GEOMETRÍA 1997-Jun.A.- a) Ángulo que forman recta y plano. Definición... b) Calcular el valor de α para que sean...

GEOMETRÍA
1997-Jun.A.- a) Ángulo que forman recta y plano. Definición y expresión para su cálculo.
b) Calcular el valor de α para que sean paralelas la recta r y el plano π de ecuaciones:
  1
2 x  3 y
r:

 x  y  z  2
π : αx – y + z = 5
¿Existe algún valor de α tal que r y π son perpendiculares?
1997-Jun.B.- a) Definición de la elipse y la circunferencia como lugares geométricos.
b) Calcular la ecuación de la elipse de focos F1=(3,0) y F2 =(-3,0) y que pasa por el punto (0,4).
1997-Set.A.- a) Definición de producto vectorial de dos vectores.
b) Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano π : 2x + y + 3z – 6 = 0 con ejes de
coordenadas.
1997-Set.B.- a) ¿Puede ser una recta perpendicular a una recta de un plano sin que lo sea al plano? Razonar la respuesta.
b) Determinar α y β para que los planos π1: 6x – αy + 4z + 9 = 0 y π2: 9x – 3y + βz – β = 0 sean paralelos.
1998-Jun.A.- Calcula los puntos de la recta r que pasa por los puntos P(-1, 2, 3) y Q(3, 5, 0), y tales que la distancia al punto
C(-1, 0, 1) es de 12 unidades.
1998-Jun.B.- Estudiar la posición relativa de las rectas
r: x3
y z 1

2
2
y s : ( x, y, z )  ( 3, 1, 0)   ( 1, 2, 1) .
Calcular el punto de r más próximo a la recta s.
1998-Set.A.- a) Producto mixto de tres vectores. Definición y propiedades (sin demostración).
b) ¿Los puntos P(3, 1, 1) , Q(1, 1, 0) , R(-3, 3, -1) y S(2, 2, 1) son coplanarias?
1998-Set.B.- a) ¿Cuál es la forma general de los planos paralelos al plano OXY? Razonar la respuesta.
b) Hallar la ecuación general del plano π que pasa por A(1, 1, 1) y contiene a la recta r, dada por:
 x  2 


 y  1   
 z   2 


1999-Jun.A.- a) Producto escalar de dos vectores. Definición y propiedades (sin demostraciones)

b) Poner un ejemplo de un vector unitario que sea ortogonal al vector v  ( 2, 0,  1).
3
1999-Jun.B.- a) Dados cuatro puntos de R , ¿qué condición deben cumplir para que estén en el mismo plano (sean coplanarios)?
Razonar la respuesta.
b) Calcular la distancia del punto P(-1, 0, 2) al plano que contiene a los puntos Q(-1, 1, 0), R(0, 0, 2) y S(1, -2, -2).
1999-Set.A.- Calcular el conjunto de puntos de R3 que están a igual distancia de los puntos P(-1, 2, 5) y Q(-3, 4, 1). ¿A qué
distancia se encuentra el punto P de dicho conjunto?
1999-Set.B.- Considérese, en el plano, el triángulo de vértices: A(2, 0) , B(0, 1) , C(-3, -2). Calcular los ángulos y el área de este
triángulo.
2000-Jun.A.- Halle el volumen del tetraedro de vértices el punto P(1, 1, 1) y los puntos de corte del plano
 : 2 x  3 y  z  12  0 con los ejes coordenados. Halle también el punto de corte del plano π y la recta, perpendicular a π,
que pasa por el punto P.
2000-Jun.B.- Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y general del plano determinado por los puntos A(1, 0, 0) , B(2, -1, 2)
C(5, -1, 1). Halle la distancia del punto P(2, 7, 3) al plano.
2000-Set.A.- Calcule α para que los puntos A(1, 1, 1) , B(3, 0, 2) , C(5, -2, 2) , D(2, 1, α) sean coplanarios. Calcule el área del
polígono ABCD.
1
 1 : 3x  y  z  6 . Calcule α para que la recta
( 1 ) sea paralela al plano  2 : x  y  3 .
2000-Set.B.- Dado el plano
r que pasa por el punto P(1, 1, 2) y es
perpendicular a este plano
Calcule la distancia de la recta r al origen.
2001-Jun.A.- a) ¿En qué posición relativa pueden estar tres planos en el espacio que no tienen ningún punto en común?
b) Determine la posición relativa de los planos  : x  2 y  3z  4 ,  : 2 x  y  z  1  0 ,
 : 2 x  4 y  6z  0
2001-Jun.B.- a) Ángulo que forman dos rectas.

