ANOVARes

ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
ANALISIS DE VARIANZA DE UNA VÍA o DIRECCIÓN
(ANOVA 1 VIA)
El análisis de la varianza de un criterio (ANOVA) es una metodología para analizar la variación
entre muestras y la variación al interior de las mismas mediante la determinación de varianzas. Es
llamado de un criterio porque analiza un variable independiente o Factor ej: Velocidad. Como tal,
es un método estadístico útil para comparar dos o más medias poblacionales. El ANOVA de un
criterio nos permite poner a prueba hipótesis tales como:
H 0  1   2  3  ....   k
H1 : Al menosdos medias poblacionales son diferentes.
Los supuestos en que se basa la prueba t de dos muestras que utiliza muestras independientes
son:
1. Ambas poblaciones son normales.
2. Las varianzas poblacionales son iguales, esto es,
 12   22 .
Como el ANOVA de un criterio es una generalización de la prueba de t para dos muestras, los
supuestos para el ANOVA de un criterio son:
1. Todas las poblaciones k son normales.
2.
 12   22   32  .....   k2   2 
El método de ANOVA con un criterio requiere del cálculo de dos estimaciones independientes para
 2,
la varianza poblacional común. Estas dos estimaciones se denotan por
denomina estimación de la varianza entre muestras y
sb2 y sw2 . sb2 se
sw2 se denomina estimación de la varianza al
interior de las muestras. El estadístico tiene una distribución muestral resultando:
F
sb2
s w2
El valor crítico para la prueba F es:
F (k  1, k (n  1))
Donde el número de grados de libertad para el numerador es k-1 y para el denominador es k(n-1),
siendo  el nivel de significancia.
k = número de muestras.
El Procedimiento es el siguiente1:
1. Determinar si las muestras provienen de poblaciones normales.
2. Proponer las hipótesis.
1
Estadística. Richard C.Weimer. CECSA. Segunda Edición.2000
Página 1
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
3. Encontrar las medias poblacionales y las varianzas.
4. Encontrar la estimación de la varianza al interior de las muestras
sw2 y sus grados de libertad
asociados glw.
5. Calcular la gran media para la muestra de las medias muéstrales.
6. Determinar la estimación de la varianza entre muestras
sb2 y sus grados de libertad asociados.
7. Hallar el valor del estadístico de la prueba F.
8. Calcular el valor crítico para F basado en glb y glw.
9. Decidir si se rechaza H0.
Calculo Manual
Se utilizan las fórmulas siguientes:
Suma de cuadrados total (SST o SCT)
SCT 
r
c
i 1
j 1
  ( Xij  X )
2
***
*
**
***
Xi valores individuales
**
X
*
*
*
**
**
Suma de cuadrados de los tratamientos o niveles (SSTr o SCTr):
r
SCTR   rj ( X j  X ) 2
j 1
Media
X3
*
5
5
*
4
*
Media X2
Media X1
Suma de cuadrados del error (SSE o SCE):
r
SCE  
i 1
c
(X
j 1
ij
 X j )2
Página 2
Media de medias
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
**
Xi
*
**
***
*
Xi
*
**
*
*
X media 1
*
Xmedia 2
Xmedia 3
** *
Xi
*
O también SCE = SCT - SCTr
Grados de libertad:
Gl. Totales = n – 1
Gl. Tratamientos = c -1
Gl. Error = n – c
Cuadrados medios (MS o CM):
CMT = SCT / Gl. SCT
CMTr = SCTr / Gl. SCTr
CME = SCE / Gl. SCE
Estadístico calculado Fc:
Fc = CMTr / CME
P value = distr.f (Fc, Gl. CMtr, Gl. CME)
F crítica de tables o Excel = distr.f.inv(alfa, Gl. CMT, Gl. CME)
Si P es menor a alfa o Fc es mayor a Ft se rechaza Ho indicando que los efectos de los diferentes
niveles del factor tienen efecto significativo en la respuesta.
