rt y resolviendo para “r”
r 2  2r  1  0
( r  1) 2  0
s  e  t ( c1  c 2 t )
Sustituimos las condiciones iniciales en la solución
c1  4
c2  2
s  e  t ( 4  2t )
Encontrar la solución de la ecuación
d4y
d3y
d2y
dy

4

10
 12  5 y  0
4
3
2
dx
dx
dx
dx
Usando la sustitución encontramos
r 4  4r 3  10r 2  12r  5  0
Resolviendo para “r” encontramos
r 1
r 1
r  1  2i
Por lo tanto la solución general es:
y  c1e x  c2 xe x  c3 e x cos 2x  c4 e x sen2x
2.6.2.2 Ecuación característica (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales,
raíces complejas conjugadas).
3.1.- Caso 1º: P(r) = 0 tiene n raices distintas r1 ,......., rn
Entonces son soluciones de 6 linealmente independientes en  las:
y1  e r1x , y2  e r2 x ,............, y n  e rn x
La solución general es:
y C1 er1 x  ..........Cn ern x
3.2.- Caso 2º: P(r) = 0 tiene k raices distintas r1 ,......., rk con multiplicidades
,......., mk (m1 +......+ mk = n)
m1
Entonces son soluciones de 6 linealmente independientes en  las :
e r1x , xe r2 x ,........., x m1 1e r1x ;..........; e rk x , xe rk x ,........, x mk 1e rk x
3.3.- Caso 3º: P(r) = 0 tiene raices complejas.
Por cada raiz compleja r =  + i y su conjugada r =  - i , ambas con multiplicidad m,
son soluciones linealmente independientes en  las :
ex cos x , xex cos x ,............, x m1ex cos x
ex sen x , xex sen x ,............, x m1ex sen x
2.7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.
Son del tipo:
y'' + ay' + by = 0
Este tipo de ecuaciones siempre tiene soluciones de orden exponencial y = emx es solución y
m deberá determinarse de la ecuación.
Las respectivas derivadas son: y' = memx y y'' = m2emx
sustituyéndose en la ecuación original:
m2emx+ amemx + b emx = 0 donde emx es distinta de 0.
m2+ am + b = 0 es la ecuación o polinomio característico.
ANÁLISIS DE RAÍCES:
a) Las raíces son reales distintas:
y1 = e(m1)x y y2 = e(m2)x son soluciones parciales.
Como m1 y m2 son distintas, entonces y1 y y2 son linealmente independientes
Y = c1y1 + c2y2
b) Las raíces son reales e iguales m1 = m2:
y1 = e(m1)x y y2 = xe(m1)x (la x reduce la dependencia lineal)
Y = c1e(m1)x + c2xe(m1)x es la solución general.
c) Las raíces son complejas conjugadas:
m1 = a + bi y m2 = a - bi
y1 = e(a + bi)x + c2e(a - bi)x = eax(c1eibx + c2e-ibx)
Y = eax + (c1 cos bx + c1 i sen bx + c2 cos bx - c2 i sen bx)
= eax [(c1 + c2) cos bx + i (c1 - c2) sen bx]
= eax (A cos bx + B sen bx)
d) Las raíces son imaginarias:
m1 = bi y m2 = -bi
Y = A cos bx + B sen bx
2.8 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
Se les da el nombre, si la relación entre las derivadas sucesivas de sus coeficientes es de la
forma:
ao(x) y(n) + a1(x)y(n-1) + ... + an-1(x)y + an(x)y = h(x)
Si ao(x) es diferente de cero, la ecuación se normaliza
y(n) + b1(x)y(n-1) + ... + bn-1(x)y + bn(x)y = h(x)/ao(x)
Si h(x) es distinto de cero , la ecuación es lineal no homogénea
2.8.1 Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
ao(x) y(n) + a1(x)y(n-1) + ... + an-1(x)y + an(x)y = h(x)
Si ao(x) es diferente de cero, la ecuación se normaliza
y(n) + b1(x)y(n-1) + ... + bn-1(x)y + bn(x)y = h(x)/ao(x)
Si h(x) es distinto de cero , la ecuación es lineal no homogénea
2.8.2 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
(coeficientes
indeterminados, método de la superposición, método de operador anulador).
Coeficientes indeterminados
Si aplicamos o componemos por un operador la ecuación a ambos lados, llamémoslo
operador anulador, de forma que el lado derecho de la ecuación sea cero, nos quedaría
Si comparamos la ecuación anterior con lo que hemos visto de EDO homogéneas, tenemos
que
Podemos inferir dos cosas:
La primera que el operador anulador de la función f(t) debe de ser como la parte
izquierda de la ecuación diferencial, en pocas palabras, un operador diferencial.
La segunda, es que las funciones que bajo operadores diferenciales se anulan son
soluciones de EDO lineales. ¿Cómo son las soluciones de EDO lineales con
coeficientes constantes?. Pues son exponenciales, Senos y Cosenos, polinomios
y combinaciones de ellas.
Lo anterior nos restringe a tipos específicos en la forma de la función del lado
derecho de la ecuación. Aunque también nos da la pauta como encontrar al
operador anulador.
Propiedades del operador anulador.
1. El operador anulador es un operador lineal. Como todo operador anulador es un operador
diferencial y todo operador diferencial es lineal. Por tanto, todo operador anulador es un
operador lineal.
2. El operador anulador de una suma de funciones es la composición de los operadores
anuladores.
3. La composición de operadores diferenciales opera como si se estuvieran multiplicando
polinomios en D.
Una vez que tenemos el operador anulador se aplica a ambos lados de la EDO y queda una
EDO lineal homogénea, pero de orden mayor.
Los coeficientes de la parte homogénea se determinan con base en las condiciones iniciales,
los coeficientes de la parte particular se deben encontrar sustituyendo directamente en la
ecuación original para determinarlos. (De ahí el nombre de método de coeficientes
indeterminados).
Resumen coeficientes indeterminados.
El método de coeficientes indeterminados sólo es aplicable cuando la parte no homogénea
de la EDO es una función del tipo:
Polinomio
Exponencial
Seno o Coseno
Combinaciones de ellas.

