MATEMATICAS I Junio - Prepa 20-30

MATEMATICAS I
RAZONES Y PROPORCIONES
o
o
Cite tres pares de números que estén en razón aritmética de 2 y 3.
Hallar el término desconocido en la proporción aritmética de 8  9  4  x .
o
Hallar el término desconocido en la proporción aritmética 3.4  x 
o
Hallar la media aritmética en 14  x  x  3.04 .
8
 1.
5
3
.
4
o Hallar el término desconocido en la proporción geométrica de 8 : 4 :: 10  x .
1
o Hallar el término desconocido en la proporción geométrica de 10 : :: x : 4 .
6
1
o Hallar la media geométrica en 25 : x :: x :
.
16
o
Cite tres pares de números que estén en razón geométrica de
APLICACIÓN DE LAS PROPORCIONES
o
o
o
o
Si 4 libros cuestan $8 ¿cuanto costaran 15 libros?
4 hombres hacen una obra en 12 días ¿En cuantos días podrían hacer la misma obra
7 hombres?
10 personas salen de excursión y a cada uno le toca poner $500 , si dejaran de ir 2
personas, ¿Cuánto le tocaría a cada uno?
6 alumnos requieren de 4 horas para exponer un tema, cuantas horas necesitaran 4
alumnos para exponer el mismo tema.
PROGRESION ARITMETICA
o
Hallar la suma de los 12 primeros términos de la progresión aritmética 7 . 13 . 19 . . .
RESOLUCION:
u  a  n  1r
u  7  12  16
u  7  66
u  73
Datos
a=7
r=6
s
n=12
a  u n
2

7  7312
s
2
s
8012
2
s  480
R=480
EJERCICIO
Hallar la suma de los
o 8 primeros términos de la progresión aritmética 15 . 19 . 23 . . . . . . . . .
o 24 primeros términos de la progresión aritmética 42 . 32 . 22 . . . . . . . . .
R=232
R= -1752
o
9 primeros términos de la progresión aritmética
1
3
.1.
..........
2
2
R=
45
2
PROGRESION GEOMETRICA
o
Hallar la suma de los 6 primeros términos de la progresión geométrica 4:2:1:….
RESOLUCION:
Datos
a=4
r=1/2
ur  a
r 1
1 / 81 / 2  4
s
1/ 2  1
u  ar n1
s
u  4 1 / 2 
u  1/ 8
6 1
n=6
1/ 16  4
 1/ 2
s  63/ 8
s
R=
63
8
EJERCICIO
Hallar la suma de los:
93
8
o
5 primeros términos de la progr. geométrica 6 : 3 : 3/2:………….
R=
o
6 primeros términos de la progr. geométrica 4 : -8 : 16 :………….
R= -8
o
10 primeros términos de la progr. geométrica 1/4 : 1/2 : 1:………….
R=
1023
4
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Y SIGNOS DE AGRUPACIÓN
o
o
o
Sumar a 3b  b 4  ab3 ,  2a 2b 2  4ab3  2b 4 y 5a 3b  4ab3  6a 2b 2  b 4  6 .
Restar 9ab3  11a 3b  8a 2b 2  b 4 de a 4  1 .
Restar la suma de 5x 4 y 2  6 x 2 y 4  5 y 6 con  3x 6  x 2 y 4  11y 6 de la suma de
x 6  2 x 2 y 4  y 6 con  4x 4 y 2  3x 2 y 4  3 y 6 .
o Simplificar la expresión   3a  b   a  2a  b   a  b  3b  4a .
o





Simplificar  3x  y   4  x  2  x  2 y  3 x  y  2  2x .
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS
o
Multiplicar 6 y 2  2x 2  5xy por 3x 2  4 y 2  2xy .
o
o
o
Multiplicar x a2  3x a  x a1  x a1 por x a 1  x a  4 x a 1 .
Dividir 3a 5  10a 3b 2  64a 2b 3  21a 4b  32ab4 entre a 3  4ab2  5a 2b .
Dividir x 3a  17x 3a2  x 3a1  3x 3a4  2 x 3a3  2 x 3a5 entre x 2 a1  2 x 2 a3  3x 2 a2 .
PRODUCTOS NOTABLES
EJERCICIO:
Binomios conjugados:
(3x-5y)(3x+5y)
(4x2+6y3)(4x2-6y3)
(7m3n2-2/3)(7m3n2+2/3)
_________________________
_________________________
_________________________
Binomios con término común: (b+6)(b+5)
(a2b3-15)(a2b3-4)
(x4-2b)(x4+6b)
_________________________
_________________________
_________________________
Binomio al cuadrado:
(2x-3)2
(4a+3b)2
(5x2-1/3)2
_________________________
_________________________
_________________________
Binomio al cubo:
(y-2)3
(2x3+3y2)3
(a-5b)3
_________________________
_________________________
_________________________
COCIENTES NOTABLES
o
4
2
Dividir 1  x entre 1  x .
o
6
9
2
3
Dividir 27x  125y entre 3x  5 y .
o
8
8
Hallar el cociente de m  n entre m n .
o
15
15
3
3
Hallar el cociente de x  y entre x  y .
FACTORIZACION
EJERCICIO:
Factor común:
15y3+20y2-5y
9a3x2-18ax2
_________________________
_________________________
Agrupación de términos:
2x2-3xy-4x+6y
3ax-3x+4y-4ay
_________________________
_________________________
Trinomio cuadrado perfecto:
4x2-20xy+25y2
1-16ax2+64a2x4
_________________________
_________________________
Trinomio x2+bx+c :
a2-13a+40
X2y2-xy-42
_________________________
_________________________
Trinomio ax2+bx+c :
6x2-7x-3
10n2-n-2
_________________________
_________________________
Diferencia de cuadrados:
16x2-25y4
49a4b6-c12
_________________________
_________________________
Diferencia de cubos:
8m3-27n9
125-b6
_________________________
_________________________
Suma de cubos:
b3+64
1+m6n12
_________________________
_________________________
Cuatrinomio cubo perfecto:
64a3+48a2+12a+1
27-27x+9x2-x3
_________________________
_________________________
SIMPLIFICACION DE FRACCIONES
SIMPLIFICACION