Distr. F
NO RECHAZAR
ZONA DE RECHAZo
Alfa
La tabla de ANOVA final queda como sigue:
Página 3
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
TABLA DE ANOVA
FUENTE DE VARIACIÓN
Entre muestras (tratam.)
SUMA DE
CUADRADOS
GRADOS
DE
LIBERTAD
CUADRADO
MEDIO
SCTR
c-1
CMTR
Dentro de muestras
(err.)
SCE
n-c
CME
Variación total
SCT
n-1
CMT
VALOR F
CMTR/CME
Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa
Si las medias son diferentes se
puede aplicar la prueba de Tukey o
DMS como sigue:
PRUEBA DE TUKEY
Se utiliza para diseños balanceados (todos los tratamientos tienen
asignado el mismo número de elementos)
Se utiliza el estadístico
T
T  q ,c ,nc
CME
r
Se compara T vs la diferencia en valor absoluto de
cada par de medias, si esta dif. Excede a T, las medias son diferentes
o iguales en caso contrario.
n = 16
r=4
c=
4 Alfa=0.05
Por ejemplo:
3.6
CME =
19.6875
T
4.2
Medias
q.05,4,12=
9.31
!X1
X2!=
0.25
X1 =
145
X1=X2
!X1-X3! =
12.75 X1<>X3
X2=
145.25
!X1-X4!=
15.75 X1<>X4
X3=
132.25
!X2-X3!=
13 X2<>X3
X4=
129.25
!X2-X4!=
16 X2<>X4
!X3-X4!=
3 X3=X4
X4
X3
129.25 132.25
X1 X2
DMS
=3.41
145 145.2
Página 4
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
DMS
MEDIAS
IGUALES
MEDIAS
DIFERENTES
9.45
Otro método más conservador es el la DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA
DMS
DMS 
r=4
F = DISTR.F.INV(alfa, gl. =1, gl. CME
=12)
2(CME ) F ,1,nc
CME =
r=
F.05,1,12
187.0313
r
19.6875
4
4.75
46.75781 6.837968
Para el caso de diseños no balanceados se utiliza el método DMS
para comparar cada par de muestras
1 1
DMS j ,k     (CME ) F ,c1,nc
 rj rk 
r j es el número de elementos asignados al tratamiento j
r k es el número de elementos asignados al tratamiento k
Verificar si X1 = X2
DMS 1,2 ?
Por ejemplo:
y si X2 = X3 en el ejemplo de empleados.
DMS 2,3 ?
3.4
Para comparar X1-X2
r1 = 5
r2=4
DMS =
0.1965
X1=21.74 X2=21.5
X1-X2=
Se concluye que X1 y X2 son diferentes
Página 5
F=3.34
Alfa =.05
CME=0.02571
0.24
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Utilizando los paquetes de Excel y Minitab se tiene:
Ejemplo 1:
Tres tipos distintos de motores de gasolina fueron probados para determinar cuánto tiempo son
útiles antes de necesitar una reparación; si los tiempos de vida de los motores de cada tipo se
distribuyen normalmente y tienen la misma varianza, haga una prueba usando   0.05 para
determinar si difieren las medias de vida útil antes de requerir una reparación. En la tabla aparecen
los tiempos de vida útil, en decenas de miles de millas para cada tipo de motor.
A
6
2
4
1
7
B
8
7
7
2
6
C
3
2
5
4
1
Mediante Minitab determinamos si las muestras provienen de una población Normal.
Seleccione en el menu para cada muestra:
Stat > Basic statistics > Normality test
Variable – Columnas de datos
Test for normality – Seleccionar Ryan Joiner OK
.
