coeficiente de transferencia de calor para convección libre [BTU/h

TECNOLOGÍA DEL CALOR

CONVECCIÓN

ANALISIS DIMENSIONAL

COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE CALOR

DIFERENCIA EFECTIVA DE TEMPERATURAS
INTRODUCCION
MECANISMOS DE TRANSFERENCIA CALORICA
La energía en tránsito puede manifestarse en dos formas, trabajo o calor.
Ambas solo existen cuando hay un intercambio de energía (cinética, potencial o
interna), entre dos sistemas o entre un sistema y sus alrededores. Cuando tal intercambio se
produce sin transferencia de masa y sin que exista una diferencia de temperatura, se dice que
la energía ha sido transferida por medio de trabajo.
Si en cambio la transferencia de energética se debe a una diferencia de temperatura, se
dice que la energía ha sido transferida por medio de flujo calórico o calor.
El termino transferencia de calor resulta conceptualmente inadecuado, por cuanto no es
el calor lo que se transfiere sino la energía y el flujo calórico o calor, es el mecanismo por el
cual dicha energía se transfiere. Estos mecanismos se dividen comúnmente en dos tipos
básicos: conducción y radiación.
La convección no involucra flujo calórico sino un transporte de la energía interna
acumulada en la masa en movimiento (transferencia de energía interna por el movimiento de
los elementos de volumen continuos). En la conducción si bien se acepta el movimiento
molecular el movimiento de los elementos de volumen continuos ha de ser nulo, así el
mecanismo de transferencia por conducción queda circunscripto a una interacción energética
al nivel de estructura de la materia (molecular, atómico, etc.).
TRANSFERENCIA DE ENERGÍA POR CONVECCIÓN
Existen dos formas de transporte convectivo de energía de acuerdo a la fuerza
impulsora que origina el movimiento del fluido:
a) CONVECCIÓN FORZADA.
b) CONVECCIÓN NATURAL.
En la convección forzada el movimiento del fluido es debido a fuerzas impuestas
externamente (aplicación de gradientes de presión al sistema mediante ventiladores, bombas,
-1-
etc.), por ejemplo el precalentamiento de los gases de un horno impulsados por la diferencia
de presión impuesta por un soplador.
En la convección natural el movimiento de fluido se debe a variaciones de densidad,
que son a su vez originadas por gradientes de temperatura o concentración en el fluido. Un
ejemplo típico es el movimiento del aire (viento) originado por la calefacción solar desigual
de la tierra y el mar. Como la tierra se calienta más rápidamente que el mar, origina corrientes
convectivas ascendentes con la presencia de vientos superficiales desde el mar hacia la tierra,
situación que se revierte durante la noche.
Como se observa la transferencia de calor por convección natural depende del
movimiento del fluido y este a su vez, depende de los gradientes de temperatura controlados
por la transferencia calórica, esto origina un acoplamiento de las ecuaciones gobernantes del
fenómeno, que requieren su resolución simultanea.
ECUACION DE TRANSFERENCIA.
Este tipo de transferencia de calor puede ser descrito en una ecuación que imita la
forma de la ecuación de conducción
dq  h. At dT
(1)
En donde la constante de proporcionalidad h, se denomina coeficiente pelicular de
transferencia de calor, siendo este un termino sobre el cual tendrá influencia, la naturaleza del
fluido y las características de circulación del fluido o forma de agitación. Cuando la ecuación
anterior se escribe en forma integrada se la conoce como ley de enfriamiento de Newton.
q  h. At .T
(2)
Para determinar el valor de h (coeficiente de transferencia convectivo), o encontrar su
funcionalidad con las variables independientes asociadas, se recurre al método empírico o
experimental el cual se fundamenta en el "Análisis dimensional".
-2-
COEFICIENTES PELICULARES
ANALISIS DIMENSIONAL
Cuando se desea interpretar un fenómeno en el que la información es insuficiente; ya
sea para plantear algunas de las ecuaciones que lo representan, o bien para interpretar
físicamente un fenómeno (y aplicar las leyes fundamentales), aparece la necesidad del estudio
experimental, donde la correlación de las observaciones ha de confluir a un acercamiento
empírico de la ecuación buscada. El análisis dimensional funda las bases del estudio empírico
y tiene como función “correlacionar un cierto numero de variables en una sola ecuación,
expresando un efecto”. Debido a que opera con las dimensiones de las variables, no produce
resultados numéricos directos, sino que genera módulos a través de los cuales pueden
combinarse datos experimentales observados y establecerse así una influencia relativa de cada
variable para obtener un efecto final. El fundamento del análisis dimensional es el siguiente:
SI SE DESEA CONOCER SI UNA VARIABLE DEPENDIENTE ESTA RELACIONADA CON UNA SERIE
DE OTRAS VARIABLES (EXISTE O NO FUNCIONALIDAD), LAS VARIABLES INDEPENDIENTES
DEBEN PODER RELACIONARSE DE TAL MODO QUE LAS DIMENSIONES FUNDAMENTALES DE
LA AGRUPACIÓN RESULTANTE SEAN IDENTICAS A LAS DE LA VARIABLE DEPENDIENTE.
Sea h, la variable dependiente
Sean a, b, c, d, e, ..., las variables independientes
Si existe una función h = f (a, b, c, d, e, ...)
Entonces:
{dimensiones fundamentales de h} = {dimensiones fundamentales de f (a, b, c, d, e, ...)}
El análisis dimensional no se puede aplicar sino se tiene un conocimiento suficiente de
los aspectos físicos del problema, para poder decidir que variables son importantes en cada
caso y que leyes físicas básicas tendrían que intervenir en la solución matemática si esta fuese
posible.
-3-
ANALISIS DE LA FORMA DE LA ECUACIÓN PARA LA TRANSFERENCIA DE
CALOR POR CONVECCIÓN FORZADA
La velocidad de transferencia de calor por convección forzada, en un fluido
incompresible que circula con flujo turbulento, por una tubería de diámetro uniforme, a flujo
másico constante, se ha encontrado que esta influenciado por :