El operador anulador transforma la EDO lineal no homogénea en una EDO
homogénea de orden mayor.

El método del operador anulador nos sirve para determinar sólo la forma que
debe tener la solución particular.

Para determinar los coeficientes de la forma en la solución particular se
sustituye la solución particular y nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales.

Los coeficientes en la solución de la homogénea se determinan con los
valores iniciales o con los valores en la frontera.
2.8.3 Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas por el
método de variación de parámetros.
Variación de parámetros.
El método de variación de parámetros llamados también método general
supone el cambio de las constantes C1 y C2 de la ecuación Yh por función de X.
2.8.4 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos
Cinemática de un M.A.S.
En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad
derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la
velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la
ecuación
x=A·sen(ωt+φ)
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil
Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil
Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial de orden dos
Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un
desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una
temperatura, etc.
Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es
x=A sen( t+ )
Condiciones iniciales
Conociendo la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 en el instante t=0.
x0=A·sen
v0=A·cos
se determinan la amplitud A y la fase inicial φ
3. Transformadas de Laplace
3.1 Definición de la trasformada de Laplace.
Sea f una función definida para t>=0. Entonces la integral desde

 f (t ) 


0
 st
f (t )dt
Se llama tranforma
da de laplacede f, siemprey cuando la integralconverja.
3.2 Condiciones suficientes de existencia para la trasformada de Laplace.
Evaluarla transformada de t.



 te  st 1  st
 te  st 1  st  e  st 
1 
1
 t   e  st tdt 
  e dt 
 2e 
 t    2

0
s
s
s
s
s  0 s

 s 
3.3 Trasformada de Laplace de funciones básicas.
Sea f(t) una función definida para todo t ‫ ≥ﺂ‬0; se define la Transformada de Laplace
de f(t) así:
Evaluarla transformadas de 1.


 1e  st 
1
1

 1   e  st tdt   e  st dt  


0
s
s 0 s


si
el limite
existe. adas de te-st
Evaluar
la transform
 




t
1
4t
( s  49 t
49 t
 49 t
Si
es
t ≥0y además
 tef(t)
 una
e  stfuncion
(te 4t )dt continua
e  st  4ta
tdttramos
  e para
tdt
e  ( s |f(t)|
 ≤ Mect para
e  ( stodo
dt


0
0
0
0
( s y 4T>0
) constante,
( s  4)entonces
t≥ T, donde M es constante , c > 0 y T > 0 constante

₤{f(t)}(s) existe para s > c.

t
1
t
1
1
 ( s  49 t
 ( s  49 t
 ( s  49 t
 ( s  49 t 
Demostración:
veamos
que
en 2efecto:

e

e la siguiente
  integral
e existe,

e
 
2
2
( s  4)
( s  4)
( s  4)
 ( s  4)
 0 ( s  4)
Evaluarla transformadas de t 2

 t 2 

 

0
e  st t 2 dt 
 t 2e  st 2  st
 t 2e  st 2  te  st 1   st 
  e tdt 
 
  e dt 
s
s
s
s s
s 0


  t 2e  st 2te  st 2  st 
2

 e  

Luego,
3.4 Trasformada de Laplace de funciones definidas por tramos.
3.5 Función escalón unitario.
3.5.1 Trasformada de Laplace de la función escalón unitario.
Función Escalón Unitario
La función escalón unitario se define como la integral de la función impulso desde
el infinito negativo hasta el tiempo t. Conceptualmente, la integral de la función
impulso es 0 si el tiempo t es menor que 0, y 1 si el tiempo t es mayor que cero.
Así es como se define exactamente el escalón unitario.
El valor de la función en t=0, es indefinido. Otros textos lo pueden definir como 1 ó
0.
La transformada de Laplace de la función escalón unitario, que se define
mediante:
1(t) = 0, para t<0
= 1, para t>0
es 1/s, o bien,
ς[1(t)] =1/s
3.6 Propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad, teoremas de
traslación).
La diferenciación y la integración transforman una función en otra función; por
ejemplo, la f(x) = x2se transforma, respectivamente, en una función lineal y en una
familia de funciones polinomiales cúbicas, lo mismo que mediante las operaciones
de diferenciación e integración: d x2 = 2x y  x2 dx = x3 + c.
Esas dos
dx
transformaciones poseen la propiedad de linealidad, consistente en que la
transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal
de las transformadas. Para cualesquiera constantes  y 
d [ f (x) +  g(x)] =  f’(x) +  g’(x)
dx
y
 [ f(x) +  g(x)] dx =   f (x) dx +   g(x) dx,
siempre y cuando existan cada derivada e integral. Examinaremos un tipo especial
de integral llamada transformada de Laplace, que posee la propiedad de linealidad
y tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver
problemas de valor inicial lineales.
Primer teorema de traslación
Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier número real,
at
L{e f (t)} F (s a).
Demostración La demostración es inmediata
L{eat f (t)}0 est eat f (t)dt 0 e(sa)t
Segundo teorema de traslación
Si
f (t)dt  F (sa).
F (s)  L { f (t )} y a>0, entonces
L{ f (t a)U(t a)}eas F (s).
  st
Demostración Expresamos a 0 e
integrales:
f (t a)U(t a)}dt.
como la suma de dos
  st
L{ f (t a)U(t a)} 0ae st f (t a) U
(
t