Hay normalidad si P value es >=0.05
Probability Plot of A
Normal
99
Mean
StDev
N
RJ
P-Value
95
90
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-2
0
2
4
A
6
8
10
Página 6
4
2.550
5
0.982
>0.100
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
Probability Plot of B
Normal
99
95
90
Mean
StDev
N
RJ
P-Value
6
2.345
5
0.909
>0.100
Mean
StDev
N
RJ
P-Value
3
1.581
5
0.998
>0.100
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0
2
4
6
B
8
10
12
Probability Plot of C
Normal
99
95
90
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1

-1
0
1
2
3
C
4
5
6
7
Analizando las gráficas nos damos cuenta de que las muestras provienen de poblaciones
normales.
Si denotamos por
1,  2 y3
las medias poblacionales de los tiempos de vida útil para los tipos A,
B y C, respectivamente, entonces podemos escribir las hipótesis estadísticas como:
H 0 : 1   2  3
H1: Al menos dos medias poblacionales no son iguales.
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ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
Procedimiento en Excel:


En el menú herramientas seleccione la opción Análisis de datos, en funciones para
análisis seleccione Análisis de varianza de un factor.
En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos.


Alfa = 0.05
En Rango de salida indicar la celda donde se inciará la presentación de resultados.
Análisis de varianza de un factor
RESUMEN
Grupos
Columna 1
Columna 2
Columna 3
ANÁLISIS DE VARIANZA
Origen de las variaciones
Entre grupos
Dentro de los grupos
Total
Cuenta
Suma
5
5
5
Promedio
20
30
15
4
6
3
Varianza
6.5
5.5
2.5
Suma de cuadrados Grados de libertad Promedio de los cuadrados
F
Probabilidad Valor crítico para F
23.33333333
2
11.66666667 2.413793103 0.13150932
3.885290312
58
12
4.833333333
81.33333333
14
En la tabla observamos que el estadístico de prueba Fc es menor al valor crítico para F
2.41<3.88, por lo cual no rechazamos al Hipótesis nula H 0. No tenemos evidencia estadística para
afirmar que los tiempos de vida útil de los motores, antes de requerir una reparación son
diferentes.
Página 8
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
ANOVA en Minitab.
Utilice
  0.05 para calcular si difiere el rendimiento de los motores.
Seleccionar:
Stat > ANOVA > One Way (Unstacked)
Response in separate columns A, B, C
Seleccionar º! Store Residuals º! Store Fits
Confidence level 95%
Graphs
Seleccionar Normal plot of residuals
Comparisons
Seleccionar Tukey’s Family error rate OK
Resultados:
La gráfica normal de residuos debe mostrar los residuos aproximados por una recta para validar el
modelo:
Normal Probability Plot of the Residuals
(responses are A, B, C)
99
95
90
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-5.0
-2.5
0.0
Residual
2.5
5.0
One-way ANOVA: A, B, C
Source
Factor
Error
Total
DF
2
12
14
SS
23.33
58.00
81.33
MS
11.67
4.83
F
2.41
P
0.132
Como este valor P es mayor a 0.05 se rechaza la hipótesis nula y A, B y C no
tienen efecto en la respuesta.
S = 2.198
R-Sq = 28.69%
R-Sq(adj) = 16.80%
Página 9
ANOVA
Level
A
B
C
P. Reyes / Nov. 2004
N
5
5
5
Mean
4.000
6.000
3.000
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
------+---------+---------+---------+--(----------*----------)
(----------*----------)
(----------*----------)
------+---------+---------+---------+--2.0
4.0
6.0
8.0
StDev
2.550
2.345
1.581
Pooled StDev = 2.198
Los intervalos de confianza de los tres niveles A, B, C del factor se pueden
traslapar por tanto sus efectos no son diferentes.
Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals
All Pairwise Comparisons
Individual confidence level = 97.94%
A subtracted from:
B
C
Lower
-1.707
-4.707
Center
2.000
-1.000
Upper
5.707
2.707
---------+---------+---------+---------+
(----------*---------)
(---------*----------)
---------+---------+---------+---------+
-3.5
0.0
3.5
7.0
Upper
0.707
---------+---------+---------+---------+
(---------*----------)
---------+---------+---------+---------+
-3.5
0.0
3.5
7.0
B subtracted from:
C
Lower
-6.707
Center
-3.000
Como el cero pertenece al intervalo de confianza de las diferencias entre A y B; A
y C y entre B y C no hay diferencia entre el efecto entre estos niveles.