Di
vf
ce
kf
vf : Velocidad del fluido {L/}
vf, Di,  y  : afectan al grosor de la película estacionaria y
 : Densidad del fluido {M/L3}
el grado de mezcla.
ce : Calor especifico del fluido {H/M.T}
kf : se relaciona con la resistencia térmica de película
kf : Conductividad térmica del fluido {H/.L.T}
ce : refleja la variación de la temperatura media como
 : Viscosidad del fluido {M/.L}
resultado de la absorción uniforme de calor.
Di : Diámetro interior de la tubería {L}
donde L: expresa unidad de longitud {m}, {cm}, {ft}, etc.
 : expresa unidad de tiempo {seg.}, {hora}, etc
M: expresa unidad de masa {Kgmasa}, {grmasa}, {lbmasa}, etc.
H: expresa unidad de energía térmica {Kcal}, {cal}, {BTU}, etc.
T: expresa unidad de temperatura {ºC}, {ºF}, etc.
Que relación existe entre hi {Kcal/h.m2.ºC} o {BTU/h.ft2.ºF} y las demás unidades:
Entonces, sí :
hi = f (vf, , ce , Di, kf, , J)
(3)
siendo J = equivalente dimensional de energía
TRABAJO MECANICO:
W=F.L
J = W/H


F = M.L/2

J = ML / (H2)
La expresión de la función será de la forma
hi =  . vfa . b . ced . Die . kff . g . Ji
-4-
(4)
W= M.L2/2
Reemplazando por sus dimensiones fundamentales
H/L2T =  . (L/)a . (M/L3)b . (H/MT)d . (L)e . (H/LT)f . (M/L)g . (ML2/H2)i
Las magnitudes fundamentales a ambos lados del signo igual deben ser las mismas,
esto determina que el exponente resultante de la sumatoria del lado derecho debe ser igual al
exponente de la dimensión fundamental del lado izquierdo y también que si una dimensión no
aparece en una de los lados, en el otro existe elevada a la potencia cero (0), así:
 exponentes de H = 0  1= d + f - i
a=a
 exponentes de L = 0  -2 = a -3b + e - f - g + 2i
f=f
 exponentes de M = 0  0 = b - d + g + i
d = 1- f
i=0
 exponentes de T = 0  -1 = - d - f
g=1-f-a
 exponentes de  = 0  -1 = - a - f - g - 2i
b=a
e=a-1
5 ecuaciones con 7 incógnitas, solo pueden resolverse dando
(deben reemplazarse en (4))
valores a dos de las variables, por ejemplo a a y a f
hi =  . vfa . a . ce1 - f . Dia - 1 . kff . 1 - f - a . J0
(5)
hi =  . (vf .  . Di / )a . ce1 - f . 1 - f . Di - 1 . kff .kf/kf
(6)
1/kf1f
(hi . Di / kf ) =  . (vf .  . Di / )a . (ce .  / kf )1 - f
(7)
(hi . Di / kf ) =  . (Di G/ )a . (ce .  / kf )1 - f
(8)
siendo: vf .  = G
-5-
hi . Di
= Numero de Nusselt = NNu
Así la ecuación (8), expresada en función de
kf