a
)
dt

f (t a) U
t 
a) dt

a e

(
cerocuando
unocuando
0 t  a
t a
0aest f (t a)dt .
Ahora igualamos v=t-a,dv=dt y entonces
L{ f (t a)U(t a)}0 es(va) f (v)dv
eas 0 e sv f (v)dv eas L{ f (t )}
3.7 Transformada de funciones multiplicadas por tn, y divididas entre t.
Condiciones suficientes para la existencia de L {f(t)}.
No es necesario que
converja la integral que define a la transformada de Laplace. Las condiciones de
suficiencia que garantizan la existencia de L {f(t)} son que f sea continua por tramos
en [0,) y que f sea de orden exponencial para t > T.
Una función es continua por tramos en [0,) si en cualquier intervalo 0  a  t 
b hay, cuando mucho, un número infinito de puntos tk, k=1, 2,...., n (tk-1 < tk), en los
cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto tk-1 <
t < tk .
3.8 Trasformada de derivadas(teorema).
FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales desempeñan un papel importante para determinar las
transformadas inversas de Laplace. Esta descomposición en fracciones se efectúa
con rapidez con un comando sólo en ciertos sistemas algebraicos computacionales.
TEOREMA 2: Transformada de una derivada
Si ƒ, ƒ’,….,ƒ(n-1) son continuas en [0,), son de orden exponencial y si ƒ (n) (t) es
continua por tramos en [0, ), entonces
L { ƒ(n) (t) }= sn F(s) – s(n-1) ƒ(0) – s(n-2) ƒ’(0)-…- ƒ(n-1)(0).
Donde F(s) = L { ƒ(t) }.
Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.
En el resultado general del teorema 2 se ve que L { dny/dtn } sólo depende
de Y(s) = L{ y(t) } y de las n-1 derivadas de y(t) evaluadas en t=0. Esta propiedad
hace que la transformada de Laplace sea ideal para resolver problemas de valor
inicial en los que la ecuación diferencial tenga coeficientes constantes. Tal ecuación
diferencial no es más que una combinación lineal de los términos y, y’, y’’,….y(n):
an dny + an-1 dn-1 y +… + a0y= g(t),
dtn
dtn-1
y(0) = y0, y’(0)= y1,… , y(n-1) (0) = yn-1,
donde las ai, i=0, … , n, y y0, y1, …, yn-1 son constantes. Según la propiedad de la
linealidad, la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una
combinación lineal de transformadas de Laplace:
an L dny + an-1 L dn-1 y
dtn
dtn-1
+ … + a0 L {y}= L { g(t) }
De acuerdo con el teorema 4 esta ecuación se transforma en
an [snY(s) – sn-1 y(0)- … - y(n-1) (0)]
+ an-1 [sn-1 Y(s) – sn-2 y(0) - … - y(n-2) (0)]+ … + a0 Y(s) = G(s),
Donde L{y(t)}= Y(s) y L {g(t)}= G(s). Es decir, la transformada de Laplace de una
ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se transforma en una
ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general
anterior para determinar Y(s), primero obtendremos P(s)Y(s) = Q(s) + G(s), y
después escribiremos
Y(s) = Q(s) + G(s)
P(s)
P(s)
Donde P(s)= ansn + an-1 sn-1 + … a0, Q(s) es un polinomio en s de grado menor o igual
a n-1, formado por los diversos productos de los coeficientes ai, i=1,…,n ; también
las condiciones iniciales prescritas, y0, y1,…yn-1 y G(s) es la transformada de Laplace
de g(t). Por último la solución y(t) del problema original de valor inicial es y(t) = L-1
{Y (s)}, en el que la transformación inversa se hace término a término.
En el siguiente diagrama se resume el procedimiento:
Determinar la y(t)
desconocida que satisfaga la
ecuación diferencial y las
condiciones iniciales
Solución y(t) del
problema original de
valor inicial.
Aplicar la transformada de Laplace
La ecuación diferencial
transformada es una
L ecuación algebraica en
Y(s).
Aplicar la transformación inversa L-1
TEOREMA 3: Comportamiento de F(s) cuando s
Resolver la ecuación
transformada para
determinar Y(s)

