Tema 7. LAS FRACCIONES

Tema 7.
LAS FRACCIONES
OBJETIVOS
1. Conocer, entender y utilizar los distintos conceptos de fracción.
2. Entender, identificar y aplicar la equivalencia de fracciones.
3. Ordenar fracciones con ayuda del cálculo mental o utilizando métodos
algorítmicos.
4. Operar fracciones.
5. Resolver problemas con números fraccionarios.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
1. 1. Representa gráficamente una fracción sobre una superficie circular o
rectangular.
1.2. Determina la fracción que corresponde a cada parte de una cantidad.
1.3. Calcula la fracción de un número.
1.4. Identifica una fracción con el cociente indicado de dos números. Pasa de
fracción a decimal.
1.5. Pasa a forma fraccionaria números decimales sencillos(0,1; 0,2; 0,5; 0,75)
2.1. Calcula fracciones equivalentes a una dada.
2.2. Reconoce si dos fracciones son equivalentes.
2.3. Simplifica fracciones. Obtiene la fracción irreducible de una dada.
2.4. Reduce a común denominador fracciones con denominadores sencillos (el
cálculo del denominador común se hace mentalmente).
2.5. Reduce a común denominador cualquier tipo de fracciones (el cálculo del
denominador común exige la obtención previa del m.c.m. de los
denominadores).
3.1. Compara mentalmente fracciones en casos sencillos (compara fracciones con
la unidad, o con 1/2, o fracciones de igual numerador, o fracciones cuyos
denominadores son uno múltiplo del otro, etc.)y es capaz de justificar sus
respuestas.
3.2. Ordena cualquier conjunto de fracciones.
4.1. Suma y resta fracciones de distinto denominador. Suma y resta fracciones y
enteros.
4.2. Multiplica fracciones.
4.3. Calcula la fracción de una fracción.
4.4. Divide fracciones.
4.5. Resuelve expresiones con operaciones combinadas de fracciones.
5.1. Resuelve problemas de aplicación directa del concepto de fracción.
5.2. Resuelve problemas de fracciones con operaciones aditivas.
5.3. Resuelve problemas de fracciones con operaciones multiplicativas.
5.4. Resuelve problemas en los que aparece la fracción de otra fracción.
CONCEPTOS
Los significados de una fracción.
- la fracción como parte de la unidad.
- La fracción como cociente indicado.
- La fracción como operador.
Equivalencia de fracciones.
Suma y resta de fracciones.
- Propiedades de la suma y la resta.
- Reglas para la eliminación de paréntesis
fracciones.
Producto de fracciones.
- Fracción inversa de una dada.
Cociente de fracciones.
1
en expresiones aritméticas con
PROCEDIMIENTOS
Representación de una fracción como parte de la unidad.
Comparación de fracciones con la unidad.
Transformación de una fracción en número decimal.
Transformación de un decimal en fracción (solo los casos sencillos).
Cálculo de la fracción de un número.
Identificación y producción de fracciones equivalentes.
Transformación de un entero en fracción.
Simplificación de fracciones.
Reducción de fracciones a común denominador.
Comparación de fracciones.
- Ordenación de un conjunto de fracciones.
Aplicación de los distintos métodos y algoritmos para la suma y resta de
fracciones previa reducción a común denominador.
Suma y resta de enteros y fracciones.
Resolución de expresiones con sumas, restas y paréntesis.
Cálculo del producto y del cociente de dos fracciones o de enteros y fracc.
Fracción de otra fracción.
Resolución de expresiones con operaciones combinadas y paréntesis en el conj.
de las fracciones.
Resolución de problemas con números fraccionarios.
- Problemas en los que interviene la frac ción de una cantidad.
- Problemas de suma y resta de fracciones.
- Problemas de producto y cociente de fracciones.
- Problemas en los que aparece la fracción de otra fracción.
ACTITUDES
Valoración de los números fraccionarios como soporte de información relativa al
mundo científico y a situaciones cotidianas.
Interés por la investigación de propiedades y relaciones numéricas.
Interés por el desarrollo de estrategias personales de cálculo rápido.
Interés por la exposición clara de procesos y resultados en los cálculos con
expresiones aritméticas y en la resolución de problemas.
Tenacidad y constancia ante un problema. Confianza en los propios recursos.
Actitud abierta ante nuevas soluciones o procesos diferentes a los propios.
2
DESARROLLO
Comenzar la sesión con representaciones de fracciones en cuadrados, rectángulos, círculos, etc.
1) Explicar el concepto de denominador como partes en que se divide la unidad y numerador
como partes que se toman de dicha unidad
2) Explicar el concepto de fración como:
- Partes de un todo (insistir en este concpto)
- Operador compuesto (dividir por el denominador y multiplicar por el numerador.
- Cociente indicado de dos números.
Ejrcicios de las págs. 136 y 137 (cuidar la representación de fracciones, el cálculo de la fracción de
un número y pasar la fracción a número decimal y viceversa).
3) Fracciones equivalentes.a) Mediante dibujos (está muy bien explicado en la pág. 138)
b) Razón.- Es el cociente indicado de dos números.
c) Proporción.- Es la igualdad de dos razones.
d) Propiedad fundamental de las proporciones.- Producto de los medios es igual a producto de los
extremos. Explicar muy bien los conceptos de medios y extremos.
e) Concepto de fracción equivalente. Dos fracciones son equivalentes si expresan el mismo valor numérico.
 Dos fracciones son equivalentes si el producto de los medios es igual al producto de los
extremos.
f) Para obtener fracciones equivalentes a una dada se multiplica o divide el numerador y el
denominador por el mismo número.
Ejercicios pág. 138
4) Simplificación de fracciones.a)
b)
c)
d)
Se divide el numerador y el denominador por el mismo número.
Se divide el numerador y el denominador por su M.C.D. y se obtiene la fracción irreducible.
Fracción irreducible es la que no se puede simplificar más.
Ampliación de fracciones
Ejercicios pág. 139
5) Reducción de fracciones a común denominador.
a) Producto de denominadores.- Se multiplica cada numerador por todos los denominadores