números adimensionales, quedaría:
Di G
= Numero de Reynolds = NRe

NNu =  NRep NPrq
ce . 
= Numero de Prandtl = NPr
kf
DETERMINACIÓN DE LA CORRELACIÓN DE CALCULO - EXPERIMENTACIÓN
En un equipo experimental (intercambiador doble tubo con vapor circulando por
coraza), las variables G {lb/h}; t1 {ºF} y t2 {ºF}, pueden medirse correctamente en cada
determinación. Las propiedades físicas ce, , kf, pueden estimarse de datos tabulados en
función de la temperatura y las características del tubo permiten calcular la superficie de
transferencia Ai, contando con los datos anteriores se pueden utilizar las siguientes
ecuaciones:
q = G . ce . (t2 - t1) = hi . Ai . Tefectivo
Por lo cual el coeficiente de transferencia puede ser calculado como:
hi = G . ce . (t2 - t1) / Ai . Tefectivo
Cada valor de hi, calculado de esta forma (hobservado o hreal), corresponde a un cierto
valor de G, t2, ce,  y kf. Si los experimentos abarcan una gran gama de valores y de
temperaturas se tendrá el cuadro que se
muestra después del esquema
ce,  , kf
a
tcal = f(t1, t2, tp)
vapor a tsaturación
t1
G
fluido calentándose de t1 a t2
vapor a tsaturación
-6-
t2
Nº de
G
t1
t2
tp
q
Tefect.
hi
hi Di / kf
G
Di G / 
ce  / kf
Test
NNu
NRe
NPr
1
A1
B1
C1
2
A2
B2
C2
3
A3
B3
C3
...
...
...
...
valores observados
valores calculados a través de los observados
Por lo cual se puede obtener:
hi Di / kf
Di G / 
ce  / kf
NNu
NRe
NPr
A1
B1
C1
hi Di / kf =  (Di G / )p . (ce  / kf)q
A2
B2
C2
pero cuales serán los valores de:
A3
B3
C3
, p y q ?
Si los ensayos corresponden al régimen turbulento
Di G /   2100, la correlación será:
Según la ecuación anterior y los valores encontrados se puede escribir
A1 =  . B1p . C1q
log A1 = log  + p log B1 + q log C1
aplicando logaritmos
A2 =  . B2p . C2q
A3 =  . B3p . C3q
log A2 = log  + p log B2 + q log C2
log A3 = log  + p log B3 + q log C3
linealizamos a las ecuaciones
se obtiene así un sistema del tipo
X = log 
siendo
c1 = X + a1 Y + b1 Z
Y=p
c2 = X + a2 Y + b2 Z
Z=q
c3 = X + a3 Y + b3 Z
Los valores obtenidos originan una correlación experimental aplicable al rango de
experimentos realizados. Puede utilizarse un numero mayor de valores experimentales y
utilizar un método gráfico o numérico que origine los valores de , p y q, para el rango dado.
La correlación final, corregida por efectos no isotérmicos es:
 hi  Di