A continuación se muestran los residuos y los valores estimados para la respuesta Y por el modelo:
RESI1
2
-2
0
-3
3
RESI2
2
1
1
-4
0
RESI3
0
-1
2
1
-2
FITS1
4
4
4
4
4
FITS2
6
6
6
6
6
FITS3
3
3
3
3
3
Donde cada residuo es Eij = Yij observado – Yij estimado
Yij estimado es el promedio en cada columna.
Ejemplo 2: La tabla adjunta contiene el número de palabras escritas por minuto por cuatro
secretarias de la universidad en cinco ocasiones diferentes usando la misma máquina.
Página 10
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
A
82
79
75
68
65
B
55
67
84
77
71
C
69
72
78
83
74
D
87
61
82
61
72
La gráfica de residuos es la siguiente, mostrando que el modelo es válido:
Normal Probability Plot of the Residuals
(responses are A, B, C, D)
99
95
90
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-20
-10
0
Residual
10
20
One-way ANOVA: A, B, C, D
Source
Factor
Error
Total
DF
3
16
19
SS
52.2
1367.6
1419.8
MS
17.4
85.5
F
0.20
P
0.892
Como el valor P de 0.892 es mayor a alfa de 0.05 no hay efecto en la respuesta cambiando los
niveles del factor A, B, C y D.
S = 9.245
Level
A
B
C
D
N
5
5
5
5
R-Sq = 3.68%
Mean
73.800
70.800
75.200
72.600
StDev
7.190
10.918
5.450
11.887
R-Sq(adj) = 0.00%
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
-------+---------+---------+---------+-(--------------*--------------)
(--------------*--------------)
(-------------*--------------)
(--------------*--------------)
-------+---------+---------+---------+-66.0
72.0
78.0
84.0
Pooled StDev = 9.245
Se pueden traslapar los intervalos de confianza de los niveles del factor, por tanto no hay
diferencia significativa en sus efectos.
Página 11
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals
All Pairwise Comparisons
Individual confidence level = 98.87%
A subtracted from:
B
C
D
Lower
-19.745
-15.345
-17.945
Center
-3.000
1.400
-1.200
Upper
13.745
18.145
15.545
--------+---------+---------+---------+(-------------*------------)
(-------------*-------------)
(-------------*-------------)
--------+---------+---------+---------+-12
0
12
24
Upper
21.145
18.545
--------+---------+---------+---------+(-------------*-------------)
(------------*-------------)
--------+---------+---------+---------+-12
0
12
24
Upper
14.145
--------+---------+---------+---------+(-------------*-------------)
--------+---------+---------+---------+-12
0
12
24
B subtracted from:
C
D
Lower
-12.345
-14.945
Center
4.400
1.800
C subtracted from:
D
Lower
-19.345
Center
-2.600
En la prueba de Tukey como el cero pertenece a los intervalos de confianza de todas las
diferencias entre niveles A, B, C y D, no hay diferencia entre sus efectos en la respuesta.
Página 12
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
ANALISIS DE VARIANZA DE DOS VÍAS o DIRECCIONES
(ANOVA 2 VIAS)
En este caso las fórmulas son parecidas a la del ANOVA de una vía pero ahora agregando el
cálculo por renglones adicional al de columnas donde se incluye la variable de bloqueo.
Ejemplo con Minitab o Excel del Texto de Montgomery, Análisis y diseño de experimentos.