menos por el suyo y se coloca como numerador. Se multiplican todos los denominadores y
se coloca como denominador común (en todas las facciones).
Ejemplo.-
3 2 6 3 * 5 * 7 2 * 4 * 7 6 * 4 * 5 105 56 120
, , 
,
,

,
,
4 5 7 4 * 5 * 7 4 * 5 * 7 4 * 5 * 7 140 140 140
b) Por el método del m.c.m.-


Se calcula el m.c.m. de los denominadores.
Se pone como denominador común el m.c.m.
3

Cada numerador se halla dividiendo el mínimo entre el denominador y multiplicando por el
numerador.
Ejemplo:
2 3 2 (60 : 4) * 2 (60 : 5) * 3 (60 : 6) * 2 30 36 20 86
  






4 5 6
60
60
60
60 60 60 60
Ejercicos pág. 140
6) Operaciones con fracciones.a) Ordenación de fracciones.- Es una ordenación densa (entre cada dos fracciones caben
infinitas fracciones).
b) Comparación de fracciones
 De igual numerador.- Es mayor la de menor denominador
Ejemplo:

3 3
y
;
5 4
3 3

4 5
De igual denominador.- Es mayor la de mayor numerador.
Ejemplo:
3 4
y
;
5 5
4 3

5 5

De distinto numerador y distinto denominador.- Se reducen a común denominador y se
orden según el criterio anterior.
Ejercicios pág. 141
c) Suma y resta de fracciones.-

De igual denominador.- Se suman o restan los numeradores y se pone por denominador el
mismo que tienen.
 De distinto denominador.- se reducen a común denominador y se opera como en el caso
anterior.
 Propiedades de la suma de fracciones. Interna.- Si sumamos dos fracciones resulta otra fracción.
 Asociativa.- El orden en que agrupemos las fracciones para sumarlas, no altera la
suma
 Elemento neutro.- si sumamos una fracción con el e.n., resulta la misma fracción.
 Elemento opuesto.- Si sumamos una fracción con su opuesta, nos da el elemento
neutro.
Ejercicios pág. 142. En folios trabajo explicativo de las propiedades de la suma de fracciones.
d) Producto de fracciones.-