Si ƒ es continua por tramos en [0, ) y de orden exponencial para t > T, entonces
lim L {ƒ(t)} = 0.s
s 
Demostración
Dado que ƒ(t) es continua por tramos en 0  t  T, necesariamente es
acotada en el intervalo; esto es, |ƒ(t)|  M2et para t > T. Si M representa el máximo
{M1, M2} y c indica el máximo de {0, }, entonces
L { ƒ (t) }   e-st |ƒ(t) |dt  M  e-st . ect dt = -M e-(s-e)t = M
s-c
s-c
para s > c. Cuando s, se tiene que | L {ƒ(t)}|  0, de modo que
L{ƒ(t)}0.
3.9 Trasformada de integrales(teorema).
Si f es una funcion continua a tramos para t _ 0 y de orden exponencial, entonces:
Demostración: tomando g(t) = 1 en el teorema de convolución, tenemos
3.10 Teorema de la convolución.
Si f(t) y g(t)son continuas por tramos en [0,) y de orden exponencial,
L{ f  g} L{ f (t )}L{g (t )} F (s)G(s).
  st
f ( )d
Demostración
Sean F (s)  L{ f (t )}   e
0
s
Y
G(s)  L{g (t)}  0 e
g ( )d .


Al proceder formalmente obtenemos
F (s)G(s) 0 est f ( )d 0 es g(
0 0 es(   ) f ( )g( )d d
0 f ( )d 0 es(   ) g( )d
 

 
 )d
  
 

t    ,dt d , de modo que
F (s)G(s)0 f ( )d  est g(t  )dt.
Mantenemos fija  y escribimos
3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica.
Sea f(t) una función continua a tramos para t _ 0 y de orden exponencial.
Si f(t) es periódica con periodo T, entonces:
Pero
3.12 Función Delta Dirac.
3.13 Trasformada de Laplace de la función Delta Dirac.
La función impulso posee algunas propiedades que pueden resultar útiles.
También es importante para posteriores desarrollos la propiedad de
desplazamiento o corrimiento. Ud. debiera ser capaz de convencerse a sí mismo
de esta propiedad.
3.14 Trasformada inversa.
En la sección anterior nos ocupamos del problema de transformar una función
f(t) en otra
Función
F(s)
mediante
la
integral


0
e  st f (t )dt .
La
representamos
simbólicamente de la siguiente manera:  f (t )  F (s). Ahora invertiremos el
problema; es decir, dada F(s), hallar
La función f(t) que corresponde a esa transformación. Se dice que f(t) es la
trasformada inversa de laplace de F(s) y se expresa:
f (t )  1F (s)
Ejemplo:
9 
1 
1. -  1    9 1    9(1)  9
s
s
5
1
2. -  1  2   5 1  2   5t
s 
s 
2
2
3.. -  1  3    1  3   t 2
s 
s 
 1  1  3!  1
4. -  1  4    1  4   t 3
s  6 s  6
 1  1 1  4! 1 4
5. -  1  5  
  5 
t
 s  24  s  24
 5 
1  1 
3t
6. -  1 
  5 
  5e
s

3
s

3




 10  10 1  3  10
7. -  1  2
   2
  sen3t
s  9 3
s  9 3
 1 
 8t
8. -  1 
e
s  8
 10  10 1  2! 
9. -  1 
  
 5t 2e  4t
3
3
 ( s  4)  2
 ( s  4) 
5 
s  5 1  7 
 3s  5 
1  3s 
1 
1 
10. -  1  2
 
  2
  2
  3  2


7 s2  7 
s  7 
s  7 
s  7 
s  7 
5
 3 cos 7t 
sen 7t
7
 8s  2 
 8s  2 - 18  18
1  (8s  16)  18
1  8(s  2)  18
11. -  1  2
  1 
 
 

2
2
2
2
2
2
2
 (s  2) 
 (s  2)

 (s  2) 
 (s  2) 
 (s  2) 
 1

 1 

1
1 
 8 1  2
 18 1  2
 8 1  2
  18  2
2
2
2
 (s  2) 
 (s  2) 
 (s  2) 
 (s  2) 
 8e 2t  18te 2 y
3.15 Algunas trasformadas inversas
T eorema: Algunas transformadas inversas
1 
a). - 1   1  
s
 n! 
b). - t 2   1  n 1 ,
s 
n  1,2,3,...
 1 
c). - e at   1 