Problema 4.1
Un químico quiere probar el efecto de 4 agentes químicos sobre la resistencia de un tipo particular
de tela. Debido a que podría haber variabilidad de un rollo de tela a otro, el químico decide usar un
diseño de bloques aleatorizados, con los rollos de tela considerados como bloques. Selecciona 5
rollos y aplica los 4 agentes químicos de manera aleatoria a cada rollo. A continuación se
presentan las resistencias a la tención resultantes. Analizar los datos de este experimento (utilizar
α=0.05) y sacar las conclusiones apropiadas.
Rollo
Agente
Químico
1
2
3
4
1
73
73
75
73
2
68
67
68
71
3
74
75
78
75
4
71
72
73
75
5
67
70
68
69
Solución
Rollo
Agente
Químico
1
2
3
4
Y.j
1
2
73
73
75
73
73.5
3
68
67
68
71
68.5
Yi.
4
74
75
78
75
75.5
5
71
72
73
75
72.75
67
70
68
69
68.5
70.6
71.4
72.4
72.6
72.35
73.15
74.15
74.35
Yijestimada (FITS)
67.35
74.35
68.15
75.15
69.15
76.15
69.35
76.35
71.6
72.4
73.4
73.6
67.35
68.15
69.15
69.35
0.65
-0.15
0.85
-1.35
Residuos (Eij)
0.65
-0.35
-1.15
-0.15
-1.15
1.85
1.65
-1.35
-0.6
-0.4
-0.4
1.4
-0.35
1.85
-1.15
-0.35
Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra
por grupo
Página 13
Y (gran
promedio)
71.75
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
RESUMEN
Cuenta
Suma
Promedio
Varianza
Fila 1
5
353
70.6
9.3
Fila 2
5
357
71.4
9.3
Fila 3
5
362
72.4
19.3
Fila 4
5
363
72.6
6.8
Columna 1
4
294
73.5
1
Columna 2
4
274
68.5
3
Columna 3
4
302
75.5
3
Columna 4
4
291
72.75 2.916666667
Columna 5
4
274
68.5 1.666666667
ANÁLISIS DE VARIANZA
Origen de
Suma de Grados Promedio
F
Probabilidad
Valor
las
cuadrados
de
de los
crítico
variaciones
libertad cuadrados
para F
Filas
Columnas
Error
Total
12.95
157
21.8
191.75
3 4.31666667 2.376146789
4
39.25 21.60550459
12 1.81666667
19
0.12114447 3.4902948
2.05918E-05 3.2591667
Para el caso de los agentes químicos que son los renglones:
La Ho. No se rechaza debido a que el valor de tablas de f esta en 3.49 y el valor Fc calculado es
de 2.37 por lo tanto no cae en la zona de rechazo.
Calculo del valor P 0.12114447
Por otro lado el valor P = 0.1211 es mayor a 0.05 de alfa por lo tanto confirma el no rechazo.
Para el caso de los rollos que son las columnas:
La Ho. se rechaza debido a que el valor de tablas de f esta en 3.25 y el valor Fc calculado es 21.60
por lo tanto cae en la zona de rechazo.
Calculo del valor P 3.96618E-05
Por otro lado el valor P = 0.00003 es menor a 0.05 de alfa por lo tanto confirma el rechazo.
Página 14
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
Procedimiento en Excel:




En el menú herramientas seleccione la opción análisis de datos, en funciones para
análisis seleccione análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo.
En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos.
Alfa = 0.05
En Rango de salida indicar la celda donde se iniciará la presentación de resultados.
Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo
RESUMEN
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila 4
Columna 1
Columna 2
Columna 3
Columna 4
Columna 5
Cuenta
5
5
5
5
Suma
353
357
362
363
4
4
4
4
4
294
274
302
291
274
Promedio Varianza
70.6
9.3
71.4
9.3
72.4
19.3
72.6
6.8
73.5
68.5
75.5
72.75
68.5
1
3
3
2.92
1.67
ANÁLISIS DE VARIANZA
Fuente de Suma de
variación Cuadrados
Filas
12.95
Columnas
157
Error
21.8
Total
Total
191.75
231
Grados
de
libertad
Cuadrados
medios
3
4.32
4
39.25
12
1.82
Fc
Probabilidad
Valor P
2.38
0.12
21.61
2.06E-05
F
tablas
3.49
3.26
19
24
En la tabla observamos que el estadístico de prueba Fc es menor al valor crítico para F
2.38<3.49, por lo cual no rechazamos al Hipótesis nula H 0. No tenemos evidencia estadística para
afirmar que el agente químico tenga influencia en la respuesta.
