Internado Nacional Barros Arana Ecuaciones Lineales Contenido

Internado Nacional
Barros Arana
Ecuaciones Lineales
Contenido: Resolución de ecuaciones y problemas que implican el planteamiento de una
ecuación de primer grado con una incógnita e interpretación de la ecuación.
Introducción
El objetivo de esta guía es orientarte al estudio y al aprendizaje de las ecuaciones de
primer grado y a su aplicación en distintos ámbitos del mundo real y matemático
Ecuaciones con coeficientes enteros
Una Ecuación es una igualdad que contiene al menos un valor desconocido llamado
incógnita.
Para determinar si la solución encontrada es correcta, se remplaza ese número en la
incógnita, todas las veces que este en la ecuación. Si se obtiene una igualdad, la solución
es correcta. Luego se debe verificar si es pertinente en el contexto del problema.
Pasos para resolver Ecuaciones:
1. Leer cuidadosamente el enunciado y entenderlo.
2. Hacer un dibujo que le ayude a visualizar el problema.
3. Ubicar los datos y la pregunta.
4. Elegir la variable o letra con la cual se va a trabajar.
5. Relacionar los datos con las variables para plantear una ecuación.
6. Resolver la ecuación y dar respuesta.
Observación : Recuerda que a ambos lados de una igualdad se puede sumar , restar ,
multiplicar o dividir , siempre que sea un numero distinto de 0, y la igualdad se mantiene.
Por ejemplo Rosario le pregunta la edad a Carlos y este le plantea el siguiente acertijo:
El doble de mis años mas el triple de mis años menos 50, suman el cuádruple de años que
tengo menos 34.
Para conversar
° Si X representa la edad de Carlos, ¿cómo plantearías la ecuación que permite resolver la
situación?
° ¿Qué operaciones se deben aplicar para resolver la ecuación?
° ¿Cuántos años tiene Carlos?
° Rosario dice que Carlos tiene 16 años, ¿cómo lo verificarías en la ecuación que
planteaste?
Ejemplo
El exceso del triple de un número sobre 37 equivale al exceso de 127 sobre el número.
Hallar el número.
Solución
Siendo X el número buscado, según el enunciado se tiene:
3X - 37 = 127 - X
planteamiento de la ecuación con X
3X + X = 127 + 37
adición de opuesto de número y letra
4X = 164
reducción de términos semejantes
X = 41
Luego, el número pedido es 41
Verificación
3∙41 - 37 = 127 - 41
123 - 37 = 86
86 = 86
⁄
Resolver las ecuaciones.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2X + 5 = 11
2 + 4X = - 10
4z - 5 = 3 - 4z
3( 4Y – 1 ) = 8Y + 1
4X + 8 = 5X - 7
-15X = - 45
3X + 4 + 2X + 3 = 14X – 6 + X – 7
6X + 2X + 4 = 3X + 3 - 5X - 9
3( X – 2 ) – ( 2X – 1 ) = 0
r:3
r : -3
r:1
r:1
r : 15
r:3
r:2
r : -1
r:5
Problemas variados: En cada caso identificar la incógnita y plantear la ecuación que lo
resuelve. No olvides comprobar el resultado obtenido
a) Felipe en 10 años más tendrá 25 años. ¿Qué edad tiene actualmente Felipe?
b) Si duplicamos el área de un cuadrado cubriremos 8 cm². ¿Cuánto mide el lado del
cuadrado?
c) Encuentre dos números naturales consecutivos que sumen 51.
d) Halla el número que al sumarle 4 resulte una unidad menos que el doble de él.
Para complementar lo aprendido se sugiere resolver las actividades EN TU CUADERNO de
las páginas 126, 127 del libro guía de Matemática.
Ecuaciones Lineales con coeficientes fraccionarios y decimales
Al resolver Ecuaciones con coeficientes fraccionarios, conviene transformar los
coeficientes fraccionarios en enteros, amplificando cada término de la ecuación por el
mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones presentes en la ecuación,
y luego resolverla como ecuación entera.
Y cuando los coeficientes son números decimales, conviene amplificar cada término de la
ecuación por la potencia de 10 que transforme en entero al decimal con más cifras
decimales, y luego resolver como si fuera una ecuación entera.
Por ejemplo: Don Jorge fue a comprar frutos secos al mercado. Primero compró ½ kg de
nueces y ¼ kg de almendras y gastó $4625. Después compró 0,6 kg de higos secos y 0,3 kg
de pasas y gastó en total $2820. De vuelta a casa, se encontró con la señora Patricia.
Señora Patricia: ¿Cuánto costaba el kilo de cada uno?
Don Jorge: Solo recuerdo que las nueces costaban $6000 el kilo y los higos secos a $2200
el kilo.
PARA CONVERSAR
° Con la información ¿puede Patricia calcular el precio del kilogramo de almendras? , ¿y el
kilogramo de pasas? , ¿cómo?
°¿Qué ecuación te permite obtener el precio de las almendras?, ¿y el de las pasas?
°¿Puedes escribir de manera más simple las ecuaciones anteriores antes de resolverlas?,
¿qué operaciones debes realizar?
°¿Cuánto costaba el kilógramo de almendras? , ¿y el de pasas?
Ejemplo
Si subo una escalera de 5 en 5 escalones, doy 3 pasos más que subiendo de 6 en 6
escalones . ¿Cuántos escalones tiene la escalera?.
Solución
Sea X que representa el número de escalones
Al subir de 5 en 5 :
Número de pasos que sube : X/5
Al subir de 6 en 6:
Número de pasos que sube: X/6
En el primer caso se dieron 3 pasos más que en el segundo caso, se plantea de esta
manera:
X/5 = 3 + X/6
X/5 = (18 + X) / 6
6X = 90 + 5X
X = 90
Luego, la escalera tiene 90 escalones
Resolver las Ecuaciones
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
5X/ 3 – 2X/3 – 2/3 = -1/3
X/2 + 1/2 = 1 – ½
3X/5 – 3/10 = 2/10
7X/3 – 1/6 = 4/3 – 2X/6
X/5 + 7 = 3/5
2X – 1/3 = 5/3 – 2X/3
X+½ = 6
2( X – 3 ) = X/2
32,4 + 0,2X = 15682,4
6,25 – X = 5,25
r : 1/3
r:0
r : 5/6
r : 9/16
r : -32
r : 3/4
r : 11/2
r:4
r : 78,250
r:1
Problemas variados
a) Una persona invierte las ¾ partes de su dinero y le sobra la tercera parte menos
$1000. ¿Cuánto dinero tenía?
b) La suma de un número con su mitad es 60 ¿Cuál es el número?
c) Si un número disminuido en sus tres cuartas partes es igual al número aumentado
en cinco décimos, ¿cuál es el número?
d) El área de un triángulo rectángulo es 54cm² .Si un cateto es un tercio del otro,
¿cuánto mide cada uno de sus catetos?
Para complementar lo aprendido sobre Ecuaciones faccionarias se sugiere ir las
actividades propuestas en el libro guía de Matemática EN TU CUADERNO páginas 128,130
y 131 y BUSCANDO ESTRATEGIAS paginas 132y 133 ( Desarrollar todos estos ejercicios en
Cuaderno)