 kf

0 ,8

D

G


i
  0,0027  
  




C  

 e
 kf 


1
3

p

con un error de -15 a +10 %
-7-




0,14
para N Re  10.000
(9)
Gráficamente se representa toda la gama de NRe ,a través de una sola gráfica donde se
reordena un nuevo grupo adimensional JH
 hi  Di

 kf

  Ce   


  kf 
 

1
3


p





 0,14
 D G 

 0,0027   i
  
0 ,8

para N Re  10.000 (10)
JH
p
J H    N Re
(11)
Para graficarla se linealizará tomando logaritmos
log J H  log   p . logN Re
-8-
(12)
TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN NATURAL O LIBRE FUERA
DE TUBOS Y TUBERÍAS
De acuerdo con algunas investigaciones experimentales como la observada
anteriormente el coeficiente para convección libre para gases desde cilindros horizontales se
puede presentar como:
 Do3   2f  g    t   C f   f
hc  D

   
  kf
kf
f

 




0, 25
(13)
Todas las propiedades se evalúan a la temperatura de película y se toma como el
promedio de la temperatura de la superficie de calefacción y la temperatura del fluido que se
va a calentar T f 
T w  Ta
2
Las correlaciones para convección libre de superficies externas de diferentes formas,
que son de valor directo en ingeniería, están catalogadas en dos clases: convección libre
respecto a tubos o tuberías y convección libre respecto a recipientes y paredes.
Mc Adams trabajo extensamente en este campo encontrando que las corrientes de
convección libre no solo se influencian por la posición de la superficie sino también por su
proximidad a otras superficies. Las superficies horizontales originan corrientes que difieren
grandemente de las originadas en superficies verticales, así se obtuvieron las siguientes
formas dimensiónales simplificadas para el calculo de convección natural “al aire”.
 t
hc  0,50  
 d0
Tubos horizontales




Placas verticales de menos de 2 ft de altura
de más de 2 ft de altura
Placas horizontales hacia abajo
hacia arriba
(14)




0,25
 t 
hc  0,28   
 z 
0,25
 t
hc  0,40  
 d0
Tubos verticales
0,25
(15)
(16)
hc  0,30  t 0,25
(17)
hc  0,38  t 0,25
(18)
hc  0,20 t 0,25
(19)
donde: t : diferencia de temperaturas entre la superficie caliente y el fluido frío en [°F]
d0 : diámetro exterior de la tubería [pulg]
z :altura de la placa [ft]
-9-
Para tuberías horizontales la expresión adimensional será:
tubos pequeños
 Do3   2f  g    t   C f   f
hc  D

 0,47  
  kf
kf
f

 




0, 25




0, 25
(20)
tubos grandes
 Do3   2f  g    t   C f   f
hc  D

 0,53  

  kf
kf


f
 
(21)
Chilton, Coulburn, Generaux y Vernon, han desarrollado un diagrama que da
coeficientes observados para tuberías simples que ha sido utilizado sin errores notables para el
calculo de convección libre en la parte exterior de bancos de tubos. La ecuación dimensional
graficada en la Figura 10.4 de la página 260 (Kern), es:
 k 3   2  C     t 
f
f
f
   
hc  116  

  d 0 


f



0, 25
(22)
donde: hc :coeficiente de transferencia de calor para convección libre [BTU/h.ft2°F]
D0 : diámetro exterior en [ft]
d0 : diámetro exterior en [pulg]
kf : conductividad térmica en la película a Tf [BTU/hft2(°F/ft)]
f : densidad [lb/ft3]
 : coeficiente de expansión térmica [1/°F]
g : aceleración de la gravedad [ft/h2] = 4,18.108ft/h2
f : viscosidad en centipoise
Cf : capacidad calorífica [BTU/lb°F]
De los cuatro ejes con que cuenta el diagrama uno es la línea de referencia para los