b) Determine el ángulo que forman la recta r, que pasa por el punto (1, -1, 0) y cuyo vector director es v  (2,0,1) , y la
recta s de ecuación:

x7 y6 z


4
4
2





2001-Set.A.- a) Sean u y v dos vectores. Compruebe que si ( u  v )  ( u  v )  0 entonces



u  v.

b) Calcule los vectores unitarios que sean perpendiculares a los vectores u  (3,4,1) y v  (2,1,0)
2001-Set.B.- a) Definición de distancia mínima entre dos rectas en el espacio. Casos posibles.
b) Calcule la distancia entre las rectas r y s, donde r tiene por ecuaciones r: x = 3y = 5z
A(1, 1, 1) y B(1, 2, -3).
y la recta s pasa por los puntos
 x  2  3 


2002-Jun.A.- Halle la distancia del plano  : 4 x  10 y  2 z  1 al plano  :  y     
 z 



2002-Jun.B.- Determine el vector (o vectores) unitarios, v  ( a, b, c ) (con a>0, b>0, c>0), que forman un ángulo de

con el vector u  (1,1,1) y un ángulo de

4

6
radianes

radianes con
  (2,0,2) .
2002-Set.A.- a) Deduzca las ecuaciones vectorial, paramétricas e implícita (o general) de un plano determinado por un punto y dos
vectores directores.
b) Dados los puntos P(3, 4, 1) y Q(7, 2, 7), determine la ecuación general del plano que es perpendicular al segmento
que pasa por el punto medio de ese segmento.
PQ y
2002-Set.B.- a) Definición e interpretación geométrica de producto vectorial de dos vectores.






b) Dados los vectores u  ( 2,0,4) y v  ( 1,0,  ) , ¿para qué valores de α el módulo del vector ( u  v )  ( u  v )
vale 4?
2003-Jun.A.- a) Definición de módulo de un vector. Propiedades.



b) Determine los valores de a y b, a > 0, para que los vectores v 1  ( a, b, b) , v 2  (b, a, b) y v 3  (b, b, a ) sean
unitarios y ortogonales dos a dos.
2003-Jun.B.- a) Ángulo que forman una recta y un plano.
b) Determine el ángulo que forman el plano
 : x  2 y  3z  4  0
y la recta
 2x  y  0 
r:

3 y  2 z  12
2003-Set.A.- a) ¿Qué significa geométricamente que tres vectores del espacio tridimensional sean linealmente dependientes?





b) Dados los vectores u 1  (1,2,1) , u 2  (1,3,2) , v 1  (1.1.0) , v 2  (3,8,5) , demuestra que los vectores u 1

dependen linealmente de los vectores v 1

y u2

y
v 2 . Determine la ecuación general del plano que pasa por el origen y
2

contiene a los vectores v 1

y

v 2 , y determine la posición relativa de los vectores u 1

y u 2 respecto a ese plano.
2003-Set.B.- a) Definición de producto escalar de dos vectores. Interpretación geométrica.
b) Determine la ecuación que satisfacen los vectores ortogonales a la recta
2 x  y  z  0
r:
 . Interprete geométricamente
 x  y  3z  0 
el resultado obtenido.
2004-Jun.A.- a) Distancia entre dos rectas que se cruzan.
b) Halle la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones:
 x  


r :  y  1 
z  1   


x  1   


s: y  2 
 z  2 


2004-Jun.B.- a) Ángulo que forman dos rectas. Condición de perpendicularidad.
b) Determine el ángulo que forman la recta que pasa por los puntos A(1, 0, -1) y B(0, 1, -2) y la recta de ecuación:
x
y 1 z  2