s  a
 k 
d). - senkt   1  2
2
s  k 
 s 
e). - coskt   1  2
2
s  k 
 k 
d). - senhkt   1  2
2
s  k 
 s 
e). - coshkt   1  2
2
s  k 
3.16 Propiedades de la trasformada inversa (linealidad, traslación).
La diferenciación y la integración transforman una función en otra función; por
ejemplo, la f(x) = x2se transforma, respectivamente, en una función lineal y en una
familia de funciones polinomiales cúbicas, lo mismo que mediante las operaciones
de diferenciación e integración: d x2 = 2x y  x2 dx = x3 + c.
Esas dos
dx
transformaciones poseen la propiedad de linealidad, consistente en que la
transformada de una combinación lineal de funciones es una combinación lineal
de las transformadas. Para cualesquiera constantes  y 
d [ f (x) +  g(x)] =  f’(x) +  g’(x)
dx
y
 [ f(x) +  g(x)] dx =   f (x) dx +   g(x) dx,
siempre y cuando existan cada derivada e integral. Examinaremos un tipo especial
de integral llamada transformada de Laplace, que posee la propiedad de linealidad
y tiene muchas otras propiedades interesantes que la hacen muy útil para resolver
problemas de valor inicial lineales.
3.16.1 Determinación de la trasformada inversa mediante el uso de las fracciones
parciales.
Veamos algunos casos en los que es fácil encontrar la transformada inversa de Laplace.
Consideremos funciones de la forma
donde
y
son polinomios. Según acabamos de decir es condición necesaria para
que exista transformada inversa que el grado del polinomio del denominador sea mayor que
el del numerador. Para calcular la transformada inversa encontremos las raices
si todas son distintas
y
factoriza del siguiente modo
puede descomponerse en la suma de fracciones simples
Los coeficientes pueden obtenerse a partir de la expresión
de
,
y dado que la transformación es lineal, la transformada inversa de
transformadas inversas de las fracciones simples. Recordando que
es la suma de las
al invertir la función queda expresada como una suma de exponciales.
3.16.2 Determinación de la trasformada inversa usando los teoremas de
Heaviside.
(Función de Heaviside). La función escalón de Heaviside o salto unitario es la
función H definida para todo t, ¡1 < t < 1, por
H(t) = ½ 0, t < 0
1, t ¸ 0
Figura 1: Función de Heaviside de salto unitario
La función salto unitario en a es la translación H(t ¡ a) de H (véase figura 1):
H(t ¡ a) = ½ 0, t < a
1, t ¸ a
Para a > 0 y 0 < s < 1; se tiene
4 Ecuaciones Diferenciales Lineales y Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Lineales
Ecuaciones diferenciales lineales
Las condiciones para que una ecuación diferencial fuese lineal son:
a) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado.
b) Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x (o
constante)
Definición: La forma general de una ecuación lineal de primer orden es:
y  f ( x) y  r ( x). Si r (x) es idénticamente igual a cero, entonces la ecuación
se llama lineal homogénea (no en el sentido de polinomio homogéneo, sino como
el nombre que da el álgebra lineal a las ecuaciones igualadas a cero); si
r ( x)  0, entonces es lineal no homogénea.
4.1 Solución de una ecuación diferencial lineal con condiciones iniciales por medio
de la trasformada de Laplace.
Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales.
En el resultado general del teorema 2 se ve que L { dny/dtn } sólo depende
de Y(s) = L{ y(t) } y de las n-1 derivadas de y(t) evaluadas en t=0. Esta propiedad
hace que la transformada de Laplace sea ideal para resolver problemas de valor
inicial en los que la ecuación diferencial tenga coeficientes constantes. Tal ecuación
diferencial no es más que una combinación lineal de los términos y, y’, y’’,….y(n):
an dny + an-1 dn-1 y +… + a0y= g(t),
dtn
dtn-1
y(0) = y0, y’(0)= y1,… , y(n-1) (0) = yn-1,
donde las ai, i=0, … , n, y y0, y1, …, yn-1 son constantes. Según la propiedad de la
linealidad, la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una
combinación lineal de transformadas de Laplace:
an L dny + an-1 L dn-1 y
dtn
dtn-1
+ … + a0 L {y}= L { g(t) }
De acuerdo con el teorema 4 esta ecuación se transforma en
an [snY(s) – sn-1 y(0)- … - y(n-1) (0)]
+ an-1 [sn-1 Y(s) – sn-2 y(0) - … - y(n-2) (0)]+ … + a0 Y(s) = G(s),
donde L{y(t)}= Y(s) y L {g(t)}= G(s). Es decir, la transformada de Laplace de una
ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se transforma en una
ecuación algebraica en Y(s). Si se resuelve la ecuación transformada general
anterior para determinar Y(s), primero obtendremos P(s)Y(s) = Q(s) + G(s), y
después escribiremos
Y(s) = Q(s) + G(s)
P(s)
P(s)
Donde P(s)= ansn + an-1 sn-1 + … a0, Q(s) es un polinomio en s de grado menor o igual
a n-1, formado por los diversos productos de los coeficientes ai, i=1,…,n ; también
las condiciones iniciales prescritas, y0, y1,…yn-1 y G(s) es la transformada de Laplace
de g(t). Por último la solución y(t) del problema original de valor inicial es y(t) = L-1
{Y (s)}, en el que la transformación inversa se hace término a término.
En el siguiente diagrama se resume el procedimiento:
Determinar la y(t)
desconocida que satisfaga la
ecuación diferencial y las
condiciones iniciales
Solución y(t) del
problema original de
valor inicial.
Aplicar la transformada de Laplace
La ecuación diferencial
transformada es una
L ecuación algebraica en
Y(s).
Aplicar la transformación inversa L-1
Resolver la ecuación
transformada para
determinar Y(s)
4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones
iniciales por medio de la trasformada de Laplace.
De la relación de propiedades que expondré a continuación se podrán ver con facilidad la
utilidad de la transformación en casos de resolución de problemás de valor inicial:
Propiedadad 1: Linealidad:
Propiedadad 2: derivación en el tiempo:
Demostración:
Propiedadad 3: derivación en s:
Demostración:
Propiedadad 4: Desplazamiento en s:
Demostración:
4.3 Problemas de aplicación.
Para poder entender de una forma clara estas ideas lo mejor es verlo con un ejemplo.
El ejemplo que expongo a continuación trata de ilustrar la resolución de un problema
electrónico mediante la transformación de Laplace. Cuando tenemos una ecuación
diferencial lineal el método a utilizar es siempre el mismo: se tranforma la ecuación entera.
Como la ecuación es lineal se tiene como resultado una ecuación lineal. Hecho esto se
despeja la incógnita y el resultado que se obtiene es una función racional en s. Por último
sólo tenemos que hacer la transformación inversa de Laplace (mirar que función tiene como
transformada
de
Laplace
la
función
que
tenemos).