3
valores k f   2f  C f   /  f , que permite usarlo para otros fluidos no incluidos en la tabla.
El uso del diagrama requiere que la tubería o tubos no se localicen cerca del fondo del
recipiente y que se encuentren espaciados por lo menos un diámetro entre tubos.
- 10 -
Luego de ver los mecanismos de transferencia de calor por convección forzada y
natural, y la determinación de sus coeficientes podemos definir el denominado coeficiente
total de trasferencia y obtener su expresión para paredes planas "hornos, pantallas, etc." y
cilíndricas “tubos, envueltas, etc.”.
- 11 -
COEFICIENTE TOTAL DE TRASFERENCIA DE CALOR “U”
Si tenemos una pared plana entre dos fluidos a distintas temperaturas y la misma se
encuentra en régimen estacionario de transferencia de calor
Las ecuaciones serán:
h1
h2
kp
q = h1. At . (t1 - t2)
(1)
q = kp/ep At . (t2 - t3)
(2)
q = h2. At . (t3 - t4)
(3)
t1
t2
q
t3
siendo:
t4
q: flujo de calor (Kcal/h)
ep
h1, h2: coeficientes individuales de trasferencia
de calor “coeficientes de película” (Kcal/hm2ºC)
kp : conductividad térmica de pared (Kcal /hmºC)
fluido 1
pared
fluido 2
ep : espesor de pared (m)
At : area de transferencia (m2)
SUPERFICIE DE TRANSFERENCIA x FUERZA IMPULSORA
FLUJO CALORICO =
RESISTENCIA
q = 1/R. At . t
(4)
De todas las ecuaciones:
La resistencia total del sistema a la transferencia de calor será la suma
R1 = 1/h1
de las resistencias individuales
R2 = 1/(kp/ep)
Rt = R1 + R2 + R3
(5)
R3 = 1/h2
Rt 
1
1
1


h1 k p e p h2
(6)
Si se despejan h1, kp/ep y h2, de las ecuaciones (1), (2) y (3), y se introducen en la
ecuación (6), tendremos:
- 12 -
At
Rt =
{ (t1 - t2) + (t2 - t3) + (t3 - t4) }
(7)
q
Quedando:
At
Rt =
{ (t1 - t4) }
(8)
q
O:
At
q=
1
(t1 - t4) =
. At (t1 - t4)
Rt
(9)
Rt
Se define el coeficiente total de transferencia del sistema a la inversa de la resistencia
total
q = U . At . (t1 - t4)
(10)
Por lo cual
1
U =
(11)
1
1
+
h1
1
+
kp / ep
h2
Esta ultima es la expresión del coeficiente total de transferencia para un sistema
correspondiente al analizado
Para una pared cilíndrica
A0
q
Ai
t3
t1
t4
t2
Di
e
dL
L
De
- 13 -
Siendo:
hi : Coeficiente pelicular del fluido que circula por el interior del tubo y Ai: Area interior del
tubo por unidad de longitud
he : Coeficiente pelicular del fluido que circula por el exterior del tubo y Ae: Area exterior del
tubo por unidad de longitud.
Ai  Ae
En los cálculos se tomara el área externa del tubo como superficie de transferencia ya
que para trasformarla en longitud de tubo (a efectos del calculo), debe hablarse de una sola
área de referencia.
Para la unidad de longitud de tubo
q = hi. Ai . (t1 - t2)
(12)
q = 2l kp/2,3 log (De/Di) . (t2 - t3)  kp/ep Aprom. (t2 - t3)
q = he. Ae . (t3 - t4)
(13)
(14)
Siendo entonces:
Aprom. = Superficie promedio de transferencia del tubo promedio por unidad de longitud:
(m2/m)
Ai = Superficie interior de transferencia del tubo por unidad de longitud: (m2/m)
Ae = Superficie externa de transferencia del tubo por unidad de longitud: (m2/m)
La resistencia individual o el h resultan ahora aplicables a la unidad de longitud de
tubo pero las superficies de transferencia son distintas Ai  Aprom.  Ae
recordando:
La resistencia total del sistema a la transferencia de calor será la suma de las
resistencias individuales
Rt = R1 + R2 + R3
(15)
R1 = 1/hi
R2 = 1/kp/ep
R3 = 1/he
Rt 
1
1
1