.
2
1
2004-Set.A.- Compruebe que los puntos A(1, 0, 3) , B(-2, 5, 4) , C(0, 2, 5) y D(-1, 4, 7) son coplanarios
De todos los triángulos que se pueden construir teniendo como vértices tres de esos cuatro puntos, ¿cuál es el de mayor área?.
Obtenga el valor de dicha área.
2004-Set.B.- Halle la ecuación general del plano π que contiene a la recta r :
x 1 y 1 z


2
4
2
y es paralelo a la recta s que
pasa por los puntos P(2, 0, 1) y Q(1, 1, 1). Calcule la distancia de s a π.
2005-Jun.A.- Calcule la distancia entre las rectas de ecuaciones r : x 
y 1 z  4
y 2 z 3


y s:x2
.
3
7
3
4
2005-Jun.B.- Demuestre que los puntos P(0, 0, 4) , Q(3, 3, 3) , R(2, 3, 4) y S(3, 0, 1) son coplanarios y determine el plano que los
contiene.
2005-Set.A.- a) ¿Qué condición deben cumplir los coeficientes de las ecuaciones generales de dos planos para que estos sean
perpendiculares?
b) Halle el ángulo que forman los planos  : 2 x  y  z  7  0 y  : x  y  2 z  11 .
2005-Set.B.- a) Definición de producto mixto de tres vectores. ¿Puede ocurrir que el producto mixto de tres vectores sea cero sin ser
ninguno de los vectores el vector nulo? Razone la respuesta
  

b) Para u , v , w , tres vectores en el espacio tales que


u  2 , v  3 , w  5 , halle los valores mínimo y máximo del
valor absoluto de su producto mixto.
3
2006-Jun.A.- a) Definición e interpretación geométrica del producto vectorial de dos vectores libres en R .


b) Calcula los vectores unitarios y perpendiculares a los vectores u  (1,2,2) y v  (1,0,1)
c) Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por el punto (1,1,1) y los vectores


u  (1,2,2) y v  (1,0,1) .
2006-Jun.B.- Dado el plano
 : 2 x  y  3  0
; y la recta
 x  2 y  2 z  6  0
r:

 7 x  y  2z  0 
a) Calcula el valor de λ para que la recta r y el plano π sean paralelos. Para ese valor de λ, calcula la distancia entre r y π.
b) ¿Para algún valor de λ, la recta r está contenida en el plano π? Justifica la respuesta.
c) ¿Para algún valor de λ, la recta r y el plano π son perpendiculares? Justifica la respuesta.
3


2006-Set.A.- a) Dados los vectores u  (1,0,1) , v  (1,1,0) , calcula los vectores unitarios de R
vectores
dados.

3
que son ortogonales a los dos

b) Sea π el plano determinado por el punto P(2, 2, 2) y los vectores u  (1,0,1) y v  (1,1,0) . Calcula el ángulo que
forma el plano π con la recta que pasa por los puntos O(0, 0, 0) y Q(2, -2, 2).
c) Calcula el punto simétrico de O(0, 0, 0) respecto del plano x – y + z – 2 = 0.
2006-Set.B.- Los lados de un triángulo están sobre las rectas
x 1 y 1 z 1
r1 :


; r2
1
1
2
x  2  t
 x  y  z  1  0


:  y  2  t  ; r3 : 

 z  0
x
 z  1 


a) Calcula los vértices del triángulo. ¿Es un triángulo rectángulo? Razona la respuesta
b) Calcula la ecuación del plano π que contiene al triángulo. Calcula la intersección del plano π con los ejes OX, OY, OZ.
2007-Jun.A.- a) Los puntos A(1, 1, 0) , B(0, 1, 1) y C(-1, 0, 1) son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD. Calcula las
coordenadas del vértice D y el área del paralelogramo.
b) Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto B(0, 1, 1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos
A(1, 1, 0) y C(-1, 0, 1).
 x 1 