Se multiplican los numeradores y se coloca como numerador en el resultado y se multiplican
los denominadores y se coloca como denominador del resultado.
 Propiedades del producto de fracciones. Interna.- Si multiplicamos dos fracciones resulta otra fracción.
 Asociativa.- El orden en que agrupemos las fracciones para multiplicarlas, no altera
el producto.
 Elemento neutro.- si multiplicamos una fracción con el e.n., resulta la misma
fracción.
 Elemento inverso.- Si multiplicamos una fracción con su inversa, nos da el elemento
neutro.
Ejercicios pág. 143 En folios trabajo explicativo de las propiedades del producto de fracciones
4
 Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma de fracciones.-
2 2 3 2 2 2 3
*     *    * 
5 7 7 5 7 5 7
2 5
4
6
* 

5 7 35 35
10 10

35 35
En un folio trabajo explicativo de la propiedad distributiva del producto respecto de la
suma de fracciones
e) División de fracciones.-

Para dividir dos fracciones se multiplica la primera fracción (dividendo), por la inversa de la
segunda (divisor).
Ejemplo:

3 2 3 4 12
:  * 
5 4 5 2 10
Para dividir dos fracciones se multiplican en cruz.
Ejemplo:
2 3 2*4 8
: 

5 4 5 * 3 15

Para dividir una fracción por un número entero, o viceversa, se pone como denominador del
número entero un uno y se opera igual que en los casos anteriormnte explicados.
Ejercicios de la pág. 144
7) El número racional.a) Concepto.

Es el que se puede expresar en forma de fracción.
Es la fracción irreducible de todo el conjunto de fracciones que sean equivalentes entre sí:
Ejemplo:
2 6 8 10 14
, , , , ......
4 8 16 20 28
1
2
N  Z  Q
8) El número decimal.- es una fracción expresada en forma de parte entera, coma de decimales y parte
decimal.
Ejemplo: 3’257
a) Decimal exacto.- Consta de parte entera y parte decimal finita.
Ejemplo: 3’25
5

Fracción generatriz de un decimal exacto:
Se pone por numerador la parte entera seguida de la parte decimal, sin la coma de decimales,
y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga
3’25 =
325
100
b) Decimal Periódico puro.- Consta de parte entera y parte decimal infinita pero que se repite
periódicamente.
Ejemplo: 3’25252525  3’ 25
 Fracción generatriz de un decimal periódico puro:
Se pone por numerador la parte entera seguida de la parte decimal, sin la coma de decimales,
menos la parte entera y por denominador tantos nueves como cifras decimales tenga el
periodo.
3’ 25 =
325  3 322
=
99
99
c) Decimal Periódico mixto.- Consta de parte entera, anteperiodo (cifras que van entre la coma
y el periodo) y periodo (cifras decimales que se repiten periódicamente y de forma infinita).
Ejemplo: 3’74 25 25 25 25  3’74 25
 Fracción generatriz de un decimal periódico mixto:
Se pone por numerador la parte entera seguida del anteperiodo y del periodo, sin la coma de
decimales, menos la parte entera seguida del anteperiodo y por denominador tantos nueves
como cifras decimales tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo..
3’ 74 25 =
37425  374
37051
=
9900
9900
d) Decimal con infinitas cifras decimales que no se repiten.- Consta de parte entera y parte
decimal infinita.
Ejemplo:  = 3’141592 ... ;
2 ;

