1.Leyes de Lógica o Leyes de álgebra de proposiciones

UNIVERSIDAD ALEJANDRO DE HUMBOLDT
CURSO INTRODUCTORIO
Asignatura: RAZONAMIENTO LÓGICO
Autor: José Manuel Díaz Fumero
GUIA No 2
Leyes de Lógica y reglas de inferencia
Versión 1.03 OCT. 2010
1
CONTENIDO
GUIA No 2 ............................................................................................................................. 0
Leyes de Lógica y reglas de inferencia ............................................................................... 0
1.Leyes de Lógica o Leyes de álgebra de proposiciones; .................................................. 2
2.Simplificación de Fórmulas .............................................................................................. 3
3. Reglas de Inferencias ........................................................................................................ 4
2
1.Leyes de Lógica o Leyes de álgebra de proposiciones;
Las Proposiciones verifican ciertas propiedades conocidas como Leyes del Algebra de
Proposiciones. Estas propiedades son las siguientes
1.- Leyes de Idempotencia: a. (pp)p
b. (pp)p
2.- Leyes conmutativa:
a. pqqp
b. pqqp
3.- Leyes asociativa: a. ((pq)r)(p(qr))
b. ((pq)r)(p(qr))
4.- Leyes de distributiva: a. (p  q)rp(qr)
b. (pq)rp(qr)
5.- Leyes de Identidad: pFp
pFF
pVV
pVp
6.- Leyes de Complementación: ppV
ppF
7.- Leyes de Morgan (pq) pq
(pq) pq
8.- Doble negación: ~ ~ pp
9.- Leyes de Implicación
pq(~q~p)
pq~pq
p(pq)pq
FV
VF
3
Estas leyes se pueden verificar fácilmente mediante tablas de la verdad. Es de hacer notar
que estas leyes son validas, tanto para proposiciones atómicas como para las moleculares.
Las letras V y F indicadas anteriormente en las leyes, indican variables que se restringen a
los valores de verdadero y falso, respectivamente
2.Simplificación de Fórmulas
Las leyes anteriores permiten simplificar fórmulas complejas, hasta llevarlas a otras más
sencillas y equivalentes a la original, es decir, con menos variables proposicionales y/o
conectivos; como se puede ver en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:
Aplicando las leyes de algebra de proposiciones, simplificar las siguiente expresión:
(pq)p(pp)(qp)
Ley Distributiva
F(qp)
Ley de Complementación
(qp)
Ley de Identidad
Ejemplo 2:
Aplicando las leyes de algebra de proposiciones, simplificar las siguiente expresión:
(pq) (qp)
(pq)  (qp)
Ley de Morgan
(pq)  (pq)
Ley de Conmutativa
p(qq)
Ley Distributiva
pF
Ley de Complementación
p
Ley de Identidad
Ejemplo 3:
Aplicando las leyes de algebra de proposiciones, simplificar las siguiente expresión:
p ( p q)
(pF) (pq)
Ley de Identidad
p(Fq)
Ley de Distributiva
pF
Ley de Identidad
p
Ley de Identidad
4
Ejemplo 4:
Aplicando las leyes de algebra de proposiciones, simplificar las siguiente expresión:
p  ( p q)
(pV)  (pq)
Ley de Identidad
p(Vq)
Ley de Distributiva
pV
Ley de Identidad
p
Ley de Identidad
3. Reglas de Inferencias
Si actuando según unas reglas dadas, sobre unas fórmulas también dadas, obtenemos una
nueva formula, diremos que esta se ha inferido o deducido de aquéllas.
A las reglas dadas se les llama regla de inferencia, a la formula de partida premisas y a
las fórmulas de llegadas conclusión.
Al proceso mediante el cual la conclusión se sigue de las premisas se llama prueba,
deducción o demostración.
A las inferencias que siguen las reglas establecidas se les llama correctas, e incorrectas a
las que no la siguen.
Regla de inferencia. Son las que de cada conjunto suficiente de premisas, P1,P2,....., nos
permite deducir una conclusión C. Son varios los sistemas de reglas que resuelven este
problema; uno de ellos es el que esta integrado por las reglas siguientes:
1a. Regla de separación. MODUS PONENDO PONENS.Si tomamos como premisa un
condicional y su antecedente, el consecuente puede ser inferido como conclusión.
Si las premisas P1 y P2 las ponemos una encima de otra, debajo de ellas una línea
horizontal y debajo de esta la conclusión C, la primera regla de inferencia puede ser escrita
en la forma simbólica siguiente:
5
P1: pq
P2: p
C: q
Ejemplo:
P1: Si gano la lotería, entonces compro apartamento
P2: Gano la Loteria
C: Compro Apartamento
2a. MODUS TOLLENDO TOLENS. Dadas como premisas una proposición condicional
y la negación de su consecuente. Se puede concluir la negación de su antecedente
Procediendo como el caso anterior, la segunda regla puede ser escrita en la forma
simbólica siguiente:
P1: pq
P2: q
C: p
Ejemplo:
P1: Si hoy es martes entonces, mañana es
miercoles
P2: Mañana no es miercoles
C: Hoy no es martes
3a. Regla de Conjunción. Dada como premisas dos proposiciones, se puede concluirla
conjunción de ambas.
P1: p
P2: q
C: pq
Ejemplo:
6
P1: Juan es estudioso
P2: Ana es floja
C: Juan es estudioso y Ana es floja
4a. Regla de Simplificación: dada como premisa la conjunción de dos proposiciones, se
puede concluir cualquiera de ellas. Esta cuarta regla puede ser escrita de la forma simbólica
siguiente:
P1: pq
P1: pq
C: p
C: q
5ta. Regla MODUS TOLLENDO PONENS: Dadas como premisas la disyunción de dos
proposiciones y la negación de una de ellas, se puede concluir la otra proposición
P1: pq
P1: pq
P2: q
P2: p
C: p
C: q
6ta. Ley de adición: Dada como premisa una proposición, se puede concluir las
disyunción de ella con cualquier otra proposición
P1: p
C: pq
donde q es una proposición cualquiera
7ma. Ley de Silogismo hipotético: Dadas como premisas dos condicionales pq y qr,
se puede concluir el condicional pr
P1: pq
P1: qr
P2: qr
P2: pq
C: pr
C: pr
7
8ma. Ley de Silogismo disyuntivo: Dadas como premisas dos condicionales ps y qt,
y la disyunción de sus antecedentes se puede concluir las disyunción de sus consecuente
P1: ps
P2: qt
P3: pq
C: svt