2007-Jun.B.- Dadas las rectas r:  y  2   
 z  2  2 


s:
x y 1 z  2


1
2
2
a) Estudia su posición relativa.
b) Calcula la ecuación del plano que contiene a las dos rectas.
2007-Set.A.- a) Calcula m para que los puntos A(2,1,-2) , B(1,1,1) , C(0,1,m) estén alineados.
b)calcula el punto simétrico del punto P(-2,0,0) respecto de la recta que pasa por los puntos A(2,1,-2) y B(1,1,1).
x  1   
x y 1 z  2



; s :  y  3  2 
2007-Set.B.- Dadas las rectas r : 
1
1
3
z  1   


a) Estudia su posición relativa.
b) Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.
2008-Jun.A.-a) Sean
u , v dos vectores tales que u  3 , v  4 , u  v  5 . Calcula el ángulo que forman los vectores u y v .
Calcula el producto mixto [ u ,
v , uv]
 x  1  6 
x  3 y 1 z 1


4 


b) Dadas las rectas r :
; s:  y 
3
2
2
 z   4 


estudia su posición relativa y calcula la ecuación del plano que pasa por el punto P(1,1,1) y contiene a la recta r.
2008-Jun.B.- a) ¿Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(3,1,0), C(1,1,1) y D(3,0,-1)? En caso afirmativo, calcula la distancia del
origen de coordenadas al plano que los contiene.
b) Calcula el punto simétrico del punto P(0,0,1) respecto del plano  : x  2 y  2 z  1  0
2008-Set.A.- a) Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano que pasa por el punto P(1,1,2) y es perpendicular a la recta
4
r:
4 x  y  z  0


 yz 0 
b) Calcula el área del triángulo que tiene por vértices los puntos de intersección del plano
ejes de coordenadas. ¿Es un triángulo rectángulo?
 : x  2 y  2z  3  0
con los
 x  3  2  2  


2  2   estudia su posición relativa y calcula
2008-Set.B.- a) Dados los planos  1 : x  2 y  2 z  1  0 ;  2 :  y 
 z  1    3 


la distancia entre ellos.
b) Dado el punto P(2,1,7) , calcula su simétrico respecto del plano
2
2009-Jun.A.- Sea r la recta que pasa por los puntos P(0,8,3) y Q(2,8,5) y s la recta
x  y  7  0
s:

 y  2z  0 
a) Estudia la posición relativa de r y s. Si se cortan, calcula el punto de corte.
b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por P y es perpendicular al plano que contiene a r y a s.
2009-Jun.B.- Sea

el plano que pasa por los puntos A(1,-1,1) , B(2,3,2) , C(3,1,0) y r la recta dada por
r:
x7 y6 z3


2
1
2
a) Calcula el ángulo que forman la recta r y el plano  . Calcula el punto de intersección de r y
b) Calcula los puntos de la recta r que distan 6 unidades del plano  .
2009-Set.A.- Dados los planos
 1 : x  y  z  1  0 ;  2 : y  z  2  0 ; y la recta r :

x
y 1 z 1


2
1
1
 1 y  2 . Calcula el ángulo que forman  1 y r .
b) Estudia la posición relativa de la recta r y la recta intersección de los planos  1 y  2
a) Calcula el ángulo que forman
 x  1  2  


2009-Set.B.- a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,3,5) y es perpendicular al plano  :  y  2  2   
 z  2  3   


b) Calcula la distancia del punto P(2,3,5) al plano
 . Calcula el punto de 
que está más
próximo al punto P(2,3,5)
2010-Jun.A.- Sea r la recta que pasa por el punto P(1,-1,-2) y es perpendicular al plano α: x+2y+3z+6=0
Sea s la recta que pasa por los puntos A(1,0,0) y B(-1,-3,-4)
a) Estudia la posición relativa de las rectas r y s. Si se cortan, calcula el punto de corte.
b) Calcula la distancia del punto A(1,0,0) al plano β que pasa por el punto P(1,-1,-2) y es paralelo a α.
2010-Jun.B.- Dada la recta r:
y  1



 x  z  4  0
a) Calcula la ecuación del plano α que pasa por el punto Q(0,2,2) y contiene a la recta r.
Calcula el área del triángulo que tiene por vértices los puntos de intersección de α con los ejes de coordenadas.
c) Calcula la ecuación general del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano α.
2010-Set.A.- Dada la recta r:
x  y  z  3  0 