En la práctica, cuando lo que queremos es resolver un circuito eléctrico, lo que se hace es
"transformar el circuito"; es decir: dado que por los condensadores la corriente que pasa es
la derivada de la tensión aplicada en sus terminales multiplicada por su capacidad, lo que se
hace es asignar al condensador una "resistencia" de 1/Cs. Dado que el condensador no es un
componente resistivo al término 1/Cs se le pasa a llamar impedancia del condensador. Así
mismo no resulta difícil entender que la impedancia de una bobina es Ls. Notemos además
que para poder hacer esto es indispensable contar con condiciones iniciales nulas en las
cargas de los condensadores y en las corrientes de las bobinas. En la mayoría de los
problemas esto será siempre así.
Seguidamente pasaré a resolver el problema para un caso particular: supongamos de vin(t)
es un escalón.
Para realizar la transformación inversa de Laplace el mejor paso a seguir descomponer en
suma de fracciones simples la función a descomponer, como si fueramos a integrarla, y
luego relacionar cada fracción con su correspondiente exponencial.
Existe una fórmula cerrada para obtener la transformada inversa de Laplace, pero el
cálculo, además de engorroso, es complicado y requiere conocimientos de integración en el
plano complejo. Los interesados en el tema podrán encontrar informaci6oacute;n al
respecto en cualquier libro de análisis con variable compleja medianamente decente.
En el caso de no tener condiciones iniciales nulas, como en este ejemplo, no podremos
asociar al condensador una impedancia 1/Cs. En este caso derivar es multiplicar por s y
restar la condición inicial (mirense propiedades). De todas formas en el análisis de circuitos
normalmente sólo se estudia el régimen permanente con condiciones iniciales nulas; es
decir: condiciones nulas ya que el circuito hace mucho que está funcionando.
5 Series de Fourier
5.1 Funciones ortogonales.
Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de
Fourier Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno
Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en las
aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un tipo distinto
de teoría a las familiares series de potencias.
De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en
cualquier intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de las
cuales es continua y tiene derivada continua. Además, las únicas discontinuidades
de F8x) y f’(x) son discontinuidades de salto.
Ejemplo Funciones Ortogonales
Las dos funciones f(x) = x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1] puesto
que
Teorema fundamental de una función por una serie de funciones
ortogonales.
Suponga que f(x) es diferenciable por partes en el intervalo [a,b] y que
donde { n(x)} es un conjunto ortogonal de funciones en [a,b]. Entonces
Una prueba rigurosa del teorema incluye consideraciones técnicas que están más
allá del nivel de esta investigación. Estas consideraciones se refieren a la
convergencia de
y a la demostración de que la suma y la integral
se pueden intercambiar. Además cuando se escribe
, de hecho,
no se requiere que la serie converja a f(x) para toda x. Las condiciones suficientes
para garantizar el intercambio de Fourier del seno y del coseno, también se
analizan en que sentido
es igual a f(x). Sólo se necesita la
continuidad por las partes de f y las  n para este teorema.
5.2 Conjuntos ortogonales y conjuntos ortonormales.
Conjunto Ortogonal de Funciones
Un conjunto de funciones { 1(x),  2(x),…} es un conjunto ortogonal de funciones
en el intervalo [a,b] si cualesquiera dos funciones son ortogonales entre si.
(n  m).
se considerará solo conjuntos ortogonales en los que ninguna de las funciones
son idénticamente iguales a cero en [a,b].
Los coeficientes de una serie respecto a un conjunto ortogonal tiene una forma
útil, que se deducirá ahora. Suponga que { 1(x),  2(x),…} es un conjunto
ortogonal de funciones en el intervalo [a,b] y que
.
Se quiere obtener una formula para los coeficientes Cn en términos de f(x) y de las
funciones ortogonales  n(x). Se selecciona un miembro del conjunto ortogonal,
digamos,  n(x), y tome el producto interno con f(x). es decir, se multiplican ambos
lados de
por  n(x), y se integra sobre el intervalo para obtener
suponga que la integración y la suma se puede intercambiar para dar
.
Pero  , forma un conjunto ortogonal, de manera que ( n,  m) = 0 si n  m.
Entonces se convierte en
5.3 Definición de serie de Fourier.
Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede
representar por la serie trigonometrica
donde  0=2 /T.
Una serie como la representada se llama serie trigonometrica de Fourier. Esta
serie también se puede representar así:
Ejemplo 1: Deducir la forma
de
y expresar Cn y  n en términos de an t bn.
Se puede expresar así
se utiliza la entidad trigonométrica
donde
por consiguiente,
ó
También si se hace
Se Obtiene
Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la
función como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes
frecuencias. La componente senosiudad de frecuencia
se denomina la
enésima armónica de la función periódica. La primera armónica comúnmente se
conoce como la componente fundamental porque tiene el mismo período de la
función y
se conoce como la frecuencia angular fundamental. Los
coeficientes Cn y los ángulos  n se conocen como amplitudes armónicas y
ángulos de fase, respectivamente.
5.4 Convergencia de una serie de Fourier.
CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER
Al igual que la serie de Taylor, la serie de Fourier depende de ciertos valores de la
variable independiente x, para que converja o no. En esta sección, veremos
condiciones sobre
su serie de Fourier.
para saber a qué converge
Definición. (Función continua por partes)
Decimos que una función
es contínua por
partes en el intervalo
si:
i)
está definida y es contínua en
, excepto quizás en un número finito de puntos.
ii)
y
exiten y son finites.
iii) En cada punto
donde
no es continua,
y
existen y son finitos.
Graficamente, una función
es contínua por partes si tiene
solamente un número finito de discontinuidades y además, estas discontinuidades
no son infinitas.
Así, una gráfica típica de una función contínua por partes se ve como sigue:
Puesto que vamos a usar mucho los límites laterales, es conveniente introducir
una noación especial:
Ejemplo 5.
La función definida como:
es continua por partes, como puede verificarse fácilmente con la gráfica.
Definición. (Función suave por partes)
Una función
es suave por partes en el intervalo
si
son funciones continuas por partes en