5
6
No son racionales
1.
Operar:
3 1
 
4 2
5 3
 
3 4
3 1
 
5 2
3 1
 
5 3
2.
Operar:
3 2 6
  
5 3 7
4 3 2
  
5 7 4
1 2 6
  
8 5 7
2 4 5
  
6 8 9
3.
Operar:
2 5 6
  
9 9 9
2 6 3
  
7 7 7
3 4 2
  
5 5 5
4.
–[3*4–2–3(2*3–6)]=
5.
Hallar el valor de la x:
6.
Hallar los
7.
Escribe tres fracciones equivalentes a
8.
¿Por qué decimos que una fracción es un operador compuesto?
9.
Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de 458 y 286
2
x

8 16
2
de 675
5
4
5
7
3 2 6
  
8 8 8
4.- Operar:
5
3
2 
3
4

3 1

4 2
: 5 1 
3
3 1 2
*   
5 2 3
7 2 3 2
 : * :  
3 5 4 3
 3   1 2   3 
 5  1   2 * 3  :  4  1 
 
 


Ordena estos quebrados de mayor a menor:
3
4
6
2
1
2
5
3
3
5
3
4
1
2
¿Qué se hace para dividir quebrados?
¿Qué se hace para multiplicar quebrados?.
Un quebrado se puede convertir en decimal exacto cuando ...
Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las dadas:
1

2
2

5
7

4
Convierte estos enteros en quebrados de forma que su denominador sea 5:
4=
–3 =
Escribe una fracción equivalente a
–5 =
7=
8=
3
pero de forma que su denominador sea –56.
7
Explica la diferencia entre un número decimal periódico puro y otro periódico mixto y pon un
ejemplo de cada uno.
3
Escribe el opuesto y el inverso de  5
Opuesto:
Inverso:
8
Hallar las fracciones generatrices:
3,5 =
0,75 =
4,17 =
3,125 =
0,222 =
5,666 =
7,231231 =
3,1222 =
0,23111=
5,123444 =
Para dividir un quebrado por un número tengo dos procedimientos, que son:
1.
2.
3.
4.
Escribe 10 números naturales:
Escribe 10 números enteros:
Escribe 10 números racionales:
¿Cuáles son las propiedades de la suma de fracciones?:
5. ¿Cuáles son las propiedades del producto de fracciones?
6. El opuesto es aquel que ...
7. El inverso es aquel que.....
8. Si dos fracciones son equivalentes, el
de
es
9. En una fracción, el numerador es .......
10. En una fracción, el denominador es .......
11. ¿Qué es un número racional?
12. Los números decimales pueden ser....
13. ¿Cómo se suman fracciones que tienen iguales los denominadores?
14. ¿Cómo se suman fracciones que tienen iguales los numeradores?
15. ¿Cómo se multiplican fracciones?
16. ¿Cómo se dividen fracciones?
17. ¿Cómo se reducen fracciones a común denominador?
18. ¿Te consideras preparado/a para pasar el tema siguiente?
9
al
de
EJERCICIOS PARA 1º C y 1º D
1)
3 1
 
8 8
;
5 2
 
8 8
;
5 1
 
8 8
;
4 3
 
8 8
2)
3 1
 
8 8
;
5 2
 
8 8
;
5 1
 
8 8
;
4 3
 
8 8
3)
10 5


12 12
;
8
5


12 12
;
6
3


12 12
;
9
5


12 12
4)
10 5


12 12
;
8 5


12 12
;
6 3


12 12
;
9 5


12 12
5)
3 1
 
8 4
;
5 2
 
12 8
;
5 1
 
8 6
6)
4 3
 
18 8
;
3 1
 
8 16
;
5 2
 
12 8
7)
5 1
 
8 4
;
4 3
 
20 8
;
10 5
 
12 6
8)
8
5


20 12
;
6
3


12 18
;
9 5
 
12 2
9)
10 5


4 12
;
8
5


12 20
;
6 3
 
12 18
10)
9 5
 
2 12
;
5 0
 
8 8
;
4 1
 
7 7
11)
2
3
7



20 20 20
;
6 1
5
 

14 14 14
;
3
2 4
  
10 10 10
12)
6 3 1
  
12 4 2
13)
4 5 1
  
8 16 2
10
11