3x  5 y  3z  7  0
a) Calcula la ecuación general del plano π perpendicular a r y que pasa por el punto P(2,-1,-2).
b) Calcula el punto Q en el que r corta a π. Calcula el ángulo que forma el plano π con cada uno de los planos coordenados.
5
 x  3  3 
4 x  3 y  12  0


2010-Set.B.- Dadas las rectas r:  y  4  s : 

5 y  4 z  4  0 
 z  6 


a) Estudia su posición relativa. Si se cortan, calcula el punto de corte y el ángulo que forman r y s.
b) Calcula, si existe, el plano que las contiene.
2011-Jun.A.- a) ¿Son coplanarios los puntos A(1,0,2) , B(0,-1,1) , C(-1,-2,0) , D(0,2,2)? Si existe, calcula la ecuación del plano que
los contiene.
b) Calcula la ecuación general y las ecuaciones paramétricas del plano que es perpendicular al plano  : 2 x  y  3z  4  0
y contiene a la recta que pasa por los puntos P(-1,1,2) y Q(2,3,6).
2011-Jun.B.- a) Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto P(1,2,-3) y es perpendicular a la recta
 2x  y  2  0 
r:

3x  z  1  0
b) Calcula la distancia d del punto Q(-1,0,-2) al plano  : x  2 y  3z  12  0 . Calcula, si existe, otro punto de la
recta r que también diste d del plano  .
x  2    

2011-Set.A.- a) Dado el plano  :  y  
 z 

perpendicular a
 . Calcula el punto de intersección de


 , calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,-2,1) y es


r y
.
b) ¿Están alineados los puntos A(2,0,3), B(0,0,1), C(2,1,5)? Si no están alineados, calcula la distancia entre el plano que
determinan estos tres puntos y el plano  del apartado a)
2011-Set.B.- a) Estudia la posición relativa de la recta r :
x 1 y 1 z

 y la recta s que pasa por los puntos P(0,2,1) y
1
2
1
Q(1,1,1).
Calcula la distancia de r a s.
b) Calcula la ecuación general del plano

que es paralelo a la recta r y contiene a la recta s.
2012-Jun.A.- Dados los puntos A(3,0,2), B (1,-2,0 ), C(1,-1,3) y D(λ,λ-2,-λ)
a) Determina el valor de λ para que sean coplanarios. ¿Para algún valor de λ son A, B ,C y D vértices consecutivos de un
paralelogramo?
b) Calcula las ecuaciones paramétricas del plano π que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta r que pasa polos puntos
AyB

2012-Jun.B.- a) Si




v  6, w  10 y v  w  14 , calcula el ángulo que forman los vectores v y w
b) Calcula las ecuaciones paramétricas y la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(-1,5,0) e B(0,1,1) y es paralelo
a la recta
3x  2 y  3  0 
r:

 2 y  3z  1  0
2012-Set.A.- Dado el plano π: x-2y+3z+6=0
a) Calcula el área del triángulo de vértices los puntos de corte de π con los ejes de coordenadas.
b) Calcula la ecuación general del plano que es perpendicular al plano π, paralelo a la recta que pasa por los puntos B(0,3,0)
y C(0,0,-2) y pasa por el origen de coordenadas.
c) Calcula el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano π: x-2y+3z+6=0
6
 x  3    2 


2012-Set.B.- a) Estudia la posición relativa de los planos ,  1 : x  y  z  5  0 ,  2 :  y  1     
z  1
  

Si se cortan en una recta, escribe sus ecuaciones paramétricas.
b) Calcula la ecuación del plano  3 , que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a
de
 1 y  2 . Calcula la intersección
1 , 2 y  3.
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