y
.
Ejemplo 6.
La función del ejemplo 5, es suave por partes en
ya que de hecho
es:
Claramente esta última es contínua por partes en
.
Con estas dos definiciones, estamos en condiciones para dar nuestro primer
teorema de convergencia para series de Fourier, el cual enunciamos sin
demostración ya que ésta se sale de los objetivos del curso.
Primer Teorema de Convergencia
Sea
una función suave por partes en
. Entonces la serie de Fourier de
cada punto
converge en
al valor:
Es decir, la serie de Fourier converge al promedio de los límites laterales.
Observaciones:
1.
Si
es continua en
entonces la serie de Fourier converge a
. De hecho
este es el valor al cual esperábamos que converja la serie (recuérdese el
problema planteado al inicio de esta unidad), pero vemos que solamente
se logra en los puntos donde la función es continua.
2.
3.
Si
es discontinua en
entonces la serie de Fourier no converge a
, pero si
al punto medio entre los límites laterales.
El Primer Teorema de Convergencia no nos da información sobre los
puntos extremos del intervalo. El siguiente criterio de convergencia, mejora
este “defecto”, aunque cambian las hipótesis.
Ejemplo 7.
Sea
la misma función del ejemplo 1. Claramente
es suave por partes, y de hecho,
es
continua en todo el intervalo
. Por lo tanto,
aplicando el primer teorema de covergencia, podemos concluir que la serie de
Fourier
converge
a
,
.
Esto significa que, la función es igual a su serie de Fourier en el intervalo abierto:
,
Ejemplo 8.
Sea
la misma función del ejemplo 2. Claramente
es suave por partes en el intervalo
y continua en el intervalo
. Por lo tanto, aplicando el
primer teorema de covergencia, podemos concluir que la serie de Fourier
converge a
,
.
Esto significa que, la función es igual a su serie de Fourier en el intervalo abierto:
,
Ejemplo 9.
Consideremos la función definida en el ejemplo 5. Ya vimos que esta función es
suave por partes. Aquí,
no es continua en el intervalo
abierto
.
discontinuidades de
De
hecho,
vemos
que
las
son:
Los extremos
no los tomamos en
cuenta, ya que el Primer Teorema de Convergencia no nos da información sobre
ellos. Analicemos entonces los valores restantes. En
,
Por lo tanto, en
la serie de Fourier de
converge a:
En
se tiene que:
Por lo tanto, en
la serie de Fourier de
converge a:
En los demás valores del intervalo
, la serie
continuidad.
de Fourier converge a
, por la
Por lo tanto, sin calcular la serie de Fourier de
decir que converge a:
, podemos
Para establecer nuestro siguiente criterio de convergencia, necesitamos la
siguiente:
5.5 Series de Fourier de una función de periodo arbitrario.
Supongamos que f es una función periódica de periodo L 2 , entonces ¿ podremos
asignarle una serie de Fourier ?. La respuesta es afirmativa, y la manera es mediante un
cambio de variable, como vamos a ver a continuación.
Introducimos una nueva variable t que recorre desde a , mientras que x recorre el
intervalo de periodicidad de f ( es decir, L) :
y, expresando f en función de t , f x f t ( ) ( ) , podemos calcular la serie de Fourier
Si usásemos x t como variable de integración, entonces tendríamos
con lo que podríamos definir una especie de serie de Fourier generalizada para funciones de
periodo arbitrario L como
donde 2 L y donde por la periodicidad de la función tenemos que
Ejemplo 12: Sea f (x)x para x [ , ] 0 una función periódica de periodo . Hallar su
serie de Fourier.
Solución: Aplicando las fórmulas anteriores, tenemos que:
y donde
5.6 Serie de Fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o
senoidal).
Coeficiente de una serie de senos
Suponga que
Ejemplo: Se tiene que {sen nx: n  1} es un conjunto ortogonal de funciones en
[0, ]. Entonces se Obtiene
ya que
Representación de una constante por una serie de senos
Exprese f(x) = 1 como una serie en términos del conjunto ortogonal de funciones
{sen nx : n  1} en [0,  ].
Así es
Esta serie se puede expresar como
Serie de Fourier de cosenos
Suponga que se tiene una función f(x) definida en el intervalo [0,L]. Primero se
mostrará cómo construir la serie de cosenos. Como se tiene interés en los valores
de la serie sólo en el intervalo [0, L], se puede definir f(x) de cualquier manera
fuera de este intervalo. Con el fin de obtener una serie solo con términos de
cosenos, se definirá una extensión periódica par de f(x).
Teorema Serie Cosenos
Si f(x) es una función diferenciable por partes [0,L], la serie de Fourier de cosenos
para f(x) es
donde
(n  1)
Ejemplo: Serie de Fourier de cosenos
Sea f(x) = x en [0, 2]. Encuentre la serie de Fourier de cosenos para f(x)
Se tiene, con L = 2 y f(x) = x
Entonces
5.7 Serie de Fourier en medio intervalo.
5.8 Forma compleja de la serie de Fourier.
Serie de Fourier. Sea ahora f (t) una función periódica de período T. La pregunta
que se plantea es saber si podemos obtener f como una combinación –
necesariamente infinita salvo que f sea un polinomio trigonométrico– de armónicos
de frecuencia ù = 2ð/T :
Este problema se desdobla en dos: En primer lugar, determinar los coeficientes
a0, a1, b1, . . . adecuados y, posteriormente, establecer si la serie converge a la
propia función f (t). Con respecto al primer problema, razonamos como sigue. Si
es cierto que se da la igualdad y la convergencia de la serie permite la integración
término a término, entonces el coeficiente a0 de la expresión
es relativamente fácil de calcular:
si integramos sobre un período, obtenemos
donde hemos usado que para cada n = 1, 2, . . . se tiene
Para calcular los demás coeficientes, Euler había observado que dados un
período T y la frecuencia correspondiente ù = 2ð/T , entonces para cada m, n = 1,
2, . . . se tiene
y también
Así que, multiplicando la expresión
(para m = 1, 2, . . . ) e integrando sobre un período, obtenemos
Análogamente, multiplicando la expresión
por sen (wt) (para m = 1, 2, . . . ) e
integrando sobre un período, obtenemos
Puesto que cos(wt) = 1, vemos que el valor de a0 se puede obtener admitiendo m
= 0 en la expresión de am; esto explica por qué el término constante de la serie se
suele escribir ½a0. En resumen, los coeficientes buscados son,
y
Estas expresiones nos dicen cómo calcular los coeficientes adecuados.
6 Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales
6.1 Definiciones (ecuación diferencial parcial, orden y linealidad)
las derivadas son parciales y la ecuación se llama ecuación diferencial
parcial.
Ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias:
1.L
d 2 Q( t )
dQ( t ) 1
R
 Q( t )  E( t ).
2
dt
C
dt
2.-
m
d 2U ( t )
du( t ) 