hi k p e p he
(16)
No es posible en (16), reemplazar el valor de los coeficientes despejados de (12), (13)
y (14), dado que las áreas son distintas, se define entonces un coeficiente hie, que cumpla la
relación
- 14 -
q = hie. Ae . (t1 - t2) = he. Ae . (t3 - t4)
donde:
(17)
hie = hi . (Ai / Ae)
(18)
para la pared:
= Ae
q = kp/ep . (Aprom./Ae). Ae . (t2 - t3) o 2 . . l . kp .De / 2,3 . De log (De/Di) . (t2 - t3)
q = 2 .Ae .kp / 2,3 . De log (De/Di) . (t2 - t3)
(19)
(20)
Así:
Rt = 1 / hie + 1 / (kp Aprom /ep Ae) + 1 / he
(21)
Rt = 1 / hi .( Ai / Ae) + 1 / (kp Aprom /ep Ae) + 1 / he
(22)
o
Rt = 1 / hi .( Ai / Ae) + 1 / (2,3 De log (De/Di)/2 kp) + 1 / he
(24)
Ae
Rt =
{ (t1 - t2) + (t2 - t3) + (t3 - t4) }
(25)
q
Ae
Rt =
{ (t1 - t4) }
(26)
q
o:
Ae
q=
1
(t1 - t4) =
Rt
. Ae (t1 - t4) = Uo Ae (t1 - t4)
(27)
Rt
Se define el coeficiente total de transferencia del sistema a la inversa de la resistencia total
1
U0 =
(28)
1/ hie + 1/ (kp Aprom. / ep Ae) + 1/ he
- 15 -
o:
1
U0 =
(29)
1/ hi . (De/Di) + 2,3 log (De/Di) / 2 kp + 1/ he
Para los cálculos se definen dos coeficientes totales de transferencia, según se tengan o no en
cuenta las resistencias por ensuciamiento:
1
Uc =
(30) (coeficiente limpio)
1/ hie + 1/ (kp Aprom. / ep Ae) + 1/ he
1
Ud =
(31) (coeficiente sucio)
1/ hie + ri (Aprom./Ae) + ep Ae/kp Aprom. + re + 1/ he
- 16 -
DIFERENCIA DE TEMPERATURAS EFECTIVA
CIRCULACIÓN EN CONTRACORRIENTE
Se desea obtener una expresión para la fuerza impulsora que puede emplearse en la
ecuación de transferencia q  U . At . T , que se utilizara (conociendo el área de
transferencia), para determinar el coeficiente total de transferencia o a la inversa.
Se plantea entonces un sistema de fluidos que intercambian calor sensible circulando a
contracorriente (cc).
T1
T
T1
T2
t2
T2
t1
t
x
dx
L
T2
T1
t2
t1
Se hacen los siguientes supuestos:
1. U es constante a lo largo de todo el equipo (la variación de la viscosidad con la
temperatura no influye sobre el valor de h, al igual que las demás propiedades físicas)
2. Los flujos násicos W y w, son constantes, el régimen resulta entonces estacionario o
permanente.
3. El calor especifico de ambos fluidos Cp y cp, son constantes esto implica perfiles de
temperatura rectos (línea llena en la figura).
4. No existen cambios de fases parciales (se relaciona con lo anterior).
5. Las pérdidas de calor son despreciables.
- 17 -
Así el calor transferido por unidad de área diferencial será, si dA  a" . dx
dq  U . a". dx . T - t)
(2)
dq  W . C p . dT  w. c p .dt
(3)
Si determino por balance de calor la cantidad de energía transferida entre x = 0 y x = x
T
t
T2
t1
dq  W . C p .  dT  w. c p .  dt  W . C p . T - T2   w. c p .t  t1 
T
w. c p
W .C p
(4)
 t - t 1   T2
(5)
de (2), (3), (4) y (5)