Resolución:
2a  3 4a 2  6a  9  4a 2  6a  9 Resultado
8a 3  27

2a  3
4a 2  12a  9
2a  32
Ejercicio:
2x
2ax  4bx
___________________________=
Resultado
3y
3ay  6by
a 2  4ab  4b 2
a 3  8b 3
______________________=
a  2b
Resultado
a  2ab  4b 2
2
SUMA Y RESTA
x  4a x  2
1
5 x x  4a   2a x  2   ax 5 x 2  20ax  2ax  4a  ax


=
=
2ax
5 x 2 10 x
10 ax 2
10ax2
Resolución:
=
5 x 2  17ax  4a
Resultado
10ax2
9ax  3ax2  12a  2
1 x x  2
1
 2 
_______________________=
Resultado
2x
x
3ax 2
6ax2
Ejercicio:
2a 2 b  3
a  2b 4ab2  3

________________________=
Resultado
3a
6a 2 b
6a 2 b
MULTIPLICACION Y DIVISION
5a  2a 5 x  5a b 2 4a 2 20a 3b 2 2 a 2 b
=
=
Resultado
 
=  
x
b  b 2 4a 2  b 2a 5 x 10abx
Resolución:
Ejercicio:
2x2
3x 8 y z 2
  2 __________________________ = 2 Resultado
z
4 y 9 x 3x
5 x 2  7m 3 5 x 4 
8
 ______________________=
  2 
Resultado
3
2 2
7 y  4 y 14 m 
7m x y
3x  3
x2  4x  4
por
.
2x  4
x2  x
x2  4x
x 2  16
Dividir
entre
.
4
8
Multiplicar
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
RESOLUCION: x  1x  2  4 x 13x  5  6  8x 11x  3x  7




x 2  x  2  12x 2  17x  5  6  8x 11 x 2  4x  21
x 2  x  2  12x 2  17x  5  6  8x  11x 2  44x  231
 x  17 x  8 x  44 x  231  2  5  6
18 x  234
234
x  13 Resultado
x
18
EJERCICIO:
5x  1  162 x  3  32 x  7  x
______________________________ x  2 Resultado
14  5x 12 x  3  17  10x  1x  6 ____________________________ x  
7 x 1 5  2x 4x  3 1  4x 2



3
2x
4
3x
1
Resultado
12
_____________________________ x  2 Resultado
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS Y TRES INCOGNITAS
RESOLUCION POR IGUALACION:
13  4 y
13  4 y 19  2 y
7

;
; 513  4 y   719  2 y 
19  2 y
7
5
x
5
65  20y  133 14y ;  20y  14y  133 65 ;  34y  68 ; y  2 Resultado
7 x  4 y  13
;
5 x  2 y  19
x
x
13  4 2 
13  8
21
; x
; x
;
7
7
7
EJERCICIO:
7x  4 y  5
9 x  8 y  13
_______________________________
9 x  16 y  7
_______________________________
4 y  3x  0
14x  11y  29
13y  8 x  30
_____________________________
x  3 Resultado
x 1
1 Resultado
y
2
1
3
Resultado
1
y
4
x
x
y2
1
2 Resultado
RESOLUCION POR SUSTITUCION:
2 x  5 y  24
8 x  3 y  19
; x
 24  5 y
  24  5 y 
; 8
  3 y  19 ; 4 24  5 y   3 y  19 ;
2
2


 96  20y  3 y  19 ;  20y  3 y  19  96 ;  23y  115 ;
x
 24  5 5
 24  25
; x
;
2
2
y  5 Resultado
x
EJERCICIO:
1
Resultado
2
5 x  7 y  1
x4
 3x  4 y  24
y  3
4 y  3x  8
8 x  9 y  77
x  4
x  5y  8
x  7
 7 x  8 y  25
y  3
y 5
Resultado
Resultado
Resultado
RESOLUCION POR REDUCCION:
x  4y  z  6
2 x  5 y  7 z  9 ; combinando la 1 y la 2
3x  2 y  z  2
Combinando la 1 y la 3
2 x  8 y  2 z  12
resulta 3 y  5 z  21
 2x  5 y  7z  9
3x  12 y  3z  18
resulta 7 y  2 z  8
 3x  2 y  z  2
Combinando las dos obtenidas multiplicando la 1ª por 2 y la 2ª por 5
6 y  10z  42
; 41y  82 ;
35y  10z  40
y  2 Resultado
Sustituyendo : 72  2 z  8 ;
z  3 Resultado
Sustituyendo : x  42  3  6 ;
x  1 Resultado
EJERCICIO:
2 x  y  3z  1
x  3 y  2 z  12
3x  2 y  z  5
2x  3y  z  1
6 x  2 y  z  14
3x  y  z  1
x 1
y  3 Resultado
z2
x  2
y  3 Resultado
z  4