 F t, U ( t ),
2
dt 
dt

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la
derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,
d2y + 5 dy3 - 4y = ex
dx2
dx
es una ecuación diferencial de segundo orden.
6.2 Forma general de una ecuación diferencial parcial de segundo orden.
Ecuación diferencial de segundo orden
Vamos a aplicar el procedimiento de Runge-Kutta a una ecuación diferencial de segundo
orden.
con las condiciones iniciales
Una ecuación diferencial de segundo orden es equivalente a un sistema de dos ecuaciones
diferenciales de primer orden, por lo que aplicaremos el mismo esquema.
Comparando esta tabla con la de un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer
orden, vemos que la segunda columna es la misma, excepto por cambio de nombre de la
función, f en vez de g, y de la variable, v en vez de y. En la primera columna, las variables
k1, k2, k3, k4 pueden calcularse directamente sin efectuar llamadas a una función.
6.3 Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden
(elípticas, parabólicas e hiperbólicas)
6.4 Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos,
equiparables con las ordinarias, separación de variables)
Estas expresiones nos dicen cómo calcular los coeficientes adecuados.
6.5 Aplicaciones.
La universidad Nacional de ingeniería (lima-Perú), a través de su revista “TECNIA”
en el Vol. 6 Nº 1, Págs. 61-64, 1996. Muestra que la relación existente entre las viscosidad
de los líquidos participantes en un proceso industrial y el control que se hace a estos
mediante los instrumentos de flujo. El artículo al que se hace mención, “SOLUCIONES
VISCOSAS Y CONTROL OPTIMO”, pretende ilustrar el nexo que existe entre las
soluciones de la ecuación diferencial parcial de la programación dinámica y las soluciones
viscosas.
Para entender de donde proviene la ecuación diferencial parcial de la programación
dinámica, se definirá la función valor en base a un modelo de control óptimo
determinístico en la forma de Lagrange. Luego algunos resultados básicos son mostrados,
entre los cuales está: Que la función valor es solución de una ecuación diferencial parcial,
la cual es llamada la Ecuación diferencial parcial de la programación dinámica, llamada
también la ecuación de Hamilton Jacobi Bellman (HJB).
Finalmente, haciendo una ligera modificación a la ecuación HJB, ocurre que fácilmente se
pasa a la formulación de las soluciones viscosas.