Sin embargo observamos que el rollo si tiene influenza significativa en la respuesta (P<0.05).
Página 15
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
ANOVA en Minitab.
Utilice
  0.05 para calcular si hay diferencias entre los efectos de las columnas y los renglones.
Introducir los datos arreglados con las respuestas en una sola columna e indicando a que renglón y
columna pertenece cada uno de estos, como sigue:
Resp
73
73
75
73
68
67
68
71
74
75
78
75
71
72
73
75
67
70
68
69
Columna
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
Fila
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Instrucciones:
Stat > ANOVA > One two Way
Response Respuesta, indicar Row factor y Column Factor, Seleccionar º! Display Means
Seleccionar º! Store Residuals º! Store Fits Confidence level 95%
Graphs
Seleccionar Normal plot of residuals
OK
Resultados:
La gráfica normal de residuos debe mostrar los residuos aproximados por una recta para validar el
modelo:
Los residuos se aproximan a la distribución normal por lo cual se concluye que se
está utilizando un modelo válido.
Página 16
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is Resp)
99
95
90
Percent
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
-3
-2
-1
0
Residual
1
2
3
Two-way ANOVA: Resistencia versus Agente Químico, Rollo
Source
Agente Químico
Rollo
Error
Total
S = 1.348
DF
3
4
12
19
SS
12.95
157.00
21.80
191.75
R-Sq = 88.63%
MS
4.3167
39.2500
1.8167
F
2.38
21.61
P
0.121
0.000
R-Sq(adj) = 82.00%
Como el valor de P es menor a 0.05 el Rollo tiene influencia significativa en la
resistencia.
Agente
Químico
1
2
3
4
Rollo
1
2
3
4
5
Mean
70.6
71.4
72.4
72.6
Mean
73.50
68.50
75.50
72.75
68.50
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
---+---------+---------+---------+-----(----------*----------)
(----------*----------)
(----------*----------)
(----------*----------)
---+---------+---------+---------+-----69.6
70.8
72.0
73.2
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
--+---------+---------+---------+------(-----*-----)
(-----*-----)
(-----*-----)
(-----*-----)
(-----*-----)
--+---------+---------+---------+------67.5
70.0
72.5
75.0
Página 17
ANOVA
P. Reyes / Nov. 2004
Se seleccionarían en 2º y 5º rollo ya que tienen los valores más pequeños.
Los Fits y los residuales coinciden con los valores determinados en Excel.
Resp
73
73
75
73
68
67
68
71
74
75
78
75
71
72
73
75
67
70
68
69
Columna
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
Fila
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
RESI1
0.65
-0.15
0.85
-1.35
0.65
-1.15
-1.15
1.65
-0.35
-0.15
1.85
-1.35
-0.6
-0.4
-0.4
1.4
-0.35
1.85
-1.15
-0.35
FITS1
72.35
73.15
74.15
74.35
67.35
68.15
69.15
69.35
74.35
75.15
76.15
76.35
71.6
72.4
73.4
73.6
67.35
68.15
69.15
69.35
Página 18
RESI2
0.65
-0.15
0.85
-1.35
0.65
-1.15
-1.15
1.65
-0.35
-0.15
1.85
-1.35
-0.6
-0.4
-0.4
1.4
-0.35
1.85
-1.15
-0.35
FITS2
72.35
73.15
74.15
74.35
67.35
68.15
69.15
69.35
74.35
75.15
76.15
76.35
71.6
72.4
73.4
73.6
67.35
68.15
69.15
69.35