w. c p
dq  w. c p . dt  U . a". dx . T2 
 t  t1   t 
W .C p


(6)
Reagrupando
U . a". dx
dt
dt


wcp

 
w. c p
 w. c p
 
w. c p
 t  t1   t  T2  t1  
 1  t 
T2 
 W .C p
 
W .C p
W .C p

 

 
a1

(7)
b1
dt
1
  lna1  b1  t 
a1  b1 .t b1
x L

x 0
U . a". dx

w cp
t t 2

dt
 w. c p
 
t t1 T  t1  
 1  t 
2
 W .C p
 
W .C p

 

(8)
w. c p

 w. c p
  t  t2
w. c p
U . a". L
1

 ln T2  t1  
 1  t 
 W .C p
  t  t1
wc p
W .C p
 w. c p



 
 1

W . C p 
- 18 -
(9)


 w. c p

w. c p
 t1  
 1  t 2 
 T2  W .C p

W .C p


U . a". L
1



 ln 

w cp
 w. c p

 w. c p
 
w. c p



 1

 T2 - W . C  t1   W . C  1  t1 
W . C p

p
p

 

(10)
análisis del numerador
T2 -
 w. c p

w. c p
 t1  
 1  t 2  T2 
 t 2  t1   t 2
 W .C p

W .C p
W
.
C
p


w. c p
(11)
recordando las ecuaciones de balance, tendremos:
w.c p .t 2  t1   W . C p . T1 - T2 
w. c p
W .C p
 t 2  t1   T1 - T2  
w. c p
W .C p
(12)

T1 - T2 
t 2  t1 
(13)
reemplazando (13) en (11)
Numerador
T2 
T1 - T2 
 t  t   t  T  T - T   t  T  t  T2 segúnesquema (14)
t 2  t1  2 1 2 2 1 2 2 1 2
análisis del denominador
T2 -
 w. c p

w. c p
 t1  
 1  t1  T2 
 t1  t1   t1
 W .C p

W .C p
W
.
C
p


w. c p
(15)
Denominador
T2  t1  T1 según esquema
(16)
Reemplazando lo encontrado en (10)
 T  t  
U . a". dx
1

 ln  1 2 
wcp
 T1  T2  
 T2 - t 1  
 1

 t 2  t1 

(17)
t 2  t1 
T  t 
U . a". L

 ln 1 2
T1  T2   t 2  t1  T2 - t1 
w cp
- 19 -
(18)
t 2  t1 
T  t 
U . a". L

 ln 1 2
T1  t 2   T2  t1  T2 - t1 
w cp
(19)
reordenando:




 T  t   T  t 
 T  T 
2
1 
1
w  c p  t 2  t1   U . a". L   1 2
 U . a". L   2


T

t

T




ln 1 2
ln 2 



T2 - t 1  
T1 


Media logarítmica
de temperaturas
Diferencia efectiva
de temperaturas en
transferencia de calor
a contracorriente pura
(CC)
MLDT
- 20 -
(20)